MAKALAH ALJABAR MATRIKS SISTEM PERSAMAAN LINIER
Oleh:
NUR SHELLA NIM: 240112500049
Dosen Pengampu:
Dr. Rahmat Hidayat, M.Si.
Hardianti Hafid, S.Si., M.Si.
Dr. Ruliana, S.Pd., M.Si.
PROGRAM STUDI STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2025
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga makalah dengan judul "Sistem Persamaan Linear" ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Makalah ini disusun sebagai tugas mata kuliah Aljabar Matriks yang diampu oleh Dr. Rahmat Hidayat, M.Si., Hardianti Hafid, S.Si., Dr. Ruliana, S.Pd., M.Si. Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Makassar.
Dalam makalah ini dibahas konsep dasar sistem persamaan linear, operasi baris dasar, metode eliminasi Gauss, serta berbagai contoh penerapannya. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca dalam memahami konsep sistem persamaan linear secara lebih mendalam.
Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan makalah ini.
Makassar, 27 April 2025
Nur Shella
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR...i
DAFTAR ISI...ii
BAB I PENDAHULUAN...1
1.1 LATAR BELAKANG...1
1.2 RUMUSAN MASALAH...1
1.3 TUJUAN... 2
BAB II PEMBAHASAN...3
2.1. PENGANTAR SISTEM PERSAMAAN LINIER...3
2.2. SISTEM PERSAMAAN LINIER...3
2.3. OPERASI-OPERASI BARIS DASAR...5
2.4. ELIMINASI GAUSSIAN...5
BAB III CONTOH SOAL... 7
BAB IV PENUTUP...9
3.1. KESIMPULAN...9
3.2. SARAN... 9
DAFTAR PUSTAKA...10
BAB I
PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG
Sistem persamaan linear merupakan salah satu materi penting dalam matematika yang memiliki peran besar dalam penyelesaian berbagai permasalahan nyata. Menurut Anton dan Rorres (2014), sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear dengan variabel-variabel yang sama. Sistem persamaan linear telah dikenal sejak zaman kuno, dengan bukti penggunaannya ditemukan dalam naskah Babilonia kuno yang diperkirakan berasal dari tahun 300 SM.
Sejarah mencatat bahwa konsep sistem persamaan linear telah digunakan oleh masyarakat Cina kuno untuk menyelesaikan masalah pertanian dan pembagian lahan. Dalam perkembangan matematika modern, sistem persamaan linear menjadi fondasi penting dalam berbagai cabang ilmu matematika dan aplikasinya (Lipschutz & Lipson, 2017).
Seiring perkembangan zaman, metode penyelesaian sistem persamaan linear terus mengalami kemajuan. Salah satu metode yang paling dikenal adalah metode eliminasi Gauss yang dikembangkan oleh matematikawan Jerman, Carl Friedrich Gauss. Metode ini sangat efisien dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan jumlah variabel yang banyak
1.2 RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang di atas, beberapa permasalahan yang akan dibahas dalam makalah ini adalah:
1. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear?
2. Bagaimana konsep dasar operasi baris dasar dalam penyelesaian sistem persamaan linear?
3. Bagaimana metode eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?
4. Bagaimana penerapan sistem persamaan linear dalam penyelesaian berbagai permasalahan matematika?
1.3 TUJUAN
Tujuan penulisan makalah ini adalah:
1. Mendeskripsikan konsep dasar sistem persamaan linear secara komprehensif.
2. Menganalisis konsep operasi baris dasar dalam penyelesaian sistem persamaan linear.
3. Menjelaskan algoritma metode eliminasi Gauss dalam penyelesaian sistem persamaan linear.
4. Mengidentifikasi contoh penerapan sistem persamaan linear dalam penyelesaian berbagai permasalahan matematika.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. PENGANTAR SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sistem Persamaan Linier (SPL) merupakan himpunan dari dua atau lebih persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Persamaan linier sendiri adalah jenis persamaan aljabar di mana semua variabel berpangkat satu dan tidak dikalikan antar sesamanya. SPL muncul dalam berbagai permasalahan nyata seperti perencanaan keuangan, optimasi, dan rekayasa teknik, di mana beberapa kondisi atau persyaratan harus dipenuhi secara bersamaan.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Metode substitusi dilakukan dengan mengganti salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lain sehingga jumlah variabel berkurang dan lebih mudah diselesaikan. Metode eliminasi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan untuk menghilangkan salah satu variabel.
Sistem persamaan linier memiliki peran yang sangat besar dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam dunia profesional. Misalnya, dalam bidang ekonomi, sistem ini digunakan untuk menganalisis keseimbangan pasar dan perencanaan produksi. Dalam bidang teknik, sistem persamaan linier digunakan dalam analisis rangkaian listrik, struktur bangunan, dan pemodelan sistem mekanik. Bahkan dalam ilmu komputer, sistem ini menjadi dasar dalam pemrograman linier dan algoritma pencarian solusi optimal.
2.2. SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sistem persamaan linier diklasifikasikan berdasarkan jumlah variabel dan banyaknya persamaan. Terdapat dua bentuk penyajian utama dalam SPL, yaitu bentuk aljabar dan bentuk matriks. Dalam bentuk aljabar, SPL ditulis sebagai himpunan persamaan biasa. Namun untuk mempermudah penyelesaian dan penerapannya dalam komputasi, SPL lebih sering dinyatakan dalam bentuk matriks.
Menurut Suparno (2014), SPL merupakan alat dasar dalam aljabar linier yang membantu dalam memformulasikan serta menyelesaikan berbagai persoalan yang melibatkan hubungan linier antar variabel. SPL secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk:
a11X1+a12X2+…+a1nXn=b1 a21X1+a22X2+…+a2nXn=b2
…
am1X1+am2X2+…+amnXn=bm
Dimana:
a1, a2, … , anadalah koefisien
b adalah konstanta
Sistem Persamaan Linier dapat memiliki tiga kemungkinan solusi, yaitu:
2.2.1 Solusi Tunggal (unik)
Sistem Persamaan Linier memiliki satu solusi yang memenuhi semua persamaan. Hal ini terjadi jika garis-garis atau bidang-bidang yang diwakili oleh persamaan saling berpotongan di satu titik.
Contoh:
{
x−x+y=5y=1Penyelesaian sistem ini adalah x=3, y=2. 2.2.2 Tak Hingga Solusi
Sistem Persamaan Linier memiliki banyak solusi (tak hingga) jika semua persamaan saling berimpit (menggambarkan garis atau bidang yang sama).
Contoh:
{
2x−2x+y=4y=8Persamaan kedua merupakan kelipatan dari yang pertama, sehingga tidak menambah informasi baru. Solusinya adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi x+y=4.
2.2.3 Tidak Ada Solusi
Sistem Persamaan Linier tidak memiliki solusi jika persamaan-persamaan tersebut saling kontradiktif (garis-garis sejajar tetapi tidak berimpit).
Contoh:
{
xx++yy==25Kedua garis memiliki gradien yang sama tetapi berbeda titik potong, sehingga tidak pernah berpotongan.
2.3. OPERASI-OPERASI BARIS DASAR
Operasi Baris Dasar (OBE) adalah teknik yang sangat penting dalam penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) menggunakan metode matriks.
OBE digunakan untuk mengubah bentuk matriks yang mewakili SPL menjadi bentuk yang lebih sederhana, tanpa mengubah solusi dari sistem tersebut.
Jenis-jenis Operasi Baris Dasar:
2.3.1 Menukar Dua Baris
Operasi ini dilakukan dengan menukar posisi dua baris dalam matriks.
Misalnya, baris ke-i ditukar dengan baris ke-j. Notasi operasinya sering ditulis sebagai Bi❑↔Bj
Contoh:
[
1 2 34 5 6]
B1❑↔→B2[
4 5 61 2 3]
2.3.2 Mengalikan Satu Baris dengan Konstanta Tak-Nol
Dalam operasi ini, seluruh elemen pada satu baris dikalikan dengan suatu bilangan tak-nol. Notasinya:k × Bi, dimana k ≠0
Contoh:
[
2 4 61 3 5]
2× B→ 2[
2 42 6 106]
2.3.3 Menambahkan Kelipatan Suatu Baris ke Baris Lain
Pada operasi ini, suatu baris ditambah dengan kelipatan baris lain. Notasinya:
Bi+k ∙i Bj❑
→i Bi, artinya baris ke-i diganti dengan hasil penjumlahan baris ke-i dengan kk kali baris ke-j.
Contoh:
[
1 2 34 5 6]
B2+4∙ B→1❑→B2[
10 −32 −63]
2.4. ELIMINASI GAUSSIAN
Eliminasi Gaussian adalah algoritma standar untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan mengubah sistem tersebut ke dalam bentuk matriks dan melakukan serangkaian operasi baris dasar hingga matriks menjadi bentuk segitiga atas (row echelon form). Metode ini dikembangkan oleh matematikawan Jerman, Carl Friedrich Gauss, dan sangat berguna baik untuk sistem berskala kecil maupun besar.
Langkah-langkah Eliminasi Gaussian
2.4.1 Membentuk Matriks Augmented
Ubah sistem persamaan linier ke dalam bentuk matriks augmented, yaitu gabungan antara matriks koefisien dan vektor konstanta.
2.4.2 Operasi Baris Elemnter
Gunakan operasi baris dasar untuk mengubah matriks sehingga semua elemen di bawah diagonal utama menjadi nol.
2.4.3 Substitusi Mundur
Setelah matriks berbentuk segitiga atas, tentukan nilai variabel mulai dari baris paling bawah ke atas.
BAB III
CONTOH SOAL
1. Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan eliminasi Gauss:
x+2y+z=8 2x+y−¿1 3x−y+z=2 Penyelesaian:
Langkah 1: Tulis dalam bentuk matriks augmented
[
123 −211 −111|
812]
Langkah 2: Lakukan operasi baris dasar untuk mencapai bentuk eselon baris Eliminasi x dari baris 2: −2+R2→ R2
[
103 −3−12 −311|
−1582]
Eliminasi x dari baris 3: −3+R3→ R3
[
100 −−723 −−213|
−−22815]
Eliminasi y dari baris 3: −7
2 R2+R3→ R3
[
100 −320 −315|
−15138]
Langkah 3: Substitusi Mundur
Dari baris 3:
5z=13
z=13 5 z=2,6
Dari baris 2:
−3y−3z=−15
−3y−3(2,6)=−15
−3y−7,8=−15
−3y=−15+7,8=−7,2 y=2,4
Dari baris 1:
x+2y+z=8 x+2(2,4)+2,6=8
x=8−4,8−2,6 x=0,6
Jadi, solusinya adalah x=0,6, y=2,4, z=2,6 2. Tentukan x dan y dari persamaan dibawah
{
x−42x+3y=−5y=7Penyelesaian:
Dari persamaan kedua:
x=−5+4 y Substitusi ke persamaan pertama:
2(−5+4y)+3y=7
−10+8y+3y=7
−10+11y=7 11y=17
y=17 11
17
x=−5+68 11 x=13
11
BAB IV
PENUTUP 3.1. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
1. Sistem persamaan linear merupakan kumpulan dari dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan variabel-variabel yang sama dan memiliki peran penting dalam matematika serta aplikasinya di berbagai bidang ilmu.
2. Penyelesaian sistem persamaan linear dapat dilakukan dengan berbagai metode, di antaranya adalah metode operasi baris dasar yang meliputi operasi menukar posisi dua baris, mengalikan suatu baris dengan skalar tidak nol, dan menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain.
3. Metode eliminasi Gauss merupakan salah satu metode yang efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mengubah matriks koefisien menjadi bentuk eselon baris dan dilanjutkan dengan substitusi mundur.
3.2. SARAN
Berdasarkan pembahasan dan kesimpulan di atas, beberapa saran yang dapat diberikan adalah:
1. Pemahaman konsep dasar sistem persamaan linear perlu diperkuat sebelum mempelajari aplikasi-aplikasinya yang lebih kompleks.
2. Penggunaan perangkat lunak komputasi seperti MATLAB, Octave, atau Python dengan library NumPy sangat direkomendasikan untuk membantu visualisasi dan komputasi sistem persamaan linear berukuran besar.
3. Penelitian lebih lanjut mengenai aplikasi sistem persamaan linear dalam bidang- bidang spesifik seperti pemrograman linear, optimisasi, dan teori kendali akan
memberikan wawasan lebih mendalam tentang manfaat praktis dari konsep- konsep yang telah dipelajari.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra: Applications Version (11th ed.). Wiley.
Anton, H. (2010). Elementary Linear Algebra (10th ed.). John Wiley & Sons.
Eves, H. (2010). An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.).
Brooks/Cole.
Friedberg, S. H., Insel, A. J., & Spence, L. E. (2018). Linear Algebra (5th ed.).
Pearson.
Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
Kolman, B., & Hill, D. R. (2016). Elementary Linear Algebra with Applications (10th ed.). Pearson.
Lay, D. C. (2012). Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Addison-Wesley.
Lipschutz, S., & Lipson, M. (2017). Linear Algebra (6th ed.). McGraw-Hill Education.
