TEORI PERMAINAN
PENGANTAR
Teori tentang permainan muncul akibat adanya persaingan.
Persaingan terjadi antara dua individu atau dua kelompok.
Tetapi tidak semua persaingan dapat dikatakan sebagai sebuah permainan.
Hanya persaingan yang memenuhi beberapa kriteria yang dapat dikategorikan sebagai
permainan
Kriteria Permainan
1. Terdapat persaingan diantara para pemain.
2. Setiap pemain mempunyai beberapa pilihan rencana yang dinamakan “strategi”
3. Aturan yang mengatur pilihan tersebut disebutkan satu persatu dan diketahui oleh para pemain.
4. Hasil permainan dipengaruhi oleh pilihan para pemain.
Definisi permainan
Teori permainan adalah teori yang mengatur tentang persaingan antar dua individu atau kelompok dengan menggunakan aturan-aturan yang telah diketahui oleh kedua belah pihak.
Aturan - Aturan
Terdapat sejumlah langkah atau strategi yang dapat dipilih oleh para pemain untuk dapat memenangkan permainan.
Terdapat informasi tentang strategi yang dipilih oleh pemain.
Pembayaran yang harus dipenuhi oleh setiap pemain di akhir permainan
Jenis pembayaran
Pembayaran dalam bilangan positif berarti kemenangan untuk pihak pertama.
Pembayaran dalam bilangan negatif berarti kemenangan untuk pihak kedua.
Pembayaran dalam nilai nol berarti tidak ada pihak yang menang (permainan seri)
Klasifikasi permainan (1)
1. Permainan berjumlah nol (Zero Sum Game),
merupakan tipe permainan dengan karakteristik sbb :
Jumlah kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol.
Jumlah pembayaran yang diterima oleh pemain yang menang sama dengan jumlah yang
dibayarkan oleh pemain yang kalah.
Klasifikasi permainan (2)
Kemenangan pihak yang satu merupakan kekalahan bagi pihak yang lainnya
Bila permainan dilakukan oleh dua orang, dinamakan Two Zero Sum Game .
Klasifikasi permainan (3)
2. Permainan tidak berjumlah nol (Non Zero Sum Game), merupakan tipe permainan total
pembayaran tidak sama dengan nol.
Matriks Pembayaran
Matriks pembayaran (pay off matrix) merupakan matriks pembayaran yang dilakukan oleh strategi yang dimiliki oleh para pemain.
Pemain pertama (baris) bertujuan untuk memaksimumkan pemasukkan sedangkan pemain kedua (kolom) berusaha untuk meminimumkan pengeluaran
Nilai permainan
Dari matriks pembayaran, dapat terlihat kedua
belah pihak menentukan strategi yang optimal dan nilai permainannnya.
Strategi optimal adalah strategi yang menempatkan pemain dalam kondisi yg terbaik tanpa
memperhitungkan kondisi pesaingnya.
Nilai permainan adalah nilai rata – rata pembayaran per permainan jika kedua pihak telah menggunakan strategi optimalnya
STRATEGI
STRATEGI MURNI
Penyelesaian dilakukan dengan menggunakan
konsep maksimin untuk pemain baris dan minimaks untuk pemain kolom. Dalam strategi ini pemain
akan menggunakan satu strategi tunggal untuk mendapat hasil optimal saddle point yang sama STRATEGI CAMPURAN
Strategi ini dilakukan bila strategi murni belum memberi penyelesaian optimal. Sehingga perlu dilakukan tindak lanjut untuk mendapat titik
optimal, dengan usaha mendapatkan saddle point yang sama.
CONTOH KASUS STRATEGI MURNI
Dua perusahaan bersaing untuk mendapatkan keuntungan dari pangsa pasar yang ada, dengan mengandalkan strategi yang dimiliki. A
mengandalkan 2 strategi dan B menggunakan 3 strategi.
penyelesaian
Langkah 1
penyelesaian
Langkah 2
penyelesaian Langkah 3
Kesimpulan:
Pemain baris dan pemain kolom sudah memiliki pilihan strategi yang sama yaitu nilai 4 optimal
Pilihan tersebut berarti bahwa meskipun A menginginkan keuntungan yang lebih besar, tapi tetap hanya akan
memperoleh keuntungan maksimal 4 dengan strategi
harga mahal (S2), demikian juga dengan B, kerugian yang paling minimal adalah 4, dengan merespon strategi A,
dengan strategi harga mahal (S3)
Penggunaan strategi lain berdampak menurunnya keuntungan A dan meningkatnya kerugian B
CONTOH KASUS STRATEGI CAMPURAN
penyelesaian Langkah 1
Cari maksimin dan minimaks terlebih dahulu seperti strategi murni
Diperoleh angka penyelesaian berbeda, A2, B5
penyelesaian
Langkah 2
Masing-masing pemain menghilangkan strategi yang menghasilkan keuntungan dan kerugian terburuk
Bagi A, S2 adalah strategi terburuk, karena dapat menimbulkan kerugian (ada nilai
minus)
Bagi B, S3 adalah paling buruk karena bisa
menimbulkan kerugian terbesar
penyelesaian Langkah 3
Diperoleh kombinasi baru
penyelesaian
Langkah 4
penyelesaian Langkah 5
Mencari besaran probabilitas setiap strategi untuk menghitung saddle point yang optimal.
Untuk perusahaan A
Bila strategi A direspon B dengan S1:
2p + 6(1-p) = 2p + 6 – 6p = 6 – 4p Bila strategi A direspon B dengan S2:
5p + 1(1-p) = 5p + 1 – p = 1 + 4p Bila digabung:
6 – 4p = 1 + 4p P = 5/8 = 0,625 5 = 8p
penyelesaian
Apabila p = 0, 625, maka 1 – p = 0,375
Masukkan nilai tersebut pada kedua persamaan
Keuntungan yang diharapkan adalah sama = 3,5, yang berarti memberikan peningkatan 1,5
mengingat keuntungan A hanya 2 (langkah 1)
penyelesaian
Untuk perusahaan B
Bila strategi B direspon A dengan S1:
2q + 5(1 – q) = 2q + 5 – 5q = 5 – 3q Bila strategi B direspon A dengan S2:
6q + 1(1 – q) = 6q + 1 – 1q = 1 + 5q Bila digabung:
5 – 3q = 1 + 5q
4 = 8q q = 4/8 = 0,5, maka 1-q = 0,5 Masukkan ke persamaan
penyelesaian
Kerugian minimal yang diharapkan sama, yaitu 3,5.
Pada langkah pertama kerugian minimal adalah 5, dengan demikian dengan strategi ini B bisa
menurunkan kerugian sebesar 1,5.
Kesimpulan:
Strategi campuran memberikan saddle point 3,5.
Nilai tersebut memberi peningkatan keuntungan bagi A dan penurunan kerugian B masing-masing sebesar 1,5.
Contoh kasus :
A akan menebak uang pecahan Rp.500 dan Rp. 1000 yang masing-masing ada di genggaman tangan sebelah kiri dan kanan B. Jika A menebak uang yang ada di tangan kiri B dengan Rp. 500 maka B akan membayar Rp.500, tapi jika A menebak dengan Rp.1000, maka A akan membayar Rp.500.
Inti dari permainan ini adalah : Jika A menebak secara benar, maka B membayar seharga dalam dalam genggaman, tapi jika A salah maka A yang membayar seharga tersebut.
Tentukan strategi buat A dan B
Solusi :
Strategi A
Strategi 1 : Menebak Rp 500 Strategi 2 : Menebak Rp 1000 Strategi B
Strategi 1 : Rp 500 di tangan kiri
Strategi 2 : Rp 1000 di tangan kanan
Pay of Matriks
Kesimpulan :
Strategi A menghasilkan nilai -500 (S2)
Strategi B menghasilkan nilai 500 (S1)
Strategi optimal diperoleh dengan strategi campuran
B
1 2
A 1 500 -1000 -1000 2 -500 1000 -500
500 1000
Solusi
Pemain A
Jika strategi A direspon oleh B dengan S1 500p + (-500(1-p))
500p-500+500p = 1000p-500…….(1)
Jika strategi A direspon oleh B dengan S2 -1000p + 1000(1-p)
-1000p+1000-1000p = 1000-2000p…….(2)
B
1 (q) 2 (1-q)
A 1 (p) 500 -1000 -1000 2 (1-p) -500 1000 -500
500 1000
Solusi
Persamaan 1 & 2
1000p-500 = 1000-2000p 3000p = 1500
p = 0.5
Substitusikan nilai p ke persamaan 1 1000(0.5)-500 = 0
Substitusikan nilai p ke persamaan 2 1000-2000(0.5) = 0
Kedua strategi menghasilkan nilai 0, artinya ada kenaikan keuntungan sebesar 500 dibandingkan strategi awal A
Solusi
Pemain B
Jika strategi B direspon oleh A dengan S1 500q + (-1000(1-q))
500q-1000+1000q = 1500q-1000…….(1) Jika strategi B direspon oleh A dengan S2 -500q + 1000(1-q)
-500q+1000-1000q = 1000-1500q…….(2)
B
1 (q) 2 (1-q)
A 1 (p) 500 -1000 -1000 2 (1-p) -500 1000 -500
500 1000
Solusi
Persamaan 1 & 2
1500q-1000 = 1000-1500q 3000q = 2000
q = 0.67
Substitusikan nilai p ke persamaan 1 1500(0.67)-1000 = 0
Substitusikan nilai p ke persamaan 2 1000-1500(0,67) = 0
Kedua strategi menghasilkan nilai 0, artinya ada kenaikan keuntungan sebesar 500 dibandingkan strategi awal B
Strategi Optimal
Pemain A
Peluang menggunakan strategi 1 = 0.5 Peluang menggunakan strategi 2 = 0.5 Pemain B
Peluang menggunakan strategi 1 = 0.67 Peluang menggunakan strategi 2 = 0.33 Strategi optimal :
Pemain A : Strategi 1 atau 2 Pemain B : Strategi 1
Pengembangan Model (1)
Strategi A
Strategi 1 : Menebak Rp 500 di tangan kiri Strategi 2 : Menebak Rp 1000 di tangan kiri Strategi B
Strategi 1 : Rp 500 di tangan kiri dan Rp 1000 di tangan kanan
Pay of Matriks
Kesimpulan :
Sadle point di titik 1500
Strategi optimal A adalah strategi 1 dengan maksimal keuntungan Rp 1500
Strategi optimal B adalah strategi 1 dengan minimal
B
1
A 1 1500 1500 2 -1500 -1500
1500
Pengembangan Model (2)
Strategi A
Strategi 1 : Menebak Rp 500 di tangan kiri Strategi 2 : Menebak Rp 1000 di tangan kiri Strategi B
Strategi 1 : Rp 500 di tangan kiri dan Rp 1000 di tangan kanan
Strategi 2 : Rp 1000 di tangan kiri dan Rp 500 di tangan kanan
Pay of Matriks
Kesimpulan :
Strategi A menghasilkan nilai -1500
Strategi B menghasilkan nilai 1500
Strategi optimal diperoleh dengan strategi campuran
B
1 2
A 1 1500 -1500 -1500 2 -1500 1500 -1500
1500 1500
Solusi
Pemain A
Jika strategi A direspon oleh B dengan S1 1500p + (-1500(1-p))
1500p-1500+1500p = 3000p-1500…….(1) Jika strategi A direspon oleh B dengan S2 -1500p + 1500(1-p)
-1500p+1500-1500p = 1500-3000p…….(2)
B
1 (q) 2 (1-q)
A 1 (p) 1500 -1500 -1500 2 (1-p) -1500 1500 -1500
1500 1500
Solusi
Persamaan 1 & 2
3000p-1500 = 1500-3000p 6000p = 3000
p = 0.5
Substitusikan nilai p ke persamaan 1 3000(0.5)-1500 = 0
Substitusikan nilai p ke persamaan 2 1500-3000(0.5) = 0
Kedua strategi menghasilkan nilai 0, artinya ada kenaikan keuntungan sebesar 1500 dibandingkan strategi awal A
Solusi
Pemain B
Jika strategi B direspon oleh A dengan S1 1500q + (-1500(1-q))
1500q-1500+1500q = 3000q-1500…….(1) Jika strategi B direspon oleh A dengan S2 -1500q + 1500(1-q)
-1500q+1500-1500q = 1500-3000q……(2)
B
1 (q) 2 (1-q)
A 1 (p) 1500 -1500 -1500 2 (1-p) -1500 1500 -1500
1500 1500
Solusi
Persamaan 1 & 2
3000q-1500 = 1500-3000q 6000q = 3000
q = 0.5
Substitusikan nilai q ke persamaan 1 3000(0.5)-1500 = 0
Substitusikan nilai q ke persamaan 2 1500-3000(0.5) = 0
Kedua strategi menghasilkan nilai 0, artinya ada penurunan kerugian sebesar 1500 dibandingkan strategi awal B
Strategi Optimal
Pemain A
Peluang menggunakan strategi 1 = 0.5 Peluang menggunakan strategi 2 = 0.5 Pemain B
Peluang menggunakan strategi 1 = 0.5 Peluang menggunakan strategi 2 = 0.5 Strategi optimal :
Pemain A : Strategi 1 atau 2 Pemain B : Strategi 1 atau 2
