L/O/G/O
Solusi Persamaan Nonlinear
Pertemuan ke – 3: Metode Bagi Dua & Metode Regula Falsi
Persamaan
Persamaan Linear
Persamaan linear adalah suatu kalimat
matematika terbuka yang variabel berderajat (berpangkat) satu.
Bentuk Umum Persamaan Linear ax = c (1 variabel)
ax + by = c (2 variabel) ax + by + cz = d (3 variabel) dimana a, b, c dan d konstanta.
Persamaan non linear
Persamaan non linear adalah suatu kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat tidak sama dengan satu atau mengandung nilai fungsi non linear, seperti log, sin dan lain sebagainya.
2
Contoh Persamaan Non Linear
3
Bagaimana mencari akar dari persamaan nonlinear diatas
3 5
3 21 x 16x 3x 0 Tentukan nilai x 10 t sin(2 ) 0 Jika 3 , tentukan
I e t I A t
3 2 30
4r 21r 0 Tentukan r ?
0
0
Persamaan gelombang yang dipantulkan oleh dermaga pelabuhan sin(2 / )cos(2 / )
Tentukan jika 0.5 , =20, 10 dan 50 ?
h h x tv e x
x h h t v
Persamaan nonlinear tidak sesederhana persamaan linear
Bentuk beragam
Tidak punya prosedur penyelesaian yang seragam
Eksistensi sulit dideteksi
Jumlah akar sulit dipastikan
Menentukan akarnya sulit untuk ditemukan
Persamaan Non Linear
Secara umum persamaan nonlinear dapat didefinisikan menjadi f(x)=0
dengan f(x) adalah fungsi nonlinear.
5
x f
y
a b
f(b)
f(a)
akar
x f
y
a b
f(b)
f(a) tidak memiliki akar
Eksistensi akar
Misalkan f:[a,b]R kontinu pada selang [a,b]. Jika f(a).f(b)<0 maka terdapat c anggota [a,b] sehingga f(c)=0 dan c adalah akar dari fungsi f(x)
x f
y
a b
f(c)=0
c
f(b)
f(a)
Jumlah akar
Akar berjumlah ganjil
( ). ( ) 0 f a f b
x f
y
a b
f(c)=0
c
f(b)
f(a)
x f
y
a b
f(c)=0
c
f(b) f(a)
f(d)=0
d e
f(e)=0
Jumlah akar
8
Akar berjumlah genap atau tidak punya akar
( ). ( ) 0 f a f b
x f
y
a b
f(b)
f(a)
f(c)=0 f(d)=0
Metode Pencarian Akar
Metode Tertutup
Metode Bagi Dua
Metode Regula Falsi
Metode Terbuka
Metode Newton Rapson Metode Secant
Perbedaan Metode Tertutup &Terbuka Metode Tertutup
Metode Tertutup
• Mencari akar dalam selang [a,b] dimana dalam selang [a,b] dipastikan minimal ada 1 akar → konvergen ke satu titik
Metode Terbuka Metode Terbuka
• Mencari akar dalam selang [a,b] dimana dalam selang [a,b] belum tentu ada akar → perlu tebakan awal &
tidak selalu konvergen
Metode Bagi Dua
11
Jika f(a).f(b) < 0 dan f(x) kontinu di dalam selang [a,b] maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan f(x)=0
didalam selang [a,b]
Metode Bagi Dua/Bisection
12
[a,b]
Bagi dua x=c
[a,c] [c,b]
f(a)f(c)<0 Selang baru :[a,b]←[a,c]
Atau c=b
Selang baru : [a,b]←[c,b]
Atau a=c
Ya Tidak
Kriteria Berhenti
Berhenti saat , yang diinginkan adalah yang cukup dekat dengan 0
Hentikan iterasi saat
Menghentikan iterasi berdasarkan perhitungan galat mutlak atau galat hampiran semu yang kurang dari toleransi galat.
13
( )
f c
n n
b a
baru lama
baru
c c
c
Latihan
Tentukan akar dari
dg ε toleransi lebar selang kurang dari 0.001 atau |f(c)|
<0.0001 dalam selang [1.8,1.9]. Gunakan metode bagi dua
3
5
210 5 0
x x x
Tabel Perhitungan dari akar
a c b f(a) f(c) f(b) |a-b| |c_baru-c_lama|
15
Minimum Iterasi
Jika a = batas bawah, b = batas atas, dan n = jumlah iterasi minimal, = galat relatif hampiran yang
diinginkan maka :
16
Hitunglah jumlah iterasi minimal untuk kasus diatas
log
2b a
n
Metode Regula Falsi
Metode bagi dua selalu dapat menemukan akar
→kecepatan konvergensi sangat lambat.
Solusi : metode regula falsi
Dibuat garis lurus yang menghubungkan (a,f(a)) dan (b,f(b)).
Gradien garis AB=Gradien CB ( ) ( ) ( ) 0
f b f a f b
b a b c
) ( )
(
) )(
(
a f b
f
a b
b b f
c
Latihan
Tentukan akar dari
dg toleransi lebar selang kurang dari 0.001 atau | f(c)|<0.0001 dalam selang [1.8,1.9] menggunakan metode regula falsi
3
5
210 5 0
x x x
Kelemahan Metode Tertutup
Bila dalam selang [a,b] terdapat lebih dari satu akar
Jika tidak memenuhi syarat cukup maka akar tidak akan diperoleh dalam selang tersebut.
20
Solusi
Mengambil selang cukup kecil yang memuat satu akar
Membuat grafik fungsi di koordinat cartesius
Mencetak nilai fungsi pada titik absis yang berjarak tetap
21
Contoh Kasus 1
Misalkan sebuah tabung diisi penuh air dengan tinggi tabung 7 cm dan kedalamnya dimasukkan sebuah bola sehingga air dari tabung tumpah sebanyak 10 cm3. Ingin diketahui berapa ukuran diameter bola yang harus dimasukkan. Permasalahan ini diformulasikan kedalam persamaan matematika menjadi
Vtabung Vbola Vairtumpah 7 2 4 3 10
r 3 r
3 2 30
4r 21r 0
Tugas
Diketahui dari persamaan pada contoh kasus 1
Dengan scilab gambarkan fungsi tersebut
Hitung secara manual hitung salah satu akar dari persamaan diatas dengan epsilon mesin 0.001 (metode bagi dua dan
regula falsi)
Buat program untuk menghitung akar dari persamaan diatas.
Gunakan gambar untuk menentukan tebakan selang awal.
Hentikan iterasi jika 106
