Pencuplikan Sinyal Waktu Kontinyu dan Rekonstruksi

Pencuplikan Sinyal Waktu Kontinyu dan Rekonstruksi

5

5.1 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit 5.1.1 Sampling

5.1.1.1 Sampling Priodik

5.1.1.2 Representasi domain frekuensi proses sampling 5.1.1.3 Frequency Ambiguity

5.1.2 Rekonstruksi

5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit 5.2 Pengolahan Sinyal Dijital

5.2.1 Konversi Analog ke Digital (A/D Converter) 5.2.1.1 Anti aliasing Filter

5.2.1.2 Rangkaian Sampling and Hold (S/H) 5.2.1.3 Kuantisasi dan Coding

5.2.2 Konversi Digital ke Analog (D/A Converter) 5.2.2.1 Interpolasi Zero-order-hold (ZOH)

5.2.2.2 Interpolasi First-order-hold (FOH) 5.2.2.3 Interpolasi Cubic Spline

5.1 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit (Discrete Time Signal Processing)

Discrete time system

x(n) h(n) y(n)

x(n)

12 3 4 5 6 7 8 n

y(n)

12 3 4 5 6 7 8 n

Contoh : Pemfilteran

Filter LTI

x(n) h(n) y(n)

x(n)

12 3 4 5 6 7 8 n

y(n)

12 3 4 5 6 7 8 n

Filter LTI H

⁽

e

^j

)

X(e

^j

) X(e

^j

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

DTFT j

DTFT j

DTFT j

x n X e

h n H e

y n Y e













Filter design

 

 

Deretan sinyal diperoleh dari pencuplikan secara periodik sinyal kontinyu ( ).

( ) -

dimana adalah perioda sampling dan 1/ adalah frekue

c c

s

x n x t

x n x nT n

T f T

    



 

^s

nsi sampling (sampel per detik).

Frekuensi sampling dapat juga dinyatakan dengan 2 / (radians per detik).

Sistem yang merepresentasikan persamaan ( ) disebut ideal continuous-to-discrete-time

c

T x n x nT



 



(C/D) converter diilustrasikan pada gambar berikut

C/D

x_c(t)

T

x(n)=x_c(nT)

Dalam prakteknya operasi sampling diimplementasikan dengan A/D converter yang dapat dianggap sebagai aproksimasi ideal C/D konverter.

5.1.1 Sampling

5.1.1.1 Sampling Periodik

Secara matematis proses sampling direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Modulasi oleh impulse train modulator

2. Konversi impulse train ke deretan (sinyal waktu diskrit)

T

Konversi impulse train ke deretan x_c(t)

x_s(t) s(t)

x(n)=x_c(nT)

x_c(t) x_s(t) x(n)

t t n

s(t)

t

T 12 3 4 5 6 7 8

T=Perioda pencuplikan f_s= 1/T= frekuensi pencuplikan

 

 

Secara matematis proses sampling direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Modulasi oleh impulse train modulator

( ) -

( ) ( ). ( ) = ( ). - = ( ).

n

s c

c n

c

s t t nT

x t x t s t

x t t nT

x nT t





















  

 

 

s

- Transformasi Fourier dari ( )

( ) 2 -

2 / (radians per detik).

Transformasi Fourier dari ( )

1 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) -

2 2

n

s k

s

s c c s c

k

nT s t

S j k

T T

x t

X j X j S j X j k X j

T T













   

 

          







 



 

    ^-  

2. Konversi impulse train ke deretan (sinyal waktu diskrit) Transformasi Fourier Waktu Kontinyu dari ( )

( ) ( ) Karena

s k

s j Tn

s c

n

k

x t

X j x nT e





  



 

 





 

 

 

( )

dan ( ) = ( ) maka ( ) ( ) ( )

1 1 2

( ) - ( )

c

j j n

n

j j T

s T

j T

c s c

x n x nT

X e x n e

X j X e X e

X e X j k X j k

T T T T

 







 





  

 

        



 

 





 

Edisi Semester 2 17/18 EYH 7

5.1.1.2 Representasi domain frekuensi proses sampling

 

 

Secara matematis proses sampling direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Modulasi oleh impulse train modulator

( ) -

( ) ( ). ( ) = ( ). - = ( ).

n

s c

c

n

c

s t t nT

x t x t s t

x t t nT

x nT t





















  

 

 

s

-

Transformasi Fourier dari ( )

( ) 2 -

2 / (radians per detik).

Transformasi Fourier dari ( )

1 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) -

2 2

n

s k

s

s c c s c

k

nT s t

S j k

T T

x t

X j X j S j X j k X j

T T













   

 

          







 



 

    ^-  

2. Konversi impulse train ke deretan (sinyal waktu diskrit) Transformasi Fourier Waktu Kontinyu dari ( )

( ) ( ) Karena

s k

s j Tn

s c

n

k

x t

X j x nT e





  



 

 





 

 

 

( )

dan ( ) = ( ) maka ( ) ( ) ( )

1 1 2

( ) - ( )

c

j j n

n

j j T

s T

j T

c s c

k k

x n x nT

X e x n e

X j X e X e

X e X j k X j k

T T T T

 







 



 



  

 

        



 

 





 

5.1.1.2 Representasi domain frekuensi proses sampling

T

X

_c

(j)

Konversi deretan impuls ke deretan

waktu diskrit x_c(t)

x_s(t)

s(t)

X

_s

(j) X(e

^j

)

x[n]=x_c(nT)

x_c(t) x_s(t) x(n)

t t n

s(t)

t

T 12 3 4 5 6 7 8

   

( ) ( ) ( ) ( )

( ) - 2 -

( ) ( )

( ) ( ). ( )

( ) 1 ( ) ( 2

c c

s

n k

s s

s c

s c

x t X j

s t S j

s t t nT k

T

x t X j

x t x t s t

X j X j S

 

 

 

 

   

 



   



^{ }



^



   

 

 

1 2 1

) ( ) - -

2 ( ) ( )

1 1 2

( ) ( ) ( ) - ( )

c s c s

k k

j

j j T

s T c s c

k k

j X j k X j kj

T T

x n X e

X j X e X e X j k X j k

T T T T

 

 

 



  

        



 

         

 

 

 







 



 

T=Perioda pencuplikan

f_s= 1/T= frekuensi pencuplikan

0 10 20 30 40 50

0 10 20 30 40 50

x_c(t) = cos  t x[n] = cos  n

x_c(t) = cos 2F t x[n] = cos 2f n

x_c(t) = cos 2.1000 t x[n] = x_c(nT_s) = cos 2000(n.1/6000)

= cos 2000t x[n] = cos 2000/6000n = cos 1/3 n

X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )

Fs=6000 Hz t

x_c(t)

x[n]

n F=1kHz

- 4000 -2000 0 2000 4000 12000  (rad/s)

X

_c

(j



)



-1/3 1/3  5 / 3  2 7 /3 

(rad)

X(e

^j

)



 

 



 

 

^





T ) k 2 ( T

j T X

) 1 e

( X

s k s

c s

j_

 

T_s=1/6000 s

X

_c

(j



)

Konversi deretan impuls ke deretan

waktu diskrit x_c(t)

x_s(t)

s(t)

X

_s

(j



) X(e

^j

)

X[n]=x_c(nT)

Sinyal x_c(t)=cos (2000t) dicuplik dengan

(a) sampling rate 2500 Hz _s=5000rad/s ,

sehingga diperoleh sinyal hasil cuplikan :x[n]=x_c(nT) = cos (2000nT)

= cos( 2000/2500n)

=cos[0.8n]

(b) sampling rate 1500 Hz, s=3000rad/s ,

sehingga diperoleh sinyal hasil cuplikan :x[n]=x_c(nT) = cos (2000nT)

= cos( 2000/1500 n)

= cos[ (4/3n) ]

= cos[ (2- 2/3) n] aliasing

=cos[2/3n]

5.1.1.3 Frequency ambiguity

1 kHz

7 kHz

0 10 20 30 40 50

- 4000 -2000 0 2000 4000 

(rad/s)

- 5000 -2000 0 2000 5000 10000 

(rad/s)

X_c(j



)

S(j



)

-5000 -3 000-2000 2000 3000 5000 7000 8000 10000 12000 

(rad/s)



2/T T=1/2500 s

X_s(j



)

/T

- 2 - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2 .8 3.2 4 4 .8  

(rad)

X(e^j)



x_c(t)=cos (2000t)

x [n]=cos(0.8 n)

sampling rate 2500 Hz s=5000rad/s ,

 ^{- k} 

T 2

k



^ s









 

X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )

   

( ) 2000 - 2000 -

s s s

k

X j k k

T



^

   



         

   

( )

^j

0.8 - 2 0.8 - 2

k

X e

^



^

   k     k 



    

- 3000 0 3000 6000 9000 

(rad/s)

S(j



)

X_s(j



)

X(e^j)

-3 000 -2000 -1000 0 1000 20003000 4000 5000 6000 9000 12000 

(rad/s)

-2 -1.33 -0.66 0 0.661.33 2 2.66 3.33 4 6 8 

(rad/s)

2/T

- 4000 -2000 0 2000 4000 

(rad/s)

X_c(j



)



/T



T=1/1500 s x_c(t)=cos (2000t)

sampling rate 1500 Hz s=3000 rad/s ,

aliasing

 ^{- k} 

T 2

k



^ s









 

   

( ) 2000 - 2000 -

s s s

k

X j k k

T



^

   



         

X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )



⁴3

 

⁴3



( )

^j

- 2 - 2

k

X e

^



^

   k     k 



    

5.1.2 Rekonstruksi

Konversi sinyal waktu diskrit ke

impulse train

x(n) x_s(t)

T

x_r(t)

x_s(t) x_r(t)

t t

x(n)

12 3 4 5 6 7 8 n

Filter Rekonstruksi

Ideal h_r(t)

Secara matematis proses rekonstruksi ideal ((konverter diskrit ke kontinyu ideal).

direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Konversi deretan (sinyal waktu diskrit) ke impulse train

2.Pemfilteran dengan filter rekonstruksi ideal berupa filter lowpass

   

Secara matematis proses rekonstruksi direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Konversi deretan (sinyal waktu diskrit) ke impulse train

( ) -

2.Pemfilteran dengan filter rekonstruksi ideal

s

n

x t

^

x n  t nT



 

berupa filter lowpass Filter rekonstruksi adalah filter lowpass ideal :

,

( )

0 ,

2 Respon

c r

c

s c

H j T

T



   

       

   

       

   

 

sin / impuls filter lowpass ideal : ( )

/

( ) ( ) ( ) ( ) - -

sin /

( )

/

r

r r s r r

n n

r

n

h t t T

t T

x t h t x t h t x n t nT x n h t nT t nT T

x t x n

t nT T











 

 







    



 

 

 

 



X(ej)

Konversi sinyal waktu diskrit ke

impulse train

x(n) x_s(t)

T

X

_s

(j



)

^Xr(j)

x_r(t)

x_s(t) x_r(t)

t t

x(n)

12 3 4 5 6 7 8 n

T = Perioda pencuplikan

Filter Rekonstruksi

Ideal h_r(t) h_r(t)H_r(j)

T



r

Filter Rekonstruksi adalah filter lowpass ideal : ,

( )

0 , 2

sin / Respon impuls filter lowpass ideal : h (t)

/

c r

c s

c

H j T

T

t T t T







   

     

   



T

 

H_r(j) T

h_r(t)

Teorema Pencuplikan Nyquist

Bila x

_c

(t) adalah sinyal dengan lebar bidang frekuensi terbatas : X

_c

(j)=0, > 

_N

Maka x

_c

(t) secara unik dinyatakan oleh cuplikannya x[n]=x

_c

(nT), bila

_S

=2/T>2 

_N,

dimana

_N

adalah frekuensi Nyquist, dan 2

_N

adalah rate Nyquist.

- 4000 -2000 0 2000 4000 

(rad/s)

- 5000 -2000 0 2000 5000 10000 

(rad/s)

X_c(j



)

S(j



)

-5000 -3 000-2000 2000 3000 5000 7000 8000 10000 12000 

(rad/s)



2/T T=1/2500 s

X_s(j



)

/T

- 2 - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2 .8 3.2 4 4 .8  

(rad)

X(e^j)



x_c(t)=cos (2000t)

x [n]=cos(0.8 n)

sampling rate 2500 Hz s=5000rad/s ,

 ^{- k} 

T 2

k



^ s









 

X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )

   

( ) 2000 - 2000 -

s s s

k

X j k k

T



^

   



         

   

( )

^j

0.8 - 2 0.8 - 2

k

X e

^



^

   k     k 



    

- 5000 -3000 -2000 0 2000 3000 5000 10000 

(rad/s)

-5000 -2500 0 2500 5000 10000 

(rad/s)

X_s(j



) X(e^j)

- - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2.4 3.2 4 4.8 

(rad)

H_r(j)

- 4000 -2000 0 2000 4000 

(rad/s)

X_r(j



)

,

- 3000 0 3000 6000 9000 

(rad/s)

S(j



)

X_s(j



)

X(e^j)

-3 000 -2000 -1000 0 1000 20003000 4000 5000 6000 9000 12000 

(rad/s)

-2 -1.33 -0.66 0 0.661.33 2 2.66 3.33 4 6 8 

(rad/s)

2/T

- 4000 -2000 0 2000 4000 

(rad/s)

X_c(j



)



/T



T=1/1500 s

x[n] = cos [2/3n]

x_c(t)=cos (2000t)

sampling rate 1500 Hz s=3000 rad/s ,

aliasing

 ^{- k} 

T 2

k



^ s









 

   

( ) 2000 - 2000 -

s s s

k

X j k k

T



^

   



         

X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )



⁴3

 

⁴3



( )

^j

- 2 - 2

k

X e

^



^

   k     k 



    

-3 000 -2000 -1000 0 1000 20003000 4000 5000 6000 9000 12000 

(rad/s)

- -1.33 -0.66 0 0.66 1.33 2  1.33 1.66 4 6 8 

(rad/s)

X(e^j)

X_s(j



)

Hr(j)

-3000 -1000 0 1000 3000 

(rad/s)

X_r(j



) Hr(j)

-3 000 -1500 0 1500 3 000 6000 9000 12000 

(rad/s)

5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

Konversi deretan impuls ke

diskrit

Sistem diskrit

H(e^j)

Konversi diskrit ke

deretan impuls

Filter Rekonstruksi

Ideal H_r(j)

x_c(t) x_s(t) x[n]

X(e^j)

y[n]

Y(e^j)

y_s(t)

Y_s(j)

y_r(t)

Y_r(j) T

5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

 

 

 

1 2

Sinyal masukan sistem waktu diskrit [ ] ( ) ( ) ( )

Sinyal keluaran sistem waktu diskrit [ ]

sin /

Setelah rekonstruksi: ( ) [ ]

/

Spektr

j

c c

k

r

n

x n x nT X e X j k

T T T

y n x n

t nT T

y t y n

t nT T

  















 

     

 

  



 

 

 





 

^.

 

um sinyal ( ) ( ) ( ).

0 Bila sistem waktu diskrit adalah sistem linier dan tidak berubah terhadap

j T j T

r r r

T Y e y t Y j H j Y e T

T









  

     

  



waktu, maka ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

Bila ( ) mempunyai spektral t

j j j j T j T

r r

j T

r r c

k

c

Y e H e X e Y j H j H e X e

Y j H j H e X j k

T T T

x t

  

 

 

 



   

 

  



  

 

erbatas maka (j ) 0, dan ( ) adalah filter low pass ideal, maka

( ).

( )

0

c

r

j T c r

X T

H j

H e X j

Y j T

T









   



   

  

  



 

aliasing terjadi

tidak agar

tinggi cukup

n pencuplika frekuensi

•

terbatas ya

frekuensin pita

lebar masukan sinyal

•

waktu.

terhadap berubah

tidak dan linier diskrit

waktu sistem

•

: bila waktu terhadap

berubah tidak

dan linier adalah dijital

secara sinyal

pengolahan Sistem

: Catatan

T )

e ( H ) (j H : ana dim

T j

X ).

(j H ) (j Y maka rate,

Nyquist n

pencuplika frekuensi

Bila

T j eff

c eff

r

 



 







 









A/D Converter

5.2 Pengolahan Sinyal Digital (Digital Signal Processing)

Digital Processor

x(n) y(n)

D/A Coverter

Prefilter A/D

Coverter

Postfilter

x(t) y(t)

Sampling &

Hold

Quantizer Encoder

Edisi Semester 2 17/18 EYH 28

5.2.1 Konversi Analog ke Digital (A/D Converter) 5.2.1 .1 Anti aliasing filter

5.2.1.2 Sample and Hold Circuit

Courtesy from Discrete time signal processing , Alan V.Oppenheim

X_s(t)

X

_a

(t)

s(t)

Zero order Hold h_a(t)

Courtesy from Digital Signal Processing, John G.Proakis and Dimitris G Manolakis

5.2.1.3 Quantization and Coding

Quantization : proses nonlinear dan non invertible yang memetakan amplituda x(n)=x(nT) pada waktu t=nT ke amplituda yang diambil dari satu set nilai yang berhingga,

xk

xk

Courtesy from Discrete time signal processing , Alan V.Oppenheim

Analisis Error kuantisasi

• Signal to quantization noise (power) ratio (SQNR), dalam skala dB :

dB 76 . 1 02 . 6

: signal modulating

sinusoidal scale

full PCM sistem

untuk Misal

input sinyal

variansi

converter A/D

dari range R

kuantisasi bit

jumlah

log 20 81 . 16 02

. 6

















b SQNR

b

b R SQNR

x

x





5.2.2 Konversi Digital to Analog

Courtesy from Discrete time signal processing , Alan V.Oppenheim

Practical D/A Converter

5.2.2.1. Zero order hold interpolation Zero order hold interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter interpolasi,

    ^{t  x n , n T}

_s

^{ n }  ^{n  1}  ^T

_s

x

_a

 

lainnya

,

0

T 0

,

1

_s

 

  

 t

t

h

5.2.2.2. First order hold interpolation First order hold interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter interpolasi,

5.2.2.3 Cubic spline interpolation Cubic spline interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter dengan fungsi cubic spline sebagai berikut;

 

lainnya

0,

2

,

1

0

, 1



























 _{s s}

s

s s

T t T T

t

T T t

t

t h

         

 

_s



_s

 

_s

s s

a

T n

n nT

nT t

n

nT t

n nT

t n n

t x

1

,

₃ ³

2 2

1 0



























