Tugas Analisis Survival 1
1. Buatlah 𝑆(𝑡) dan ℎ(𝑡) menggunakan pendekatan parametrik untuk distribusi berikut.
a. Eksponensial Jawab :
Dalam analisis survival, distribusi eksponensial merupakan distribusi probabilitas yang umum digunakan untuk memodelkan waktu hingga terjadinya suatu peristiwa, seperti kegagalan perangkat atau waktu hingga kematian dalam studi kesehatan. Distribusi eksponensial memiliki satu parameter tunggal yang disebut lambda (𝜆) yang mengontrol tingkat kegagalan atau tingkat skala waktu. Semakin besar nilai lambda, semakin besar tingkat kegagalan, dan semakin cepat peristiwa terjadi. Sebaliknya, semakin kecil nilai lambda, semakin lambat peristiwa terjadi. Dalam distribusi eksponensial, parameter lambda harus lebih besar dari nol.
Increasing dan Decreasing Weibull. Dengan pdf eksponensial 𝑓(𝑡) = 𝜆 exp(−𝜆𝑡), maka fungsi survival, fungsi hazard, fungsi hazard kumulatif, adalah sebagai berikut.
𝑆(𝑡) = exp(−𝜆𝑡) ℎ(𝑡) = 𝜆 𝐻(𝑡) = 𝜆𝑡
Selanjutnya akan dihitung maka fungsi survival, fungsi hazard, dan fungsi hazard kumulatif untuk data yang berdistribusi eksponensial dengan 𝜆 = 0,3.
Tabel 1 Perhitungan Distribusi Eksponensial
𝒕 𝑺(𝒕) 𝒉(𝒕) 𝑯(𝒕)
0 1.000 0.300 0.000
1 0.741 0.300 0.300
2 0.549 0.300 0.600
3 0.407 0.300 0.900
4 0.301 0.300 1.200
5 0.223 0.300 1.500
6 0.165 0.300 1.800
7 0.122 0.300 2.100
8 0.091 0.300 2.400
9 0.067 0.300 2.700
10 0.050 0.300 3.000
11 0.037 0.300 3.300
12 0.027 0.300 3.600
13 0.020 0.300 3.900
14 0.015 0.300 4.200
15 0.011 0.300 4.500
16 0.008 0.300 4.800
17 0.006 0.300 5.100
18 0.005 0.300 5.400
19 0.003 0.300 5.700
20 0.002 0.300 6.000
21 0.002 0.300 6.300
22 0.001 0.300 6.600
24 0.001 0.300 7.200
25 0.001 0.300 7.500
26 0.000 0.300 7.800
27 0.000 0.300 8.100
28 0.000 0.300 8.400
29 0.000 0.300 8.700
30 0.000 0.300 9.000
31 0.000 0.300 9.300
32 0.000 0.300 9.600
33 0.000 0.300 9.900
34 0.000 0.300 10.200
35 0.000 0.300 10.500
Berdasarkan hasil perhitungan dari Tabel 3, selanjutnya akan dibangun plot untuk melihat bentuk garisnya. Berikut ini adalah plot-plot yang berhasil dibangun.
Gambar 1 Exponential Survival Chart Gambar 2 Exponential Hazard Chart
Gambar 3 Exponential Cummulative Hazard Chart
b. Weibull Jawab :
Dalam analisis survival, distribusi Weibull merupakan distribusi yang paling popular untuk memodelkan data seumur hidup dan jelaskan mengenai distribusi eksponensial dalam analisis survival. Dengan pdf Weibull 𝑓(𝑡) = 𝛼𝜆(𝜆𝑡)𝛼−1exp(−(𝜆𝑡)𝛼), maka fungsi survival, fungsi hazard, fungsi hazard kumulatif, adalah sebagai berikut.
𝑆(𝑡) = exp(−(𝜆𝑡)𝛼) ℎ(𝑡) = 𝛼𝜆(𝜆𝑡)𝛼−1
𝐻(𝑡) = (𝜆𝑡)𝛼
Dalam distribusi Weibull, parameter 𝛼 dan 𝜆 sering disebut sebagai shape dan scale. Terdapat beberapa tipe bentuk failure rate dalam distribusi Weibull, berikut adalah ringkasannya.
Tabel 2 Tipe Bentuk Failure Rate Nilai Parameter Failure Rate 𝜆 = 1 dan 𝛼 = 1 Konstan (Eksponensial) 𝜆 ≠ 1 dan 𝛼 = 1 Monotonik (Weibull) 𝜆 < 1 dan 𝛼 < 1 Decreasing
𝜆 > 1 dan 𝛼 > 1 Increasing
𝜆 > 1 dan 𝛼 < 1 Bathtub atau Increasing 𝜆 < 1 dan 𝛼 > 1 Unimodal atau Decreasing
Selanjutnya akan dihitung maka fungsi survival, fungsi hazard, dan fungsi hazard kumulatif untuk data yang berdistribusi Weibull dengan yang bersifat decreasing dengan 𝜆 = 0,3 dan 𝛼 = 0,05 serta increasing dengan 𝜆 = 10 dan 𝛼 = 1,5.
Tabel 3 Perhitungan Distribusi Weibull Decreasing dan Increasing
Decreasing Increasing
𝒕 𝑺(𝒕) 𝒉(𝒕) 𝑯(𝒕) 𝒕 𝑺(𝒕) 𝒉(𝒕) 𝑯(𝒕)
0 1.000 0.000 0 1.000 0.000
1 0.390 0.047 0.942 1 0.000 47.434 89.443
2 0.377 0.024 0.975 2 0.000 67.082 252.982
3 0.370 0.017 0.995 3 0.000 82.158 464.758
4 0.365 0.013 1.009 4 0.000 94.868 715.542
5 0.360 0.010 1.020 5 0.000 106.066 1000.000
6 0.357 0.009 1.030 6 0.000 116.190 1314.534
7 0.354 0.007 1.038 7 0.000 125.499 1656.502
8 0.352 0.007 1.045 8 0.000 134.164 2023.858
9 0.350 0.006 1.051 9 0.000 142.302 2414.953
10 0.348 0.005 1.056 10 0.000 150.000 2828.427
11 0.346 0.005 1.062 11 0.000 157.321 3263.127
12 0.344 0.004 1.066 12 0.000 164.317 3718.064
13 0.343 0.004 1.070 13 0.000 171.026 4192.374
14 0.342 0.004 1.074 14 0.000 177.482 4685.296
15 0.340 0.004 1.078 15 0.000 183.712 5196.152
16 0.339 0.003 1.082 16 0.000 189.737 5724.334
17 0.338 0.003 1.085 17 0.000 195.576 6269.290
18 0.337 0.003 1.088 18 0.000 201.246 6830.520
19 0.336 0.003 1.091 19 0.000 206.761 7407.564
20 0.335 0.003 1.094 20 0.000 212.132 8000.000
21 0.334 0.003 1.096 21 0.000 217.371 8607.439
23 0.332 0.002 1.101 23 0.000 227.486 9865.901
24 0.332 0.002 1.104 24 0.000 232.379 10516.273
25 0.331 0.002 1.106 25 0.000 237.171 11180.340
26 0.330 0.002 1.108 26 0.000 241.868 11857.824
27 0.329 0.002 1.110 27 0.000 246.475 12548.466
28 0.329 0.002 1.112 28 0.000 250.998 13252.019
29 0.328 0.002 1.114 29 0.000 255.441 13968.250
30 0.328 0.002 1.116 30 0.000 259.808 14696.938
31 0.327 0.002 1.118 31 0.000 264.102 15437.876
32 0.326 0.002 1.120 32 0.000 268.328 16190.862
33 0.326 0.002 1.121 33 0.000 272.489 16955.707
34 0.325 0.002 1.123 34 0.000 276.586 17732.231
35 0.325 0.002 1.125 35 0.000 280.624 18520.259
Berdasarkan hasil perhitungan dari Tabel 3, selanjutnya akan dibangun plot untuk melihat bentuk garisnya apakah decreasing atau increasing. Berikut ini adalah plot-plot yang berhasil dibangun.
Gambar 4 Decreasing Weibull Survival Chart Gambar 5 Decreasing Weibull Hazard Chart
Gambar 6 Decreasing Weibull Cummulative Hazard Chart
Gambar 7 Increasing Weibull Survival Chart Gambar 8 Increasing Weibull Hazard Chart
Gambar 7 Increasing Weibull Cummulative Hazard Chart
2. Buatlah 𝑆(𝑡) dan ℎ(𝑡) menggunakan pendekatan nonparametric (Kaplan Meier) pada data soal pada nomor 19 halaman 53.
Data berikut adalah sampel dari penelitian Evans County tahun 1967–1980. Waktu bertahan hidup (dalam tahun) diberikan untuk dua kelompok belajar, masing-masing dengan 25 peserta.
Kelompok 1 tidak mempunyai riwayat penyakit kronik (CHR = 0), dan kelompok 2 mempunyai riwayat penyakit kronik positif (CHR = 1).
Tabel 4 Data Nomor 2
Grup 1 (CHR = 0) Grup 2 (CHR = 1)
12.3+ 5.4 8.2 12.2+ 11.7 10.0 5.7 9.8 2.6 11.0 9.2 12.1+ 6.6 2.2 1.8 10.2 10.7 11.1 5.3 3.5 9.2 2.5 8.7 3.8 3.0
5.8 2.9 8.4 8.3 9.1 4.2 4.1 1.8 3.1 11.4
2.4 1.4 5.9 1.6 2.8 4.9 3.5 6.5 9.9 3.6 5.2 8.8 7.8 4.7 3.9 Note : + adalah censored
Jawab :
Berdasarkan tabel di atas, selanjutnya akan dibangun tabel kontingensi untuk melihat banyaknya failed dan censored dari grup 1 dan grup 2. Berikut ini adalah tabel kontingensi yang dihasilkan.
Tabel 5 Tabel Kontingensi
# failed # censored Jumlah
Grup 1 22 3 25
Grup 2 25 0 25
𝑇̅ =1 ∑𝑛𝑖=1𝑡1𝑖
𝑛 =188.8
25 = 7.552 𝑇2
̅̅̅ =∑𝑛𝑖=1𝑡2𝑖
𝑛 =132.0
25 = 5.280 (ℎ̅̅̅) =1 # 𝑓𝑎𝑖𝑙𝑢𝑟𝑒𝑠
∑𝑛𝑖=1𝑡1𝑖 = 22
188.8= 0.116 (ℎ̅̅̅) =2 # 𝑓𝑎𝑖𝑙𝑢𝑟𝑒𝑠
∑𝑛𝑖=1𝑡2𝑖 = 25
132.0= 0.189 ℎ2
̅̅̅
ℎ1
̅̅̅=0.189
0.116= 1.625
Selanjutnya akan dilakukan perhitungan ordered failure time, berikut ini adalah tabel yang dihasilkan.
Tabel 6 Ordered Failure Time Grup 1 (CHR = 0) Grup 2 (CHR = 1) 𝒕(𝒇) 𝒏𝒇 𝒎𝒇 𝒒𝒇 𝒕(𝒇) 𝒏𝒇 𝒎𝒇 𝒒𝒇
0 25 0 0 0 25 0 0
1.8 25 1 0 1.4 25 1 0 2.2 24 1 0 1.6 24 1 0 2.5 23 1 0 1.8 23 1 0 2.6 22 1 0 2.4 22 1 0 3 21 1 0 2.8 21 1 0 3.5 20 1 0 2.9 20 1 0 3.8 19 1 0 3.1 19 1 0 5.3 18 1 0 3.5 18 1 0 5.4 17 1 0 3.6 17 1 0 5.7 16 1 0 3.9 16 1 0 6.6 15 1 0 4.1 15 1 0 8.2 14 1 0 4.2 14 1 0 8.7 13 1 0 4.7 13 1 0 9.2 12 2 0 4.9 12 1 0 9.8 10 1 0 5.2 11 1 0 10 9 1 0 5.8 10 1 0 10.2 8 1 0 5.9 9 1 0 10.7 7 1 0 6.5 8 1 0 11 6 1 0 7.8 7 1 0 11.1 5 1 0 8.3 6 1 0 11.7 4 1 0 8.4 5 1 0
>11.7 3 3 3 8.8 4 1 0 9.1 3 1 0 9.9 2 1 0 11.4 1 1 0
Adapun perhitungan fungsi survival untuk grup 1 (CHR = 0) dan grup 2 (CHR = 1) adalah sebagai berikut.
Tabel 7 Perhitungan Fungsi Survival
Fungsi Survival Grup 1 (CHR = 0) Fungsi Survival Grup 2 (CHR = 0) 𝒕(𝒇) 𝒏𝒇 𝒎𝒇 𝒒𝒇 𝑺̂ (𝒕(𝒇)) 𝒕(𝒇) 𝒏𝒇 𝒎𝒇 𝒒𝒇 𝑺̂ (𝒕(𝒇))
0 25 0 0 1 0 25 0 0 1
1.8 25 1 0 24/25 = 0.96 1.4 25 1 0 24/25 = 0.96 2.2 24 1 0 23/25 = 0.92 1.6 24 1 0 23/25 = 0.92 2.5 23 1 0 22/25 = 0.88 1.8 23 1 0 22/25 = 0.88 2.6 22 1 0 21/25 = 0.84 2.4 22 1 0 21/25 = 0.84 3 21 1 0 20/25 = 0.80 2.8 21 1 0 20/25 = 0.80 3.5 20 1 0 19/25 = 0.76 2.9 20 1 0 19/25 = 0.76 3.8 19 1 0 18/25 = 0.72 3.1 19 1 0 18/25 = 0.72 5.3 18 1 0 17/25 = 0.68 3.5 18 1 0 17/25 = 0.68 5.4 17 1 0 16/25 = 0.64 3.6 17 1 0 16/25 = 0.64 5.7 16 1 0 15/25 = 0.60 3.9 16 1 0 15/25 = 0.60 6.6 15 1 0 14/25 = 0.56 4.1 15 1 0 14/25 = 0.56 8.2 14 1 0 13/25 = 0.52 4.2 14 1 0 13/25 = 0.52 8.7 13 1 0 12/25 = 0.48 4.7 13 1 0 12/25 = 0.48 9.2 12 2 0 10/25 = 0.40 4.9 12 1 0 11/25 = 0.44 9.8 10 1 0 9/25 = 0.36 5.2 11 1 0 10/25 = 0.40 10 9 1 0 8/25 = 0.32 5.8 10 1 0 9/25 = 0.36 10.2 8 1 0 7/25 = 0.28 5.9 9 1 0 8/25 = 0.32 10.7 7 1 0 6/25 = 0.24 6.5 8 1 0 7/25 = 0.28 11 6 1 0 5/25 = 0.20 7.8 7 1 0 6/25 = 0.24 11.1 5 1 0 4/25 = 0.16 8.3 6 1 0 5/25 = 0.20 11.7 4 1 0 3/25 = 0.12 8.4 5 1 0 4/25 = 0.16
>11.7 3 3 3 0/25 = 0.00 8.8 4 1 0 3/25 = 0.12 9.1 3 1 0 2/25 = 0.08 9.9 2 1 0 1/25 = 0.04 11.4 1 1 0 0/25 = 0.00
Berdasarkan hasil perhitungan dari Tabel 7, selanjutnya akan dibangun plot untuk melihat bentuk garisnya dari perhitung fungsi survival sebelumnya. Berikut ini adalah plot yang berhasil dibangun.
Gambar 8 Survival Function Curve
berikut.
Tabel 8 Perhitungan Fungsi Hazard
Fungsi Hazard Grup 1 (CHR = 0) Fungsi Hazard Grup 2 (CHR = 1)
𝒕(𝒇) 𝒏𝒇 𝒎𝒇 𝒒𝒇 𝒉̂ (𝒕(𝒇)) 𝟏 − 𝒉̂ (𝒕(𝒇)) 𝒕(𝒇) 𝒏𝒇 𝒎𝒇 𝒒𝒇 𝒉̂ (𝒕(𝒇)) 𝟏 − 𝒉̂ (𝒕(𝒇)) 0 25 0 0 0/25 = 0.000 1.000 0 25 0 0 0/25 = 0.000 1.000 1.8 25 1 0 1/25 = 0.040 0.960 1.4 25 1 0 1/25 = 0.040 0.960 2.2 24 1 0 1/24 = 0.041 0.958 1.6 24 1 0 1/24 = 0.041 0.958 2.5 23 1 0 1/23 = 0.043 0.956 1.8 23 1 0 1/23 = 0.043 0.956 2.6 22 1 0 1/22 = 0.045 0.954 2.4 22 1 0 1/22 = 0.045 0.954 3 21 1 0 1/21 = 0.047 0.952 2.8 21 1 0 1/21 = 0.047 0.952 3.5 20 1 0 1/20 = 0.050 0.950 2.9 20 1 0 1/20 = 0.050 0.950 3.8 19 1 0 1/19 = 0.052 0.947 3.1 19 1 0 1/19 = 0.052 0.947 5.3 18 1 0 1/18 = 0.055 0.944 3.5 18 1 0 1/18 = 0.055 0.944 5.4 17 1 0 1/17 = 0.058 0.941 3.6 17 1 0 1/17 = 0.058 0.941 5.7 16 1 0 1/16 = 0.062 0.937 3.9 16 1 0 1/16 = 0.062 0.937 6.6 15 1 0 1/15 = 0.066 0.933 4.1 15 1 0 1/15 = 0.066 0.933 8.2 14 1 0 1/14 = 0.071 0.928 4.2 14 1 0 1/14 = 0.071 0.928 8.7 13 1 0 1/13 = 0.076 0.923 4.7 13 1 0 1/13 = 0.076 0.923 9.2 12 2 0 2/12 = 0.167 0.833 4.9 12 1 0 1/12 = 0.083 0.916 9.8 10 1 0 1/10 = 0.100 0.900 5.2 11 1 0 1/11 = 0.090 0.909 10 9 1 0 1/9 = 0.111 0.888 5.8 10 1 0 1/10 = 0.100 0.900 10.2 8 1 0 1/8 = 0.125 0.875 5.9 9 1 0 1/9 = 0.111 0.888 10.7 7 1 0 1/7 = 0.142 0.857 6.5 8 1 0 1/8 = 0.125 0.875 11 6 1 0 1/6 = 0.167 0.833 7.8 7 1 0 1/7 = 0.142 0.857 11.1 5 1 0 1/5 = 0.200 0.800 8.3 6 1 0 1/6 = 0.167 0.833 11.7 4 1 0 1/4 = 0.250 0.75 8.4 5 1 0 1/5 = 0.200 0.800
>11.7 3 3 3 3/3 = 1.000 0.000 8.8 4 1 0 1/4 = 0.250 0.750 9.1 3 1 0 1/3 = 0.333 0.666 9.9 2 1 0 1/2 = 0.500 0.500 11.4 1 1 0 1/1 = 1.000 0.000
Berdasarkan hasil perhitungan dari Tabel 8, selanjutnya akan dibangun plot untuk melihat bentuk garisnya dari perhitung fungsi hazard sebelumnya. Berikut ini adalah plot yang berhasil dibangun.
Gambar 9 Hazard Function Curve
