TEORI ANALISIS MARKOV

(1)

TEORI TEORI

ANALISIS MARKOV

(2)

Pendahuluan Pendahuluan



Analisis Markov (disebut sebagai Analisis Markov (disebut sebagai Proses Proses Stokastik

Stokastik ) merupakan suatu bentuk ) merupakan suatu bentuk khusus dari model probabilistik.

khusus dari model probabilistik.



Proses Stokastik merupakan suatu proses Proses Stokastik merupakan suatu proses perubahan probabilistik yang terjadi

perubahan probabilistik yang terjadi secara terus menerus, di mana

secara terus menerus, di mana

perubahan-perubahan variabel di masa perubahan-perubahan variabel di masa

yang akan datang didasarkan atas yang akan datang didasarkan atas

perubahan-perubahan variabel di waktu perubahan-perubahan variabel di waktu

yang lalu.

(3)

Pendahuluan Pendahuluan

 Pada awalnya, Analisis Markov digunakan sebagai Pada awalnya, Analisis Markov digunakan sebagai alat dalam analisis perubahan cuaca.

alat dalam analisis perubahan cuaca.

 Saat ini, Analisis Markov sering digunakan untuk Saat ini, Analisis Markov sering digunakan untuk membantu pembuatan keputusan dalam dunia membantu pembuatan keputusan dalam dunia

bisnis atau industri.

 Misal, sebagai alat untuk menganalisis:Misal, sebagai alat untuk menganalisis:

• Perpindahan merek yang digunakan oleh konsumen.Perpindahan merek yang digunakan oleh konsumen.

• Masalah operasi dan pemeliharaan mesin produks.Masalah operasi dan pemeliharaan mesin produks.

• Perubahan harga di pasar saham.Perubahan harga di pasar saham.

• Dan lain-lainDan lain-lain

(4)

Proses Analisis Markov Proses Analisis Markov



Terdapat 3 prosedur utama untuk Terdapat 3 prosedur utama untuk dilakukan, yaitu :

dilakukan, yaitu :

• Menyusun matriks probabilitas transisi. Menyusun matriks probabilitas transisi.

• Menghitung probabilitas suatu kejadian Menghitung probabilitas suatu kejadian di waktu yang akan datang.

di waktu yang akan datang.

• Menentukan kondisi Menentukan kondisi steady state steady state . .

(5)

Ciri-ciri Analisis Markov:



Bila diketahui status suatu kondisi awal, Bila diketahui status suatu kondisi awal, maka pada kondisi periode berikutnya maka pada kondisi periode berikutnya merupakan suatu proses random yang merupakan suatu proses random yang

dinyatakan dalam probabilitas, yang dinyatakan dalam probabilitas, yang

disebut dengan probabilitas transisi.



Probabilitas transisi tidak akan berubah Probabilitas transisi tidak akan berubah untuk selamanya.

untuk selamanya.



Probabilitas transisi hanya tergantung Probabilitas transisi hanya tergantung pada status awal.

pada status awal.

(6)

Contoh 1:

Masalah perubahan cuaca di Indonesia.

 Misal hanya terdapat 2 macam cuaca, yaitu hujan Misal hanya terdapat 2 macam cuaca, yaitu hujan dan cerah. Diketahui bahwa dalam masalah ini, dan cerah. Diketahui bahwa dalam masalah ini,

cuaca di Indonesia selalu berada pada salah satu cuaca di Indonesia selalu berada pada salah satu

dari dua

dari dua statestate (status) yang mungkin, yaitu cerah (status) yang mungkin, yaitu cerah atau hujan.

atau hujan.

 Perubahan dari satu Perubahan dari satu statestate ke ke statestate yang lain pada yang lain pada periode berikutnya merupakan suatu proses

periode berikutnya merupakan suatu proses random yang dinyatakan dalam probabilitas, random yang dinyatakan dalam probabilitas,

yang disebut dengan probabilitas transisi.

 Misalnya saja diketahui :Misalnya saja diketahui :

• P(hujan | hujan ) = 0,6P(hujan | hujan ) = 0,6P(hujan | cerah ) = 0,P(hujan | cerah ) = 0,44

• P(cerah | hujan ) = 0,8P(cerah | hujan ) = 0,8P(cerah | cerah ) = 0,2P(cerah | cerah ) = 0,2

(7)

Matriks Probabilitas Transisi Matriks Probabilitas Transisi

 Merupakan matriks (tabel) yang berisi nilai Merupakan matriks (tabel) yang berisi nilai probabilitas perubahan

probabilitas perubahan statestate tersebut dapat tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks (tabel), yang dituliskan dalam bentuk matriks (tabel), yang

disebut dengan Matriks Probabilitas Transisi, yaitu:

State State Besok

Hari ini Hujan Cerah

Hujan 0,6 0,4

Cerah 0,8 0,2

(8)

Menyusun Matriks Probabilitas Menyusun Matriks Probabilitas

Transisi Transisi

Contoh Contoh 2 2 : :

 Misal, diambil sampel sebanyak 1000 konsumen Misal, diambil sampel sebanyak 1000 konsumen yang tersebar dalam 4 merek sabun mandi yang yang tersebar dalam 4 merek sabun mandi yang

digunakan, yaitu merek A, B, C, dan D.

 Dalam masalah ini, konsumen dapat berpindah Dalam masalah ini, konsumen dapat berpindah dari satu merek ke merek lain. Perpindahan ini dari satu merek ke merek lain. Perpindahan ini

bisa disebabkan karena adanya promosi khusus, bisa disebabkan karena adanya promosi khusus,

perbedaan harga, iklan yang terus menerus di TV, perbedaan harga, iklan yang terus menerus di TV, dsb.dsb.

(9)

Menyusun Matriks Probabilitas Menyusun Matriks Probabilitas

Transisi Transisi

 Tabel di bawah ini menunjukkan pola Tabel di bawah ini menunjukkan pola

perpindahan konsumen dalam penggunaan perpindahan konsumen dalam penggunaan

sabun mandi merek A, B, C, dan D.

Merek

Jml konsumen

Bulan ini Perubahan selama periode Jml

konsumen Bulan depan Mendapatkan Kehilangan

A 220 50 45 225

B 300 60 70 290

C 230 25 25 230

D 250 40 35 255

Jumlah 1000 175 175 1000

(10)

Menyusun Matriks Probabilitas Menyusun Matriks Probabilitas

Transisi Transisi

 Dari tabel tersebut, tidak diketahui berapa Dari tabel tersebut, tidak diketahui berapa

diantara 45 konsumen merek A yang berpindah diantara 45 konsumen merek A yang berpindah ke merek B, C, atau D.

ke merek B, C, atau D.

 Dan sebaliknya, juga tidak diketahui berapa Dan sebaliknya, juga tidak diketahui berapa

diantara 50 konsumen yang berpindah ke merek diantara 50 konsumen yang berpindah ke merek A berasal dari konsumen merek B, C, atau D.

A berasal dari konsumen merek B, C, atau D.

 Oleh karena itu, dibutuhkan informasi yang Oleh karena itu, dibutuhkan informasi yang

lengkap tentang perpindahan konsumen dalam lengkap tentang perpindahan konsumen dalam penggunaan sabun mandi

penggunaan sabun mandi

(11)

Menyusun Matriks Probabilitas Menyusun Matriks Probabilitas

Transisi Transisi

 Atas dasar survey konsumen, diperoleh hasil Atas dasar survey konsumen, diperoleh hasil yang dituliskan dalam tabel sbb.:

yang dituliskan dalam tabel sbb.:

Merek

Jml konsumen

Bulan ini Mendapatkan dari Kehilangan ke Jml konsumen bulan depan

A B C D A B C D

A 220 0 40 0 10 0 20 10 15 225

B 300 20 0 25 15 40 0 5 25 290

C 230 10 5 0 10 0 25 0 0 230

D 250 15 25 0 0 10 15 10 0 255

Jumlah 1000 1000

(12)

Transisi Transisi

 Dari data pada tabel di atas dapat dibuat Dari data pada tabel di atas dapat dibuat

matriks perpindahan/perubahan merek sabun matriks perpindahan/perubahan merek sabun

mandi, yaitu:

State State Bln depan

Jumlah

Bulan ini A B C D

A 175 20 10 15 220

B 40 230 5 25 300

C 0 25 205 0 230

D 10 15 10 215 250

225 290 230 255

(13)

Transisi Transisi

 Jadi, matriks probabilitas transisinya adalah :Jadi, matriks probabilitas transisinya adalah :

State State Bln depan

Bulan ini A B C D

A 0,796 0,091 0,045 0,068

B 0,133 0,767 0,017 0,083

C 0 0,109 0,891 0

D 0,040 0,060 0,040 0,860

(14)

Menyusun Matriks Probabilitas Menyusun Matriks Probabilitas

Transisi Transisi

Contoh Contoh 3 3

 Misal, sebuah perusahaan distributor beras yang Misal, sebuah perusahaan distributor beras yang memasarkan beras jenis rojolele pada akhir-akhir memasarkan beras jenis rojolele pada akhir-akhir

ini menyadari adanya penurunan penjualan.

 Pihak manajemen mencurigai adanya Pihak manajemen mencurigai adanya

perpindahan jenis beras yang dikonsumsi oleh perpindahan jenis beras yang dikonsumsi oleh

pelanggan.

 Untuk mengetahui sebab penurunan penjualan Untuk mengetahui sebab penurunan penjualan tersebut, perusahaan mengumpulkan data dari tersebut, perusahaan mengumpulkan data dari

beberapa keluarga dengan cara mengambil beberapa keluarga dengan cara mengambil

sampel dari daerah yang paling besar mengalami sampel dari daerah yang paling besar mengalami

penurunan.

(15)

Menyusun Matriks Probabilitas Menyusun Matriks Probabilitas

Transisi Transisi

 Data yang berhasil dikumpulkan adalah :Data yang berhasil dikumpulkan adalah :

No Nama

Keluarga

Status

Sebelumnya Saat Ini

1 A Cisedani Cisedani

2 B Cisedani Cisedani

3 C Cisedani Cisedani

4 D Cisedani IR. 36

5 E Cisedani IR. 36

6 F Cisedani IR. 36

7 G Cisedani Rojolele

8 H Cisedani Rojolele

9 I IR. 36 Cisedani

No Nama

Keluarga

Status

Sebelumnya Saat Ini

10 J IR. 36 Cisedani

11 K IR. 36 IR. 36

12 L IR. 36 IR. 36

13 M IR. 36 Rojolele

14 N IR. 36 Rojolele

15 O Rojolele Cisedani

16 P Rojolele IR. 36

17 Q Rojolele Rojolele

18 R Rojolele Rojolele

(16)

Menyusun Matriks Probabilitas Menyusun Matriks Probabilitas

Transisi Transisi

 Bila dituliskan dalam bentuk tabel perubahan Bila dituliskan dalam bentuk tabel perubahan state

state (perpindahan konsumsi beras), diperoleh: (perpindahan konsumsi beras), diperoleh:

Dari status

(Sebelumnya) Ke status berikutnya (saat ini)

Jumlah Rojolele IR. 36 Cisedani

Rojolele 2 1 1 4

IR. 36 2 2 2 6

Cisedani 2 3 3 8

Jumlah 6 6 6 18

(17)

Transisi Transisi

 Dianggap bahwa perpindahan konsumsi beras Dianggap bahwa perpindahan konsumsi beras dianggap stabil, sehingga matriks probabilitas dianggap stabil, sehingga matriks probabilitas

transisinya adalah : transisinya adalah :

Dari status

(Sebelumnya) Ke status berikutnya (saat ini)

Rojolele IR. 36 Cisedani

Rojolele 0,500 0,250 0,250

IR. 36 0,333 0,333 0,334

Cisedani 0,250 0,375 0,375

Catatan:

Sel diagonal (warna lbh gelap), merupakan probabilitas konsumen tetap setia (tetap dalam pemilikan atau retentions).

(18)

Menghitung probabilitas suatu kejadian Menghitung probabilitas suatu kejadian

di waktu yang akan datang di waktu yang akan datang



Informasi yang dihasilkan dari Analisis Informasi yang dihasilkan dari Analisis Markov adalah probabilitas suatu state Markov adalah probabilitas suatu state

pada periode ke depan.



Informasi ini dapat digunakan oleh Informasi ini dapat digunakan oleh

manajer untuk membantu pengambilan manajer untuk membantu pengambilan keputusan dengan cara memperkirakan keputusan dengan cara memperkirakan perubahan-perubahan variabel di waktu perubahan-perubahan variabel di waktu

yang akan datang berdasar atas yang akan datang berdasar atas

perubahan-perubahan variabel di waktu perubahan-perubahan variabel di waktu

yang lalu.

(19)

Menghitung probabilitas suatu kejadian Menghitung probabilitas suatu kejadian

di waktu yang akan datang di waktu yang akan datang



Terdapat 2 cara untuk menemukan Terdapat 2 cara untuk menemukan informasi tersebut, yaitu:

informasi tersebut, yaitu:

• Probabilitas tree Probabilitas tree

• Perkalian matriks Perkalian matriks

(20)

Probabilitas Tree Probabilitas Tree

Contoh:

Diketahui probabilitas transisi sebagai berikut:

State State Besok

Hari ini Hujan Cerah

Hujan 0,6 0,4

Cerah 0,8 0,2

Ingin dihitung probabilitas cuaca akan berstatus hujan pada hari ke-3, jika pada hari ini (hari

pertama) berstatus hujan.

(21)

Probabilitas Tree Probabilitas Tree

Penyelesaian:

0,08 0,24

Hujan

Hujan Hujan

Cerah

Hari ke-1 Hari ke-2 Hari ke-3

0,6

0,8 0,4

0,4

0,2 0,4

0,6

0,36

0,32

(22)

Probabilitas Tree Probabilitas Tree

Jadi, Jadi,



Probabilitas cuaca akan berstatus hujan Probabilitas cuaca akan berstatus hujan pada hari ke-3, jika pada hari ini (hari pada hari ke-3, jika pada hari ini (hari

pertama) berstatus hujan adalah pertama) berstatus hujan adalah

HH_H_H(3) = 0,36 + 0,32 = 0,68(3) = 0,36 + 0,32 = 0,68



Probabilitas cuaca akan berstatus cerah Probabilitas cuaca akan berstatus cerah pada hari ke-3, jika pada hari ini (hari

pada hari ke-3, jika pada hari ini (hari pertama) berstatus hujan adalah

pertama) berstatus hujan adalah

CCH_H(3) 0,24 + 0,08 = 0,32(3) 0,24 + 0,08 = 0,32

(23)

Perkalian Matriks Perkalian Matriks



Probabilitas tree akan sangat membantu Probabilitas tree akan sangat membantu bila periode ke-t di masa depan cukup

bila periode ke-t di masa depan cukup kecil.

kecil.



Bila ingin diketahui probabilitas status Bila ingin diketahui probabilitas status

pada periode ke-t dimasa depan, dimana t pada periode ke-t dimasa depan, dimana t

cukup besar, maka untuk menyelesaikan cukup besar, maka untuk menyelesaikan

dengan probabilitas tree akan menjadi dengan probabilitas tree akan menjadi

tidak efisien karena membutuhkan lembar tidak efisien karena membutuhkan lembar

kertas yang besar.



Untuk itu, digunakan cara lain yaitu Untuk itu, digunakan cara lain yaitu dengan menggunakan

dengan menggunakan perkalian matriks perkalian matriks

(24)

Contoh masalah pengoperasian Contoh masalah pengoperasian

kendaraan umum (angkota):



Angkota akan beroperasi (jalan) bila Angkota akan beroperasi (jalan) bila tidak sedang mogok, artinya bahwa tidak sedang mogok, artinya bahwa

dalam masalah ini angkota selalu dalam masalah ini angkota selalu

berada di dalam salah satu dari dua berada di dalam salah satu dari dua

state (status) yang mungkin, yaitu state (status) yang mungkin, yaitu

jalan

jalan atau atau mogok mogok

(25)

Perubahan dari satu state ke state yang lain pada periode Perubahan dari satu state ke state yang lain pada periode

(hari) berikutnya dituliskan dalam matriks / tabel (hari) berikutnya dituliskan dalam matriks / tabel probabilitas transisi sebagai berikut:

probabilitas transisi sebagai berikut:

state sekarang (hari ini)

Ke status berikutnya (besok)

Jalan Mogok

Jalan 0,6 0,4

Mogok 0,8 0,2

Pemilik usaha angkota tersebut ingin mengetahui probabilitas sebuah angkota berstatus jalan pada hari ke-3, jika angkota tersebut berstatus jalan pada hari ini (hari ke-1).

(26)

Perkalian Matriks Perkalian Matriks

Penyelesaian:

 Probabilitas sebuah angkota berstatus jalan pada Probabilitas sebuah angkota berstatus jalan pada hari ke-3, jika angkota tersebut berstatus jalan hari ke-3, jika angkota tersebut berstatus jalan

pada hari ini (hari ke-1), dapat dituliskan dengan pada hari ini (hari ke-1), dapat dituliskan dengan

simbol J

simbol J_J_J(3).(3).

 Probabilitas sebuah angkota berstatus mogok Probabilitas sebuah angkota berstatus mogok pada hari ke-3, jika angkota tersebut berstatus pada hari ke-3, jika angkota tersebut berstatus jalan pada hari ini (hari ke-1), dapat dituliskan jalan pada hari ini (hari ke-1), dapat dituliskan

dengan simbol M

dengan simbol M_J_J(3). (3).

 Dan seterusnya dengan penalaran yang serupa.Dan seterusnya dengan penalaran yang serupa.

(27)

Perkalian Matriks Perkalian Matriks

 Probabilitas sebuah angkota berstatus jalan Probabilitas sebuah angkota berstatus jalan ataupun mogok pada hari ke-1, ditulis dalam ataupun mogok pada hari ke-1, ditulis dalam vektor baris sbb. :

vektor baris sbb. :

 J

_J

( 1 ) M

_J

( 1 )    1 0 

(28)

 Probabilitas sebuah angkota berstatus jalan Probabilitas sebuah angkota berstatus jalan ataupun mogok pada hari ke-2, bila angkot ataupun mogok pada hari ke-2, bila angkot

tersebut berstatus jalan pada hari ke-1, dapat tersebut berstatus jalan pada hari ke-1, dapat dicari dengan mengalikan vektor baris dengan dicari dengan mengalikan vektor baris dengan matriks probabilitas transisi, diperoleh :

matriks probabilitas transisi, diperoleh :

      

⁰^,⁶ ⁰^,⁴



2 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , 0 0

2 1 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , ) 0

1 ( )

2 ( )

2

(  



 





 



 





 _J _J

J

J M J M

J

(29)

Perkalian Matriks Perkalian Matriks

 Dan, probabilitas sebuah angkota berstatus jalan Dan, probabilitas sebuah angkota berstatus jalan ataupun mogok pada hari ke-3, bila angkota

ataupun mogok pada hari ke-3, bila angkota tersebut berstatus jalan pada hari ke-1, dapat tersebut berstatus jalan pada hari ke-1, dapat

dicari dengan penalaran serupa, diperoleh : dicari dengan penalaran serupa, diperoleh :

      

⁰^,⁶⁸ ⁰^,³²



2 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , 4 0

, 0 6 , 2 0

, 0 8 , 0

4 , 0 6 , ) 0

2 ( )

3 ( )

3

(  



 





 



 





 _J _J

J

J M J M

J

(30)

Menentukan Kondisi

Menentukan Kondisi Steady State Steady State

 Dalam banyak kasus, Analisis Markov akan Dalam banyak kasus, Analisis Markov akan menuju suatu kondisi keseimbangan (

menuju suatu kondisi keseimbangan (Steady Steady State

State), yaitu suatu kondisi di mana setelah proses ), yaitu suatu kondisi di mana setelah proses markov berjalan selama beberapa periode, maka markov berjalan selama beberapa periode, maka akan diperoleh nilai probabilitas suatu

akan diperoleh nilai probabilitas suatu statestate akan akan bernilai tetap.

bernilai tetap.

 Suatu Analisis Markov dapat saja tidak mencapai Suatu Analisis Markov dapat saja tidak mencapai kondisi

kondisi Steady StateSteady State. .

(31)

Contoh untuk menentukan kondisi Contoh untuk menentukan kondisi

steady state steady state



Contoh pengoperasian kendaraan Contoh pengoperasian kendaraan umum (angkota).

umum (angkota).

Seandainya perhitungan dilanjutkan, maka Seandainya perhitungan dilanjutkan, maka

probabilitas sebuah angkota berstatus jalan probabilitas sebuah angkota berstatus jalan ataupun mogok pada hari ke-4, bila angkota ataupun mogok pada hari ke-4, bila angkota

tersebut berstatus jalan pada hari ke-1, adalah : tersebut berstatus jalan pada hari ke-1, adalah :

      ⁰^,⁶⁶⁴ ⁰^,³³⁶

2 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , 32 0

, 0 68 , 2 0

, 0 8 , 0

4 , 0 6 , ) 0

3 ( )

4 ( )

4

(  



 





 



 





 _J _J

J

J M J M

J

(32)

Contoh untuk menentukan kondisi Contoh untuk menentukan kondisi

steady state steady state

Probabilitas status periode selanjutnya adalah : Probabilitas status periode selanjutnya adalah :



^J_J ⁽⁵⁾ ^M _J ⁽⁵⁾

 

^ ⁰^,⁶⁶⁷² ⁰^,³³²⁸





^J_J ⁽⁶⁾ ^M _J ⁽⁶⁾

 

^ ⁰^,⁶⁶⁶⁶ ⁰^,³³³⁴





^J_J ⁽⁷⁾ ^M _J ⁽⁷⁾

 

^ ⁰^,⁶⁶⁶⁷ ⁰^,³³³³





^J_J ⁽⁸⁾ ^M _J ⁽⁸⁾

 

^ ⁰^,⁶⁶⁶⁷ ⁰^,³³³³



(33)

 Dari hasil tersebut terlihat bahwa perubahan Dari hasil tersebut terlihat bahwa perubahan probabilitas status untuk periode selanjutnya probabilitas status untuk periode selanjutnya

makin kecil sampai akhirnya tidak tampak adanya makin kecil sampai akhirnya tidak tampak adanya

perubahan

perubahan  tercapai mulai periode ke-7. tercapai mulai periode ke-7.

 Sehingga, pemilik usaha angkota dapat Sehingga, pemilik usaha angkota dapat

menyimpulkan bahwa jika pada awalnya angkota menyimpulkan bahwa jika pada awalnya angkota

berstatus jalan, maka setelah beberapa periode berstatus jalan, maka setelah beberapa periode

di masa depan probabilitas akan jalan adalah di masa depan probabilitas akan jalan adalah 0,6667 dan probabilitas mogok adalah 0,3333.

0,6667 dan probabilitas mogok adalah 0,3333.

(34)

Contoh untuk menentukan kondisi Contoh untuk menentukan kondisi

 Probabilitas status di masa depan, jika awalnya Probabilitas status di masa depan, jika awalnya mogok dapat dilakukan dengan cara serupa.

mogok dapat dilakukan dengan cara serupa.

Diperoleh:



^J_M ⁽¹⁾ ^M_M ⁽¹⁾

 

^ ⁰ ¹



      ⁰^,⁸ ⁰^,²

2 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , 1 0

2 0 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , ) 0

1 ( )

2 ( )

2

(  



 





 



 





 _M _M

M

M M J M

J

      ⁰^,⁶⁴ ⁰^,³⁶

2 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , 2 0

, 0 8 , 2 0

, 0 8 , 0

4 , 0 6 , ) 0 2 ( )

2 ( )

3 ( )

3

(  



 





 



 





 _M _M

M

M M J M

J

      ⁰^,⁶⁷² ⁰^,³²⁸

2 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , 36 0

, 0 64 , 2 0

, 0 8 , 0

4 , 0 6 , ) 0 3 ( )

3 ( )

4 ( )

4

(  



 





 



 





 _M _M

M

M M J M

J

(35)

Probabilitas status periode selanjutnya adalah : Probabilitas status periode selanjutnya adalah :



^J_M ⁽⁵⁾ ^M_M ⁽⁵⁾

 

^ ⁰^,⁶⁶⁵⁶ ⁰^,³³⁴⁴





^J_M ⁽⁶⁾ ^M_M ⁽⁶⁾

 

^ ⁰^,⁶⁶⁶⁹ ⁰^,³³³¹





^J_M ⁽⁷⁾ ^M _M ⁽⁷⁾

 

^ ⁰^,⁶⁶⁶⁶ ⁰^,³³³⁴



 J

_M

( 8 ) M

_M

( 8 )    0 , 6667 0 , 3333 

 J

_M

( 9 ) M

_M

( 9 )    0 , 6667 0 , 3333 

(36)

Contoh untuk menentukan kondisi Contoh untuk menentukan kondisi

 Dari hasil di atas terlihat bahwa perubahan Dari hasil di atas terlihat bahwa perubahan probabilitas status untuk periode selanjutnya probabilitas status untuk periode selanjutnya

makin kecil sampai akhirnya tidak tampak adanya makin kecil sampai akhirnya tidak tampak adanya

perubahan

perubahan  tercapai mulai periode ke-8. tercapai mulai periode ke-8.

 Dalam hal ini, pemilik usaha angkota dapat Dalam hal ini, pemilik usaha angkota dapat

menyimpulkan bahwa jika pada awalnya angkot menyimpulkan bahwa jika pada awalnya angkot

berstatus mogok, maka setelah beberapa periode berstatus mogok, maka setelah beberapa periode

di masa depan probabilitas akan jalan adalah di masa depan probabilitas akan jalan adalah

0,6667 dan probabilitas mogok adalah 0,3333.

(37)

Contoh untuk menentukan kondisi Contoh untuk menentukan kondisi

 Dari kedua hasil tersebut, terlihat bahwa apapun Dari kedua hasil tersebut, terlihat bahwa apapun status awalnya, maka nilai probabilitas status di status awalnya, maka nilai probabilitas status di

masa depan akan konstan, yaitu probabilitas masa depan akan konstan, yaitu probabilitas

akan jalan adalah 0,6667 dan probabilitas mogok akan jalan adalah 0,6667 dan probabilitas mogok

adalah 0,3333.

 Jadi, dapat disimpulkan jika kondisi Jadi, dapat disimpulkan jika kondisi steady statesteady state tercapai, maka probabilitas status periode ke-i tercapai, maka probabilitas status periode ke-i akan sama dengan probabilitas status periode akan sama dengan probabilitas status periode

berikutnya, yaitu periode ke-(i + 1), atau dapat berikutnya, yaitu periode ke-(i + 1), atau dapat

dituliskan sebagai : dituliskan sebagai :

JJ_J_J(i+1) = JJ(i) (i+1) = JJ(i) dan dan MM_J_J(i+1) = MJ(i)(i+1) = MJ(i)

(38)

Probabilitas status periode Probabilitas status periode

ke-(i + 1) ke-(i + 1)



Untuk mencari probabilitas status Untuk mencari probabilitas status

periode ke-(i + 1), dilakukan dengan periode ke-(i + 1), dilakukan dengan

cara: diketahui bahwa dalam kondisi cara: diketahui bahwa dalam kondisi

steady state

steady state berlaku : berlaku : J J

_J_J

(i+1) = JJ(i) (i+1) = JJ(i)

dan dan

M M

J_J

(i+1) = MJ(i), (i+1) = MJ(i),

(39)

 Untuk contoh pengoperasian kendaraan umum, Untuk contoh pengoperasian kendaraan umum, nilai probabilitas status periode i+1 adalah :

nilai probabilitas status periode i+1 adalah :

[ J_J(i+1) M_J(i+1) ] = [ J_J(i) M_J(i) ]



 





2 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , 0

Menjadi : Menjadi :

[ J_J(i) M_J(i) ] = [ J_J(i) M_J(i) ]



 





2 , 0 8 , 0

4 , 0 6 , 0

(40)

 Diketahui bahwa : JDiketahui bahwa : J_J_J(i) + M(i) + M_J_J(i) = 1, maka :(i) = 1, maka : JJJ_J(i) = 1 - M(i) = 1 - MJ_J(i) sehingga:(i) sehingga:

J_J(i) = 0,6 J_J(i) + 0,8 M_J(i) M_J(i) = 0,4 J_J(i) + 0,2 M_J(i)

Dengan mensubstitusi J_J(i) = 1 - M_J(i) ke persamaan terakhir, diperoleh :

M_J(i) = 0,4 (1 - M_J(i)) + 0,2 M_J(i) M_J(i) = 0,4 - 0,4 M_J(i) + 0,2 M_J(i) M_J(i) + 0,4 M_J(i) - 0,2 M_J(i) = 0,4 1,2 M_J(i) = 0,4

M_J(i) = 0,3333

Dan J_J(i) = 1 - M_J(i) = 1 – 0,3333 = 0,6667.

(41)

Jadi, Jadi,

 Kondisi Kondisi steady statesteady state untuk permasalahan di atas untuk permasalahan di atas adalah:

adalah:

JJ(i+1) = JJ(i) = 0,6667 JJ(i+1) = JJ(i) = 0,6667 MJ(i+1) = MJ(i) = 0,3333 MJ(i+1) = MJ(i) = 0,3333

 Artinya jika pada awalnya angkota berstatus Artinya jika pada awalnya angkota berstatus jalan, maka setelah beberapa periode di masa jalan, maka setelah beberapa periode di masa

depan probabilitas akan jalan adalah 0,6667 dan depan probabilitas akan jalan adalah 0,6667 dan

probabilitas mogok adalah 0,3333.

(42)

Penggunaan Probabilitas

Penggunaan Probabilitas Steady Steady State

State



Misal perusahaan angkota mempunyai 100 Misal perusahaan angkota mempunyai 100 kendaraan, maka jumlah angkota yang

kendaraan, maka jumlah angkota yang setiap hari diharapkan dapat berjalan setiap hari diharapkan dapat berjalan

adalah : adalah :

JJJ_J(i) x 100 = 0,6667 x 100 = 66,67 ≈ 67(i) x 100 = 0,6667 x 100 = 66,67 ≈ 67

Dan yang mogok adalah : Dan yang mogok adalah :

MMJ_J(i) x 100 = 0,3333 x 100 = 33,33 ≈ 33.(i) x 100 = 0,3333 x 100 = 33,33 ≈ 33.

(43)

Penggunaan Probabilitas

Penggunaan Probabilitas Steady Steady State

State

 Bila pemilik angkota merasa tidak puas dengan Bila pemilik angkota merasa tidak puas dengan kondisi tersebut dan ingin meningkatkan kondisi kondisi tersebut dan ingin meningkatkan kondisi tersebut, maka pemilik angkota berusaha untuk tersebut, maka pemilik angkota berusaha untuk menggunakan suku cadang asli dalam setiap

menggunakan suku cadang asli dalam setiap perawatan kendaraan, sehingga diperoleh

perawatan kendaraan, sehingga diperoleh matriks transisi yang baru yaitu :

matriks transisi yang baru yaitu :



 





2 , 0 8 , 0

3 , 0 7 , 0

(44)

Penggunaan Probabilitas

State

 Probabilitas Probabilitas steady statesteady state berdasar matriks transisi berdasar matriks transisi yang baru, bila awalnya angkota berstatus jalan yang baru, bila awalnya angkota berstatus jalan

adalah:

M_J(i) = 0,27 dan J_J(i) = 1 - M_J(i) = 1 – 0,27 = 0,73.

jika pada awalnya angkota berstatus mogok, maka akan diperoleh hasil :

J_M(i) = 0,73 dan M_M(i) = 0,27

(45)

Penggunaan Probabilitas

State

 Dari kedua hasil di atas, diperoleh hasil bahwa Dari kedua hasil di atas, diperoleh hasil bahwa apapun status awalnya, maka probabilitas akan apapun status awalnya, maka probabilitas akan

jalan adalah 0,73 dan probabilitas mogok adalah jalan adalah 0,73 dan probabilitas mogok adalah

0,27.

 Sehingga dengan menggunakan matriks transisi Sehingga dengan menggunakan matriks transisi yang baru, maka jumlah angkot yang setiap hari yang baru, maka jumlah angkot yang setiap hari

diharapkan dapat berjalan adalah : diharapkan dapat berjalan adalah :

J J

_J_J

(i) x 100 = 0,73 x 100 = 73 (i) x 100 = 0,73 x 100 = 73

Dan yang mogok adalah Dan yang mogok adalah

M M

J_J

(i) x 100 = 0,27 x 100 = 27. (i) x 100 = 0,27 x 100 = 27.

(46)

Penggunaan Probabilitas

State

 Jadi, terdapat pertambahan jumlah angkota yang Jadi, terdapat pertambahan jumlah angkota yang dapat beroperasi pada hari ini yaitu sebanyak 6 dapat beroperasi pada hari ini yaitu sebanyak 6

angkot per hari (dari 67 kendaraan menjadi 73 angkot per hari (dari 67 kendaraan menjadi 73

kendaraan).

 Dalam hal ini, manajemen perlu Dalam hal ini, manajemen perlu

mempertimbangkan apakah pertambahan biaya mempertimbangkan apakah pertambahan biaya

karena membeli suku cadang asli dengan karena membeli suku cadang asli dengan

kenaikan penerimaan sebagai akibat kenaikan penerimaan sebagai akibat

bertambahnya jumlah angkot yang jalan telah bertambahnya jumlah angkot yang jalan telah

sesuai.