SISTEM KENDALI
PEMODELAN SISTEM MENGGUNAKAN MATLAB
DISUSUN OLEH:
RHANA SADHIKA ADY 20501241032
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2021
Pemodelan Sistem
Yang pertama langkah dalam proses desain kontrol adalah mengembangkan model matematika yang sesuai darisistem yang akan dikontrol. Model-model ini dapat diperoleh baik dari hukum fisik atau eksperimentalData. Di bagian ini, kami memperkenalkan ruang negara dan mentransfer function representasi dari Dinamis Sistem. Kami Kemudian tinjau Beberapa Dasar Pendekatan Untuk Pemodelan Mekanik Dan Listrik Sistem dan tampilkan Bagaimana untuk menghasilkan model-model ini In MATLAB untuk Lebih lanjut Analisis. Perintah MATLAB kunci yang digunakan dalam tutorial ini adalah: ss, t
Sistem DinamisSistem dinamis adalah sistem yang berubah atau berkembang dalam waktu sesuai dengan aturan tetap. Untuk banyak sistem fisik, aturan ini dapat dinyatakan sebagai himpunan persamaan diferensial orde pertama:
Dalam persamaan diatas X(t) adalah vektor keadaan atau sekumpulan variabel dimana mewakili konfigurasi sistem pada saat t. Dalam sistem ini peredam massa-pegas mekanis sederhana, dua variabel keadaan dapat menjadi posisi dan kecepatan massa.
U(t) merupakan vektor input eksternal ke sistem pada waktu (t) dan f adalah fungsi dimana akan menghasilkan turunan waktu (laju perubahan) dari vektor keadaan dan dx/dt untuk waktu tertentu
X(t1) atau keadaan masa depan dapat ditentukan dengan memberi pengetahuan tentang keadaan awal atau x(t0), sejarah waktu masukan u(t), antara t0 dan t1 dengan mengintegrasikan persamaan(1). Dalam variabel yang berstatus n, diperlukan guna menangka (STATUS) ndari sistem untuk bisa dipergunakan memprediksi perilaku sistem pada masa yang akan datang. N disebut juga sebagai tatanan sistem dan menentukan dimensi ruang-keadaan
Hubungan yang diberi pada persamaan (1) akan bisa dipergunakan untuk mendeskripsikan berbagai macam sistem yang berbeda. Jika fungsi f tidak bergantung secara eksplisit pada waktu x=f(x,u) dengan itu sistem akan dikatyakan sebagai invarian waktu.
Untuk sistem invarian waktu, parameter atau koefisien fungsinya konstan. Variabel status x(t), dan input kontrol u(t), bagaimanapun, mungkin masih bergantung pada waktu. Asumsi umum kedua melibatkan linieritas sistem. Nyatanya, hampir setiap sistem fisik adalah nonlinier. Dengan kata lain, f biasanya merupakan beberapa input dan fungsi status yang kompleks. Non-linearitas ini terjadi dalam banyak hal, yang paling umum dalam sistem kontrol adalah "saturasi", di mana
berbagai elemen sistem telah mencapai batas fisik yang ketat untuk operasinya. Untungnya, dalam rentang kerja yang cukup kecil, dinamika sebagian besar sistem mendekati linier. Dalam hal ini, persamaan diferensial orde pertama dapat dinyatakan sebagai persamaan matriks, yaitu x=Ax + Bu
Sebelum munculnya komputer digital analisis sistem linear time-invariant (LTI) hanya praktis.
Oleh karena itu, sebagian besar hasil teori kendali didasarkan pada asumsi-asumsi ini.
Untungnya, seperti yang akan kita lihat, hasil ini terbukti sangat efektif, dan penggunaan teknologi LTI telah memecahkan banyak tantangan teknis utama. Faktanya, keuntungan nyata dari sistem kendali umpan balik adalah bahwa mereka akan handal dalam bekerja dengan adanya ketidak pastian pemodelan yang tak dapat dihindari.
Representasi Ruang-Negara
Untuk sistem time-invariant (LTI) linear berkelanjutan, representasi ruang status standar diberikan di bawah ini: (
2) (3) di mana vektor variabel negara (nx1), adalah turunan waktu dari vektor negara (nx1), adalah vektor input atau kontrol (px1), adalah vektor output (qx1), adalah matriks sistem (nxn), adalah matriks input (nxp), adalah matriks output (qxn), dan merupakan matriks feedforward (qxp). Persamaan output, Persamaan (3), diperlukan karena seringkali ada variabel negara yang tidak diamati secara langsung atau tidak menarik. Matriks output, digunakan untuk menentukan variabel status mana (atau kombinasinya) yang tersedia untuk digunakan oleh pengontrol. Juga, sering terjadi bahwa output tidak secara langsung tergantung pada input (hanya melalui variabel status), dalam hal ini adalah matriks nol
Representasi Fungsi TransferPada sistem LTI memiliki karakteristik yang sangat penting, dimana masukan sistem berupa gelombang sinus maka keluarannya juga berupa gelombang sinus yang frekuensinya sama dengan frekuensi masukan, namun amplitudo dan fasanya mungkin berbeda. Perbedaan amplitudo dan fase ini adalah fungsi frekuensi dan menangkap apa yang disebut respons frekuensi sistem. Dengan menggunakan transformasi Laplace, representasi domain waktu dari sistem dapat diubah menjadi representasi input / output domain frekuensi, yaitu fungsi transfer.
Transformasi laplace dari fungsi domain waktu f(t):
F(s) = L {f(t)}= ∫ � ∞ 0 –st f(t) dt
Parameternya s=0 + jw adalah variabel frekuensi kompleksnya.
Transformasi Laplace dari turunan ke-n suatu fungsi: L { 𝑑𝑛�𝑑𝑡𝑛 }= sn F(s) – s n-1 f (0)- s n- 2 f (0) -...-f (n-1) (0)
Untuk menganalisis sistem LTI input tunggal / output tunggal (SISO) , misalnya yang diatur oleh persamaan diferensial koefisien konstan, seperti yang ditunjukkan di bawah ini: an 𝑑𝑛�𝑑𝑡𝑛 + a1 𝑑�𝑑𝑡 + a0y (t) = bm 𝑑𝑚�𝑑𝑡𝑚 + ... + b1𝑑�𝑑𝑡 + b0u
Transformasi Laplace dari persamaan ini diberikan di bawah ini:
Sistem Mekanik Hukumgerak Newton menjadi dasar untuk menganalisis sistem mekanik. Hukum kedua Newton,Equation (11), menyatakan bahwa jumlah kekuatan yang bertindak pada tubuh sama dengan produk massa dan akselerasinya. Hukum ketiga Newton, untuk tujuan kita, menyatakan bahwa jika dua mayat berhubungan, maka mereka mengalami kekuatan kontak besar yang sama, hanya bertindak ke arah yang berlawanan.
Contoh: Mass-Spring-Damper SystemDiagram sistem gratis ditunjukkan di bawah ini. Gaya pegas sebanding dengan perpindahan massa x , dan gaya redaman tebal sebanding dengan kecepatan transfer massa, v = x Kedua gaya tersebut berlawanan dengan pergerakan massa, sehingga
ditampilkan dalam arah negatif x Perhatikan juga bahwa x=0 berhubungan dengan posisi
massa pegas saat tidak diregangkan.
Dengan menjumlahkan gaya dan menerapkan hukum kedua Newton di sertiap arah.
Pada kasus ini tidak akan ada gaya yang bekerja di y-direction; namun dalam x-direction memiliki: ∑Fx = F(t) - bx – kx = mx
Variabel posisi menangkap energi potensial yang disimpan di pegas, sedangkan variabel kecepatan menangkap energi kinetik yang disimpan oleh massa. Peredam hanya membuang energi, tidak menyimpan energi.
Memasuki Model State-Space ke MATLAB
Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana memasukkan persamaan yang berasal dari atas ke dalam m-file untuk MATLAB. Mari kita tetapkan nilai numerik berikut ke masing-masing variabel.
Tranformasi laplace untuk sistem ini dengan asumsi kondisi awal nol Ms 2X(s) + bsX(s) + kX(s) = F(s)
Dengan itu fungsi transfer dari input gaya ke output perpindahan adalah :
. Memasukan Model Fungsi Transfer Membuat fungsi transfer dengan MATLAB
Misal MATLAB versi lama atau saat berinteraksi dengan SIMULINK perlu menentukn model fungsi transfer menggunakan koefisien polinomial pembilang secara langsung Sebagai berikut:
Sistem Kelistrikan
Seperti hukum sistem mekanik Newton, hukum sirkuit Kirchhoff adalah alat analisis dasar untuk pemodelan sistem kelistrikan. Hukum arus Kirchoff (KCL) menyatakan bahwa besar arus yang masuk ke suatu rangkaian node harus sama dengan jumlah arus yang mengalir keluar dari node tersebut. Hukum tegangan Kirchoff (KVL) menyatakan bahwa jumlah perbedaan tegangan di sekitar loop tertutup dalam suatu rangkaian adalah nol.
Saat menggunakan KVL, tegangan catu daya biasanya dianggap sebagai tegangan positif, dan tegangan beban dianggap sebagai tegangan negatif
Contoh: Sirkuit RCL
Terdapat tiga elemen pasif dalam listrik : Resistor, Induktor, dan Kapasitor yang dikenal dengan Sirkuit RLC
Rangkaian ini adalah rangkaian Loop tunggal dimana setiap node hanya memiliki satu input dan satu output. Dengan itu penerapan KCL hanya menunjukan bahwa arusnya sama dan diseluruh rangkaian pada waktu itu, i(t). Menerapkan KVL pada sekitaran Loop dan menggunakan konvensi tanda yang ditunjukan dalam diagram. Persamaan yang mengatur sebagai berikut:
Identifikasi SistemPada bagian ini melihat bagaimana model sistem yang menggunakan prinsip Fisika dasar, namun seringkali hal ini tidak memungkinkan baik karena parameter sistem tidak pasti atau proses yang mendasar tidak dipahami. Identifikasi sistem dapat dilakukan dengan menggunakan data domain waktu atau domain frekuensi.
Konversi SistemSebagian besar operasi di MATLAB dapat dilakukan pada fungsi transfer, model
ruangnegara, atau bentuk penguatan kutub-nol. Selain itu, mudah untuk mentransfer di antara bentuk-bentuk ini jika diperlukan representasi lain
