PPT ALJABAR PROPOSISI

5. ALJABAR PROPOSISI

• Merupakan penerapan hukum-hukum aljabar dalam logika proposisi.

• Beberapa hukum Aljabar Proposisi:

1. Idempoten

2. Asosiatif

p p p p p p

 

 

( ) ( )

( ) ( )

p q r p q r

p q r p q r

    

    

PENS

3. Komutatif

4. Distributif

5. Identitas

6. Komplemen

p q q p p q q p

 = 

 = 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

p q r p q p r

p q r p q p r

     

     

p f p p f f

p t t p t p

   

   

p p t t f

p p f f t

 = =

 = =

f = false t = true

didefinisikan sebagai ….



PENS

7. Involusi

8. De Morgan’s

9. Absorbsi

10.Implikasi

( )

p p  p

( )

( )

p q p q

p q p q

 = 

 = 

( )

( )

p p q p

p p q p

  

   p → = q p  q

11.Bi-impikasi

12.Kontraposisi

( ) ( )

p  = q p → q  q → p

p → = q q → p

PENS

7. ARGUMEN

• ARGUMEN

• Kumpulan pernyataan-pernyataan (premis-premis) atau kumpulan dasar pendapat disertai kesimpulan (konklusi)

• rangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan (inferensi).

• Argumen terdiri atas 2 jenis kelompok pernyataan:

kelompok pernyataan sebelum kata “jadi” yang disebut premis (hipotesa), dan kelompok pernyataan setelah kata “jadi” yang disebut kesimpulan

(konklusi).

PENS

• Notasi:

• Contoh:

a. Semua bilangan genap habis dibagi 2. (premis) 10 adalah bilangan genap. (premis)

Jadi, 10 habis dibagi 2. (konklusi)

b. Jika tidak terpapar virus omicron maka tidak demam(premis) Ani tidak demam(premis)

Jadi, Ani tidak terpapar virus omicron (konklusi)

Premis 1 Premis 2

Konklusi



PENS

Kebenaran/Validitas Argumen

• Validitas argument tergantung dari nilai kebenaran masing-masing premis dan kesimpulannya.

• Sebuah argument dikatakan valid, jika masing-masing premis nya benar, dan kesimpulannya juga benar.

Contoh 1:

Jika merancang gerbang logika maka memakai sistim bilangan biner (premis 1) Kelas D4 TRI memakai sistim bilangan biner (premis 2)

Jadi kelas D4 TRI merancang gerbang logika (kesimpulan)

Premis 1 Premis 2

Kesimpulan

p q

q p

→



p q

+ + +

+ - -

- + +

- - +

p → q Argumen ini tidak

valid, karena ketika kedua premise nya

bernilai benar (+), kesimpulannya bisa benar (+), bisa salah (-)

PENS

Contoh 2:

Santi ada di Bandung atau di Surabaya (premis 1) Santi tidak ada di Bandung (premis 2)

Jadi, Santi ada di Surabaya (kesimpulan) Periksalah validitas Argumen di atas

Premis 1 Premis 2

Kesimpulan p q

p q





( p  q )  p  q

 

 

p q ~p p v q

+ + - +

+ - - +

- + + +

- - + -

(pvq)^~p -

- +

-

(pvq)^~p => q +

+ + +

Argumen ini valid, karena ketika diimplikasikan dengan

kesimpulan, menghasilkan Tautologi

(proposisi yang bernilai BENAR semua)

• Jadikan bentuk Tautologi.

• Masing-masing Premis dikonjungsikan, kemudian

diimplikasikan kepada kesimpulan

PENS

Aturan Penarikan Kesimpulan

• Ada cara lain untuk membuktikan validitas argument, yaitu dengan aturan- aturan penarikan kesimpulan.

• Dengan aturan ini kesimpulan bisa ditarik dari premis-premisnya secara langsung. Selain itu juga bisa dibentuk argumen-argumen yang diperoleh dari rangkaian langkah pembuktian yang relatif sederhana.

• Konklusi lanjutan disimpulkan.

• Konklusi lanjutan terdiri dari bagian-bagian yang merupakan konklusi yang dapat ditarik lagi, untuk membentuk konklusi berikutnya, demikian

seterusnya sampai didapatkan hasil akhir.

PENS

Beberapa Aturan Penarikan Kesimpulan:

1. Modus Ponen (MP)

2. Modus Tollen (MT)

3. Simplifikasi (Simp)

p q

p q





p q

q p





p q

p





4. Konjungsi (Konj)

5. Hypothetical Syllogism (HS)

6. Disjunctive Syllogism (DS)

p q

p q

 

p q

q r

p r





 

p q

p q





PENS

7. Constructive Dilemma (CD)

8. Destructive Dilemma (DD)

9. Addition (Add)

p q

r s p r

q s







 

p

p q

 

p q

r s

q s

p r







 

PENS

Contoh Penggunaan Aturan Penarikan Kesimpulan

1. Buktikan bahwa argumen berikut ini valid.

• Jika pintu kereta api ditutup, lalu lintas akan berhenti.

• Jika lalu lintas berhenti, akan terjadi kemacetan lalu lintas.

• Pintu kereta api ditutup.

• Jadi, terdapat kemacetan lalu lintas.

Diketahui:

p= pintu kereta api ditutup q = lalu lintas akan berhenti

r = terjadi kemacetan lalu lintas

Simbol dari argumen di atas:

p q

q r p

r







PENS

• Proses pembuktian validitas argumen dengan penarikan kesimpulan Dengan MP:

p q p

q





q r

q r



 Dengan Konj:

p

q

p q

 

Argumen tersebut valid, karena membentuk tautologi

Proses pembuktian validitas argument dengan Tabel Kebenaran

p q r p => q q => r (p => q) ^(q => r) (p => q) ^(q => r)^p [(p => q) ^(q => r)^p] => q

+ + + + + + + +

+ + - + - - - +

+ - + - + - - +

+ - - - + - - +

- + + + + + - +

- + - + - - - +

- - + + + + - +

- - - + + + - +

tautologi

PENS

2. Susunlah bukti formal validitas argument berikut ini.

• Rafi Ahmad adalah seorang pengusaha atau artis

• Jika Rafi Ahmad seorang pengusaha, maka ia kaya

• Ternyata Rafi Ahmad tidak kaya

• Jadi Rafi Ahmad adalah seorang artis Diketahui:

p= Rafi Ahmad seorang pengusaha q = Rafi Ahmad seorang artis

r = Rafi Ahmad kaya

Simbol dari argumen di atas:

p q p r

r q







49

PENS

• Proses pembuktian validitas argument dengan penarikan kesimpulan Dengan MT:

p r

r p





p q p q





Dengan DS:

Argumen tersebut valid,

karena membentuk tautologi

Proses pembuktian validitas argument dengan Tabel Kebenaran Persamaan Tautologi nya adalah: ^_

(

^{p  q}

) (

^{ p  r}

)

^r_ ^{ q}

p q r ~r p v q p => r (p v q) ^(p => r) (p v q) ^(p => r)^~r [(p v q) ^(p => r)^~r] => q

+ + + - + + + - +

+ + - + + - - - +

+ - + - + + + - +

+ - - + + - - - +

- + + - + + + - +

- + - + + + + + +

- - + - - + - - +

- - - + - + - - +

tautologi

PENS

8. PERNYATAAN BERKUANTOR

• Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.

• Ada dua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

• Kuantor universal dinotasikan

• kuantor eksistensial dinotasikan



PENS 

Kuantor Universal

• Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan "semua, setiap, seluruh“

• Untuk pernyataan p, artinya semua p, atau setiap p, atau seluruh p

• Untuk kalimat terbuka p(x):

• dibaca “untuk semua x berlaku sifat p(x)”

• dibaca “untuk semua x anggota S berlaku sifat p(x)”

• Pernyataan bisa bernilai BENAR atau SALAH, bergantung dari himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x)

 p

( )

,

x p x

(    x S ) ( ) , p x

(   x S ) ( ) , p x PENS

Contoh Kuantor Universal

• Tuliskan arti dari kuantor universal berikut ini:

• Nyatakan kalimat terbuka berikut menggunakan kuantor universal

(   x R x ) ,

²

 0

Arti: “Untuk setiap x anggota himpunan bilangan Real berlaku x² >= 0”

( ) :

²

3 1 5

p x x − x + =

Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat

(   x B x ) ,

²

− 3 x + = 1 5

Arti: “Untuk setiap x anggota himpunan bilangan bulat berlaku x² -3x +1 = 5”

PENS

Kuantor Eksistensial

• Dalam pernyataan kuantor Eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan “ada, beberapa, sebagian, terdapat“

• Untuk pernyataan p, artinya ada p, atau terdapat p, atau beberapa p

• Untuk kalimat terbuka p(x):

• dibaca “ada x sedemikian sehingga berlaku sifat p(x)”

• dibaca “terdapat x anggota S sedemikian sehingga berlaku sifat p(x)”

• Pernyataan bisa bernilai BENAR atau SALAH, bergantung dari himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x)

 p ( )

,

x p x

(    x S ) ( ) , p x

(   x S ) ( ) , PENS p x

Contoh Kuantor Eksistensial

• Tuliskan arti dari kuantor eksistensial berikut ini:

• Nyatakan kalimat terbuka berikut menggunakan kuantor eksistensial

• Tentukan nilai kebenarannya

(   x R x ) ,

²

+ 2 x − 10  0

Arti: “Ada x anggota himpunan bilangan Real dimana berlaku x² =2x-10 <= 0”

( ) :

²

9

p x x =

Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan real

(   x R x ) ,

²

= 9

Nilai kebenarannya adalah x=3 atau x=-3

Arti: “terdapat x anggota himpunan bilangan Real dimana berlaku x² =9”

PENS

Kuantor Dengan Proposisi

• Misalkan x adalah himpunan warga negara Indonesia, P predikat memiliki KTP dan R predikat disuntik vaksin

• Maka

• artinya: semua warga negara Indonesia memiliki KTP

• artinya: ada beberapa warga negara Indonesia yang disuntik vaksin memiliki KTP

• artinya: jika semua warga negara Indonesia disuntik vaksin maka memiliki KTP

• ada warga negara Indonesia disuntik vaksin dan tidak memiliki KTP

( )

 xP x

( ) ( )

xR x P x



( ) ( )

xR x P x

 

( ) ( )

xR x P x

 

PENS

Negasi Pernyataan Berkuantor

• Negasi dari pernyataan kuantor Universal adalah kuantor Eksistensial

• Negasi dari pernyataan kuantor Eksistensial adalah kuantor Universal

• Bentuk Negasi dari pernyataan berkuantor:

a.

b.

c.

d.

( ( ) ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )

, , ,

, , ,

, ,

, ,

x p x x p x x p x

x p x x p x x p x

x p x q x x p x q x

x p x q x x p x q x

    

    

      

 

      

 

PENS

Contoh Negasi Pernyataan Berkuantor

1. Pernyataan: semua kucing bernafas dengan paru-paru Negasi nya:

• tidak semua kucing bernafas dengan paru-paru

• bukan semua kucing bernafas dengan paru-paru

• ada kucing bernafas tidak dengan paru-paru

• terdapat kucing bernafas tidak dengan paru-paru

( )  p

( ) p



( )  p ( )  p

( p )



PENS

2. Pernyataan: beberapa mahasiswa PENS berasal dari SMK

Negasi nya:

tidak ada mahasiswa PENS berasal dari SMK semua mahasiswa PENS tidak berasal dari SMK setiap mahasiswa PENS tidak berasal dari SMK

• seluruh mahasiswa PENS tidak berasal dari SMK

( )  p

( ) p



( )  p ( p )



( p )



59

PENS