Pemodelan Sistem Kendali

Unit 1 Pemodelan

Sistem kendali

Prodi Pendidikan Teknik Mekatronika Jurusan Pendidikan Teknik Elektro

Fakultas Teknik- Universitas Negeri Yogyakarta

Pendahuluan

❑ Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model fisisnya.

❑ Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tersebut secara memadai.

❑ Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis system ybs :

• Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum Newton.

• Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum Kirchoff, Ohm.

❑ Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai.

Pendahuluan

❑Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam

❑analisis yang teliti.

❑Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi hasil analisis.

❑Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktorfaktor penting saja dalam pemodelan.

❑Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial) akan menghilangkan sifat- sifat nonlinear tertentu dan parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada sistem.

❑Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak dapat digunakan pada frekuensi tinggi.

❑Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi system mekanis dengan sistem elektrik).

Bentuk Representasi Model

Dua pendekatan analisis :

- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)

- State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)

Klasifikasi Sistem

Linear VS Nonlinear

- Time-invariant vs time-varying - Continuous-time vs discrete-time - Deterministic vs stochastic

- Transfer function vs state space

1. Linear VS Non Linear

• Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat tertentu.

• Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat dianggap linear (piece-wise linearisation)

• Sistem linear : berlaku hukum superposisi→ respons

suatu sistem terhadap beberapa input berbeda

merupakan kombinasi respons masing-masing input.

• Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.

2. Time-invariant vs Time-varying

❑ Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung waktu.

❑ Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.

➢ Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang berubah terhadap waktu.

➢ Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.

• Contoh Sistem Kendali Time-varying:

Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurang akibat konsumsi bahan bakar.

3. Continuous-time vs Discrete-time

❑ Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal yang kontinyu terhadap waktu.

❑ Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /sinyal yang diskrit terhadap waktu

4. Deterministic vs Stochastic

• Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input yang dapat ditebak dan berulang / konsisten.

• Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak selalu menghasilkan output yang sama.

5. Transfer Function VS State Space

❑ Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear, kontinyu, time-invariant, lumped-

parameters, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih) yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).

❑ Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi (ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal, robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifat domain waktu.

Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)

• Hukum Fisis → Menggunakan Hukum Kirchof

• Persamaan differensial diturunkan dari hukum kircoff

e

_i

= 𝐿

^{𝑑𝑖(𝑡)}

𝑑𝑡

+ 𝑅𝑖(𝑡) +

¹

𝐶

׬ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 𝑒

_𝑜

=

¹

𝐶

׬ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)

Persamaan differensial : e_i = 𝐿 ^{𝑑𝑖(𝑡)}

𝑑𝑡 + 𝑅𝑖(𝑡) + ¹

𝐶 ׬ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 𝑒_𝑜 = ¹

𝐶 ׬ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

Dalam Bentuk Laplace (asumsikan kondisi awal=0) 𝐸_𝑖 𝑠 = 𝑠𝐿𝐼 𝑠 + 𝑅𝐼 𝑠 + ¹

𝐶𝑠 𝐼 𝑠 s𝐸_𝑖 𝑠 = 𝑠²𝐿𝐼 𝑠 + 𝑠𝑅𝐼 𝑠 + ¹

𝐶 𝐼 𝑠 𝐸_𝑜 𝑠 = ¹

𝐶𝑠 𝐼 𝑠 → 𝑠𝐸_𝑜 𝑠 = ¹

𝐶 𝐼 𝑠

Note :

Transformasi laplace

𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡 → 𝑠𝐼 𝑠 + i(0)

׬ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 → ¹

𝑠 𝐼(𝑠)

Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)

𝑠𝐸_𝑜 𝑠 = ¹

𝐶 𝐼 𝑠

s𝐸_𝑖 𝑠 = 𝑠²𝐿𝐼 𝑠 + 𝑠𝑅𝐼 𝑠 + ¹

𝐶 𝐼 𝑠

Fungsi Alih / Tranfer Function:

𝐸

_𝑜

𝑠

𝐸

_𝑖

𝑠 =

1

𝐶 𝐼(𝑠)

𝑠

²

𝐿𝐼 𝑠 + 𝑠𝑅𝐼 𝑠 + 1

𝐶 𝐼 𝑠

=

1

𝐶 𝐼(𝑠) 𝑠

²

𝐿 + 𝑠𝑅 + 1

𝐶 𝐼(𝑠)

= 1

𝐿𝐶𝑠

²

+ 𝑅𝐶𝑠 + 1

Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(2)

𝑒

₀

= − 𝑅

₂

𝑅

₁

𝑒

₁

𝑖

₁

= 𝑖

₂

Model Matematis untuk Sistem Mekanis (Translasi)

k : konstanta pegas b : konstanta redaman m: massa benda

u : gaya external (sebagai input sistem) x : posisi benda (sebagai output)

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡 =v= kecepatan benda

𝑑²𝑥 𝑡

𝑑𝑡² = 𝑎 = percepatan benda

෍ 𝑓 = 𝑚 𝑎

Total gaya pada suatu benda sebanding dengan percepatan dan massa benda tersebut

Gaya external u(t)

Model Matematis untuk Sistem Mekanis (Translasi)

෍ 𝑓 = 𝑚 𝑎

−𝑏 𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡 − 𝑘 𝑥 𝑡 + 𝑢 = 𝑚 𝑎 𝑢 = 𝑚 𝑑²𝑥 𝑡

𝑑𝑡² + 𝑏 𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡 + 𝑘 𝑥 𝑡 Lakukan transformasi laplace, diperoleh : u(s) = 𝑚𝑠²𝑋(𝑠) + 𝑏𝑠𝑋(𝑠) + 𝑘𝑋 𝑠

Transfer function :

u s = (𝑚𝑠² + 𝑏𝑠 + 𝑘) 𝑋 𝑠 X s

𝑈(𝑠) = 1

𝑚𝑠² + 𝑏𝑠 + 𝑘 Gaya external

u(t)

1

𝑚𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 X (𝑠) U(𝑠)

Input System Output

Diagram Block

Sinyal input

Impulse response

𝑋 𝑠 = 1

𝑚𝑠² + 𝑏𝑠 + 𝑘 𝑢(𝑠)

u

Contoh :

input berupa gaya impulse dan m=1; b=2; k=1;

𝑋(𝑠)

𝑈(𝑠) = 1

𝑚𝑠² + 𝑏𝑠 + 𝑘 = 1

𝑠² + 2𝑠 + 1 = 1

𝑠 + 1 (𝑠 + 1 )

Impulse Response

𝑋 𝑠 = 1

𝑚𝑠² + 𝑏𝑠 + 𝑘 𝑈(𝑠) f

Input berupa gaya impulse

Artinya, gaya u diberikan ke benda hanya sesekali kemudian dilepas. Benda tidak didorong terus

menerus. Analogi : sistem suspensi kendaraan

Respon sistem ketika diberi gaya impulse u

Step Response

𝑋 𝑠 = 1

𝑚𝑠² + 𝑏𝑠 + 𝑘 𝑈(𝑠) f

Input berupa gaya berbentuk fungsi step

Artinya, gaya u diberikan ke benda secara terus menerus dengan nilai constant.

Respon sistem ketika diberi gaya step u

Block diagram

Reduksi Block diagram

G1(s) X (𝑠)

U(𝑠)

Input System 1 Output

G2(s)

System 2

X (𝑠)

U(𝑠) G(s)

System

Reduksi Block diagram

Kp X (𝑠)

R(𝑠)

Input / reference Kendali Output

G(s)

System

U(𝑠)

^System

X(𝑠)

H(s)

Feedback

Model Matematis untuk Sistem Mekanis (Rotasi)

T : Torsi (Nm)→ sebagai input

J : Moment Inersia atau kelembaman (𝑘𝑔 𝑚²)

𝛼 = ^d2𝜃

𝑑𝑡² = percepatan sudut (𝑟𝑎𝑑/𝑠²) 𝜔 = ^d𝜃

𝑑𝑡 = kecepatan sudut (𝑟𝑎𝑑/𝑠) 𝜃 : simpangan sudut (rad)

B= koefisien gesekan viskos

෍ 𝑇 = 𝐽𝛼 Total torsi pada suatu benda yang berputar

sebanding denganpercepatan sudut dan moment inersia benda tersebut

Model Matematis untuk Sistem Mekanis (Rotasi)

෍ 𝑇(𝑡) = 𝐽𝛼(𝑡) 𝑇(𝑡) − 𝐵 𝑑𝜃(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝐽 𝑑²𝜃(𝑡) 𝑑𝑡²

𝑇(𝑡) = 𝐽

^{𝑑2𝜃(𝑡)}

𝑑𝑡²

+ 𝐵

^{𝑑𝜃(𝑡)}

𝑑𝑡

𝑇 𝑠 = 𝐽𝑠

²

𝜃(𝑠) + 𝐵𝑠𝜃(𝑠)

Lakukan Transformasi Laplace

𝜃 𝑠

𝑇(𝑠) = 1

𝐽𝑠² + 𝐵𝑠 = 1

𝑠(𝐽𝑠 + 𝐵)

Terima kasih