Teorema Thevenin untuk Penggantian Rangkaian

TEOREMA THEVENIN, NORTON & TRANSFER DAYA MAKSIMUM

MOHAMMAD YANUAR H

TEOREMA THEVENIN

Sering terjadi dalam praktik bahwa elemen tertentu dalam rangkaian adalah variabel (biasanya disebut beban) sementara elemen lainnya tetap. Sebagai contoh, terminal outlet rumah tangga dapat

dihubungkan ke peranti berbeda yang merupakan beban variabel.

Setiap kali elemen variabel diubah, seluruh rangkaian harus dianalisis lagi. Untuk menghindari masalah ini, teorema Thevenin menyediakan teknik dimana bagian tetap dari rangkaian diganti dengan rangkaian ekivalen.

Gambar 1. Mengganti rangkaian linier dua terminal dengan rangkaian ekivalen Thevenin: (a) rangkaian asal, (b)

rangkaian ekivalen Thevenin

Teorema Thevenin menyatakan bahwa rangkaian linier dua terminal dapat diganti dengan rangkaian ekivalen yang terdiri dari sumber tegangan V

_Th

yang dirangkai seri dengan resistor R

_Th

, di mana V

_Th

adalah tegangan rangkaian terbuka pada terminal dan R

_Th

adalah input atau resistansi ekivalen pada terminal ketika sumber

independen dimatikan.

TEOREMA THEVENIN (LANJ.)

 Jika terminal dibuat hubung-terbuka (dengan melepas beban), tidak ada arus yang

mengalir, sehingga tegangan rangkaian terbuka yang melintasi terminal pada Gambar 1 (a) harus sama dengan sumber tegangan pada Gambar 1 (b), karena kedua rangkaian tersebut ekuivalen. Maka

tegangan rangkaian terbuka yang

ditunjukkan pada Gambar 2(a); itu adalah V_Th=v_oc

 Resistansi input (atau resistansi ekivalen) dari rangkaian Gambar 1(a) harus sama dengan Gambar 1(b) karena kedua

rangkaian ekivalen. Jadi resistansi input pada terminal ketika sumber independen dimatikan, seperti ditunjukkan pada Gambar 2(b); adalah, R_Th=R_in

Gambar 2. Mencari V_Th dan R_Th

Untuk mencari resistansi Thevenin, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:



KASUS 1 Jika jaringan tidak memiliki sumber dependen, kita mematikan semua sumber independen. R

_Th

adalah resistansi input dari rangkaian yang terlihat pada terminal a dan b,

seperti ditunjukkan pada Gambar 2 (b).



KASUS 2 Jika jaringan memiliki sumber dependen, kita mematikan semua sumber independen. Seperti halnya

superposisi, sumber dependen tidak boleh dimatikan karena dikendalikan oleh variabel rangkaian. Kami berikan sumber tegangan pada terminal a dan b dan mencari arus

i_o

.

Sehingga, 𝑅

_𝑇ℎ = ^𝑣𝑂

𝑖_𝑂

seperti ditunjukkan pada Gambar 3 (a).

Atau sebagai alternatif, kita dapat menyisipkan sumber arus

i_o

pada terminal a-b seperti ditunjukkan pada Gambar 3(b) dan mencari tegangan terminal v

_o

. Dua pendekatan akan

memberikan hasil yang sama. Dalam pendekatan kita dapat mengasumsikan nilai

i_o

dan v

_o

. Misalnya, kita dapat

menggunakan

v_o

=1V atau

i_o

=1A, atau bahkan menggunakan nilai yang tidak ditentukan dari

i_o

atau

v_o

.

TEOREMA THEVENIN (LANJ.)

Gambar 3. Menemukan R_Th ketika rangkaian memiliki sumber dependen

 Rangkaian ekivalen mempunyai perilaku yang sama seperti rangkaian aslinya. Dengan mempertimbangkan rangkaian linier beban R_L, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4(a). Arus I_L yang melalui beban R_L dan tegangan V_L yang melintasi beban dengan mudah dicari setelah diperaoleh rangkaian ekivalen Thevenin, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4(b). Dari Gambar 4(b), kita peroleh:

𝐼_𝐿 = ^𝑉𝑇ℎ

𝑅_𝑇ℎ+𝑅_𝐿

𝑉_𝐿 = 𝑅_𝐿𝐼_𝐿 ^𝑅𝐿

𝑅_𝑇ℎ+𝑅_𝐿𝑉_𝑇ℎ

CONTOH 1

Cari rangkaian Thevenin pada sisi sebelah kiri terminal a dan b. Kemudian cari arus yang melewati R_Lsaat R_L=6, 16 dan 36Ω.

Jawab:

Kita cari R_Thdengan mematikan sumber tegangan 32-V (ganti dg short circuit) dan sumber arus 2-A (ganti dg open circuit). Rangkaian menjadi spt Gambar 5(a).

Sehingga, 𝑅_𝑇ℎ = 4||12 + 1 = ^4×12

16 +1=4Ω

Untuk mencari VTh, perhatikan Gambar 5(b), kita terapkan analisis Mesh pada kedua loop.

−32 + 4𝑖₁ + 12 𝑖₁ − 𝑖₂ = 0; 𝑖₂ = −2𝐴 → 𝑖₁ = 0,5𝐴, sehingga 𝑉_𝑇ℎ = 12 𝑖₁ − 𝑖₂ = 12 0,5 + 2 = 30𝑉

Atau kita dapat menerapkan analisis node (pada node V_Th) dengan mengabaikan R=1Ω (krn tdak dilewati arus). Dengan menggunakan KCL didapatkan:

32−𝑉𝑉_𝑇ℎ

4 + 2 = ^𝑉𝑇ℎ

12 → 𝑉_𝑇ℎ = 30𝑉

Gambar 4, Contoh 1

Gambar 5, Untuk Contoh 1

CONTOH 1 (LANJ.)

 Rangkaian ekivalen Thevenin ditunjukkan pada Gambar disamping.

Sehingga arus yang melalui R_L dapat dicari dg persamaan:

𝐼_𝐿 = 𝑉_𝑇ℎ

𝑅_𝑇ℎ + 𝑅_𝐿 = 30 4 + 𝑅_𝐿 Untuk R_L=6Ω, 𝐼_𝑙 = ³⁰

10 = 3𝐴 Untuk R_L=16Ω, 𝐼_𝑙 = ³⁰

20 = 1,5𝐴 Untuk R_L=36Ω, 𝐼_𝑙 = ³⁰

40 = 0,75𝐴

LATIHAN 1

Dengan menggunakan teorema Thevenin, cari rangkaian

ekivalen Gambar disamping, kemudian cari I

CONTOH 2

Cari rangkaian ekivalen Thevenin Gambar 2a.

Jawab:

Rangk. ini mengandung dependent source. Untuk mencari R_Th kita atur

independent source sama dg nol, ttp tetap meninggalkan dependent source dan menambahkan sumber tegangan v_o=1V pada terminal a-b, spt pada Gambar 2b.

Tujuan kita adalah mencari arus i_o yang melewati terminal untuk mencari 𝑅_𝑇ℎ =

1ൗ

𝑖_𝑜.

Dg menerapkan analisis mesh pada loop 1, didapatkan:

−2𝑣_𝑥 + 2 𝑖₁ − 𝑖₂ = 0 → 𝑣_𝑥 = 𝑖₁ − 𝑖₂

Sedangkan 𝑣_𝑥 = −4𝑖₂ = 𝑖₁ − 𝑖₂→𝑖₁ = −3𝑖₂ ….. (a) Analisis mesh pada loop 2 dan 3:

4𝑖₂ + 2 𝑖₂ − 𝑖₁ + 6 𝑖₂ − 𝑖₃ = 0 ………. (b) 6 𝑖₃ − 𝑖₂ + 2𝑖₃ + 1 = 0 ………….(c)

Didapatkan 𝑖₃ = − Τ¹ ₆𝐴 → Tapi 𝑖_𝑜 = −𝑖₃ = Τ¹ ₆ Sehingga 𝑅_𝑇ℎ = ^{1 𝑉}

𝑖_𝑂 = 6Ω

Gambar 2a

Gambar 2b

CONTOH 2 (LANJ.)

Untuk mendapatkan V

_Th

kita cari voc pada Gambar 2c. Dengan menerapkan analisis mesh didapatkan:

𝑖

₁

= 5𝐴

4 𝑖

₂

− 𝑖

₁

+ 2 𝑖

₂

− 𝑖

₃

+ 6𝑖

₂

= 0 → 12𝑖

₂

− 4𝑖

₁

− 2𝑖

₃

= 0 2 𝑖

₃

− 𝑖

₂

= 2𝑣

_𝑋

→ 𝑣

_𝑋

= 𝑖

₃

− 𝑖

₂

Tapi 4 𝑖

₁

− 𝑖

₂

= 𝑣

_𝑋

didapat 𝑖

₂

=

¹⁰

Τ

₃

𝐴

Sehingga 𝑉

_𝑇ℎ

= 𝑣

_𝑂𝐶

= 6𝑖

₂

= 6 ×

¹⁰

3

= 20𝑉

Sehingga rangkaian ekivalen Thevenin ditunjukkan seperti pada Gambar 2d.

Gambar 2c

Gambar 2d

TEOREMA NORTON

 Teorema Norton menyatakan bahwa rangkaian linier dua terminal dapat diganti dengan rangkaian ekivalen yang terdiri dari sumber arus IN yang paralel dengan resistor RN, di mana IN adalah arus hubung singkat yang melalui terminal dan RN adalah input atau resistansi ekivalen pada terminal ketika sumber independen dimatikan.

 R_N dicari dengan menggunakan cara yang sama saat mencari R_Th Sehingga R_N = R_Th

Gambar 6 (a) Rangkaian

awal, (b) Rangkaian ekalen

Norton

 Untuk mencari arus Norton, kita dapatkan melalui arus short-circuit yang mengalir dari terminal a ke b dari kedua rangkaian pada

Gambar 6(b) dan harus mempunyai nilai yang sama untuk arus short-circuit yang mengalir dari terminal a ke b di Gambar 6(a).

Sehingga I_N=I_SC , seperti ditunjukkan pada Gambar 7

 Saat menemui sumber dependent dan independent, perlakukan sama seperti di Teorema Thevenin

 Dari hub yang dekat antara Terorema Thevenin dan Norton R_N=R_Th didapatkan

𝐼_𝑁 = ^𝑉𝑇ℎ

𝑅_𝑇ℎ

Gambar 7 Mencari arus Norton I

_N

CONTOH 3

Cari rangkaian ekivalen Norton untuk Gambar 3a, pada terminal a-b.

Jawab:

Sama dengan saat kita mencari RTh, matikan semua sumber baik sumber arus atau tegangan, seperti pada Gambar 3b.

𝑅_𝑁 = 8 + 4 + 8 5 = 5 20 = 4Ω

Gambar 3a. Contoh 3

Gambar 3b. Mencari

R_N



Untuk mencari IN, terminal a dan b kita short-circuit, spt Gambar 3c.

Resistor 5Ω, kita abaikan karena terminal a-b di short-circuit, shg arus tidak akan mengalir ke resistor 5Ω. Dengan menerapkan analisis Mesh didapatkan:

𝑖

₁

= 2𝐴; −12 + 4 𝑖

₂

− 𝑖

₁

+ 8𝑖

₂

+ 8𝑖

₂

=0 → 𝑖

₂

= 1𝐴 = 𝑖

_𝑆𝐶

= 𝐼

_𝑁



Atau kita bisa mencari I

_N

dari V

_Th

/R

_Th

, seperti Gambar 3d. Dengan menggunakan analisis Mesh didapatkan

𝑖

₃

= 2𝐴; −12 + 4 𝑖

₄

− 𝑖

₃

+ 8 + 5 + 8 𝑖

₃

= 0 ; 𝑖

₄

=0,8A 𝑉

_𝑇ℎ

= 𝑣

_𝑂𝐶

= 5𝑖

₄

=5x0,8=4V → 𝐼

_𝑁

=

^𝑉𝑇ℎ

𝑅_𝑇ℎ

=

⁴

4

= 1𝐴

Gambar 3c. Mencari

I_N

Gambar 3d. Mencari

V_Th

Gambar 3e. Rangkaian Ekivalen Norton

LATIHAN 2

Cari rangkaian ekivalen Norton Gambar disamping

TRANSFER DAYA MAKSIMUM

Dalam banyak situasi praktis, rangkaian dirancang untuk memberikan daya ke beban.

Terdapat aplikasi dibidang komunikasi dimana diinginkan memaksimalkan daya yang dikirim ke beban. Teorema Thevenin berguna dalam menemukan daya maksimum yang dapat

diberikan oleh rangkaian linier ke beban R_L. Asumsikan bahwa kita dapat mengatur tahanan beban R_L Jika seluruh rangkaian diganti dengan Rangkaian ekivalen Thevenin, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8, daya yang dikirimkan ke beban adalah

𝑝 = 𝑖²𝑅_𝐿 = 𝑉_𝑇ℎ 𝑅_𝑇ℎ + 𝑅_𝐿

2

𝑅_𝐿

Untuk rangkaian, dengan nilai V_Th dan R_Th yang tetap. Dengan resistansi beban yang bervariasi, daya yang dikirim ke beban dapat digambarkan seperti Gambar 9. Nilai daya maksimum didapat saat di RL berada diantara 0 sd ∞ Ω, yaitu saat R_L=R_Th.

Gambar 8. Rangkaian untuk mencari Transfer Daya

Maksimum

Gambar 9. Daya Vs R_L

Daya maksimum ditransfer ke beban ketika resistansi beban sama

dengan resistansi Thevenin dilihat dari beban (R

_L

=R

_Th

)

LATIHAN 3

Cari nilai RL untuk transfer daya maksimum Gambar

disamping dan cari maksimum dayanya.