MODUL AJAR
MATEMATIKA
Disusun : KELOMPOK 4
1. MUHAMMAD, S.Pd 2. M. WASIR
3. NINA
SMK FASE E (KELAS
X)
DINAS PENDIDIKAN PROVINSI DKI JAKARTA
SMK ………
Jl. Rawabelong II-E Palmerah Jakarta Barat email : smkn13jkt@yahoo.com Telp./Fax. 021-5492970
4. NUR’AINI
5. LAILAH RUSMITA
Disusun : KELOMPOK 4
1. MUHAMMAD, S.Pd 2. M. WASIR
3. NINA 4. NUR’AINI
5. LAILAH RUSMITA
MODUL 4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL DAN SISTEM
PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA
VARIABEL
I. INFORMASI UMUM 1.1 Identitas Modul
Nama : Kelompok 4
Satuan Pendidikan : MGMP JB2 Tahun Penyusunan : 2022
Judul Modul : Matematika
Kelas : X (Sepuluh)/ Fase E Program Keahlian : Semua Jurusan Alokasi Waktu : 9 JP
Jumlah Pertemuan : (1 x pertemuan @45 menit) Elemen : Aljabar dan Fungsi
Materi Pokok : Lingkup pelajaran meliputi sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
1.2 Kompetensi Awal
Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
1.3 Profil Pelajar Pancasila
a. Dimensi 1. Bergotong Royong b. Dimensi 2. Bernalar Kritis c. Dimensi 3. Kreatif
1.4 Sarana dan Prasarana a. Sarana
Digital dan Non digital berupa Buku paket, e-book, portal pembelajaran, tautan edukasi di internet, surat kabar, majalah, televisi, teks iklan di ruang publik.
b. Prasarana
1. Perangkat keras (Laptop, Handphone, LCD, dll)
2. Perangkat lunak (Aplikasi pembelajaran Microsoft Office 2007-paling mutakhir, Whatsapp, Zoom, Kelas Maya (Google Classroom/Teams, Media Sosial: Youtube, IG, dll)
3. Jaringan internet
1.5 Strategi Pembelajaran yang Digunakan
a. Pendekatan pembelajaran ilmiah/scientific student center
b. Strategi pembelajaran : Mengidentifikasi bentuk Persamaan dan pertidaksamaan sebagai bentuk pemahaman konsep dasar bentuk, Menjelaskan pengertian solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel berdasarkan pemahaman solusi dari materi pra syarat yaitu:
sistem persamaan linear dua variabel, Menyelesaikan masalah kontekstual dengan memodelkan ke dalam sistem persamaan linear (paling banyak tiga variabel), Menentukan solusi dari sistem
1
pertidaksamaan linear satu dan dua variabel secara grafik Menyelesaikan masalah dengan memodelkan ke dalam sistem pertidaksamaan linear (paling banyak dua varibel).
c. Model pembelajaran Discovery Learning, Inquiry, Problem Based Learning (PBL) Project Based Learning (PjBL)
d. Metode Diskusi, Tanya Jawab, Presentasi, Simulasi dan Demonstrasi (blanded learning)
e. Teknik mengajar : kegiatan pembuka, kegiatan inti, kegiatan penutup
2
II. KOMPONEN INTI
2.1 Capaian Pembelajaran
Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
2.2 Tujuan Pembelajaran
1 Peserta didik mampu Menjelaskan pengertian solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel berdasarkan pemahaman solusi dari sistem persamaan linear dua variabel
2 Peserta didik mampu Menyelesaikan masalah dengan memodelkan ke dalam sistem persamaan linear
3 Peserta didik mampu Menentukan solusi dari sistem pertidaksamaan linear dua
4 Peserta didik mampu Menyelesaikan masalah dengan memodelkan ke dalam sistem pertidaksamaan linear variabel secara grafik
2.3 Pertanyaan Inti/pertanyaan pemantik
Pertanyaan inti yang disampaikan ke siswa adalah
- Bagaimana mengubah persoalan menjadi sistem persamaan dan pertidaksamaan linear?
- Apa artinya mencari solusi?
- Solusi sistem persamaan dan pertidaksaman linear menyatakan apa?
2.4 Jenis Asesmen
Asesmen yang digunakan dalam modul ini adalah Asesmen kognitif dan non kognitif
2.4.1 Asesmen diagnostic : Diagnostik non kognitif: berupa pertanyaan secara lisan seperti menanyakan kondisi kesehatan siswa, menanyakan kesiapan siswa menerima pelajaran, memberi pertanyaan pemantik sebagai kompetensi awal pembelajaran
2.4.2 Asesmen Formatif Tes formatif pada Aktivitas Siswa dan LKPD Observasi : Penilaian sikap (pada saat diskusi kelompok) untuk menilai kemandirian dan gotong royong
2.4.3 Asesmen sumatif : Pertanyaan soal untuk ulangan (Terlampir) 2.5 Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan 1 dan 2
Kegiatan Awal 1.Guru membuka pelajaran dengan diawali berdoa bersama
2.Guru menanyakan kondisi kesehatan siswa 3.Guru melakukan presensi siswa
4.Guru menanyakan kesiapan untuk menerima pelajaran
5.Guru dan siswa berdiskusi melalui pertanyaan
pemantik :
a. Apakah kalian mengetahui Persamaan Aljabar?
b. Apakah kalian menguasai operasi hitung aljabar?
c. Apakah kalian bisa menentukan nilai dari variabel yang memenuhi persamaan aljabar yang memuat 3 variabel, dimana tersedia 3 persamaan ?
d. Apakah Kalian Sudah dapat mengaplikasikan konsep sistem persamaan linier tiga variabel untuk masalah sehari-hari ?
Kegiatan Inti 1. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok
2. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran, manfaat yang akan diperoleh, serta alur kegiatan yang akan dikerjakan oleh siswa
3. Secara berkelompok siswa mengamati penjelasan mengenai Persamaan Linear Tiga Variabel pada modul
4. Siswa berdiskusi menggali informasi dari sumber belajar untuk mengetahui Persamaan Linear Tiga Variabel
5. Siswa berdiskusi untuk menyelesaikan soal Persamaan Linear Tiga Variabel pada Aktivitas siswa dan LKPD
Kegiatan Penutup
1. Guru memberikan kesimpulan tentang pelajaran hari ini
2. Guru menutup kegiatan dengan memberikan apresiasi kepada siswa dan melakukan tindak lanjut hasil jawaban siswa, diakhiri dengan berdoa bersama dan salam penutup
Refleksi 1. Apakah ada kendala pada kegiatan pembelajaran?
2. Apakah semua siswa aktif dalam kegiatan pembelajaran?
3. Apa saja kesulitan siswa yang dapat diidentifikasi pada kegiatan pembelajaran?
4. Apakah siswa yang memiliki kesulitan ketika berkegiatan dapat teratasi dengan baik?
5. Apa level pencapaian rata-rata
siswa dalam kegiatan pembelajaran ini?
6. Apakah seluruh siswa dapat dianggap tuntas dalam pelaksanaan pembelajaran?
7. Apa strategi agar seluruh siswa dapat
menuntaskan kompetensi?
Lembar Kegiatan
1. Diagnostik non kognitif: berupa pertanyaan secara lisan
seperti menanyakan kondisi kesehatan siswa, menanyakan
kesiapan siswa menerima pelajaran, memberi pertanyaan pemantik sebagai kompetensi awal pembelajaran
2. Tes formatif pada Aktivitas Siswa dan LKPD 3. Observasi : Penilaian sikap (pada saat diskusi
kelompok)
untuk menilai kemandirian dan gotong royong
3a + 2b + 5c = 181.000
PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
Misalnya Beni akan belanja buah dari Kios mang Ayat. Beni membeli 3 kg jeruk, 2 kg pisang dan 5 kg nanas. Maka harga yang harus dibayar Beni adalah
= 3 × (22.000) + 2 × (20.000)
+ 5 × (15.000) = 66.000 + 40.000 + 75.000 = Rp.
181.000,00.
Naaah!! Dari masalah di atas, kita buat buah- buahan yang dibeli oleh Beni dengan variabel a untuk buah jeruk, b untuk buah pisang, dan c untuk buah nanas. Maka jadilah bentuk persamaan aljabar yang terdiri dari tiga variabel yaitu :
Secara sederhana, sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat diartikan sebagai sebuah persamaan aljabar yang melibatkan tiga variabel. Variabel-variabel tersebut biasanya ditandai dengan huruf-huruf tertentu (bisa a, b, x, y, atau huruf yang lain). Sistem ini dinilai lebih kompleks jika dibandingkan dengan sistem persamaan linear dua variabel karena sistem dengan tiga variabel ini adalah bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Zakky membeli 1 kg anggur, 2 kg semangka, dan 3 kg pisang dengan harga Rp. 123.000,00; Rafa membeli 3 kg anggur; 4 kg semangka, dan 1 kg pisang dengan harga Rp. 191.000,00; dan Lutfi membeli 1 kg anggur; 3 kg semangka, dan 2 kg pisang dengan harga Rp. 112.000,00.
Dari masalah di atas, ubahlah ke dalam bentuk tabel dan model matematika !
Penyelesaian :
Kita ubah ke dalam bentuk tabel : Bua
h Nama
Angg ur
Semang ka
Pisan g
Harga
Zakky 1 2 3 123.00
0
Rafa 3 4 1 191.00
0
Lutfi 1 3 2 112.00
0 Dari tabel di atas kita bisa ubah nama buah ke dalam bentuk variabel anggur (x), semangka (y),
dan pisang (z); sehingga membentuk model matematika sebagai berikut :
Zakky:x+2y+3z=123.000 Rafa:3x+4y+z=191.000 Lutfi:x+3y+2z=112.000
AKTIVITAS SISWA 1
Ubahlah ke dalam bentuk tabel dan bentuk model matematika ! 1. Pada hari Minggu Wayan, Candra, Agus dan Akbar membeli
perlengkapan sekolah di toko buku “Subur”. Wayan membeli 4 buku, 2 bolpoin, dan 3 pensil dengan harga Rp26.000,00. Candra membeli 3 buku, 3 bolpoin, dan 1 pensil dengan harga Rp21.500,00. Agus membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan harga Rp12.500,00.
2. Eka, Dwi, dan Tri adalah 3 bersaudara. Menurut mereka, jumlah usia mereka adalah 28 tahun. Jumlah usia Eka yang ditambah 2 tahun dan usia Dwi yang ditambah 3 tahun sama dengan 5 tahun ditambah tiga kali usia Tri. Dua kali usia Eka dikurangi usia Dwi kemudian ditambah usia Tri sama dengan 13 tahun.
(disimbolkan dengan x untuk bilangan usia Eka, y untuk bilangan usia Dwi, dan z untuk bilangan usia Tri)
Pertemuan 2
Langkah – langkah menyelesaikan SPLTV
Berdasarkan pemaparan di atas beberapa langkah dalam menyusun model matematika yang berbentuk SPLTV adalah sebagai berikut.
1. Menyatakan atau menerjemahkan masalah ke dalam bahasa yang mudah dipahami. Ini adalah problem real.
2. Mengidentifikasi berbagai konsep matematika dan asumsi yang digunakan dan berkaitan dengan masalah. Ini adalah problem matematika.
3. Merumuskan model matematika atau kalimat matematika yang berkaitan dengan masalah. Ini adalah proses matematisasi.
4. Merumuskan SPLTV yang merupakan model matematika dari masalah tersebut.
5. Menentukan masing-masing variabel secara sistematis satu per satu baik dengan metode eliminasi, subtitusi atau campuran
Contoh soal SPLTV dan Pembahasannya
Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
3x – y + 2z = 15 2x + y + z = 13 3x + 2y + 2z = 24
Alternatif Jawaban:
3x – y + 2z = 15 ………. (1) 2x + y + z = 13 ………. (2) 3x + 2y + 2z = 24 ………. (3)
Langkah pertama, Gunakan metode eliminasi terhadap salah satu persamaan terlebih dahulu.
Eliminasi persamaan (1) dan (2) :
3x – y + 2z = 15 | X 1 → 3x – y + 2z = 15 2x + y + z = 13 | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26 _ -x – 3y = -11 ……… (4)
Eliminasi persamaan (2) dan (3) :
2x + y + z = 13 | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26 3x + 2y + 2z = 24 | X 1 → 3x + 2y + 2z = 24 _ x = 2 ………. (5)
Karena dari persamaan (5) sudah didapatkan nilai x, sekarang tinggal menggunakan metode substitusi terhadap persamaan (4)
Substitusi persamaan (5) ke (4) : -x – 3y = -11
-(2) – 3y = -11 -3y = -11 + 2 -3y = -9
y = 3
Langkah ketiga, karena sudah didapatkan nilai x dan y. Langsung saja disubtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan 1, 2, atau 3 untuk mengetahui nilai z :
Substitusi nilai y ke persamaan (2) : 2x + y + z = 13
2(2) + 3 + z = 13 4 + 3 + z = 13 7 + z = 13 z = 13 – 7
z = 6
Maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah {(2, 3, 6)}.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL PADA KEHIDUPAN NYATA CONTOH:
Masa kehamilan rata-rata (dalam hari) dari sapi, kuda dan kerbau apabila dijumlahkan adalah 975 hari. Masa kehamilan kerbau lebih lama 85 hari dari masa kehamilan sapi. Dua kali masa kehamilan sapi ditambah masa
kehamilan kerbau sama dengan 3 kali masa kehamilan kuda dikurang 65.
Berapa hari ratarata masa kehamilan masing-masing hewan?
Alternatif penyelesaian Alternatif Penyelesaian:
Misal: masa kehamilan sapi sebagai x, masa kehamilan kuda sebagai y,
masa kehamilan kerbau sebagai z.
x + y + z = 975 … (1) z = 85 + x … (2)
2x + z = 3y – 65 … (3)
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:
x + y + ( 85 + x ) = 975 2x + y + 85 = 975
2x + y = 890 . .. (4)
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3), diperoleh 2x + ( 85 + x ) = 3y – 65
3x + 85 = 3y – 65 3x – 3y = -65 – 85 3x – 3y = – 150 x – y = -50 … (5)
Eliminasi variabel y pada persamaan (4) dan (5) 2x + y = 890
x – y = -50 + 3x = 840 x = 280
Substitusikan x ke persamaan (5), diperoleh:
280 – y = – 50 -y = -50 – 280 -y = – 330 y = 330
Substitusikan nilai x ke persamaan (2) z = 85 + 280
z = 365
Jadi masa kehamilan sapi adalah 280 hari, kuda 330 hari, dan kerbau 365 hari.
Contoh :
Misalnya kita mempunyai sebuah toko komputer. Kemudian kita menyuruh kariawan untuk membeli barang-barang yang akan dijual di toko kita, diantaranya : keyboard, wireless, dan mouse dari toko yang sama.
Di minggu pertama karyawan A membeli 12 keyboard, 10 wireless, dan 20 mouse dengan harga Rp. 5.497.800,00. Di minggu berikutnya giliran karyawan B membeli 16 keyboard, 10 wireless, dan 15 mouse dengan harga Rp. 5.584.400,00.
Setelah dicek ke toko yang menjual barang tersebut, harga keyboard, wireless, dan mouse masing- masing (perbuah) adalah Rp 108.900,00; Rp. 159.500,00; dan Rp. 129.800,00. Dan harga tersebut tidak berubah selama dua minggu ini.
Apakah kedua karyawan tersebut benar dalam perhitungannya?
Penyelesaian :
Kita ubah ketiga barang tersebut ke dalam variabel x (keyboard), y (wireless), dan z (mouse).
Karyawan A
= 12x + 10 y + 20z
= 12 (108.900) + 10(159.500) + 20(129.800)
= 1.306.800 + 1.595.000 + 2.596.000 Karyawan A = 5.497.800,00
Karyawan B
= 16x + 10 y + 15z
= 16 (108.900) + 10(159.500) + 15(129.800)
= 1.742.400 + 1.595.000 + 1.947.000 Karyawan B = 5.284.400
Dari perhitungan di atas, dapat dilihat bahwa perhitungan karyawan A sudah benar sedangkan karyawan B belum tepat.
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)1
Pertemuan 2 Petunjuk kerja
Berdoalah terlebih dahulu sebelum beraktivitas.
Gunakan sumber bacaan seperti buku, modul atau tulisan website blog untuk mendukung pengamatan anda.
Diskusikan hasil pengamatan dan pendapat anda dengan teman
Isilah pertanyaan di bawah ini dengan benar lengkap dengan caranya !
1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
2x + 5y – 3z = 3 6x + 8y -5z = 7 -3x + 3y + 4y = 15
2. Simaklah ilustrasi berikut ini.
Soal Ilustrasi:
Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus. Ali harus membayar Rp4.700. Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Badar harus membayar Rp4.300 Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Carli harus membayar
Rp7.100. Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus?
Pertemuan 3 dan 4
Kegiatan Awal 1. Guru membuka pelajaran dengan diawali berdoa bersama
2. Guru menanyakan kondisi kesehatan siswa
3. Guru melakukan presensi siswa
4. Guru menanyakan kesiapan untuk menerima pelajaran
5. Guru dan siswa berdiskusi melalui pertanyaan pemantik :
a. Apakah kalian mengetahui Pertidaksamaan linear?
b. Apakah kalian masih ingat lambang kurang dari dan lebih dari?
c. Masih ingatkah anda dengan diagram cartesius?
Kegiatan Inti 1. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok
2. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran, manfaat yang akan diperoleh, serta alur kegiatan yang akan dikerjakan oleh siswa
3. Secara berkelompok siswa mengamati penjelasan mengenai sistem pertidaksamaan linear dua variabel secara grafik dan Menyelesaikan masalah dengan memodelkan ke dalam sistem pertidaksamaan linear
4. Siswa berdiskusi menggali informasi dari sumber belajar untuk mengetahui sistem pertidaksamaan linear
5. Siswa berdiskusi untuk menyelesaikan soal sistem pertidaksamaan linear pada Aktivitas siswa dan LKPD
Kegiatan Penutup
1. Guru memberikan kesimpulan tentang pelajaran hari ini
2. Guru menutup kegiatan dengan memberikan apresiasi kepada siswa dan melakukan tindak lanjut hasil jawaban siswa, diakhiri dengan berdoa bersama dan salam penutup
Refleksi 1. Apakah ada kendala pada kegiatan pembelajaran?
2. Apakah semua siswa aktif dalam kegiatan pembelajaran?
3. Apa saja kesulitan siswa yang dapat diidentifikasi pada kegiatan pembelajaran?
4. Apakah siswa yang memiliki kesulitan ketika berkegiatan dapat teratasi dengan baik?
5. Apa level pencapaian rata-rata
siswa dalam kegiatan pembelajaran ini?
6. Apakah seluruh siswa dapat dianggap tuntas dalam pelaksanaan pembelajaran?
7. Apa strategi agar seluruh siswa dapat menuntaskan kompetensi?
Lembar Kegiatan
1. Diagnostik non kognitif: berupa pertanyaan secara lisan seperti menanyakan kondisi kesehatan siswa, menanyakan kesiapan siswa menerima pelajaran, memberi pertanyaan pemantik sebagai
kompetensi awal pembelajaran
2. Tes formatif pada Aktivitas Siswa dan LKPD 3. Observasi : Penilaian sikap (pada saat diskusi
kelompok) untuk menilai kemandirian dan gotong royong
Pertemuan 3
Sistem Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan dengan kombinasi operasi antar variabel yang ditandai dengan adanya simbol atau tanda (kurang dari), (kurang dari sama dengan), (lebih dari), maupun simbol (lebih dari sama dengan). Sementara untuk gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear disebut sebagai sistem pertidaksamaan linear.
Sistem pertidaksamaan linear yang ada di program linear akan diajarkan pada tingkat SMA yang pada umumnya akan melibatkan dua variabel dengan dua atau lebih pertidaksamaan linear. Bagian ini menjadi dasar untuk bisa menyelesaikan problem yang berhubungan dengan program linear. Salah satu langkah penting dalam sistem pertidaksamaan linear dalam pembahasan mengenai program linear ialah bisa secara tepat menggambarkan garis. Serta daerah yang memenuhi pada bidang kartesius.
Program linear merupakan metode penentuan nilai optimum dari persoalan linear. Nilai optimum didapat dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di bagian ini, kalian akan fokus mempelajari mengenai bagaimana cara untuk menentukan dua langkah tersebut.
Namun sebelum itu, ingat kembali sistem pertidaksamaan linear yang akan kami berikan contoh di bawah ini.
Contoh sistem pertidaksamaan linear x + y = ≤ 5
2x + y < 7 x + 3y ≥ 11
Cara menggambar persamaan garis lurus sekaligus menentukan daerah yang memenuhi, yaitu:
Himpunan penyelesaian sebuah pertidaksamaan linear dua peubah bisa kita tentukan dengan menggunakan cara seperti berikut ini:
1. Gambarlah garis ax + by = c pada bidang kartesius
2. Kita ambil sembarang titik untuk (x1.y1) di luar garis ax + by = c lalu hitunglah nilai dari ax1 + by1 serta bandingkan dengan nilai c.
Apabila ax1 + by1 ≤ c daerah yang memuat x1.y1 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ax + by ≤ c
Apabila ax1 + by1 ≥ c maka daerah yang memuat x1.y1 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ax + by ≥ c
Contoh cara untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah.
Diberikan sistem pertidaksamaan linear seperi berikut ini.
x + y ≤ 7, x + 3y ≤ 15, x ≥ 0,
y ≥ 0
Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear di atas.
Jawab:
1. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 7
2. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan x + 3y ≤ 15
3. Daerah yang memenuhi gabungan dari empat sistem pertidaksamaan linear: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 7, x + 3y ≤ 15 yaitu:
AKTIVITAS SISWA 2
Diberikan sistem pertidaksamaan linear seperi berikut ini.
1. x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 15, x ≥ 0,
y ≥ 0 2. x + y ≥5,
2x + y ≥8, x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear di atas.
Pertemuan 4
Model Matematika
Model soal yang akan diberikan untuk program linear pada umumnya berupa soal cerita.
Supaya kalian bisa menyelesaikan soal cerita yang diberikan dengan mudah, kalian hanya perlu untuk merubahnya ke dalam model matematika.
Model matematika adalah sebuah cara untuk merubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika dalam bentuk persamaan, pertidaksamaan, dan juga fungsi.
Untuk penjelasan lebih lengkapnya, perhatikan penyelesaian pada persoalan berikut.
Contoh soal model matematika
Tentukan model matematika pada soal di bawah.
Suatu adonan roti basah dibuat dengan menggunakan bahan 2 kg tepung dan 1 kg gula. Sementara satu adonan roti kering dibuat dengan memakai 1 kg tepung dan 1 kg gula. Ibu mempunyai persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 5 kg. Apabila pada masing-maisng satu adonan roti basah bisa memberikan keuntungan Rp75.000,00 serta masing-masing adonan roti kering bisa memberikan untung Rp60.000,00. Berapakah banyak kombinasi adonan roti yang bisa dibikin untuk memperoleh keuntungan maksimal?
Jawab:
Misalnya:
x = adonan roti basah y = adonan roti kering
Maka perhatikan tabel di bawah.
Sehingga akan didapatkan model matematika dari soal di atas sebagai berikut ini:
2x + y ≤ 6 x + y ≤ 5 x ≥ 0 y ≥ 0
Pembahasan yang diberikan tidak akan berhenti sampai di sini, belum sampai menentukan kombinasi jenis roti yang dibuat untuk memperoleh keuntungan maksimal.
Solusi selanjutnya yang akan kita lakukan adalah penjabaran materi di bawah ini.
Cara Menyelesaikan Masalah Program Linear
Cara menyelesaikan masalah program linear bisa disebut sebagai sebuah proses guna mencari nilai optimum dari sebuah pertidaksamaan.
Nilai itu bisa berwujud nilai maksimum atau minimum, tergantung dengan soal yang akan diberikan. Bentuk umum fungsi objektif dari sebuah model matematika yaitu f(x,y) = ax + by.
Adapun dua metode yang bisa kita pakai untuk mencari menentukan nilai optimum pada program linear.
Kedua metode tersebut adalah metode uji titik pojok dan garis selidik.
Penjabaran secara lebih rincinya akan kalian liat pada ulasan di bawah.
Metode Uji Titik Pojok
Sesuai dengan namanya, metode uji titik pojok digunakan dengan cara menghitung nilai fungsi tujuan dari titik pojok yang didapatkan.
Titik pojok yang dimaksud di sini merupakan titik-titik koordinat yang membatasi daerah layak dari sebuah sistem pertidaksamaan linear.
Beberapa tahapan yang dilakukan untuk menentukan nilai optimum dengan menggunakan metode uji titik pojok yaitu sebagai berikut.
1. Mencari berbagai garis dari sistem pertidaksamaan yang menjadi fungsi kendala dari persoalan yang diberikan.
2. Mencari berbagai titik pojok yang merupakan koordinat pembatas daerah yang memenuhi fungsi kendala.
3. Menghitung nilai optimum f(x,y) dari titik-titik pojok yang diperoleh.
4. Memperoleh nilai maksimum atau minimum sesuai dengan permasalahan.
Untuk memperjelas pemahaman materi mengenai mencari nilai optimum dengan metode uji titik pojok. Maka akan kita selesaikan permasalah yang sudah dibahas sebagian pada bagian model matematika.
Berdasarkan pembahasan sebelumnya maka akan didapatkan sistem pertidaksamaan seperti di bawah ini.
x ≥ 0 y ≥ 0 2x + y ≤ 6 x + y ≤ 5
Lihat kembali pada soal yang telah kami berikan sebelumnya, fungsi tujuan bisa kita dapatkan dari kalimat berikut:
Apabila pada masing-maisng satu adonan kue basah bisa memberikan keuntungan Rp75.000,00 serta masing-masing adonan kue kering bisa memberikan untung Rp60.000,00.
Sehingga, fungsi tujuannya yaitu memaksimalkan f(x,y) = 75.000x + 60.000y.
Menggambar daerah yang memenuhi pada sistem pertidaksamaan di atas.
Menentukan titik koordinat yang menjadi titik pojok pembatas daerah layak dari permasalahan sistem pertidaksamaan.
Titik Koordinat O, A, dan juga C bisa kita peroleh dengan cara melihat gambar di atas. Yakni dengan melihat O(0,0), A(0, 5), dan juga C(3, 0).
Sementara untuk koordinat titik B bisa kita peroleh dengan memanfaatkan metode eliminasi.
Untuk mencari koordinat titik B maka caranya adalah sebagai berikut:
x + y = 5
2x + y = 6 - -x = -1 x = -1/-1 = 1
Substitusi nilai x = 1 pada persamaan x + y = 5 untuk memperoleh nilai y.
x + y = 5 1 + y =5 y = 5 – 1 = 4
Koordinat titik B yaitu (1, 4) Perhitungan nilai optimum:
Sehingga, nilai keuntungan maksimum yang bisa didapatkan yaitu Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan juga 4 (empat) adonan roti kering.
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) 2
Pertemuan 4 Petunjuk kerja
Berdoalah terlebih dahulu sebelum beraktivitas.
Gunakan sumber bacaan seperti buku, modul atau tulisan website blog untuk mendukung pengamatan anda.
Diskusikan hasil pengamatan dan pendapat anda dengan teman Isilah pertanyaan di bawah ini dengan benar lengkap dengan caranya !
1. Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan luas rata-rata bus 24 m2. Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda empat (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil
Rp2000,00 dan tarif parkir bus Rp5000,00, maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah ….
ULANGAN
1. Ibu Yanti membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 305.000,00. Ibu Eka membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 131.000,00. Ibu Putu membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 360.000,00. Jika Ibu Aniza membeli 3 kg telur, 1 kg daging, dan 2 kg udang, berapa harga yang harus dibayar ibu Aniza?
2. Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5
gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut!
REMEDIAL DAN PENGAYAAN
REMEDIAL
1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.
x + 3y + 2z = 16 2x + 4y – 2z = 12 x + y + 4z = 20
2. Diketahui sistem pertidaksamaan linearnya : x + y ¿ 500 ; 6000x + 3000y ¿ 240.000 : x ¿ 0 ; y ¿ 0. Tentukan nilai maksimum fungsi Z = 400x + 300y adalah….
PENGAYAAN
1. Eka, Dwi, dan Tri adalah 3 bersaudara. Menurut mereka, jumlah usia mereka adalah 28 tahun. Jumlah usia Eka yang ditambah 2 tahun dan usia Dwi yang ditambah 3 tahun sama dengan 5 tahun ditambah tiga kali usia Tri. Dua kali usia Eka dikurangi usia Dwi kemudian ditambah usia Tri sama dengan 13 tahun. Tentukan urutan usia mereka dari yang paling muda!
2. Sebuah butik memiliki 4 m kain satin dan 5 m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2 m kain satin dan 1 m kain prada, baju pesta II memerlukan 1 m kain satin dan 2 m kain prada. Jika harga jual baju pesta I sebesar Rp500.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp 400.000, 00 , maka hasil penjualan maksimum butik tersebut adalah ....
Refleksi
Refleksi adalah kegiatan yang dilakukan dalam proses belajar mengajar dalam bentuk penilaian tertulis dan lisan oleh guru untuk siswa dan mengekspresikan kesan konstruktif, pesan, harapan dan kritik terhadap pembelajaran yang diterima.
Setelah mempelajari modul ini, bagaimana pemahaman kalian terhadap materi? Isilah penilaian diri ini dengan sejujur-jujurnya dan sebenar- benarnya sesuai dengan perasaan kalian ketika mengerjakan suplemen bahan materi ini! Bubuhkanlah tanda centang (√) pada salah satu gambar yang dapat mewakili perasaan kalian setelah mempelajari materi ini!
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini : 1. Apa yang sudah kalian pelajari ?
2. Apa ada kendala pada kegiatan pembelajaran? Kalau ada, apa saja kendalanya?
3. Apa yang kalian kuasai dari materi ini ?
4. Apa yang belum kalian kuasasi dari materi ini ?
5. Apa upaya kalian menguasai materi yang belum kalian kuasai ?
ASSESMENT
1. Teknik dan Bentuk Penilaian N
o Aspek Teknik
Penilaian Bentuk Penilaian
1 Sikap Observasi Lembar Pengamatan
2 Pengetahuan Penugasan Aktivitas siswa 1 dan LKPD 1
3 Keterampilan Penugasan Aktivitas siswa 2 dan LKPD 2
2. Kriteria Penilaian a. Penilaian Sikap
Penilaian sikap dilakukan setelah diskusi berlangsung dan dinilai oleh teman sejawat. Aspek pada penilaian sikap diambil dari Profil Pelajar Pancasila.
N
o Nama Peserta Didik
Aspek Penilaian
Mengemukakan ide/ gagasan (mandiri) Menjawab pertanyaan sesuai contoh atau hasilsendiri (Berfikir kritis) Kerjasama kelompok (gotong royong) Ketelitian dalam mempelajari materi (kreatif)
N il a i A k h i r
Kelompok : ……..
1 2 3
Petunjuk penskoran :
b. Nilai Pengetahuan
- Penugasan mandiri pada aktivitas siswa 1 - Penugasan Kelompok pada LKPD 1
c. Nilai Keterampilan
- Penugasan mandiri pada aktivitas siswa 2 - Penugasan Kelompok pada LKPD 2
3 : sering
2 : kadang-kadang 1 : tidak pernah
ASSESMENT AKHIR
Nama Siswa :
Program Keahlian :
Kelas :
Capaian Pembelajaran :
N
o Kegiatan Penialain Nila i Ang ka
Deskpripsi Kompetensi
1 Penilaian Sikap 2 Aktivitas Siswa 1
3 Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 1
4 Aktivitas Siswa 2
5 Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 2
6 Ulangan
Nilai Akhir
Jakarta, 2022
Peserta didik Guru Matematika
(...) (...)
GLOSARIUM
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel.
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah persamaan aljabar yang terdiri dari tiga variabel yang sering disimbolkan x, y, dan z.
Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan dengan kombinasi operasi antar variabel yang ditandai dengan adanya simbol atau tanda (kurang dari), (kurang dari sama dengan), (lebih dari), maupun
simbol (lebih dari sama dengan).
Sistem pertidaksamaan linear adalah gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear
Model matematika adalah sebuah cara untuk merubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika dalam bentuk persamaan, pertidaksamaan, dan juga fungsi.
DAFTAR PUSTAKA
https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_persamaan_linear
https://kumparan.com/berita-update/sistem-persamaan-linear-tiga- variabel-spltv-dan-bentuk- umumnya-1upkxtOcTBw
https://mafia.mafiaol.com/2020/10/contoh-soal-cerita-persamaan-linear- tiga-variabel-dan- penyelesaiannya.html
https://rumuspintar.com/persamaan-linear/contoh-soal-spltv/
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/06/kumpulan-contoh- soal-dan-jawaban-spltv.html
https://rumuspintar.com/pertidaksamaan-linear/
33
