Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit

Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit

ET 3005 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit EL 5155 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

Effrina Yanti Hamid

Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit 2

2.1 Sinyal Waktu Diskrit

2.1.1 Pengertian Sinyal Waktu Diskrit

Deretan berindeks dari bilangan kompleks atau real.

Sinyal waktu diskrit adalah fungsi dari variabel bebas yang merupakan bilangan bulat, dinyatakan oleh x(n).

Sinyal analog : x_a(t)

Sinyal diskrit : x(n), n bilangan bulat

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n

x(n)

x

_a

(t)

t

Sinyal analog : x

_a

(t)

Sinyal diskrit : x(n),

2.1.2 Sinyal Waktu Diskrit Bernilai Kompleks

Sinyal waktu diskrit bernilai kompleks

z(n) = a(n) + jb(n) = Re{z(n)}+jIm{z(n)

Dalam bentuk polar

z(n) = |z(n)| exp ( j arg{z(n)})

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

1. Impuls satuan/ unit sample sequence

 

 







 









 

0 0

0 0

1

0 0

0 1

n , n

n , n

n n

, n , n n





-3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

(n)

 





 

0 0

0 1

, n , n n

u

2. Unit step sequence

u(n)

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

3. Deretan Eksponensial

 





 

0 0

0 n ,

n , n a

x

n x(n)=1.2ⁿ

 

( )

= cos sin

j

n j n n

a re

x n r e

r n j n





 





 Bila a kompleks

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

Contoh :

 

     

 

^{n n}

x

n x n

x n

x

n j

n e

n x

re a

θ .

r

n R

I R

n

n n j

j

cos10 9

. 0

sin10 cos10

9 . 0

9 . 0 9 10 0

10

























 



 











dan

 

^{n n}

x ⁿ

cos10 9

.

0 



 

^{n n}

x ⁿ

sin10 9

.

0 



2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

3. Deretan Eksponensial

 

 

 

 

^{n n}

x

r n

x

e r n

x

re a

a n

x

n n j n j

n



















Contoh

 

 

^{n .}

x

θ .

r e

n x

n

n n j

9 0

9 10 0 9

.

0 ¹⁰



 









 dan

  n .

ⁿ

x  0 9

 n n x 10

 



Sinyal disebut periodik bila x(n)=x(n+N) untuk harga N bilangan bulat positif dan untuk seluruh n.

Bila sinyal periodik dengan perioda N maka sinyal tersebut juga periodik dengan perioda 2 N, 3N dan seluruh harga kelipatan bilangan bulat dari N.

Perioda fundamental N, yaitu bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi persamaan x(n)=x(n+N).

Bila tidak ada satupun bilangan bulat N yang memenuhi

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

4. Sinyal periodik dan aperiodik

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

4. Sinyal simetris dan antisimetris

Sinyal waktu diskrit berharga real :

simetris genap jika x(n) = x(-n) untuk seluruh harga n simetris ganjil jika x(n) = -x(-n) untuk seluruh harga n

Sinyal waktu diskrit berharga kompleks (sinyal kompleks) : simetris konjugate jika x(n) = x*(-n) untuk seluruh harga n antisimetri konjugate jika x(n) = -x*(-n) untuk seluruh harga n

     

 

 

 

  disebut maka

berhingga Bila

selang dalam

deretan Enerji

maka riil

Bila

deretan suatu

Enerji

n x )

E (

E

n x E

N, n

-N n

x E

n x

n x n

x n x E

N

N n n

n n



















































0

.

2 2

2

2.1.4 Sinyal enerji dan sinyal daya

 

 

) signal power

( daya sinyal

disebut maka

0) (

berhingga Bila

hingga.

tak atau berhingga

n kemungkina maka

(infinite) hingga

tak Bila

maka

(finite) berhingga

Bila

diskrit

sinyal

rata -

rata

Daya

n x P

P

E

P E

n N x

P

N

N N n





  



 



. 0 1

2

lim 1

²

2.1.4 Sinyal enerji dan sinyal daya

 

N N

n N u

P

N N N

N

N

N N n

2 1 2

lim 1

1 2

lim 1

1 2

lim 1

1 1

2

daya.

sinyal adalah

sequence step

Unit

 

 



 

 











 





2.1.4 Sinyal enerji dan sinyal daya

Contoh

Tentukan apakah unit step sequence u(n) adalah sinyal daya

atau sinyal enerji

x₁ (n) y(n) = x₁(n) + x₂(n)

x₂ (n)

s (n) y(n) = s(n).w(n)

w(n)

x(n) A y(n) = A.x(n)

Z^-1

x(n) y(n) = x(n-1)

1. Penjumlahan

2. Perkalian

3. Penyekalaan

4. Pergeseran (shifting) :

2.1.5 Operasi Dasar pada Sinyal Waktu Diskrit

M

x(n) y(n) = x(Mn)

L

x(n) y(n) = x(n/L)

5

. Down sampling

6. Up sampling

7. Folding (pembalikan)

2.1.5 Operasi Dasar pada Sinyal Waktu Diskrit

y(n) = x(-n)

ainnya

0,

,...

3 , 2 , 0, n ] ,

[ 



    







l

L L L L

x n n

y

Sinyal dapat didekomposisi dari deretan impuls satuan  (n) yang diberi bobot dan digeser.

x(n)=…+x(-1)  (n+1)+x(0)  (n)+ x(1)  (n-1)+ x(2)  (n-2)+…

  

^

   









k

k n

k x n

x 

2.1.5 Dekomposisi Sinyal

Sistem Waktu Diskrit adalah operator matematis atau pemetaan yang mentransformasi sinyal ke sinyal lainnya.

Secara umum notasi yang digunakan : T(.)

T(.)

x(n) y(n)=T(x(n))

2.2 Sistem Waktu Diskrit

2.1.1 Pengertian

Sistem Tanpa Memori

Keluaran pada waktu

n=n₀

hanya bergantung pada input pada waktu n = n

₀

.

Additif

T(x₁(n)+x₂(n))=T(x₁(n))+T(x₂(n)) Homogen:

T( c x(n))=c T(x(n))

Sistem Linier : sistem yang mempunyai sifat additif dan homogen T(ax₁(n)+bx₂(n))=aT(x₁(n))+bT(x₂(n))

2.2.2 Sifat Sistem Waktu Diskrit

Sistem Tidak Berubah Terhadap Waktu (time invariant system) Bila respon sistem terhadap masukan x(n) adalah y(n) maka

respon terhadap masukan x(n-n₀) adalah y(n-n₀).

            ^{     }

 

       

 

 

^{n x}

  

^{k T}



^{n k}

 

^x

  

^{k h n k}

    

^{x n h n}

y

k n

h(n-k) k

n T

k x n

y

k x

k n k

x T k

n k

x T

n x T n

y

k k

k

k k















































































maka masukan

terhadap sistem

respon

adalah bila

waktu terhadap

berubah tidak

yang sistem

Untuk

: homogen sifat

dari konstan,

koefisien Karena

:

aditif sifat

Dari

Causal

Respon sistem pada waktu n=n₀bergantung pada masukan nn_0.

y(n) hanya bergantung pada x(n), x(n-1),x(n-2), …, tetapi tidak bergantung pada x(n+1),x(n+2),….

Secara matematis keluaran sistem kausal memenuhi persamaan dalam bentuk sbb:

y(n)=F(x(n),x(n-1),x(n-2),…)

contoh:

( [2 ]

l x n



ⁿ -

Tentukan apakah sistem dengan persamaan berikut causal atau tidak kausal (a) y[n]= x[n]-x[n-1] b) y[n]= x[k]

(c) y[n]=

2] (d) y[n]=x[-n]

(e) y[n]=x[n-1]+x[n]+x[n+1] (f) y[n]=x[n

Causal Sistem LTI

0 0

1

0 0 0

0

0 0

0 0

[ ] [ ]

[ [ 1] 1 [ 2] 2 ...]

[ [0] [1] 1] ...

k

k k

y n h k x n k

y n h k x n k h k x n k

= h x n h x n

h x n h x n





 

 

      

            

       

       



 

Keluaran sistem LTI pada n=n0

Sistem k ₀

0 0

0 0

ausal jika keluaran pada waktu n=n hanya bergantung pada masukan x[n ], x[n -1],... tidak bergantung pada masukan

x[n +1],x[n +2],..., sehingga respon impuls sistem LTI harus memenuhi kondisi h n[ ] 0 n < 0

Stabil

Sistem dengan masukan terbatas maka keluaran terbatas.

Bila x(n) terbatas, maka akan ada konstanta M_x sedemikian sehingga

Bila x(n) terbatas, maka akan ada konstanta M_y sedemikian sehingga

[ ] _x

x n  M  

[ ] _y

y n  M  

Stabil

Sistem LTI

[ ] [ ] [ ]

[ ]

k

k

k

k

y n h k x n k

y n h k x n k

y n h k x n k

y n h k

















       

       

       



   









x x

x

Keluaran sistem LTI

Bila input terbatas maka akan ada suatu bilangan terbatas M sehingga x[n] M sehingga

M

Ke y n[ ]





luaran akan terbatas jika respon impuls LTI memenuhi kondisi

2.2.3 Konvolusi

Hubungan antara masukan dan keluaran pada sistem LTI dinyatakan oleh penjumlahan konvolusi.

Sifat-sifat Konvolusi

a. x(n)  y(n) =y(n)  x(n)

b. x(n) (y(n) z(n))=(x(n) y(n)) z(n) c. x(n) (y(n)+z(n))=x (n)y(n) + x(n) z(n) d. x(n)  (n) = (n)  x(n) = x(n)

e. x(n)  (n-n₀) = x(n-n₀)

   



^











n

k n h k x n

h n

x( ) ( )

0 0

0 0

0

0 0

0

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] 1 0

[ ] 1

:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[

k

k

x n n n x k n n k

k k

n n k k n n

k n n

x n n n x k n n k

x n n

 





 









    

 

    

 

    

 





Bukti (e) :

Ingat untuk

maka untuk

sehingga untuk

0

] [0]

[ ]

x n n



 

   



^











n

k n h k x n

h n

x ( ) ( )

Panjang deretan hasil konvolusi 2 deretan yang terbatas panjangnya

Perhitungan Langsung Contoh :

   

   

             

   

   

 

  ^u   ⁿ

a n a

a 1

a a 1

n y 0

n

0 k

n .u k u k

0, n

k n k

n u 0

k k

u

k n u k u a k

n h k x n

h n

x n

y

n u n

h

0 n

0 n n a

u a n

x

n n

0 k

1 n k

k

k k

n n

1 . y 1

Bila Bila

. untuk

0 dan

untuk 0

Karena

0

1



 



 









































 





 



























Perhitungan konvolusi dengan metoda grafis Gambar x(k) dan h(k) sebagai fungsi dari k.

Reverse satu dereta : h(k) menjadi h(-k) Geser h(-k) sebesar n menjadi h(n-k)

Perkalikan x(k) dan h(n-k) dan jumlahkan seluruh hasil perkalian untuk seluruh harga k.

Perhitungan dilakukan untuk seluruh kemungkinan harga pergeseran n.

Contoh :

2.2.4 Sistem dengan Respon Impuls Terbatas dan Tidak Terbatas

Sistem LTI dapat dibagi menjadi :

• FIR (finite-duration impulse response)

• IIR (infinite-duration impulse response) Sistem FIR kausal :

h(n) = 0 n < 0 dan n ≥ M Konvolusi pada sistem FIR kausal :

Sistem IIR kausal :

h(n) = 0 n < 0 Konvolusi pada sistem IIR kausal :



   



^









¹

0

) ( )

(

M

k

k n h k x n

h n

x

2.2.5. Sistem Waktu Diskrit Rekursif dan Non Rekursif

F(x(n),x(n-1),

…x(n-M))

x(n) y(n)

F(x(n),x(n-1),

…x(n-M))

x(n) y(n)

z^-1

Sistem non-rekursif

Sistem rekursif

Contoh Sistem Waktu Diskrit Rekursif dan Nonrekursif

Sistem non-rekursif

Sistem rekursif

x(n) y(n)

z^-1

z^-1

b₀

b₁

b₂

y(n) = b₀x(n) + b₁x(n-1) + b₂x(n-2)

x(n) y(n)

z^-1

z^-1

b₀

b₁

b₂

y(n) = y(n-1) + b x(n) + b x(n-1) + b x(n-2)

z^-1

2.2.6. Sistem Waktu Diskrit Direpresentasikan oleh Persamaan Perbedaan

Total response : y(n) = y_zi(n) + y_zs(n)

Agar sistem rekursif bersifat linier dan time invariantmaka harus memenuhi sifat linier (superposisi) dan time invariant.

Agar linier maka

1. Total response : y(n) = y_zi(n) + y_zs(n)

2. Prinsip superposisi berlaku untuk y_zi(n) dan y_zs(n).

2

3 2

1

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [0]

[0] [ 1] [0]

[1] [0] [1] [ 1] [0] [1]

[2] [1] [2] [ 1] [0] [1] [2]

[ ] [ 1] [ ]

[ ] ⁿ [ 1] ^k

k

y n ay n x n

y n y

y ay x

y ay x a y ax x

y ay x a y a x ax x

y n ay n x n

y n a ^ y a



  



  

     

      

  

  

Akan dihitung nilai untuk n 0, dimulai dari

0

1 1 2 2

1 1 2 2

0

1 1 2

0 0

(1) (2)

1 2

1 1 2 2

[ ]

[ ] [ ] [ ]

: [ ] [ ] [ ]

[ ] [ [ ] [ ]]

[ ] 2 [ ]

[ ] [ ]

: [ 1] [ 1] [ ]

n

zi zs

n k zs

k

n n

k k

k k

zs zs

x n k y n y n y n

Mis x n c x n c x n

y n a c x n k c x n k

c a x n k c a x n k c y n c y n

Mis y c y c y



 





 

 

   

   

 

    





 

1

0

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [ ] [ ]

Dari persamaan perbedaan dapat dilihat bahwa koefisien a konstan, tidak bergantung pada n.

sistem .

Sistem yang dituliskan

n

n k

k

zi zs

y n ay n x n

y n a y a x n k

y n y n y n

time invariant





  

   

 





[ ] [ 1] [ ]

dalam persamaan berikut :

adalah sistem LTI kausal.

Sistem yang dituliskan dalam persamaan perbedaan koefisien konstan linier (

y n ay n x n

linear constant - coefficient diff

  

) adalah linier dan . erence equation time invariant

Solusi Persamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier

0 0

[ ] [ ] ₀ 1

Persamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier

a

Tujuan untuk menentukan respon y[n] ,n 0 pada sistem dengan masukan

N M

k k

k k

a y n k b x n k

 

   



 

h p

h

x[n],n 0 dan satu set kondisi kondisi awal.

Asumsi :

y[n] = y [n] + y [n]

Solusi y [n] adalah solusi homogen, yaitu respon sistem terhadap kondisi awal d



p

engan asumsi x[n]=0

Solusi y [n] adalah solusi khusus atau yaitu respon sistem terhadap x[n]

dengan asumsi kondisi awal = 0

Solusi homogen

Solusi homogen didapat dengan m

particular

[ ] 0

engasumsikan x[n]=0, sehingga persamaan perbedaan homogen

N

a y nk k 



0

1 2

1 2

0

.

Dengan substitusi ke persamaan sebelumnya maka persamaan polinomial

atau

N

n k k k

n N N N N

a

a a



   





  



  





¹



1 2 3

.. 0

, , ,... .

Polinomial di dalam tanda kurung adalah polinomial karakteristik.

Polinomial karakteristik mempunyai N akar, Akar dapat berharga real atau kompleks.

Koefis

N N

N

a  a

   

   

1, 2,..

k

ien .umumnya real.

Untuk harga a riil, akar berharga kompleks merupakan pasangan konyugatif kompleks.

Bila semua akar berbeda maka solusi persamaan homogen :

a a

 

1

1

1 2 1

[ ]

[ ] ...

ditentukan untuk memenuhi kondisi awal.

Bila terdapat akar , maka solusi persamaan homogen :

N

n

h k k

k k

m

h m

y n C

C

multiple

y n C C n C n











   



N

n n

Ck k





p[ ]

Solusi khusus ( )

Solusi khusus umumnya tergantung x[n].

Harus dicari y yang memenuhi persamaan perbedaan, untuk x[n] tertentu.

Solusi khusus juga dapat diperoleh dari respon particular

n

zero state y [n] ( _zs ).

Solusi khusus Persamaan Perbedaan Linier Koefisien Konstan

Sinyal input x(n) Solusi Khusus

A (konstan) K

A M ⁿ K M ⁿ

A n^M K₀n^M+K₁n^M-1+…+K_M Aⁿ n^M Aⁿ(K₀n^M+K₁n^M-1+…+K_M) A sin (₀n) K₁cos (₀n) + K₂sin (₀n) A cos (₀n) K₁cos (₀n) + K₂sin (₀n)

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] 0

[-1] 5 [-2] 0

Contoh 6.1

Persamaan perbedaan

Tentukan respon zero input jika diketahui kondisi awal dan .

Solusi

Asumsi solusi perbedaan homogen dalam bentuk ekspone

y n y n y n

y y



 

1 2

[ ]

3 4 0

nsial, yaitu

Dengan substitusi ke persamaan sebelumnya maka persamaan polinomial

n h

n n n

y n 

  ^  ^



  

 

   

2 2

1 2

3 4 0

1 4

[ ] 1 4 0

[ ] 0

Akar persamaan dan

,

Karena maka sistem tidak mempunyai solusi khusus,

n

n n

h

p

y n C C n

x n y

  



   

 

   

 [ ]n 0

   

1 2

[ ] [ ] -1 4 , 0

1 2

Sehingga solusi total,

Untuk menentukan harga C dan C maka solusi total harus memenuhi kondisi awal.

n n

y n  y nh C C n

1 2

[0] 3 [-1] 4 [-2]

[1] 3 [0] 4 [-1] 13 [-1] 12 [-2]

[0]

h

y y y

y y y y y

y C C

 

   

 

   

1 2

1 2

[1] 4

1

[ ] [ ] -1 -1 16 4 , 0

Dari kedua persamaan diatas maka dan C = 16

Respon zero input diperoleh

h

n n

h

y C C

C

y n y n n

  

 

   

[0] 3 [-1] 4 [-2]

[1] 3 [0] 4 [-1] 13 [-1] 12 [-2]

dengan mengevaluasi konstanta pada solusi homogen.

y y y

y y y y y

 

   

1 2

1 2

[0]

[1] 4

[0] 15 [1] 65

Karena y[-2] =0 dan y[-1]=5 , maka

h h

y C C

y C C

y dan y

 

  

 

1 2

1 2

1 2

15

4 65

1

Dari kedua persamaan diatas maka dan C = 16

C C

C C

C

 

  

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.5 1 1.5

2x 10⁷

   

[ ]

_zi

[ ] -1 -1

ⁿ

16 4

ⁿ

, 0

y n  y n   n 

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]

[ ] 4 [ ] [ ], 0.

n

y n y n y n x n x n

x n u n y n n

 



 Contoh 6.2

Persamaan perbedaan

Tentukan respon

Solusi

Solusi homogen

   

 

       

1 2

1 2

[ ] 1 4 0

[ ] 4 [ ]

4 [ ] - 3 1 4 [ 1] - 4 2 4 [

n n

n p

n n n

n C C n

particular

y n Kn u n

Kn u n K n ^ u n K n ^ u n

   



  

yh ,

Solusi khusus ( )

Dengan substitusi ke persamaan perbedaan

 

1 6

5 6

2]

4 [ ] 4 [ 1]

2,

[ ] 4 [ ]

n n

n

u n u n

n K

y n n u n





  

 



2.

maka

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]

1 2

Harga C dan C harus memenuhi harga kondisi awal Substitusi langsung pada persamaan solusi total

y n y n y n  x n  x n

   

    

   

      

0 1

1 0

0 0

1 2

1 1 6 1

1 2 5

[0] 4 [0] 4 [ 1] [0] 1

[1] 3 [0] 4[ 1] 4 [1] 2 4 [0]

[1] 3 4 2 9

-1 4 1

-1 4 1 4

y u u y

y y u u

y

C C

C C

     

    

   

 

  

     

1 2

1 2

26

1 251 2 25

26 6

1

25 25 5

9 1

4 4.2

,dan

[ ] -1 4 4 , 0

-

^{n n n}

C C

C C

C C

y n n n





 

 

 

   

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

2 4 6 8 10 12 14x 10⁶

[ ] [ ] y n

x n

T(.)

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]

y n y n y n  x n  x n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

2 4 6 8 10

12x 10⁵

H_pf(s) A/D x(n)

y(n-1) x(n-1)

y(n) D/A

2 3

H_rc(s)

y(n-2)

4

   

1 2

[ ] [ ] -1 4 , 0

[0]

Menentukan respon zero input dan respon zero state.

Respon zero input mempunyai bentuk yang sama dengan solusi homogen.

n n

zi h

zi

y n y n C C n

y

   

 _{1 2}

1 2

[1] 4

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] 0 [0] 0

[1] 0

[ ] 0, -

Dari persamaan homogen :

Tidak ada solusi artinya karena kondisi awa

zi

zi

C C

y C C

y n y n y n

y y

y n



 







 l [ 2] [ 1] 0

sehingga respon total adalah respon zero state.

y    y

   

⁶

 

1 2 5

[ ] [ ] [ ] -1 4 4 ,

[0] [1]

[-1] 0 [-2] 0 Respon zero state

Total solusi :

n 0

dan diperoleh dengan memasukkan harga-harga

kondisi awal dan ke persamaan

n n n

h p

y n y n y n C C n

y y

y y

     

 

   

    

0 1

1 0

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]

[0] 3 [ 1] 4[ 2] [0] 2 [ 1]

[0] 4 [0] 4 [ 1] [0] 1

[1] 3 [0] 4[ 1] 4 [1] 2 4 [0]

[1] 3 4 2

y n y n y n x n x n

y y y x x

y u u y

y y u u

y



 

      

    

    

   

   

      

     

0 0

1 2

1 1 6 1

1 2 5

1 2

1 2

1 26

1 25 2 25

9

-1 4 1

-1 4 1 4 9

1

4 4.2

,dan

-

n n n

C C

C C

C C

C C

C ^ C



 

  

 

 

 

    

[ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ]

[ ] 8 [ ]

[-1] 1 [-2] 1

Contoh 6.3

Persamaan perbedaan

Tentukan respon y[n], n 0 jika diketahui sinyal masukan

dan kondisi awal dan .

Solusi

Asumsi solusi perbe

y n y n y n x n

x n u n

y y

 

 

  

[ ]

daan homogen dalam bentuk eksponensial, yaitu

Dengan substitusi ke persamaan sebelumnya maka persamaan polinomial

n

y nh 

 

   

1 2

2 2

1 2

6 0

6 0

3 2

[ ] 3 2 , 0

Akar persamaan dan

Asumsi solusi khusus

n n n

n

n n

y nh C C n

  

  



 



  

  

 

   

[ ] [ ]

[ ] [ 1] - 6 [ 2] 8 [ ]

2 - 6 8

Substitusi ke persamaan

yp n Cu n

Cu n Cu n Cu n u n

n C C C



   

   