Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit ET 3005 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit EL 5155 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit

ET 3005 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

EL 5155 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit

2

2.1 Sinyal Waktu Diskrit

2.1.1 Pengertian Sinyal Waktu Diskrit

Deretan berindeks dari bilangan kompleks atau real.

Sinyal waktu diskrit adalah fungsi dari variabel bebas yang merupakan bilangan bulat, dinyatakan oleh x(n).

Sinyal analog : x_a(t)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n x(n)

x

_a

(t)

t

Sinyal analog :

x

_a

(t)

Sinyal diskrit

: x(n),

2.1.2 Sinyal Waktu Diskrit Bernilai Kompleks

Sinyal waktu diskrit bernilai kompleks

z(n) = a(n) + jb(n) = Re{z(n)}+jIm{z(n)

Dalam bentuk polar

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

1. Impuls satuan/ unit sample sequence

 





             0 0 0 0 1 0 0 0 1 n , n n , n n n , n , n n   -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n (n)

 

      0 0 0 1 , n , n n u

2. Unit step sequence

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

3. Deretan Eksponensial

 

      0 0 0 n , n , a n x n x(n)=1.2 n





( ) = cos sin j n j n n a re x n r e r n j n        Bila a kompleks

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

Contoh :

 

 

 

 

 

n n x n x n x n x n j n e n x re a θ . r n R I R n n j n j 10 cos 9 . 0 10 sin 10 cos 9 . 0 9 . 0 10 9 0 10                  _      dan

 

n n x n 10 cos 9 . 0  

 

n n x n 10 sin 9 . 0  

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

3. Deretan Eksponensial

 

 

 

 

n n x r n x e r n x re a a n x n n j n j n          Contoh

 

 

n . x θ . r e n x n n j n 9 0 10 9 0 9 . 0 10         dan

 

n

.

n

x



0

9

 n n x 10   

Sinyal disebut periodik bila x(n)=x(n+N) untuk harga N bilangan bulat positif dan untuk seluruh n.

Bila sinyal periodik dengan perioda N maka sinyal tersebut juga periodik dengan perioda 2 N, 3N dan seluruh harga kelipatan bilangan bulat dari N.

Perioda fundamental N, yaitu bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi persamaan x(n)=x(n+N).

Bila tidak ada satupun bilangan bulat N yang memenuhi

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

4. Sinyal simetris dan antisimetris

Sinyal waktu diskrit berharga real :

simetris genap jika x(n) = x(-n) untuk seluruh harga n simetris ganjil jika x(n) = -x(-n) untuk seluruh harga n Sinyal waktu diskrit berharga kompleks (sinyal kompleks) : simetris konjugate jika x(n) = x*(-n) untuk seluruh harga n antisimetri konjugate jika x(n) = -x*(-n) untuk seluruh harga n

   

 

 

 

 

 

disebut

maka

berhingga

Bila

selang

dalam

deretan

Enerji

maka

riil

Bila

deretan

suatu

Enerji

n

x

)

E

(

E

n

x

E

N,

n

-N

n

x

E

n

x

n

x

n

x

n

x

E

N N n n n n



























           

0

.

2 2 2

 

 

)

signal

power

(

daya

sinyal

disebut

maka

0)

(

berhingga

Bila

hingga.

tak

atau

berhingga

n

kemungkina

maka

(infinite)

hingga

tak

Bila

maka

(finite)

berhingga

Bila

diskrit

sinyal

rata

-rata

Daya

n

x

P

P

E

P

E

n

x

N

P

N N n N











   

.

0

1

2

1

lim

2

 

N

N

n

u

N

P

N N N N N N n N

2

1

2

1

lim

1

2

1

lim

1

2

1

lim

1 1 2

daya.

sinyal

adalah

sequence

step

Unit



















       



2.1.4 Sinyal enerji dan sinyal daya

Contoh

Tentukan apakah unit step sequence u(n) adalah sinyal daya

atau sinyal enerji

x₁ (n) y(n) = x₁(n) + x₂(n) x₂ (n) s (n) y(n) = s(n).w(n) w(n) A x(n) y(n) = A.x(n) Z-1 x(n) y(n) = x(n-1)

1. Penjumlahan

2. Perkalian

3. Penyekalaan

4. Pergeseran (

shifting

) :

M x(n) _{y(n) = x(Mn)} L x(n) y(n) = x(n/L) 5

. Down sampling

6. Up sampling

7. Folding (pembalikan)

2.1.5 Operasi Dasar pada Sinyal Waktu Diskrit

y(n) = x(-n) ainnya 0, ,... 3 , 2 , 0, n , ] [     _{   }      l L L L L n x n y

Sinyal dapat didekomposisi dari deretan impuls satuan



(n)

yang diberi bobot dan digeser.

x(n)=…+x(-1)



(n+1)+x(0)



(n)+ x(1)



(n-1)+ x(2)



(n-2)+…

 



  



  





k

k

n

k

x

n

x



2.1.5 Dekomposisi Sinyal

Sistem Waktu Diskrit adalah operator matematis atau pemetaan yang mentransformasi sinyal ke sinyal lainnya.

Secara umum notasi yang digunakan : T(.)

T(.)

x(n) y(n)=T(x(n))

2.2 Sistem Waktu Diskrit

2.1.1 Pengertian

Sistem Tanpa Memori

Keluaran pada waktu

n=n

₀

hanya bergantung pada input pada

waktu n = n

₀

.

Additif

T(x

₁

(n)+x

₂

(n))=T(x

₁

(n))+T(x

₂

(n))

Homogen:

T( c x(n))=c T(x(n))

Sistem Linier

: sistem yang mempunyai sifat additif dan homogen

T(ax

₁

(n)+bx

₂

(n))=aT(x

₁

(n))+bT(x

₂

(n))

Sistem Tidak Berubah Terhadap Waktu (

time invariant system

)

Bila respon sistem terhadap masukan x(n) adalah y(n) maka respon terhadap masukan x(n-n₀) adalah y(n-n₀).

 



 





  







  





 

 

  











 

n x

  

k T



n k





x

  

k h n k

    

x n h n y k n h(n-k) k n T k x n y k x k n k x T k n k x T n x T n y k k k k k              











                    maka masukan terhadap sistem respon adalah bila waktu terhadap berubah tidak yang sistem Untuk : homogen sifat dari konstan, koefisien Karena : aditif sifat Dari

Causal

Respon sistem pada waktu n=n₀bergantung pada masukan nn_0. y(n) hanya bergantung pada x(n), x(n-1),x(n-2), …, tetapi tidak bergantung pada x(n+1),x(n+2),….

Secara matematis keluaran sistem kausal memenuhi persamaan

dalam bentuk sbb: y(n)=F(x(n),x(n-1),x(n-2),…)

contoh:

( [2 ] l x n 



n

-Tentukan apakah sistem dengan persamaan berikut causal atau tidak kausal

(a) y[n]= x[n]-x[n-1] b) y[n]= x[k]

(c) y[n]=

2 ]

(d) y[n]=x[-n] (e) y[n]=x[n-1]+x[n]+x[n+1] (f) y[n]=x[n

Causal Sistem LTI 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] [ ] [ [ 1] 1 [ 2] 2 ...] [ [0] [1] 1] ... k k k y n h k x n k y n h k x n k h k x n k = h x n h x n h x n h x n         _{  }  _   _{ } _  _  _{ } _  _  _   _ _  _   _{ } _   _







0

Keluaran sistem LTI pada n=n

Sistem k ₀

0 0

0 0

ausal jika keluaran pada waktu n=n hanya bergantung pada masukan x[n ], x[n -1],... tidak bergantung pada masukan

x[n +1],x[n +2],..., sehingga respon impuls sistem LTI harus memenuhi kondisi h n[ ] 0 n < 0

Stabil

Sistem dengan masukan terbatas maka keluaran terbatas. Bila x(n) terbatas, maka akan ada konstanta M_x sedemikian sehingga

Bila x(n) terbatas, maka akan ada konstanta M_y sedemikian sehingga

[ ] _x

x n  M  

[ ] _y

Stabil Sistem LTI [ ] [ ] [ ] [ ] k k k k y n h k x n k y n h k x n k y n h k x n k y n h k            _{  }  _    _{  }  _    _{  }  _    _{ }









x x x

Keluaran sistem LTI

Bila input terbatas maka akan ada suatu bilangan terbatas M

sehingga x[n] M sehingga

M

Ke y n[ ]





2.2.3 Konvolusi

Hubungan antara masukan dan keluaran pada sistem LTI dinyatakan oleh penjumlahan konvolusi. Sifat-sifat Konvolusi a. x(n)  y(n) =y(n)  x(n) b. x(n) (y(n) z(n))=(x(n) y(n)) z(n) c. x(n) (y(n)+z(n))=x (n)y(n) + x(n) z(n) d. x(n)  (n) = (n)  x(n) = x(n) e. x(n)  (n-n₀) = x(n-n₀)

  





  







n

k

n

h

k

x

n

h

n

x

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 [ ] 1 : [ ] [ ] [ ] [ ] [ k k x n n n x k n n k k k n n k k n n k n n x n n n x k n n k x n n













                        





Bukti (e) : Ingat untuk maka untuk sehingga untuk 0 ] [0] [ ] x n n



 

  





  







n

k

n

h

k

x

n

h

n

x

(

)

(

)

Perhitungan Langsung Contoh :

 

 

   

     

  



  



 





  



 

 

u

 

n

a

a

n

a

1

a

1

a

n

y

0

n

0

k

n

.u

k

u

k

0,

n

k

n

k

n

u

0

k

k

u

k

n

u

k

u

a

k

n

h

k

x

n

h

n

x

n

y

n

u

n

h

0

n

0

n

a

n

u

a

n

x

n n 0 k 1 n k k k k n n

.

1

1

y

Bila

Bila

.

untuk

0

dan

untuk

0

Karena

0

1



































































        







Perhitungan konvolusi dengan metoda grafis

Gambar x(k) dan h(k) sebagai fungsi dari k. Reverse satu dereta : h(k) menjadi h(-k) Geser h(-k) sebesar n menjadi h(n-k)

Perkalikan x(k) dan h(n-k) dan jumlahkan seluruh hasil perkalian untuk seluruh harga k.

Perhitungan dilakukan untuk seluruh kemungkinan harga pergeseran n.

2.2.4 Sistem dengan Respon Impuls Terbatas dan Tidak Terbatas

Sistem LTI dapat dibagi menjadi :

• FIR (finite-duration impulse response)

• IIR (infinite-duration impulse response)

Sistem FIR kausal :

h(n) = 0 n < 0 dan n ≥ M

Konvolusi pada sistem FIR kausal :

Sistem IIR kausal :

h(n) = 0 n < 0

Konvolusi pada sistem IIR kausal :



  





 







1 0

)

(

)

(

M k

k

n

h

k

x

n

h

n

x

2.2.5. Sistem Waktu Diskrit Rekursif dan Non Rekursif

F(x(n),x(n-1), …x(n-M)) x(n) y(n) F(x(n),x(n-1), …x(n-M)) x(n) y(n) z-1 Sistem non-rekursif Sistem rekursif

Contoh Sistem Waktu Diskrit Rekursif dan Nonrekursif

Sistem non-rekursif Sistem rekursif x(n) y(n) z-1 z-1 b₀ b₁ b₂ y(n) = b₀x(n) + b₁x(n-1) + b₂x(n-2) x(n) y(n) z-1 z-1 b₀ b₁ b₂ y(n) = y(n-1) + b x(n) + b x(n-1) + b x(n-2) z-1

2.2.6. Sistem Waktu Diskrit Direpresentasikan oleh

Persamaan Perbedaan

Total response : y(n) = y_zi(n) + y_zs(n)

Agar sistem rekursif bersifat linier dan time invariantmaka harus memenuhi sifat linier (superposisi) dan time invariant.

Agar linier maka

1. Total response : y(n) = y_zi(n) + y_zs(n)

2 3 2 1 [ ] [ 1] [ ] [ ] [0] [0] [ 1] [0] [1] [0] [1] [ 1] [0] [1] [2] [1] [2] [ 1] [0] [1] [2] [ ] [ 1] [ ] [ ] n [ 1] k k y n ay n x n y n y y ay x y ay x a y ax x y ay x a y a x ax x y n ay n x n y n a  y a                           

Akan dihitung nilai untuk n 0, dimulai dari

0 1 1 2 2 1 1 2 2 0 1 1 2 0 0 (1) (2) 1 2 1 1 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] : [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ]] [ ] 2 [ ] [ ] [ ] : [ 1] [ 1] [ ] n zi zs n k zs k n n k k k k zs zs x n k y n y n y n Mis x n c x n c x n y n a c x n k c x n k c a x n k c a x n k c y n c y n Mis y c y c y                        









1

0

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [ ] [ ]

Dari persamaan perbedaan dapat dilihat bahwa koefisien a konstan, tidak bergantung pada n.

sistem .

Sistem yang dituliskan n n k k zi zs y n ay n x n y n a y a x n k y n y n y n time invariant            



[ ] [ 1] [ ]

dalam persamaan berikut :

adalah sistem LTI kausal.

Sistem yang dituliskan dalam persamaan perbedaan koefisien konstan linier (

y n ay n x n

linear constant - coefficient diff

  

) adalah linier dan .

Solusi Persamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier

0 0

[ ] [ ] ₀ 1

Persamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier

a

Tujuan untuk menentukan respon y[n] ,n 0 pada sistem dengan masukan

N M k k k k a y n k b x n k       





h p h x[n],n 0 dan satu set kondisi kondisi awal.

Asumsi :

y[n] = y [n] + y [n]

Solusi y [n] adalah solusi homogen, yaitu respon sistem terhadap kondisi awal d



p

engan asumsi x[n]=0

Solusi y [n] adalah solusi khusus atau yaitu respon sistem terhadap x[n] dengan asumsi kondisi awal = 0

Solusi homogen

Solusi homogen didapat dengan m

particular

[ ] 0

engasumsikan x[n]=0, sehingga persamaan perbedaan homogen

N k

a y nk 

0

1 2

1 2

0

.

Dengan substitusi ke persamaan sebelumnya maka persamaan polinomial atau N n k k k n N N N N a a a              





1



1 2 3 .. 0 , , ,... . Polinomial di dalam tanda kurung adalah polinomial karakteristik. Polinomial karakteristik mempunyai N akar,

Akar dapat berharga real atau kompleks. Koefis N N N a  a         1, 2,.. k

ien .umumnya real.

Untuk harga a riil, akar berharga kompleks merupakan pasangan konyugatif kompleks. Bila semua akar berbeda maka solusi persamaan homogen :

a a





1 1 1 2 1 [ ] [ ] ...

ditentukan untuk memenuhi kondisi awal.

Bila terdapat akar , maka solusi persamaan homogen : N n h k k k k m h m y n C C multiple y n C C n C n         



N n n k k C  



[ ]

p

Solusi khusus ( )

Solusi khusus umumnya tergantung x[n].

Harus dicari y yang memenuhi persamaan perbedaan, untuk x[n] tertentu. Solusi khusus juga dapat diperoleh dari respon

particular

n

zero state y [n] ( _zs ).

Solusi khusus Persamaan Perbedaan Linier Koefisien Konstan Sinyal input x(n) Solusi Khusus

A (konstan) K A M n _{K M} n A nM _K 0nM+K1nM-1+…+KM An _nM _An_(K 0nM+K1nM-1+…+KM)

A sin (₀n) K₁cos (₀n) + K₂sin (₀n) A cos (₀n) K₁cos (₀n) + K₂sin (₀n)

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] 0

[-1] 5 [-2] 0

Contoh 6.1

Persamaan perbedaan

Tentukan respon zero input jika diketahui kondisi awal dan .

Solusi

Asumsi solusi perbedaan homogen dalam bentuk ekspone

y n y n y n y y    1 2 [ ] 3 4 0 nsial, yaitu

Dengan substitusi ke persamaan sebelumnya maka persamaan polinomial

n h n n n y n          





 

 

2 2 1 2 3 4 0 1 4 [ ] 1 4 0 [ ] 0

Akar persamaan dan

,

Karena maka sistem tidak mempunyai solusi khusus,

n n n h p y n C C n x n y      _{  }        [ ]n 0

   

1 2

[ ] [ ] -1 4 , 0

1 2

Sehingga solusi total,

Untuk menentukan harga C dan C maka solusi total harus memenuhi kondisi awal. n n h y n  y n C C n 1 2 [0] 3 [-1] 4 [-2] [1] 3 [0] 4 [-1] 13 [-1] 12 [-2] [0] h y y y y y y y y y C C             1 2 1 2 [1] 4 1 [ ] [ ] -1 -1 16 4 , 0

Dari kedua persamaan diatas maka dan C = 16

Respon zero input diperoleh

h n n h y C C C y n y n n          [0] 3 [-1] 4 [-2] [1] 3 [0] 4 [-1] 13 [-1] 12 [-2]

dengan mengevaluasi konstanta pada solusi homogen. y y y y y y y y       1 2 1 2 [0] [1] 4 [0] 15 [1] 65

Karena y[-2] =0 dan y[-1]=5 , maka h h y C C y C C y dan y        1 2 1 2 1 2 15 4 65 1

Dari kedua persamaan diatas maka dan C = 16

C C C C C       

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2x 10 7

 

 

[ ]

_zi

[ ]

-1 -1

n

16 4

n

,

0

y n



y

n





n



[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1] [ ] 4 [ ] [ ], 0. n y n y n y n x n x n x n u n y n n     Contoh 6.2 Persamaan perbedaan Tentukan respon Solusi Solusi homogen

 

 

 

 



 



 

1 2 1 2 [ ] 1 4 0 [ ] 4 [ ] 4 [ ] - 3 1 4 [ 1] - 4 2 4 [ n n n p n n n n C C n particular y n Kn u n Kn u n K n  u n K n  u n         h y , Solusi khusus ( )

Dengan substitusi ke persamaan perbedaan

 

1 6 5 6 2] 4 [ ] 4 [ 1] 2, [ ] 4 [ ] n n n u n u n n K y n n u n         2. maka

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]

1 2

Harga C dan C harus memenuhi harga kondisi awal Substitusi langsung pada persamaan solusi total

y n y n y n  x n  x n

 

 

 

  

 

 

 

 

  

0 1 1 0 0 0 1 2 1 1 ₆ 1 1 2 ₅ [0] 4 [0] 4 [ 1] [0] 1 [1] 3 [0] 4[ 1] 4 [1] 2 4 [0] [1] 3 4 2 9 -1 4 1 -1 4 1 4 y u u y y y u u y C C C C                    

 

 

 

1 2 1 2 26 1 1 ₂₅ 2 ₂₅ 26 6 1 25 25 5 9 1 4 4.2 ,dan [ ] -1 4 4 , 0 n n n C C C C C C y n n n            

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 14x 10 6 [ ] y n [ ] x n T(.)

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2]

[ ]

2 [ -1]

y n

y n

y n



x n



x n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12x 10 5

Hpf(s) A/D x(n) y(n-1) x(n-1) y(n) D/A 2 3 Hrc(s) y(n-2) 4

 

 

1 2

[ ] [ ] -1 4 , 0

[0]

Menentukan respon zero input dan respon zero state.

Respon zero input mempunyai bentuk yang sama dengan solusi homogen. n n zi h zi y n y n C C n y      _{1 2} 1 2 [1] 4 [ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] 0 [0] 0 [1] 0 [ ] 0,

-Dari persamaan homogen :

Tidak ada solusi artinya karena kondisi awa zi zi C C y C C y n y n y n y y y n        l [ 2] [ 1] 0

sehingga respon total adalah respon zero state.

 

 

6

 

1 2 ₅

[ ] [ ] [ ] -1 4 4 , [0] [1]

[-1] 0 [-2] 0

Respon zero state Total solusi :

n 0

dan diperoleh dengan memasukkan harga-harga kondisi awal dan ke persamaan

n n n h p y n y n y n C C n y y y y        

 

 

 

  

0 1 1 0 [ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1] [0] 3 [ 1] 4[ 2] [0] 2 [ 1] [0] 4 [0] 4 [ 1] [0] 1 [1] 3 [0] 4[ 1] 4 [1] 2 4 [0] [1] 3 4 2 y n y n y n x n x n y y y x x y u u y y y u u y                        

 

 

 

 

  

 

 

 

0 0 1 2 1 1 ₆ 1 1 2 ₅ 1 2 1 2 26 1 1 ₂₅ 2 ₂₅ 9 -1 4 1 -1 4 1 4 9 1 4 4.2 ,dan n n n C C C C C C C C C  C                 

[ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ]

[ ] 8 [ ] [-1] 1 [-2] 1

Contoh 6.3

Persamaan perbedaan

Tentukan respon y[n], n 0 jika diketahui sinyal masukan dan kondisi awal dan .

Solusi

Asumsi solusi perbe

y n y n y n x n x n u n y y        [ ]

daan homogen dalam bentuk eksponensial, yaitu

Dengan substitusi ke persamaan sebelumnya maka persamaan polinomial n h y n 





    1 2 2 2 1 2 6 0 6 0 3 2 [ ] 3 2 , 0 Akar persamaan dan

Asumsi solusi khusus

n n n n n n h y n C C n                       [ ] [ ] [ ] [ 1] - 6 [ 2] 8 [ ] 2 - 6 8 Substitusi ke persamaan p y n Cu n Cu n Cu n Cu n u n n C C C         

 

 

1 2 1 2 1 2 1 2 [ ] -3 2 - 2 , 0 [0] - 2 [1] - 3 2 - 2 [0] [1]

Konstanta dan memenuhi kondisi awal.

dan diperoleh dengan memasukkan

n n C C y n C C n y C C y C C y y        [-1] 1 [-2] 1 [ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ] [0] [-1] 6 [-2] [0] [0] 1 6 8 [0] 1 harga-harga kondisi awal dan ke persamaan

- y y y n y n y n x n y y y x y y             1 2 1 2 [1] [0] 6 [-1] [1] [1] 1 6 8 [1] 13 3 - 3 2 15 -

Dengan menyelesaikan kedua persamaan diatas dipe

y y y x y y C C C C            1 1.8 2 4.8 roleh dan Total solusi C   C 

 

 

1 2 1 2 1 2 [ ] 3 2 , 0 [0] [1] 3 2 [0] [1]

Respon zero input

dan diperoleh dengan memasukkan harga-har

n n zi zi zi y n C C n y C C y C C y y          [-1] 1 [-2] 1 [ ] [ -1] - 6 [ - 2] 0 [0] [-1] 6 [-2] [0] 1 6 [0] 7 [1] [0 ga kondisi awal dan ke persamaan

- -y y y n y n y n y y y y y y y             1 2 1 2 ] 6 [-1] [1] 7 6 [1] 13 -7 3 2 13 5.4 1.6

Dengan menyelesaikan kedua persamaan diatas diperoleh dan y y y C C C C C C             

 

 

1 2 1 2 1 2 [ ] -3 2 - 2 , 0 [0] - 2 [1] 3 2 - 2 [0] [1]

Respon zero state

dan diperoleh dengan memasukkan ha

n n zs zs zs y n C C n y C C y C C y y         1 2 1 2 [-1] 0 [-2] 0 [ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ] [0] 8 [1] 0 10 3 2 2 rga-harga kondisi awal dan ke persamaan

Dengan me y y y n y n y n x n y y C C C C           

 

 

1 3.6 2 6.4 [ ] 3.6 -3 6.4 2 - 2 , 0 [ ] [ ] [

nyelesaikan kedua persamaan diatas diperoleh dan Respon zero state

Respon total (total solusi)

n n zs C C y n n y n y n y n        ] 3.6 -3

 

n 6.4 2

 

n - 2 5.4 -3

 

n 1.6 2

 

n , n 0

2.2.7. Respon impuls sistem dengan persamaan perbedaan

koefisien konstan linier

Respon impuls:

x(n) = (n)  y(n) = h(n) ( kondisi awal nol)

• Untuk x(n) = (n) ), ‘solusi khusus’ y_p(n) = 0

 respon impuls diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan pada solusi homogen . Harga konstanta ditentukan dengan memecahkan y_h(n) untuk

   

1 2

[ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ]

[ ] 3 2 ,

Contoh 7.1

Sistem LTI dengan persamaan perbedaan

Tentukan respon impuls sistem diatas.

Solusi

Dari contoh soal 6.3, _h n n

y n y n y n x n y n C C          1 2 0. [ ] [ ] [ ] 0. [ ] [ ] -3 2 , 0

Respon impuls h[n] untuk maka solusi khusus nol, Solusi total , . Kondisi awal nol sehingga respon zero in

p n n h n x n n y n y n y n C C n             1 2 [ ] 0. [ ] [ ] -3 2 , 0 [0] [1] [ ] [ ], put, Respon impuls adalah respon zero state ,

. dan diperoleh dengan memasukkan harga-harga kondis zi n n zs y n h n y n C C n y y x n  n       [-1] 0 [-2] 0 [ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ] [ ] [ ] [0] 1

i awal dan ke persamaan perbedaan y y y n y n y n x n y n  n y        1 2 _{3 2} [1] [1] [0] 6 [ 1] [1] 1 2 2 2 , y y y y C C C C             

Kestabilan sistem LTI

Sistem yang direpresentasikan oleh persamaan perbedaan koefisien konstan linier orde N dengan akar polinomial karakteristik (_k)

berbeda mempunyai solusi homogen sbb:

• Respon impuls sistem

1

[ ]

N n k k k

h n

C









1

[ ]

N n h k k k

y n

C









• Respon impuls sistem LTI stabil jika respon impuls absolutely summable.

 

 

 

 

0 1 0 1 0 0 [ ] [ ] [ ] 1 n N n k k k N n k k n k n n k k n n h n h n C h n C k                          







 







2.3.Konsep Frekuensi Sinyal Waktu Diskrit

x(n) = A cos (n+)

 = 2  f

Dimana A : Amplituda

 : frekuensi diskrit (radian /sample)

 : fasa (radian)



























































0 0 0 0 0

0

:

dibatasi

dapat

harga

maka

analisis

tujuan

untuk

Artinya

Maka

Bila

:

Identik

2

rasiona

rus

2

maka

periodik

Agar

1.

:

diskrit

waktu

sinusoidal

Sinyal

2ππ)

cos(ω

n

- cos ω

)n

ω

- cos (2π

n

cos ω

2π

ω

0

n

2ππ

ω

cos

n

cos ω

q

p

l

ha

0 0 0 0 0 0 0

2

.

3

.

2

 

  



 

























jika

hanya

dan

jika

benar

akan

diatas

Persamaan

sin

sin

persamaan

memenuhi

akan

frekuensi

dengan

periodik

yang

sinusoidal

Deretan

l.

fundamenta

perioda

disebut

terkecil

Harga

,

jika

hanya

dan

jika

perioda

dengan

periodik

Deretan

0 0 0 0 0

N

k

2π

ω

f

k

N

f

n

f

N

n

f

n

N

n

n

x

N

n

N

n

x

n

x

0)

(N

n

x





















































2

2

2

sin

2

sin

0 0 0













 

dimana

sin(

n

identik

adalah

ini

dibawah

diskrit

waktu

sinusoidal

deretan

seluruh

Artinya

sin

Bukti

bulat.

bilangan

adalah

dimana

,

berbeda

ya

frekuensin

jika

identik

akan

sinusoidal

deretan

Dua

0 0 0

k

1,2,3...

k

k

n

x

n

n

k

k

k2π

k k k





















2

)

sin

2



















 

 









 

1

f

dengan

ekivalen

adalah

tertinggi

Frekuensi

2

1

atau

,

atau

diskrit

waktu

sinusoidal

sinyal

rekuensi

f

Daerah

frekuensi

alias

adalah

(

cos

0.

sampai

dari

bervariasi

maka

sampai

dari

bervariasi

Nilai

dan

misalkan

frekuensi

dengan

sinusoidal

sinyal

melihat

Untuk

₀









_

_























































1

)

(

2

1

1

0

2

0

cos

)

2

cos

cos

2

2

,

2

1 2 0 0 0 1 1 2 1 0 2 0 1

f

atau

atau

f

f

ω

ω

n

x

n

ω

A

n

A

n

Acos ω

n

x

n

ω

A

n

ω

A

n

x

k 2 2

















































0 10 20 30 40 -1 -0.5 0 0.5 1 x(n)=cos(0.29*pi*n) n x (n ) 0 10 20 30 40 -1 -0.5 0 0.5 1 x(n)=cos(0.30*pi*n) n x (n ) 0 10 20 30 40 -1 -0.5 0 0.5 1 x(n)=cos(0.31*pi*n) n x (n ) 0 10 20 30 40 0 0.5 1 x(n)=cos(2*pi*n) n x (n ) 0 10 20 30 40 -1 -0.5 0 0.5 1 x(n)=cos(2.5*pi*n) x (n ) 0 10 20 30 40 -1 -0.5 0 0.5 1 x(n)=cos(3*pi*n) x (n )

 



 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -3 -2 -1 0 1 2 3 x (n ) n