28 DASAR-DASAR

Solusi

(a)

235 126 363

+

^(b)

2017 4674 6713

+

^(c)

76 23 121

+

PENJUMLAHAN HEKSADESIMAL.

Berbeda dengan pilihan sederhana dalam biner memiliki jumlah bit 0 atau 1, jumlah digit dalam heksadesimal dapat berupa salah satu dari 15 digit untuk 256 kombinasi yang tercantum dalam tabel penjumlahan heksadesimal, Tabel 2-7.

Akan lebih baik untuk merujuk berulang kali ke tabel penjumlahan saat pertama kali mencoba menambahkan angka heksadesimal. Beberapa contoh akan mendemonstrasikan penjumlahan heksadesimal. Seperti halnya penjumlahan desimal, penggunaan tabel tidak lagi diperlukan setelah beberapa latihan pengembangan keterampilan yang baik.

CONTOH 2-30

Tambahkan bilangan heksadesimal berikut:

(a)

²¹

352 A

+

^(b)

⁷²

3 C

+A F

(c)

²⁰⁷

8194 A +

Solusi

(a)

21 352 56

A

C

+

^(b)

72 3 116

C A F

B

+

(c)

207 8194

21

A

A E +

2-7 OPERASI PENGURANGAN BINER DAN KOMPLEMEN PENGURANGAN BINER

Pengurangan dalam biner adalah operasi yang sama seperti dalam desimal. Anda mungkin menggangap operasi pengurangan lebih sulit daripada penjumlahan. Ini mungkin karena Anda menganggap pengurangan itu sendiri lebih sulit (seperti kebanyakan orang) atau karena Anda tidak dapat mengurangkan dengan baik dengan angka desimal dan bahkan lebih bingung dengan biner. Fakta ini berasal dari pengalaman kelas secara langsung, dan disarankan agar Anda menghapus pengurangan dalam desimal sehingga operasi biner (yang seharusnya lebih sederhana) dapat dipahami. Pengurangan desimal sederhana ditunjukkan dibawah ini.

(menurun)

1572 964 608

−

Suku-suku dalam pengurangan didefinisikan sebagai menurun (1572), kurangi (964), dan perbedaan (608). Tinjau tabel pengurangan (Tabel 2-8), beberapa contoh dan latihan menggunakan bilangan biner.

CONTOH 2-31

10110 01010 01100

−

10

22 10 12

 

− 

 

 

 

(kurangi)

(perbedaan)

SISTEM BILANGAN 29

23456789ABCDEF 23456789ABCDEF 3456789ABCDEF0 456789ABCDEF0 1 56789ABCDEF0 1 2 6789ABCDEF0 1 2 3 789ABCDEF0 1 2 3 4 89ABCDEF0 1 2 3 4 5 9ABCDEF0 1 2 3 4 5 6 ABCDEF0 1 2 3 4 5 6 7 ABCDEF0 1 2 3 4 5 6 7 8 BCDEF0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CDEF0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A DEF0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB EF0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB C DE

Tabel 2-7 Tabel Penjumlahan Heksadesimal Catatan : Carry, , selalu 1 kolom ke posisi yang lebih tinggi berikutnya.

30 DASAR-DASAR

Tabel 2.8 Tabel Pengurangan Biner

Angka yang dikurangi

0 1

0 0 1

Pengurang Perbedaan

1 1 + b 0

Catatan: b berarti meminjam.

CONTOH 2-32

11011001 1101011 00101110

−

10

217 171 46

 

− 

 

 

 

Coba contoh ini sendiri (tanpa melihat jawabannya). Apakah begitu mudah? Cara menjadi mahir mengurangkan bilangan biner sama dengan latihan – desimal. Salah satu cara untuk membantu menyederhanakan pengurangan adalah dengan membaca angka secara berkelompok. Ini terkadang membantu. Berikut adalah salah satu contoh di mana itu adalah bantuan.

CONTOH 2-33

100110011101 1001 1001 1101 010101110010 0101 0111 0010

− −



1001 1001 1101 0101 0111 0010 0100 0010 1011

Jawab 010000101011.

Mengimplementasikan Operasi

Teknik unruk melakukan pegurangan dalam berbagai sistem bilangan adalah penggunaan bilangan pelengkap. Penggunaan bilangan N2 dari bilangan N1 dapat dilakukan dengan menjumlahkan komplemen bilangan N2 dengan dengan bilangan N1. Penggunaan komplemen merupakan inti dari operasi aritmatika di komputer dan perlu pertimbangan serius. Setelah kita mengenal konsep komplemen dan penerapannya pada pengurangan menggunakan bilangan desimal, kita membahas operasinya dalam sistem bilangan biner, oktal, dan heksadesimal.

Pelengkap Desimal

Komplemen suatu bilangan termasuk komplemen dasar dan satu kurang dari komplemen dasar. Dalam desimal (basis 10), ada komplemen sepuluh

( )

^10s dan komplemen

sembilan

( )

^9s dari bilangan apapun. Pengertian komplemen bilangan sembilan adalah bilangan yang merupakan jumlah dari bilangan – bilangan itu menjadi sembilan. Tabel 2-9 menunjukan angka

( )

^9s dari angka desimal 0 sampai 9.

SISTEM BILANGAN 31

Sembilan komplemen bilangan diperoleh dengan menggunakan komplemen digit demi digit.

Komplemen puluhan kemudian merupakan angka yang satu lebih besar dari komplemen rine.

Contoh berikut menunjukkan cara mendapatkan komplemen Sembilan dan kemudian sepuluh dari angka decimal.

CONTOH 2-34 Carilah 9sdan 10s dari bilangan berikut

(a) 128 (b) 981 (c) 199 (d) 1078 Solusi

(a)

128 9 dari 871 10 dari 872

N

s N

s N

=

=

=

(b)

981 9 dari 018 10 dari 019

N

s N

s N

=

=

=

(c)

199 9 dari 800 10 dari 801

N

s N

s N

=

=

=

(d) 1078

9 dari 8921 10 dari 8922

N

s N

s N

=

=

=

Pengurangan Menggunakan Komplemen Desimal

setelah kita dapat memperoleh komplemen bilangan decimal, berikut cara pengurangan menggunakan penjumlahan komplemen bilangan.

CONTOH 2-35 Lakukan pengurangan decimal berikut dengan menggunakan penjumlahan pelengkap.

(a)

653

− 475

^(b)

237

− 188

^(c)

1081

− 793

Solusi

Tabel 2 - 9 komponen Sembilan digit desimal

N

9

_sdari N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

(a)

653

− 475 

653 653

524 (9 dari 475) atau 525 (10 dari 475) 1177 1178

s s

+ +

(jawaban)

1 (berakhir berkeliling membawa) (abaikan bawaan)

178 (jawaban)

DASAR-DASAR

Ketika pengurangan dilakukan dengan menjumlahkan sembilan komplemen, carry yang dihasilkan dari posisi tertinggi ditambahkan ke nilai pada posisi terendah (sekitar akhir carry) saat terjadi. Langkah ekstra ini tidak diperlukan saat menggunakan pelangkap sepuluh dan barang bawaan dari posisi tertinggi diabaikan.

Komplemen Biner

Komplemen biner meliputi komplemen dasar, komplemen dua (2s), dan komplemen satu (1s) dari bilangan biner. Mengikuti prosedur yang dikembangkan dengan komplemen decimal, biner 1s dari angka 0 dan1 menghasilkan jumlah 1, sehingga

1s angka 1 = 0 1s angka 0 = 1

Seperti yang terlihat, komplemen satu digit biner adalah kebalikannya. Komplemen dua dari suatu bilangan adalah komponen satu dari bilangan itu ditambah satu. Beberapa contoh akan menunjukkan memperoleh 1s dan 2s dari bilangan biner yang diberikan.

CONTOH 2-36 Dapatkan 1s dan 2s dari bilangan biner berikut.

(a) 101101 (b) 110110101 (c) 10101100 Solusi

(a) N = 101101 (b) N = 110110101 (c) N = 10101100

1s dari N = 010010 1s dari N = 001001010 1s dari N = 01010011

2s dari N = 01001 2s dari N = 001001011 2s dari N = 01010100

Seperti angka desimal, komplemen dapat digunakan untuk mempengaruhi pengurangan biner seperti yang ditunjukkan contoh berikut.

(b) ⟹

(

9s dari 188)

(

sekitar akhir carry)

(

jawaban)

ATAU (

10s dari 188)

↑ (mengabaikan

carry)

(c) ⟹

(

9s dari 0793)

(

sekitar akhir carry)

(

jawaban)

ATAU (

10s dari 0793)

↑ (mengabaikan

carry)

(

jawaban)

CONTOH 2-37 Lakukan pengurangan berikut menggunakan penjumlahan komplemen dari bilangan biner berikut.

(c) 110010 - 101101

(b) 111001010

- 110110101 (a) 11010101

- 10101100

SISTEM BILANGAN 33 Larutan

)

a

¹¹⁰⁰¹⁰

101101

−

110010 010010

+ (1sof

101101

) OR ¹¹⁰⁰¹⁰ 010011

+ (2sof

101101

)

1010100 1010101

(answer)

1

(end carry) (ignore carry)

010101

(answer)

)

b

^111001010

110110101

−

111001010 1000010100

+ 1s OR ^111001010

1000010101

+ (2sof

101101

)

1000010100

1000010101

(answer)

1

(end carry) (ignore)

000010101

(answer)

)

c

^11010101

10101100

−

11010101 01010011

+ 1s OR ^11010101

01010100

+ (2sof

101101

)

100101000 100101001

(answer)

1

(end carry) (ignore)

00101001

(answer)

Komplemen Oktal

Dengan bilangan oktal ada komplemen delapan

( )

^8s dan komplemen tujuh

( )

^{7s .} Tabel 2-10 menunjukkan digit oktal 0 sampai 7 dan tujuh komplemennya. Contoh berikut menunjukkan bagaimana komplemen tujuh dan komplemen delapan dari bilangan oktal tebentuk.

Tabel 2-10 digit oktal dengan 7s

Digit oktal 7s

0 7

1 6

2 5

3 4

4 3

5 2

6 1

7 0

CONTOH 2-38 Tentukan 7s dan 8s dari bilangan oktal yang diberikan

( ) ^{a 176} ( ) ^{b 325} ( ) ^{c 6072}

Larutan

( ) ^a

^{N =}

¹⁷⁶ ( ) ^b

^{N =}

³²⁵ ( ) ^c

^{N =}

⁶⁰⁷²

7s of N =

601

7s of N =

452

7s of N =

1705

8s of N =

602

8s of N =

453

8s of N =

1706

Contoh berikut menunjukkan bagaimana pengurangan bilangan oktal dilakukan dengan menggunakan komplemen.

34 DASAR-DASAR

Contoh 2-39 Kurangi angka oktal berikut menggunakan penjumlahan komplemen.

Solusi

Bilangan Heksadesimal

Dengan angka heksadesimal ada komplemen enam belas

( )

^16s , dan komplemen lima belas

( )

^{15s . Digit 15s} heksadesimal dibentuk sehingga digit dan

pelengkapnya berjumlah 15, seperti yang dirangkum dalam Tabel 2-11 Tabel 2-11 Digit heksadesimal dan 15s

Digit Heksadesimal

15s Digit

heksadesimal

15s

0 F 9 6

1 E A 5

2 D B 4

3 C C 3

4 B D 2

5 A E 1

6 9 F 0

7 8

CONTOH 2-40 Dapatkan 15s dan 16s dari angka heksadesimal berikut.

(a) 1A6 (b) AB3 (c) 402D Solusi

(a) N = 1 A 6 (b) N = A B 3 (c) N = 4 0 2 D 15s dari N = E 5 9 15s dari N = 5 4 C 15s dari N = B F D 4 16s dari N = E 5 A 16s dari N = 5 4 D 16s dari N = B F D 5

(a) 435

−176

⇒

435 +601

1236

( )

^7s

OR

435 +602 1237

¹

237

(Bawa terakhir) (Jawaban)

( )

^8s

(Jawaban) (Abaikan) (a)

(a) 513

−325

⇒

513 +452

1165

( )

^7s

OR

513 +453 1166

¹ ₁₆₆

(Bawa terakhir) (Jawaban)

( )

^8s

(Jawaban) (Abaikan)

(b)

(Abaikan) 7151

−6072

⇒

7151 +1705

11056

( )

^7s OR

7151 +1706 11057

₁₀₅₇ ¹

(Bawa terakhir) (Jawaban)

( )

^8s

(Jawaban)

(c)

SISTEM BILANGAN 35 CONTOH 2-4 Kurangi bilangan heksadesimal berikut menggunakan pelengkap.

(a)

423 1 6A

− (b)

51 3 C

−AB (c)

711 402

A

− D

Solusi (a)

423 1 6A

−

( )

423 59 15 127

1 27

E s

C D +

→

Atau

( )

423

5 16

127 E A s

D +



(b)

51 3 C

−AB

( )

51

54 15

119 1 19

C

C s

D E +

→

Atau

( )

51

54 16

119 C

D s E +



(C)

711 402 A

− D

( )

711 2 15 130

1 30

A

BFD s

EC ED +

→

Atau

( )

711 3 16 130

A BFD s

ED +



2-8 PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BINER Perkalian Biner

Perkalian dalam sistem bilangan biner mungkin lebih mudah daripada sistem bilangan lainnya. Hal ini seharusnya terlihat ketika Anda mempertimbangkan bahwa digit pengali hanya dapat berupa 0 atau 1. Dengan demikian, hasil kali parsial yang terbentuk adalah nol atau tepat perkaliannya, seperti contoh berikut menunjukkan:

CONTOH 2-42

1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1



10

53 7 371

 

 

 

 

 

 

Di komputer, operasi perkalian dibentuk dengan penjumlahan berulang, dengan cara yang hampir sama seperti penjumlahan semua hasil kali parsial untuk mendapatkan hasil kali lengkap. Detail prosedur ini dibahas saat pelaksanaan operasi dipertimbangkan. Pembentukan hasil kali sebagian cukup mudah. Namun, penambahan ini mungkin lebih sulit, karena setiap penambahan dua l akan menghasilkan carry. Sedikit latihan akan membantu dalam belajar melakukan operasi dengan benar. Contoh 2-43 diberikan dengan sejumlah besar carry untuk mengesankan pembaca dengan bagaimana membawa harus ditangani.

(membawa akhir) (menjawab)

(menjawab) (mengabaikan)

(membawa akhir) (menjawab)

(menjawab) (mengabaikan)

(membawa akhir) (menjawab)

(menjawab) (mengabaikan)

(kelipatan) (pengali)

(produk)

36 DASAR-DASAR

CONTOH 2-43 Lakukan perkalian biner berikut:

110110111

 1010111

Solusi

110110111

 1010111 110110111 110110111 000000000 110110111 000000000 110110111 1001010100110001

Ingatlah bahwa cara mudah untuk menjumlahkan digit biner adalah dengan menghitung jumlah 1s (dan carry) di kolom. Jika genap, jumlahnya adalah 0, dan jika ganjil 1, kemudian hitung pasangan 1s untuk menentukan berapa banyal 1s yang harus dibawa ke posisi yang lebih tinggi berikutnya. Prosedur ini lebih otomatis dan lebih mudah diikuti (dan seharusnya menghasilkan lebih sedikit kesalahan). Coba penambahan car aini untuk melihat apakah anda merasa lebih mudah.