2280210057 Sarah Aulia Defitri Elektronika Digital Bab 2-5

2 Sistem Angka

TUJUAN INSTRUKSIONAL

Bab ini memperkenalkan berbagai sistem bilangan yang digunakan dengan komputer digital dan operasi aritmatika dalam berbagai sitem bilangan dasar. Setelah membaca bab ini, siswa harus dapat :

1. Ekspresikan angka dalam biner, oktal, atau heksadesimal.

2. Konversikan dari sistem bilangan tertentu ke yang lain.

3. Lakukan penjumlahan dalam bilangan biner, oktal, atau heksadesimal.

4. Lakukan pengurangan (secara langsung atau menggunakan komplemen) pada berbagai sistem basis.

5. Melakukan perkalian dan pembagian dalam berbagai sistem bilangan.

PERTANYAAN EVALUASI DIRI

Perhatikan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan berikut saat Anda membaca bab ini.

Mereka harus membantu Anda memahami materi yang di sajikan.

1. Bagaimana suatu bilangan diekspresikan dalam sistem bilangan umum?

2. Bagaimana digit biner digunakan untuk menyatakan bagian bilangan bulat dan pecahan dari suatu bilangan?

3. Bagaimana hubungan bilangan biner dan heksadesimal?

4. Apa yang dimaksud dengan komplemen 1s dan 2s pada bilangan biner?

5. Apakah bilangan komplemen dalam bilangan heksadesimal?

2-1 SISTEM BILANGAN DESIMAL

Anda yang hanya mempelajari sistem bilangan desimal awalnya terkejut bahkan tidak yakin ketika sistem lain diperkenalkan. Untuk membantu Anda dalam reorientasi, sistem angka basis 10 (desimal) akan disertakan dalam contoh. Operasi dalam sistem basis 10 mungkin tampak sederhana sebenarnya. Tetapi karena aturan dan operasi dalam sistem dasar lain dijelaskan, referensi kembali ke sistem angka “biasa” (desimal) akan mengungkapkan bahwa ada beberapa ide yang sangat mendasar tentang angka yang telah dipelajari atau dipahami hanya secara intuitif dan sekarang harus secara logis diperiksa.

Hanya ketika operasi dasar dan hukum bilangan ini dipahami dan diterima, aturan dan operasi yang sama dalam sistem bilangan lain akan tampak sederhana. Bahkan dapat dilihat bahwa untuk penggunaan tertentu yang dibahas, sistem lain ini bahkan lebih sederhana untuk digunakan dan dipahami.

9

10 DASAR-DASAR

Dalam memeriksa sejumlah angka pada system decimal, kita jarang mempertimbangkan susunan sebenarnya dari angka tersebut. Misalnya, harus jelas bahwa angka 576 harus jelas bahwa 576 yang berarti 5 ratusan, 7 puluhan, dan 6 satuan. Digit pada sistem basis 10 dari 0 (angka yang sangat penting) sampai 9. Perhatikan bahwa nomor 10, yang disebut basis pada sistem desimal, itu bukan angka pada sistem. Itu merupakan hasil dari angka 1 dan 0, dimana 10 spesifiknya 1 puluhan dan 0 satuan. Pemeriksaan lebih lanjut dari system nomor mengungkapkan bahwa konsep penting pada posisi angka dapat dirumuskan. Posisi yang dimaksud merupakan konsep yang sangat penting (berasal dari penggunaan nol sebagai angka) yang membuat 061 berarti 0 seratus, 6 puluhan, dan 1 satuan; dan 610 berarti 6 ratusan, 1 puluhan, dan 0 satuan. Dengan demikian, posisi angka pada basis 10 sistem determinan dapat menentukan besarnya angka yang dibaca. Konsep ini mungkin sangat sederhana, tetapi orang romawi menggunakan sistem angka yang harus mengandalkan symbol baru yang besar dan nomor yang besar, dengan demikian kehilangan manfaat besar dari kemungkinan manipulasi aritmatika dalam system bilangan posisional.

Ketika nomor 623 dibaca, berarti 6 ratusan, 2 puluhan, dan 3 satuan. Itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut:

Dimana, 10² merupakan kuadrat atau 100 10¹ merupakan 10

10⁰ merupakan 1 (menurut definisi)

Dari pemeriksaaan desimal ini dapat dilihat bagaimana gagasan basis 10 berlaku. Basis dari sebuah system nomor merupakan nomor tersebut, dinaikkan ke pangkat nol, itu merupakan nilai posisi terendah; dinaikkan kepangkat pertama, itu merupakan nilai posisi kedua; dinaikkan kepangkat dua, itu mertupakan nilai posisi ketiga, dan segera.

Bentuk umum setiap nomor pada sebuah system basis, R, merupakan

3 2 1 0

3 2 1 0

n

N=d Rn + +d R +d R +d R +d R

Dimana Nmerupakan angka, d_nposisi angka, dan R dasar atau basis pada system, dan eksponen menghasilkan posisi nilai.

Sebagai contoh, 1257 pada sistem desimal dapat ditulis

3 2 1 0

1257= 1 10 + 2 10 + 5 10 + 7 10

3 2 1 0

3 2 1 0

N=d R +d R +d R +d R Dimana, R=

10

, d₃ =1, d₂ =2, d₁=5, dan d₀ =7.

2-2 SISTEM BILANGAN BINER

Apakah kita akan terus membahas hanya sistem desimal, semua generalisasi ini memiliki arti yang kecil. Mari sekarang kita menerapkan definisi yang diberikan sistem bilangan

pada system dasar terendah, yang mana basis 2 (biner). Kita mengetahui bahwa sistem biner hanya angka 0 dan 1 (sekali lagi bukan angka dasar

2-2 SISTEM BILANGAN BINER

Jika kita terus membahas hanya sistem desimal, semua ini akan memiliki arti yang sempit. Mari kita terapkan definisi yang diberikan dari sistem bilangan ke sistem basis terendah, yaitu basis 2(biner). Kita perhatikan bahwa sistem biner hanya memiliki angka 0 dan 1 (sekali lagi radix bukan angka dasar tetapi terbuat dari pengelompokan angka).

SISTEM BILANGAN 11 digit dasar tetapi dibuat dari pengelompokan digit). Sistem basis 0 tidak ada dan sistem basis 1 hanya memiliki angka 0 (bukan sistem yang sangat menarik). Ini membawa kita ke basis 2 sebagai basis berguna terendah. Perbandingan tabel berikut memberikan awal dalam pemeriksaan bilangan basis 2.

100 = 1 = satuan 2⁰ = 1 = satuan

10

1 = 10 = puluhan 2¹ = 2 = dua

10

2 = 100 = ratusan 2² = 4 = empat

10

3 = 1000 = ribuan 2³ = 8 = delapan

dll. dll.

Bilangan biner hanya terdiri dari angka dasar 0 dan 1, sehingga definisi umumnya disederhanakan menjadi

3 2 1 0

8 4 2

N= + d + d + d +d dimana d d d d₃, ₂, ₁, ₀ adalah 0 atau 1. Misalnya, biner 1101 adalah 1 1 0 1

3 2 1 0

1 2 + 1 2 + 0 2 + 1 2 8 + 4 + 0 + 1

13

Dimana 8, 4, 0, 1, dan 13 adalah istilah dari sistem desimal yang sudah dikenal. Tabel 2-1 mencantumkan angka 0 sampai 9 (desimal) pada kedua sistem basis.

Tabel 2-1

Desimal Biner

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001

(1  2⁰)

(1  2¹ + 0  2⁰) (1  2¹ + 1  2⁰)

(1  2² + 0  2¹ + 0  2⁰) (1  2² + 0  2¹ + 1  2⁰) (1  2² + 1  2¹ + 0  2⁰) (1  2² + 1  2¹ + 1  2⁰)

(1  2³ + 0  2² + 0  2¹ + 0  2⁰) (1  2³ + 0  2² + 0  2¹ + 1  2⁰)

Jelas bahwa sistem biner boros ruang, membutuhkan empat digit untuk menentukan angka yang hanya membutuhkan satu digit desimal. Penggunaan besar biner (terutama di computer) berasal dari kesederhanaan angka dasar 0 dan 1. Karena hanya ada dua, mereka dapat direpresentasikan di komputer dengan saklar ON (1) atau OFF (0), lampu indikator ON (1) atau OFF (0), transistor ON (1) atau OFF (0), tegangan hadir (1) atau nol unit (0), dan seterusnya. Penggunaan biner oleh

komputer akan dibahas lebih lengkap pada bab – bab selanjutnya. Saat ini sistem biner dan operasi aritmatika akan dipertimbangkan.

12 DASAR-DASAR

Mengkonversi biner ke desimal hanya memerlukan penambahan nilai tiap posisi dari nomor memiliki angka biner 1

CONTOH 2-1 Siapkan tabel bilangan biner ke desimal dari 0 ke 15 Solusi

Desimal Biner

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

CONTOH 2-2 Determinan nilai desimal mengikuti bilangan biner:

Solusi (𝑎) 𝑁 = 1 × 2⁴+ 0 × 2³+ 1 × 2²+ 1 × 2¹+ 0 × 2⁰ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0

= 22 (desimal)

(𝑏) 𝑁 = 1 × 2⁵+ 1 × 2⁴+ 0 × 2³+ 1 × 2²+ 1 × 2¹+ 1 × 2⁰ = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1

= 55 (desimal) Konversi dari Desimal ke Biner

Mengkonversi bilangan biner ke desimal cukup sederhana. Namun bagaimana dengan mengkonversi desimal ke biner? Bagaimana bilangan biner untuk 2576(desimal)? Masalah ini bukan masalah besar, bukankah begitu? Tentu saja, melalui,dengan cara mengikuti metode pengulangan pengulangan dengan angka 2 gunakan hasil sisa dari pembagian sebagai nilai konversi. Kita akan mulai dengan contoh yang sederhana, Konversi (26)₁₀ Cara bacanya yaitu 26 basis 10

½ 3/2 6/2 13/2 26/2

Basis

0 1 3 6 13 Hasil bagi

+ + + + +

1 1 0 1 0 Sisa

(MSD) (LSD)

Desimal Biner

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14 1110

15 1111

(a)10110 (b)110111

Baca sisa terakhir sebagai digit yang paling signifikan (MSD) dan sisa yang pertama sebagai digit yang kurang signifikan (LSD)

SISTEM BILANGAN 13 sebagai digit terkecil (LSD). Jawab: (26)₁₀=(11010) .₂ Untuk memeriksa jawaban kami, mari kita ubah kembali ke desimal:

4 3 2 1 0

10

1 2 1 2 0 2 1 2 0 2

=16+8+2=(26)

N=  +  +    + 

Pembagian berkelanjutan dengan 2, mencatat sisanya, memungkinkan metode konversi yang sederhana. Akan terlihat nanti bahwa konversi dari sistem desimal ke sistem bilangan lainnya memerlukan pembagian dengan dasar sistem bilangan itu, melacak sisa, dan membaca jawaban dari sisa terakhir kembali. Konversi berhenti ketika hasil bagi adalah nol.

CONTOH 2-3 Konversikan bilangan desimal (35) ke biner. ₁₀ Solusi

1 2 4 8 17 35

2 2 2 2 2 2

0 1 2 4

     

8 17 + + + + + 1 0 0 0 1 1

+

Jawaban (35)₁₀=(100011)₂

5 4 3 2 1 0

10

1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2

=32+2+1 =(35)

Cek N=  +  +  +  +  + 

CONTOH 2-4 Konversikan (353) ke biner. ₁₀ Solusi

1 2 5 11 22 44 88 176 353

2 2 2 2 2 2 2 2 2

      

0 1 2 5 11 22 44 88 176 + + +

 

+ + + + + + 1 0 1 1 0 0 0 0 1

Jawaban (353)₁₀=(101100001)₂ Bilangan Biner Pecahan

Setelah mempertimbangkan bilangan bulat (utuh) dari sistem biner, sekarang kita mengalihkan perhatian kita ke bilangan pecahan. Dalam desimal angka 0,5176 dibaca 5 persepuluh, 1 perseratus, 7 perseribu, dan 6 per sepuluh perseribu. Perhatikan bahwa posisi pertama adalah persepuluhan. Bilangan pecahan dapat ditulis secara umum sebagai

1 2 3

1 2 3 ... _n ⁿ

N= d R⁻ + d R⁻ + d R⁻ + + d R⁻

Hasil bagi Sisa

Dalam desimal 0.725 adalah N= 7 10⁻¹+ 2 10⁻²+ 5 10⁻³ _{N= d1 R}⁻¹_{+ d2 R}⁻²_{+ d3 R}⁻³

14 DASAR-DASAR

Bilangan pecahan biner 0.1011 dibaca sebagai

1 2 3 4

1 2

 ⁻ + 

0 2

⁻ + 

1 2

⁻ + 

1 2

⁻ dimana

¹ 1₁ ² 1₂ ³ 1₃

2 0.5, 2 0.25, 2 0.125

2 2 2

− = = − = = − = = ,

dan,

4 4

2 1 0.0625.

2

− = =

2 10

10

karena itu (0.1011) (0.5 0.125 0.0625) = (0.6875)

= + +

CONTOH 2-5 Konversi (0.101101) ke desimal ₂

1 2 3 4 5 6

2

10

Solusi (0.101101) 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2

= 0.5 0.125 0.0625 0.015625 = (0.703125)

− − − − − −

=  +  +  +  +  + 

+ + +

CONTOH 2-6 Konversi (0.10001) ke desimal ₂

1 2 3 4 5

2

10

Solusi (0.10001) 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2

= 0.5 0.03125 = (0.53125)

− − − − −

=  +  +  +  +  +

Konversi Desimal Pecahan ke Biner

Mengubah bilangan biner pecahan menjadi desimal tampaknya cukup mudah.

Bagaimana kalau mengubah 0.57251 menjadi biner? Tampaknya menjadi masalah ₁₀ yang cukup berat, tetapi sebenarnya tidak. Kamu cukup menggunakan cara berikut.

0 . 57251 2 1 . 14502 1





0 . 14502 2 0 . 29004 0





0 . 29004 2 0 . 58008 0





0 . 58008 2 1 . 16016 1





0 . 16016 2, 0 . 32032 0





dst.

Jawabannya dibaca (0.10010. . .) . Sebagai cek, ₂

1 2 3 4

2

10

(0.10010) 1 2 0 2 0 2 1 2

= 0.5 0.0625 = (0.5625)

− − − −

=  +  +  +  +

Dapat dilihat bahwa kedua angka ini tidak persis sama. Jika jumlah tempat bilangan biner dilakukan lebih ke kanan, nilainya

SISTEM BILANGAN 15 mendekati lebih dekat dan lebih dekat ke bilangan desimal yang diberikan. hanya jika bilangan desimal adalah pecahan seperti 1/2, 1/8, 1/6, atau kombinasi yang tepat dari ini akan ada pecahan biner panjang yang terbatas. Tidak ada kesulitan jika persamaan biner dari pecahan desimal tidak berhingga, karena kita selalu dapat melakukan konversi ke akurasi yang diinginkan (atau jumlah tempat penting) yang diperlukan. Berikut adalah dua contoh - satu yang berakhir dan satu yang tidak.

CONTOH 2-7 Konversi (0, 65625)₁₀ ke biner.

Penyelesaian

Jawab

0.10101

Memeriksa

(0.10101)

₂ = 

1 2

⁻¹+ 

0 2

⁻²+ 

1 2

⁻³+ 

0 2

⁻⁴+ 

1 2

⁻⁵ =

0.5 0.125 0.03125

+ +

=(0.65625)₁₀ CONTOH 2-8 Konversi (0,8176)₁₀ ke biner.

Penyelesaian

Jawab (0.110100...)₂

Memeriksa

(0.110100)

₂ = 

1 2

⁻¹+ 

1 2

⁻²+ 

0 2

⁻³+ 

1 2

⁻⁴+ 

0 2

⁻⁵+ 

0 2

⁻⁶ =

0.5 0.25 0.0625

+ +

=(0.8125)₁₀

Jawaban ini mungkin tidak cukup akurat, mengharuskan konversi dilakukan ke lebih banyak tempat.

Mengubah Bilangan Biner Campuran (Bilangan Bulat dan Pecahan) ke Desimal

Mengonversi angka yang terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan dari biner ke desimal sangatlah mudah. Misalnya, (11010.10110)₂ adalah

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2

N =  +  +  +  +  +  ⁻ +  ⁻ +  ⁻ +  ⁻ +  ⁻ =

16 8 2 0.5 0.125 0.0625

+ + + + +

=(26.6875)₁₀

0.1632



2

0.3264

0

16 DASAR-DASAR

CONTOH 2-9 Mengkonversi dari biner ke desimal: 10110.1101.

4 3 2 1 0 1 2

2

3 4

10

(10110.1101) 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2

0 2 1 2

=16 4 2 0.5 0.25 0.0625 (22.81 5

2 )

− −

− −

= +  +  +  +  +  +  +  + 

+ + + + +



=

CONTOH 2-10 (101101.110001)₂ =(?)₁₀

5 4 3 2 1 0

2

1 2 3 4 5 6

(101101.110001) 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 32 8 4 1 0.5 0.25 0.015625

− − − − − −

=  +  +  +  +  +  +  +  +  +  +  + 

= + + + + + + (45.765625)10

=

Mengubah Bilangan Desimal Campuran menjadi Biner

Sekarang ubah (274.1875)₁₀ , menjadi biner. Hal ini dapat dilakukan sedikit demi sedikit dengan menggunakan pembagian berulang dengan 2, membaca sisa angka bilangan bulat, mengunakan bilangan bulat satuan sebagai nilai biner.

Contoh berikut menunjukkan prosedur.

CONTOH 2-11 Ubah (274.1875) ₁₀ ke bilangan biner.

274 137 0

2

137 68 1

2

68 34 0

2

34 17 0

2

17 8 1

2

8 4 0

2

4 2 0

2

2 1 0

2

1 0 1 100010010

2

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= + →

Baca sebagai (100010010)₂).

0.1875 0.3750 0.7500 0.5000 × 2 × 2 × 2 × 2 0.3750 0.7500 1.5000 1.0000 0 0 1 1 Solusi

Solusi

Solusi

SISTEM BILANGAN 17

Dibaca sebagai 0,0011. Jawab

(

274.1 78 5

)

10 =(100010010.0011)2 2-3 SISTEM BILANGAN OKTAL Oktal atau basis 8 sistem bilangan popular karena mudah diubah menjadi biner. Untuk sistem bilangan octal, radix atau basisnya adalah 8 dan digitnya dari 0 sampai 7. Tidak ada digit 8 atau 9 dalam octal. Karena octal adalah sistem bilangan , maka dapat ditulis sebagai : 2 1 0 2 1 0 n

....

N=dnR + + d R + d R + d R =d_n + +  +  +

8

ⁿ

...

d₂

8

² d₁

8

¹ d₀

8

⁰ Dimana angka d_n,...,d d d₂, ₁, ₀adalah 0,1, 2,3, 4,5, 6,atau7. Konversi dari Oktal ke Desimal Bilangan oktal seperti (37)₈−dibaca

37

basis

8

−dapat juga ditulis sebagai 1 0 (37)8=  + 3 8 7 8 10 3 8 7 1 24 7 (31) =  +  = + = Relasi antara beberapa bilangan desimal dan oktal ditunjukan paada Tabel 2-2, yang mencantumkan kedua nilai sistem bilangan dari oktal 0 hingga oktal 100. Tabel 2-2 Bilangan Desimal – Oktal dari 0 100− ₈ Desimal Oktal

10

1 10⁰

8

¹

8

⁰ Desimal Oktal 1 0

10 10

8 8

^{1 0} Desimal Oktal 1 0

10 10

8 8

^{1 0} Desimal Oktal 1 0

10 10

8 8

^{1 0} 00 00

01 01

02 02

03 03

04 04

05 05

06 06

07 07

08 10

09 11

10 12

11 13

12 14

13 15

14 16

15 17

16 20

17 21

18 22

19 23

20 24

21 25

22 26

23 27

24 30

25 31

26 32

27 33

28 34

29 35

30 36

31 37

32 40

33 41

34 42

35 43

36 44

37 45

38 46

39 47

40 50

41 51

42 52

43 53

44 54

45 55

46 56

47 57

48 60

49 61

50 62

51 63

52 64

53 65

54 66

55 67

56 70

57 71

58 72

59 73

60 74

61 75

62 76

63 77

64 100

18 DASAR-DASAR

Setelah di cek, mengubah (63)₈ menjadi bilangan desimal.

1 0

8

10

(63) = 6 8 3 8 6 8 + 3 1

48 3 (51) (periksa dengan tabel 2-2)

 + 

=  

= + =

CONTOH 2-12 mengubah (142)₈menjadi bilangan desimal Solusi

CONTOH 2-13 mengubah (364)₈menjadi bilangan desimal Solusi

Mengubah bilangan oktal pecahan menjadi desimal membutuhkan penambahan bobot yang sesuai dengan posisi pecahan oktal.

1 2 3

1

8

2

8

3

8 ...

N=d ⁻ +d ⁻ +d ⁻ + Dimana

1

1

8 0,125,

8

− = = ²

1

₂

1

8 0, 015625,

8 64

dll

− = = =

Misalnya,

Konversi dari Desimal ke Oktal

Konversi dari desimal ke oktla dilakukan dengan menggunakan pembagian berulang untuk bagian bilangan bulat dan perkalian berulang untuk bagian pecahan. Beberapa contoh akan menunjukkan metode ini.

1 2

8

10

(0, 23) 2 8 3 8

2 0,125 3 0, 015625 =0, 250 0, 046875 =(0, 296875)

− −

=  + 

=  +  +

2 1 0

8

10

(364) 3 8 6 8 4 8

3 64 6 8 4 1 =192+48+4

= (244)

=  +  + 

=  +  + 

2 1 0

8

10

(142) 1 8 4 8 2 8 = 1 64+4 8 +2 1 64 32 2

(98)

=  +  + 

  

= + +

=

SISTEM BILANGAN 19 CONTOH 2-14

( )

¹²⁷ ₁₀ ⁼

( )

^? ₈

Solusi

1 8

15 8

127 8

Akar

0

1

15

Hasil bagi

+ + +

1

7

7

^Sisa

Baca sebagai

( )

¹⁷⁷ ₈

CONTOH 2-15

(

²⁵⁴

)

₁₀ ⁼

( )

^? ₈

Solusi

3 8

31 8

254 8

0 3 31

+ + +

3 7

6

Jawaban

( ) ( ) 254

₁₀

= 376

₈

CONTOH 2-16 (0,1875)10 = (?)8

0

.

1875 0

.

5000



8



8

1

.

5000 4

.

0000

1 4

( 0.1875 ) (

₁₀

= 0.14 )

₈

CONTOH 2-17

( 49.21875 ) ( )

₁₀

= ?

₈

Solusi Bagian bilangan bulat Bagian pecahan

6 8

49 8

0

.

21875



8 1

.

75000

0

.

75



8 6

.

00

0 6

+ + 1 6

6 1

Jawaban

( 49.21875 ) (

₁₀

= 61.16 )

₈

2-4 SISTEM BILANGAN HEXADESIMAL

Sistem bilangan hexadecimal atau basis 16 saat ini digunakan oleh Sebagian besar computer. Pada awalnya sistem hexadecimal tampak cukup aneh karena membutuhkan tambahan symbol bilangan untuk mewakili angka 10, 11, 12, 13, 14 dan 15 pada

20 DASAR-DASAR

selain angka 0 sampai 9. untuk sistem bilangan berbasis 16 angkanya dimulai dari 0 sampai 15. menggunakan terminologi IBM yang diterima secara umum, angka-angka ini direpresentasikan sebagai berikut :

Nilai Desimal Digit Heksadesimal

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 A

11 B

12 C

13 D

14 E

15 F

Bilangan Bulat Heksadesimal

Nilai posisi dari kanan ke kiri adalah 16⁰, 16¹, 16², dll. Misalnya, bilangan heksadesimal 2316 sama dengan bilangan desimal 3510 sebagai berikut:

(23)₁₆= 2 × 16¹+ 3 × 16⁰

= 2 × 16 + 3 × 1 = 32 + 3 = (35)10

Sebagai contoh lain,

(3B)₁₆= 3 × 16¹+ 𝐵 × 16⁰

= 3 × 16¹+ 11 × 16⁰

= 3 × 16 + 11 × 1 = 48 + 11 = (59)₁₀

Tabel2-3 menunjukkan beberapa bilangan desimal dan heksadesimal yang setara dari 0 − FFFF₁₆. Perhatikan baik-baik angka-angka pada kolom heksadesimal yang menunjukkan urutan beberapa angka. Beberapa contoh berikut akan memeriksa kesetaraan nilai desimal dan heksadesimal.

CONTOH 2-18 Tentukan nilai desimal dari bilangan heksadesimal berikut:

(a) (1F)₁₆ (b) (9E)₁₆ (c) (A2)₁₆ (d) (1FF)₁₆

SISTEM BILANGAN 21 Tabel 2-3 Desimal dan Heksadesimal dari 0-FFFF16

Desimal Heksadesimal Desimal Heksadesimal

0 1 2 . . . 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 . . . 152 153 154

0 1 2 . . . 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 . . . 98 99 9A

155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 . . . 511 512 . . . 4095 4096

. . . 65,535

9B 9C 9D 9E 9F A0 A1 A2 . . . F8 F9 FA FB FC FD FE FF 100 101 102 . . . 1FF 200 . . . FFF 1000

. . . FFFF Solusi

(a)

( ) 1 F

16

=  1 16

¹

+  F 16

⁰

=  +  = 1 16 15 1 16 15 + = (31)

10

(b)

(9 ) E

₁₆

=  9 16

¹

+  E 16

⁰

=  +  = 9 16 14 1 144 14 (158) + =

₁₀

( c)

( 2) A

₁₆

=  A 16

¹

+  2 16

⁰

=  +  = 10 16 2 1 160 2 (162) + =

₁₀

(d)

2 1 0

16 10

(1 FF ) =  1 16 +  F 16 +  F 16 =  1 256 15 16 15 1 256 240 15 (511) +  +  = + + =

22 DASAR-DASAR

Pecahan Bilangan Heksadesimal

Pecahan bilangan heksadesimal seperti

0.8

₁₆ sama dengan

0.5

₁₀ sebagai berikut:

( )

^0.8₁₆ ^{8 16 1 8}

( )

^0.5₁₀

16

=  − = =

Contoh kedua,

0.48 ,

₁₆ adalah:

( )

( )

1 2

16

10

1 1

0.48 4 16 8 16 4 8

16 256

4 8

0.2500 0.03125 0.28125 16 256

− −

=  +  =  + 

= + = + =

Konversi Bilangan Bulat Desimal ke Heksadesimal

Konversi dari desimal dilakukan dengan pembagian berulang dengan 16 untuk bilangan bulat dan perkalian berulang dengan 16 untuk bagian pecahan dari suatu bilangan, sebagai berikut contoh menunjukkan.

CONTOH 2-19 Ubahlah bilangan desimal berikut menjadi heksadesimal:

(a) 152 (b) 249 (c) 567.1875 Penyelesaian ⁹

16

0

9 (a)

+



152 16 9 8 +



( ) ( )

¹⁵²₁₀^{= 98}₁₆

15 16 0 15( F)

(b)

+

=



249 16

15 9 +



( ) ( )

²⁴⁹₁₀^{= F9}₁₆

2 16

0

2

(c)

+



35 16

2

3 +



⁵⁶⁷ 16

35

7 +



(

^567.1875

) (

₁₀^{= 237.3}

)

₁₆

0.1875 16 1.1250 1.875 3.0000



SISTEM BILANGAN 23 2-5 KONVERSI BINER-OKTAL-HEXADECIMAL

Konversi Biner-Oktal

Angka oktal digunakan di beberapa komputer. Mari kita selanjutnya mempertimbangkan konversi antara oktal dan biner. Kesederhanaan konversi ini (dan sebaliknya) membuat angka oktal sangat berguna. Pertama coba konversi menggunakan teknik dasar seperti sebelumnya.

CONTOH 2-20 Ubah (275), menjadi biner.

Solusi

Baca sebagai (010111101),

Sekarang Anda harus menyatakan bahwa semua contoh salah, pembagiannya salah, dan meskipun jawabannya benar (sudahkah Anda memeriksanya?) seluruh proses terlihat palsu. Semua ini tidak benar dan metodenya sepenuhnya benar, seperti jawabannya. Apa yang mungkin gagal Anda pertimbangkan adalah bahwa pembagian dilakukan dengan menggunakan bilangan oktal. Misalnya, 2 menjadi 275 berarti 2 menjadi 2 = 1,2 menjadi 7 = 3 dengan sisa 1, dan 2 menjadi 15 sebenarnya adalah 2 basis 8 menjadi 15 basis 8 [di mana (15), adalah 13 basis 10 dan sama dengan 6 basis 8 dengan sisa 1]. Seperti yang telah ditunjukkan sebelumnya, ada metode konversi sederhana-dan ini jelas bukan. Lihat betapa mudahnya konversi yang sama dapat dilakukan.

(275)

8

= 010

111

101

2 dalam biner 7 dalam biner 5 dalam biner 010 111 101 jawab dalam biner

Lihat kembali untuk melihat bahwa ini adalah jawaban yang sama diperoleh dengan pembagian. Prosedurnya adalah menulis bilangan biner tiga tempat untuk setiap digit oktal. Karena basis 8 memiliki bilangan bulat dari 0 hingga 7 dan bilangan biner tiga tempat dapat mewakili angka dari 0 hingga 7, mereka cocok dengan baik. Lihat betapa mudahnya dua konversi berikut dilakukan.

( 3676 )

₈

=

(011

101 111 110)

₂

= (011101111110)

2

( 2412 )

₈

=

(010

100 001 010)

₂

= (010100001010)

₂

24 DASAR-DASAR

Bisakah konversi ini dilakukan?

( 3978 = ? ) ( )

_{8 2}Tidak! Angka ini bukan angka oktal- digit oktal hanya setinggi 7.

Konversi dari biner ke oktal sama mudahnya dengan 2 digit contoh menunjukan.

CONTOH 2-21

( 101110110 = ? ) ( )

_{2 8}

Solusi

( 101 110 110 = 566 ) ( )

_{2 8}

CONTOH 2-22

( 10111011110 = ? ) ( )

_{2 8}

Solusi Masalah ini membutuhkan perhatian ekstra hanya dalam membaca nomor dengan benar.digit harus dikelompokkan menjadii tiga (jumlah tempat) dimulai dari kanan.

1 011 011 110 yang mana 001 011 011 110

Ini dikonversi menjadi

( 1 3 3 6 )

₈. Jika anda membaca angka

101 110 111 0

, anda akan salah. Berhati-hatilah untuk tidak membuat kesalahan ini.

Bila bilangan biner dibaca, panjangnya cenderung membuatnya sulit dikenali.

Misalnya, baca 10111101110111. Jika bilangan yang sama ini dibaca dalam oktal, anda akan lebih mudah. Itu akan membaca

( 27567 )

₈. Beberapa komputer mencetak jawabannya dalam oktal untuk memberikan pengenalan yang lebih mudah. Operasi di computer dilakukan dalam biner, tetapi ketika jawabannya dicetak, komputer memberikan hasil dalam oktal, sehingga operator manusia akan lebih mudah membacanya. Tentu saja, akan lebih mudah untuk mencetak jawabannya dalam sistem desimal yang sudah dikenal. Namun, ini mengharuskan computer “mengubah” dari

“bahasa” biner internal ke desimal eksternal, yang membutuhkan waktu dan sirkuit khusus. Banyak komputer menyediakan fasilitas ini sementara beberapa menggunakan konversi yang lebih cepat ke oktal. Pilihannya tergantung terutama pada pengguna, dan operasi konversi biasanya dapat ditambahkan bila diinginkan baik sebagai konversi terprogram atau sirkuit tambahan.

Konversi Biner-Heksadesimal

Memperluas pengelompokan digit biner menjadi empat kelompok memberikan kemudahan konversi dengan bilangan heksadesimal. Pengelompokan tersebut tercantum dalam Tabel 2-4 di bawah.

Konversi dari biner ke heksadesimal kemudian dilakukan dengan mengelompokkan masing-masing empat digit biner (dimulai dari kanan) dan menggantinya dengan ekuivalen heksadesimal seperti pada Tabel 2-4.

CONTOH 2-23 Ubah bilangan biner berikut menjadi heksadesimal:

( ) a 011011110101 b 1011101010010010 ( )

SISTEM BILANGAN 25 Tabel 2-4 Hubungan Biner-Heksadesimal

Biner Heksadesimal

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Penyelesaian (a) 0110 1111 0101

6 F 5 (011011110101)₂=(6F5)₁₆ (b) 1011 1010 1001 0010

B A 9 2

( 1011101010010010 ) (

₂

= BA92 )

₁₆

Konversi dari heksadesimal ke biner dilakukan dengan mengekspresikan setiap digit heksadesimal dengan empat (tetapi tepat empat dalam semua kasus) digit biner seperti pada contoh berikutnya.

CONTOH 2-24 Merubah bilangan heksadesimal yang diberikan menjadi biner : (a) 1A6 (b) F109 (c) A2C

Penyelesaian (a) (1A6) 16 = 0001 1010 0110 =

( 000110100110 )

₂

(b) (F109) 16 = _{1111 0001 0000 1001} =

( 1111000100001001 )

₂

(c) (A2C) 16 = _{1010 0010 1100} =

( 101000101100 )

₂

2-6 PENJUMLAHAN

Sekarang setelah bilangan sistem biner, oktal, dan heksadesimal dan hubungannya dengan bilangan desimal telah dipelajari, kita dapat mempertimbangkan beberapa operasi aritmatika dalam sistem dasar yang berbeda ini.

26 DASAR-DASAR Penjumlahan Bilangan Biner

Penjumlahan biner dapat dipelajari dari tabel penjumlahan berikut (Tabel 2-5).

Seharusnya jelas bahwa ini jauh lebih sederhana daripada tabel penjumlahan decimal.

Seperti yang ditunjukkan pada tabel, hanya ada empat kombinasi yang harus “dihapalkan”. Dalam sistem desimal, Anda mungkin ingat bahwa harus

“menghapal” 100 kombinasi (banyak diantranya diulang-ulang). Penjumlahan 0 + 0, 1 + 0, 0 + 1 itu sudah jelas. Penjumlahan

1 + 1

adalah

2

, dalam biner harus ditulis menggunakan dua tempat. Angka terbesar yang mungkin dalam posisi apapun dalam biner adalah

1

, seperti halnya angka desimal terbesar dalam posisi apapun adalah

9

. Jadi

1 + 1

adalah 0. Tentu saja, ditambahkan ke tempat yang lebih tinggi berikutnya.

Tabel 2-5 Tabel Penjumlahan Biner Ditambahkan

+ 0 1

Tambah

0 0 1

1 1

Sum

0 + c

Note : c berarti carry

Contoh 2-25

001101 100101 110010

+

10

13 37 50 +

 

 

 

 

 

 

Contoh 2-26

1011011 1011010 10110101 +

10

91 90 181 +

 

 

 

 

 

 

Contoh 2-27

110111011 100111011 1011110110

+

10

443 315 758 +

 

 

 

 

 

 

Karena hampir secara ekslusif berurusan dengan angka desimal, sebagian besar siswa merasa penjumlahan biner agak membingungkan pada awalnya. Sedikit latihan bekerja dalam biner akan mengatasi hal ini dengan sangat cepat karena operasi biner sebenarnya jauh lebih sederhana daripada desimal. Sebagai contoh, jumlah pada kolom manapun akan berupa angka 0 atau 1. Bahkan dimungkinkan untuk menentukan yang mana tanpa melakukan

penjumlahan. Jika jumlah angka 1 pada kolom yang akan dijumlahkan ganjil, maka jumlah bit pada kolom tersebut akan berupa angka 1. Jika jumlah angka 1 pada kolom genap, maka jumlah bit adalah 0. Selain itu, untuk setiap pasangan angka 1 dalam satu kolom, tambahkna angka 1 pada kolom angka yang posisinya lebih tinggi. Perhatikan contoh berikut ini yang menambahkan empat bilangan biner.

SISTEM BILANGAN 27 CONTOH 2-28 Tambahkan kolom bilangan biner berikut :

00011 01010 00011 + 00110 Solusi

Satu pasang 1 dikolom ketiga 1 Dua pasang 1 dikolom kedua Satu pasang 1 dikolom keempat 1 1 1 1 Satu pasang 1 dikolom pertama

0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 + 0 0 1 1 0

1 0 1 1 0 Angka genap dari 1 di kolom Angka ganjil dari 1 di kolom Angka ganjil dari 1 di kolom Angka genap dari 1 di kolom Angka ganjil dari 1 di kolom Penambahan oktal

Penambahan bilangan oktal dapat diringkas dalam tabel penjumlahan- Tabel 2.6- yang menunjukkan hasil penjumlahan semua kombinasi dua digit oktal. Carry yang ditunjukkan selalu 1, dan harus ditambahkan ke kolom posisi yang lebih tinggi berikutnya saat melakukan penambahan: Beberapa contoh akan menunjukkan penambahan oktal.

Tabel 2-6 Tabel Penambahan untuk Bilangan Oktal

+ 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6 7

1 1 2 3 4 5 6 7 0 +c

2 2 3 4 5 6 7 0 +c 1 +c

3 3 4 5 6 7 0 +c 1 +c 2 +c

4 4 5 6 7 0 +c 1 +c 2 +c 3 +c

5 5 6 7 0 +c 1 +c 2 +c 3 +c 4 +c

6 6 7 0 +c 1 +c 2 +c 3 +c 4 +c 5 +c

7 7 0 +c 1 +c 2 +c 3 +c 4 +c 5 +c 6 +c

Catatan : Carry, selalu 1 ke kolom posisi tinggi berikutnya

CONTOH 2-29 lakukan penjumlahan oktal berikut:

(a) 235 (b) 2017 (c) 76 + 126 + 4674 + 23

28

DASAR-DASAR

Solusi

(a)

235 126 363

+

(b)

2017 4674 6713

+

(c)

76 23 121

+

PENJUMLAHAN HEKSADESIMAL.

Berbeda dengan pilihan sederhana dalam biner memiliki jumlah bit 0 atau 1, jumlah digit dalam heksadesimal dapat berupa salah satu dari 15 digit untuk 256 kombinasi yang tercantum dalam tabel penjumlahan heksadesimal, Tabel 2-7.

Akan lebih baik untuk merujuk berulang kali ke tabel penjumlahan saat pertama kali mencoba menambahkan angka heksadesimal. Beberapa contoh akan mendemonstrasikan penjumlahan heksadesimal. Seperti halnya penjumlahan desimal, penggunaan tabel tidak lagi diperlukan setelah beberapa latihan pengembangan keterampilan yang baik.

CONTOH 2-30

Tambahkan bilangan heksadesimal berikut:

(a)

²¹

352 A

+

(b)

⁷²

3 C

+A F

(c)

²⁰⁷

8194 A +

Solusi

(a)

21 352 56

A

C

+

(b)

72 3 116

C A F

B

+

(c)

207 8194

21

A

A E +

2-7 OPERASI PENGURANGAN BINER DAN KOMPLEMEN PENGURANGAN BINER

Pengurangan dalam biner adalah operasi yang sama seperti dalam desimal. Anda mungkin menggangap operasi pengurangan lebih sulit daripada penjumlahan. Ini mungkin karena Anda menganggap pengurangan itu sendiri lebih sulit (seperti kebanyakan orang) atau karena Anda tidak dapat mengurangkan dengan baik dengan angka desimal dan bahkan lebih bingung dengan biner. Fakta ini berasal dari pengalaman kelas secara langsung, dan disarankan agar Anda menghapus pengurangan dalam desimal sehingga operasi biner (yang seharusnya lebih sederhana) dapat dipahami. Pengurangan desimal sederhana ditunjukkan dibawah ini.

(menurun)

1572 964 608

−

Suku-suku dalam pengurangan didefinisikan sebagai menurun (1572), kurangi (964), dan perbedaan (608). Tinjau tabel pengurangan (Tabel 2-8), beberapa contoh dan latihan menggunakan bilangan biner.

CONTOH 2-31

10110 01010 01100

−

10

22 10 12

 

− 

 

 

 

(kurangi)

(perbedaan)

SISTEM BILANGAN 29

23456789ABCDEF 23456789ABCDEF 3456789ABCDEF0 456789ABCDEF0 1 56789ABCDEF0 1 2 6789ABCDEF0 1 2 3 789ABCDEF0 1 2 3 4 89ABCDEF0 1 2 3 4 5 9ABCDEF0 1 2 3 4 5 6 ABCDEF0 1 2 3 4 5 6 7 ABCDEF0 1 2 3 4 5 6 7 8 BCDEF0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CDEF0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A DEF0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB EF0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB C DE

Tabel 2-7 Tabel Penjumlahan Heksadesimal Catatan : Carry, , selalu 1 kolom ke posisi yang lebih tinggi berikutnya.

30 DASAR-DASAR

Tabel 2.8 Tabel Pengurangan Biner

Angka yang dikurangi

0 1

0 0 1

Pengurang Perbedaan

1 1 + b 0

Catatan: b berarti meminjam.

CONTOH 2-32

11011001 1101011 00101110

−

10

217 171 46

 

− 

 

 

 

Coba contoh ini sendiri (tanpa melihat jawabannya). Apakah begitu mudah? Cara menjadi mahir mengurangkan bilangan biner sama dengan latihan – desimal. Salah satu cara untuk membantu menyederhanakan pengurangan adalah dengan membaca angka secara berkelompok. Ini terkadang membantu. Berikut adalah salah satu contoh di mana itu adalah bantuan.

CONTOH 2-33

100110011101 1001 1001 1101 010101110010 0101 0111 0010

− −



1001 1001 1101 0101 0111 0010 0100 0010 1011

Jawab 010000101011.

Mengimplementasikan Operasi

Teknik unruk melakukan pegurangan dalam berbagai sistem bilangan adalah penggunaan bilangan pelengkap. Penggunaan bilangan N2 dari bilangan N1 dapat dilakukan dengan menjumlahkan komplemen bilangan N2 dengan dengan bilangan N1. Penggunaan komplemen merupakan inti dari operasi aritmatika di komputer dan perlu pertimbangan serius. Setelah kita mengenal konsep komplemen dan penerapannya pada pengurangan menggunakan bilangan desimal, kita membahas operasinya dalam sistem bilangan biner, oktal, dan heksadesimal.

Pelengkap Desimal

Komplemen suatu bilangan termasuk komplemen dasar dan satu kurang dari komplemen dasar. Dalam desimal (basis 10), ada komplemen sepuluh

( )

^10s dan komplemen

sembilan

( )

^9s dari bilangan apapun. Pengertian komplemen bilangan sembilan adalah bilangan yang merupakan jumlah dari bilangan – bilangan itu menjadi sembilan. Tabel 2-9 menunjukan angka

( )

^9s dari angka desimal 0 sampai 9.

SISTEM BILANGAN 31

Sembilan komplemen bilangan diperoleh dengan menggunakan komplemen digit demi digit.

Komplemen puluhan kemudian merupakan angka yang satu lebih besar dari komplemen rine.

Contoh berikut menunjukkan cara mendapatkan komplemen Sembilan dan kemudian sepuluh dari angka decimal.

CONTOH 2-34 Carilah 9sdan 10s dari bilangan berikut

(a) 128 (b) 981 (c) 199 (d) 1078 Solusi

(a)

128 9 dari 871 10 dari 872

N

s N

s N

=

=

=

(b)

981 9 dari 018 10 dari 019

N

s N

s N

=

=

=

(c)

199 9 dari 800 10 dari 801

N

s N

s N

=

=

=

(d) 1078

9 dari 8921 10 dari 8922

N

s N

s N

=

=

=

Pengurangan Menggunakan Komplemen Desimal

setelah kita dapat memperoleh komplemen bilangan decimal, berikut cara pengurangan menggunakan penjumlahan komplemen bilangan.

CONTOH 2-35 Lakukan pengurangan decimal berikut dengan menggunakan penjumlahan pelengkap.

(a)

653

− 475

^(b)

237

− 188

^(c)

1081

− 793

Solusi

Tabel 2 - 9 komponen Sembilan digit desimal

N

9

_sdari N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

(a)

653

− 475 

653 653

524 (9 dari 475) atau 525 (10 dari 475) 1177 1178

s s

+ +

(jawaban)

1 (berakhir berkeliling membawa) (abaikan bawaan)

178 (jawaban)

DASAR-DASAR

Ketika pengurangan dilakukan dengan menjumlahkan sembilan komplemen, carry yang dihasilkan dari posisi tertinggi ditambahkan ke nilai pada posisi terendah (sekitar akhir carry) saat terjadi. Langkah ekstra ini tidak diperlukan saat menggunakan pelangkap sepuluh dan barang bawaan dari posisi tertinggi diabaikan.

Komplemen Biner

Komplemen biner meliputi komplemen dasar, komplemen dua (2s), dan komplemen satu (1s) dari bilangan biner. Mengikuti prosedur yang dikembangkan dengan komplemen decimal, biner 1s dari angka 0 dan1 menghasilkan jumlah 1, sehingga

1s angka 1 = 0 1s angka 0 = 1

Seperti yang terlihat, komplemen satu digit biner adalah kebalikannya. Komplemen dua dari suatu bilangan adalah komponen satu dari bilangan itu ditambah satu. Beberapa contoh akan menunjukkan memperoleh 1s dan 2s dari bilangan biner yang diberikan.

CONTOH 2-36 Dapatkan 1s dan 2s dari bilangan biner berikut.

(a) 101101 (b) 110110101 (c) 10101100 Solusi

(a) N = 101101 (b) N = 110110101 (c) N = 10101100

1s dari N = 010010 1s dari N = 001001010 1s dari N = 01010011

2s dari N = 01001 2s dari N = 001001011 2s dari N = 01010100

Seperti angka desimal, komplemen dapat digunakan untuk mempengaruhi pengurangan biner seperti yang ditunjukkan contoh berikut.

(b) ⟹

(

9s dari 188)

(

sekitar akhir carry)

(

jawaban)

ATAU (

10s dari 188)

↑ (mengabaikan

carry)

(c) ⟹

(

9s dari 0793)

(

sekitar akhir carry)

(

jawaban)

ATAU (

10s dari 0793)

↑ (mengabaikan

carry)

(

jawaban)

CONTOH 2-37 Lakukan pengurangan berikut menggunakan penjumlahan komplemen dari bilangan biner berikut.

(c) 110010 - 101101

(b) 111001010

- 110110101 (a) 11010101

- 10101100

SISTEM BILANGAN 33 Larutan

)

a

¹¹⁰⁰¹⁰

101101

−

110010 010010

+ (1sof

101101

) OR ¹¹⁰⁰¹⁰ 010011

+ (2sof

101101

)

1010100 1010101

(answer)

1

(end carry) (ignore carry)

010101

(answer)

)

b

^111001010

110110101

−

111001010 1000010100

+ 1s OR ^111001010

1000010101

+ (2sof

101101

)

1000010100

1000010101

(answer)

1

(end carry) (ignore)

000010101

(answer)

)

c

^11010101

10101100

−

11010101 01010011

+ 1s OR ^11010101

01010100

+ (2sof

101101

)

100101000 100101001

(answer)

1

(end carry) (ignore)

00101001

(answer)

Komplemen Oktal

Dengan bilangan oktal ada komplemen delapan

( )

^8s dan komplemen tujuh

( )

^{7s .} Tabel 2-10 menunjukkan digit oktal 0 sampai 7 dan tujuh komplemennya. Contoh berikut menunjukkan bagaimana komplemen tujuh dan komplemen delapan dari bilangan oktal tebentuk.

Tabel 2-10 digit oktal dengan 7s

Digit oktal 7s

0 7

1 6

2 5

3 4

4 3

5 2

6 1

7 0

CONTOH 2-38 Tentukan 7s dan 8s dari bilangan oktal yang diberikan

( ) a 176 ( ) b 325 ( ) c 6072

Larutan

( ) a

^{N =}

176 ( ) b

^{N =}

325 ( ) c

^{N =}

6072

7s of N =

601

7s of N =

452

7s of N =

1705

8s of N =

602

8s of N =

453

8s of N =

1706

Contoh berikut menunjukkan bagaimana pengurangan bilangan oktal dilakukan dengan menggunakan komplemen.

34 DASAR-DASAR

Contoh 2-39 Kurangi angka oktal berikut menggunakan penjumlahan komplemen.

Solusi

Bilangan Heksadesimal

Dengan angka heksadesimal ada komplemen enam belas

( )

^16s , dan komplemen lima belas

( )

^{15s . Digit 15s} heksadesimal dibentuk sehingga digit dan

pelengkapnya berjumlah 15, seperti yang dirangkum dalam Tabel 2-11 Tabel 2-11 Digit heksadesimal dan 15s

Digit Heksadesimal

15s Digit

heksadesimal

15s

0 F 9 6

1 E A 5

2 D B 4

3 C C 3

4 B D 2

5 A E 1

6 9 F 0

7 8

CONTOH 2-40 Dapatkan 15s dan 16s dari angka heksadesimal berikut.

(a) 1A6 (b) AB3 (c) 402D Solusi

(a) N = 1 A 6 (b) N = A B 3 (c) N = 4 0 2 D 15s dari N = E 5 9 15s dari N = 5 4 C 15s dari N = B F D 4 16s dari N = E 5 A 16s dari N = 5 4 D 16s dari N = B F D 5

(a) 435

−176

⇒

435 +601

1236

( )

^7s

OR

435 +602 1237

¹

237

(Bawa terakhir) (Jawaban)

( )

^8s

(Jawaban) (Abaikan) (a)

(a) 513

−325

⇒

513 +452

1165

( )

^7s

OR

513 +453 1166

¹ ₁₆₆

(Bawa terakhir) (Jawaban)

( )

^8s

(Jawaban) (Abaikan)

(b)

(Abaikan) 7151

−6072

⇒

7151 +1705

11056

( )

^7s OR

7151 +1706 11057

₁₀₅₇ ¹

(Bawa terakhir) (Jawaban)

( )

^8s

(Jawaban)

(c)

SISTEM BILANGAN 35 CONTOH 2-4 Kurangi bilangan heksadesimal berikut menggunakan pelengkap.

(a)

423 1 6A

− (b)

51 3 C

−AB (c)

711 402

A

− D

Solusi (a)

423 1 6A

−

( )

423 59 15 127

1 27

E s

C D +

→

Atau

( )

423

5 16

127 E A s

D +



(b)

51 3 C

−AB

( )

51

54 15

119 1 19

C

C s

D E +

→

Atau

( )

51

54 16

119 C

D s E +



(C)

711 402 A

− D

( )

711 2 15 130

1 30

A

BFD s

EC ED +

→

Atau

( )

711 3 16 130

A BFD s

ED +



2-8 PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BINER Perkalian Biner

Perkalian dalam sistem bilangan biner mungkin lebih mudah daripada sistem bilangan lainnya. Hal ini seharusnya terlihat ketika Anda mempertimbangkan bahwa digit pengali hanya dapat berupa 0 atau 1. Dengan demikian, hasil kali parsial yang terbentuk adalah nol atau tepat perkaliannya, seperti contoh berikut menunjukkan:

CONTOH 2-42

1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1



10

53 7 371

 

 

 

 

 

 

Di komputer, operasi perkalian dibentuk dengan penjumlahan berulang, dengan cara yang hampir sama seperti penjumlahan semua hasil kali parsial untuk mendapatkan hasil kali lengkap. Detail prosedur ini dibahas saat pelaksanaan operasi dipertimbangkan. Pembentukan hasil kali sebagian cukup mudah. Namun, penambahan ini mungkin lebih sulit, karena setiap penambahan dua l akan menghasilkan carry. Sedikit latihan akan membantu dalam belajar melakukan operasi dengan benar. Contoh 2-43 diberikan dengan sejumlah besar carry untuk mengesankan pembaca dengan bagaimana membawa harus ditangani.

(membawa akhir) (menjawab)

(menjawab) (mengabaikan)

(membawa akhir) (menjawab)

(menjawab) (mengabaikan)

(membawa akhir) (menjawab)

(menjawab) (mengabaikan)

(kelipatan) (pengali)

(produk)

36 DASAR-DASAR

CONTOH 2-43 Lakukan perkalian biner berikut:

110110111

 1010111

Solusi

110110111

 1010111 110110111 110110111 000000000 110110111 000000000 110110111 1001010100110001

Ingatlah bahwa cara mudah untuk menjumlahkan digit biner adalah dengan menghitung jumlah 1s (dan carry) di kolom. Jika genap, jumlahnya adalah 0, dan jika ganjil 1, kemudian hitung pasangan 1s untuk menentukan berapa banyal 1s yang harus dibawa ke posisi yang lebih tinggi berikutnya. Prosedur ini lebih otomatis dan lebih mudah diikuti (dan seharusnya menghasilkan lebih sedikit kesalahan). Coba penambahan car aini untuk melihat apakah anda merasa lebih mudah.

Divisi Biner

Seperti perkalian, pembaca akan segera mengetahui bahwa pembagian biner mudah dilakukan. Ini, sekali lagi, karena anda dapat membagi menjadi bagian dari angka hanya sekali atau tidak sama sekali. Tidak ada suku hasil bagi selain 1 atau 0 yang mungkin.

Perhatikan contoh berikut:

CONTOH 2-44 1100 (hasil bagi) (Pembagi) 110) 1001000 (dividen)

-110 00110 -110 0000000

Cobalah untuk membagi pembagi dengan pembagi menggunakan jumlah tempat yang sama dengan pembagi (110 menjadi 100) dalam contoh ini. Jika tidak membagi sama sekali, coba gunakan pembagi yang lebih besar (110 banding 1001). Jika masuk, maka hanya bisa masuk sekali, jadi suku hasil bagi pertama adalah 1. Prosedur pembagian berlanjut dengan cara yang sama seperti pembagian desimal.

RINGKASAN

10

439 87 38193

 

  

 

 

 

10

12 6)72

 

 

 

Sistem biner, oktal, dan heksadesimal diperkenalkan, dan konversi bilangan bulat dan pecahan dari biner, oktal, dan heksadesimal ke decimal dan decimal ke biner, oktal dan heksadesimal dibahas. Profi-

SISTEM BILANGAN 37 Efisiensi menggunakan sistem bilangan ini sangat pent