SLIDE TENTANG KALKULUS 1 M. YUSUF FAJAR

KALKULUS 1

M. YUSUF FAJAR

Silabi :

1 . Sistem Bilangan Real

2. Persamaan dan pertidaksamaan

3. Nilai Multlak dan sifat-sifatnya dalam menyelesaikan pertidaksamaan

4. Fungsi dan Operasi Fungsi 5. Fungsi dan Operasi Fungsi 6. Limit Fungsi

7. Kekontinuan Fungsi

* UTS

8. Teori Dasar Turunan

9. Turunan Fungsi Trigonometri

10. Aturan Rantai dan turunan tingkat tinggi 11. Pendiferensialan implisit

12. Penggunaan Turunan dalam mencari gradient 13. Maksimum dan minimum

14. Penerapan Turunan

* UAS

Evaluasi/Penilaian:

Pustaka:

• Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis

• Anton, H. 2004. Calculus, 7th ed, New York, Jhon Willey & SONS,INC.

NILAI

E D C C+ B- B B+ A- A

0 –44 44.01– 52.49 52.5 –59.49 59.5–63.49 63.5 – 67.49 67.5 –71.49 71.5 – 75.49 75.5 – 79.49 79.5 – 100

Tugas-tugas 10%

Kuis 20%

Ujian Tengah Semester 35%

Ujian Akhir Semester 35%

Sistem Bilangan Real

• Bilangan-bilangan asli : 1,2,3,…

• Bilangan-bilangan bulat : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

• Bilangan-bilangan rasional :

³

4

,

²

1

, −

¹

5

,

^𝑚

𝑛

,

• Bilangan rasional : 𝑟 =

^𝑚

𝑛

, m dan n bilangan bulat, n0

• Bilangan takrasional 2, 3, 𝜋

• Sekumpulan bilangan (rasional dan takrasional) bersama-sama dengan negatifnya dan nol, dinamakan bilangan-bilangan real.

, ,

.

N : bilangan asli

Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N : 1,2,3,….

Z : …,-2,-1,0,1,2,3…

0 ,

,

,  

= m n Z n n

q m Q :

Irasional Q

R = 

 , 3 , 2

Contoh Bil Irasional

N ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅

• Garis bilangan

• Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real).

• Selang

• Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

0 1 -3

2 

• Jenis-jenis selang

Himpunan selang

{_{x x} < _a} (-_,a)

{_{x x}  _a} (-_,a]

{_xa < _x < _b} ( )_a,b

{_xa  _x  _b} [ ]_a,b

{_{x x} >_b} ( )b,

{_{x x}  _b} [ )b,

{x x} (-, )

Grafik

a a

a b

a b

b b

• OPERATOR ARITMATIKA

• Penjumlahan ( + )

• Pengurangan ( - )

• Perkalian ( . , * )

• Pembagian ( / , : )

• HIRARKI OPERATOR

• ( ) kurung

• ^ pangkat

• . , * , /, : kali, bagi

• +, – tambah, kurang

Sifat-sifat Medan (Field)

• Hukum Komutatif : x + y = y + x dan x y = y x

• Contoh : 2 + 3 = 3 + 2 = 5 dan 2 . 3=3 . 2 = 6

• Hukum Asosiatif : x + (y + z) = (x + y) + z dan x (y z) = (x y) z

• Contoh: 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 = 10 dan 2 (3 . 5) = (2 . 3) 5 = 30

• Hukum Distributif : x (y + z) = x y + x z

• Contoh: 2 (3 + 5) = 2 . 3 + 2 . 5 = 16

• Elemen-elemen identitas

• Terdapat 0 dan 1 yang memenuhi sifat x + 0 = x dan x.1 = x

• 0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan

• 1 adalah elemen identitas terhadap perkalian

• Balikan(invers)

• Setiap bilangan real x mempunyai balikan aditif – x, yang memenuhi x + (– x)=0

• Contoh: 2 + (– 2) = 0, balikan(invers) dari 2 terhadap penjumlahan adalah – 2

• Setiap bilangan real x mempunyai balikan perkalian 𝑥

⁻¹

, yang memenuhi 𝑥. 𝑥

⁻¹

= 𝑥.

¹

𝑥

= 1

• Contoh: 2. 2

⁻¹

= 2.

¹

2

= 1, balikan(invers) dari 2 terhadap perkalian adalah 2

⁻¹

=

¹

2

.

Sifat Bilangan Negatif

Sifat Contoh

1. (– 1)a = – a (– 1)7= – 7 2. – (– a) = a –(– 8) = 8

3. (– a)b = a(– b) = – (ab) (– 3)8 =3(– 8)= – (3 . 8)= – 24 4. (– a)(– b) = ab (– 6)(– 4) = 6 . 4 =24

5. –(a+b) = – a – b –( 8+9) = – 8 – 9 = – 17 6. –(a - b) = – a + b – (7 – 5) = – 7 + 5 = – 2

• Sifat-Sifat Pembagian

Sifat Contoh Deskripsi

1. 𝑎 𝑏 ∙ 𝑐

𝑑 = 𝑎𝑐 𝑏𝑑

3 7 ∙ 8

5 = 3 . 8

7 . 5 = 24 35 2. 𝑎

𝑏: 𝑐

𝑑 = 𝑎 𝑏 ∙ 𝑑

𝑐

5 4:3

7 = 5 4 ∙7

3 = 35 12 3. 𝑎

𝑐 + 𝑏

𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑐

6 7 + 8

7 = 6 + 8

7 = 14

7 = 2

Operasi kali antar dua pembagian sama dengan

perkalian antar pembilang dibagi dengan perkalian antar penyebut

Operasi bagi antar dua pembagian sama dengan membalik pembagi kemudian mengkalikan

Penjumlahan dua pembagian yang mempunyai penyebut sama adalah dengan menjumlahkan pembilangnya

4. 𝑎 𝑏 + 𝑐

𝑑 = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑏𝑑

2 3 + 5

6 = 2.6 + 3.5

3.6 = 27 18

Untuk menjumlahkan dua pembagian yang mempunyai penyebut yang berbeda sama dengan membuat

penyebut persekutuan. Kemudian jumlahkan kedua pembilangnya

5. 𝑎𝑐

𝑏𝑐 = 𝑎 𝑏

3. 8

5 . 8 = 3 5

Bilangan dapat dicoret jika pembilang dan penyebut mempunyai faktor persekutuan

6. Jika ^𝑎

𝑏 = ^𝑐

𝑑

maka 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

Jika 2

3 = 4

maka 2 . 6 = 3 . 46

Perkalian silang

Contoh :

1). 4 − 3(8 − 12) − 6 = … Penyelesaian :

4 − 3(8 − 12) − 6 = 4 − 3(− 4) − 6 = 4+12 − 6 = 10 2). 2[3 – 2(4 – 8)] = …

Penyelesaian :

2[3 – 2(4 – 8)] = 2[3 – 2(– 4)] = 2[3+8] = 2[11] = 22 3). – 4[3(– 6+13) – 2(5 – 9)] = …

Penyelesaian :

– 4[3(– 6+13) – 2(5 – 9)] = – 4[3(7) – 2(– 4)]= – 4[21+8]= – 4[29]= – 116

4).

⁵

6

−

¹

4

+

²

3

= … Penyelesaian :

5

6 − 1

4 + 2

3 = 5

6 − 3

12 + 8

12 = 5

6 − 11 12

= 10

12 − 11

12 = −1

12

5).

³

4

−

⁷

12

−

²

9

= ⋯ Penyelesaian :

3

4 − 7

12 − 2

9 = 3

4 − 21

36 − 8

36 = 3

4 − 13 36

= 27

36 − 13

36 = 14

36 = 7

18

Latihan :

1). 5[ – 1(7+12 – 16) + 4] + 2 = … 2).

¹

3

[

¹

2

1

4

−

¹

3

+

¹

6

] = ⋯

3 ).

1

2 − ³

4 + ⁷

1 8

2 + ³

4 − ⁷

8

= …

• Perbandingan atau rasio, digunakan untuk membandingkan besaran suatu objek dengan besaran objek lainnya.

• Besaran objek yang dibandingkan bermacam-macam, mulai dari panjang, waktu, massa, kecepatan, banyak benda, tinggi badan, dan lain sebagainya.

• Perbandingan Senilai.

• Perbandingan senilai adalah perbandingan dua besaran yang digambarkan, bila nilai suatu besaran naik/meningkat, maka nilai besaran yang lain akan ikut naik/meningkat pula. Sebaliknya, jika nilai suatu besaran menurun, maka nilai besaran yang lain juga ikut menurun.

• Contoh perbandingan senilai adalah sebagai berikut : 1. Perbandingan antara jumlah barang dan harga barang.

2. Perbandingan antara jumlah pekerja dan upah yang dikeluarkan.

• Jika ^𝒂𝟏

𝒂_𝟐 = ^𝒃𝟏

𝒃_𝟐 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝒂_𝟏: 𝒂_𝟐 = 𝒃_𝟏: 𝒃_𝟐, maka 𝒂_𝟏𝒃_𝟐 = 𝒂_𝟐𝒃_𝟏

• Contoh1:

• Harga 4 liter pertamax Rp. 58.000,-. Berapa harga 15 liter pertamax ?

• Penyelesaian :

Jika jumlah pertamax naik, maka harga pertamax yang dibayar naik juga.

𝑎₁ = 4, 𝑎₂ = 15 , 𝑏₁ = 58.000, 𝑏₂ = 𝑥 𝑎₁: 𝑎₂ = 𝑏₁: 𝑏₂ → 4 ∶ 15 = 58.000 ∶ 𝑥

4𝑥 = 15 58.000 = 870.000 → 𝑥 = ^870.000

4 = 217.500

Jadi harga 15 liter pertamax yang harus dibayarkan Rp. 217.500,-.

Dapat juga dicari berdasarkan harga satuan.

Harga 1 liter pertamax Rp. 14.500,-. Jadi harga 15 liter pertamax Rp. 217.500,-

• Perbandingan berbalik nilai.

• Bila suatu besaran naik, maka besaran yang lain akan turun.

• Rumus: ^𝒂𝟏

𝒂_𝟐 = ^𝒃𝟐

𝒃_𝟏 atau 𝒂_𝟏𝒃_𝟏 = 𝒂_𝟐𝒃_𝟐

• Contoh:

1. Empat buah mesin dapat menyelesaikan pekerjaan bordir kain selama 30 jam.

Bila dikerjakan oleh 6 buah mesin, berapa waktu yang dibutuhkan.

Penyelesaian :

Jika dikerjakan oleh 4 mesin dapat diselesaikan selama 30 jam, maka dengan 6 mesin waktu penyelesaian akan lebih cepat dari 30 jam ( semakin kecil).

𝑎₁ = 4, 𝑎₂ = 6 , 𝑏₁ = 30 , 𝑏₂ = ⋯

𝒂_𝟏

𝒂_𝟐 = ^𝒃𝟐

𝒃_𝟏 → ^𝟒

𝟔 = ^𝒃𝟐

𝟑𝟎 , maka 6 𝑏₂ = 120 → 𝑏₂ = 20 Waktu yg dibutuhkan : 20 jam.

2. Seorang peternak mempunyai persediaan pakan ternak untuk 72 ekor ayam selama 10 hari. Peternak itu membeli 18 ekor lagi, maka dalam beberapa hari persediaan pakan itu akan habis. Tentukan dalam berapa hari persediaan akan habis.

Penyelesaian:

Jika ayam bertambah, berarti persediaan pakan semakin cepat habis atau banyak hari berkurang. Jadi, persediaan ini merupakan perbandingan berbalik nilai.

𝑎₁ = 72, 𝑎₂= 72 + 18 = 90 , 𝑏₁ = 10 , 𝑏₂ = ⋯

𝒂_𝟏

𝒂_𝟐 = ^𝒃𝟐

𝒃_𝟏 → ^𝟕𝟐

𝟗𝟎 = ^𝒃𝟐

𝟏𝟎 , maka 90 𝑏₂ = 720 → 𝑏₂ = ⁷²⁰

90 = 8

Persediaan pakan ayam untuk 90 ekor akan habis dalam waktu 8 hari.

3. Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 6 orang akan selesai dalam 20 hari.

Jika pekerjaan tersebut dikerjakan oleh 10 orang, maka berapa hari pekerjaan tersebut dapat diselesaikan?

Penyelesaian :

Jika dikerjakan oleh 6 orang pekerjaan tsb dapat diselesaikan dalam 20 hari, maka dengan dikerjakan oleh 10 orang waktu penyelesaian akan lebih cepat dari 20 hari (semakin kecil).

𝑎₁ = 6, 𝑎₂ = 10 , 𝑏₁ = 20 , 𝑏₂ = ⋯

𝒂_𝟏

𝒂_𝟐 = ^𝒃𝟐

𝒃_𝟏 → ^𝟔

𝟏𝟎 = ^𝒃𝟐

𝟐𝟎 , maka 10 𝑏₂ = 120 → 𝑏₂ = 12

Jadi dengan 10 orang, pekerjaan tsb akan diselesaikan dalam waktu 12 hari.

Desimal Berulang

• Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang.

• Contoh:

• 1).

¹

2

= 0,500000

• 2).

¹

3

= 0,33333333 …

• 3).

²

3

= 0,66666666 …

• 4).

³

11

= 0,27272727 …

• 5).

¹³

11

= 1. 18181818…

Desimal takberulang

• Bilangan tak-rasional dapat ditulis dalam bentuk desimal tak-berulang.

• Contoh:

• 1). 2 = 1,4142135623731 …

• 2). 3 = 2,2360679774997 …

• 3). 𝜋 = 3,14159265358979 …

• Pangkat Bilangan Bulat

• Sebuah perkalian dari bilangan yang identik sering kali dinyatakan sebagai pangkat, sebagai contoh 3 · 3 · 3 = 3³.

Notasi pangkat

Jika a suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka pangkat n dari a adalah:

Bilangan a disebut basis dan n disebut eksponen



 



 



kali n

n

a a a a

a =       

• Perkalian dua perpangkatan yang mempunyai basis sama, yaitu dengan menjumlahkan eksponennya:

• 4

³

x 4

^-1

= 4

^(3-1)

= 4

²

= 16

• atau dapat kita nyatakan sebagai

• ^{m n}

n n m

m n

m

a a a a a a a a a a a

a

⁺

+

=











=























=

                 

kali kali kali

) (

)

(

•

• Contoh:

• 2

⁻³

=

¹

2³

=

¹

8

Pangkat Nol dan Negatif

Jika a ≠ 0 suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka:

1

dan

0

=

a

ⁿ _n

a a 1

-

=

Aturan Eksponen

•

^𝑛

𝑏 = 𝑏

^𝑛1

• 𝑏

⁰

= 1

• 𝑏

^−𝑟

=

¹

𝑏^𝑟

• 𝑏

^𝑟

𝑏

^𝑠

= 𝑏

^𝑟+𝑠

• 𝑏

^{𝑟 𝑠}

= 𝑏

^𝑟𝑠

• 𝑎𝑏

^𝑟

= 𝑎

^𝑟

𝑏

^𝑟

• Sederhanakan :

1). 𝑦

³

𝑦

⁵

= ⋯ 2). 𝑦

^{4 3}

= ⋯ 3). 2𝑎

^{3 2}

= ⋯ 4). 5

⁻²

= ⋯

5).

¹

4

−2

= ⋯

6).

^{4𝑟3𝑠−1}

2𝑟²𝑠⁻²

= ⋯ 7).

^{3𝑥2𝑦−1}

𝑥⁻¹𝑦²

−2

= ⋯

• Sederhanakan:

1). 8

2

3

= ⋯ 2). 4

⁻

1

2

=...

3).

⁹

16

3

2

= ⋯

4).

⁸

27

−²

3

= ⋯

5).

^36𝑥3

9𝑥

= ⋯