TELAAH PUSTAKA
PROSES ANTREAN NON POISSON
Disusun oleh : Kelompok XI
1. Sahat Wahyu Sinurat (2108541023) 2. Nastria Fransiska Pasaribu (2108541025) 3. Lidya Gresya Tambun (2108541034)
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Judul: IDENTIFIKASI MODEL ANTREAN NON-POISSON (Studi Kasus:
Bus Nonpatas Antarkota Antarprovinsi (AKAP) dan Antarkota Dalam Provinsi (AKDP) Lajur Barat Terminal Bus Tirtonadi Surakarta)
Penulis : Aselina Pratidina Wrediningsih1 , Sugito2 , Alan Prahutama3, Arief Rachman Hakim4
Link : http://eprints.undip.ac.id/67521/1/3._jurnal_non_gaus_asel_antrian.pdf
1.2. Landasan Teori
1.2.1 Deskripsi Antrean
Antrean non-poisson menunjukkan proses stokastik poisson di mana notasi a nya atau b tidak berdistribusi poisson atau distribusi eksponensial. Dalam antrian non-poisson, jika notasi a nya adalah jumlah kedatangan dan notasi b adalah waktu antar kedatangan, maka distribusinya non-poisson dan distribusinya non-eksponensial. Hal yang sama berlaku untuk notasi b nya jika notasi b adalah jumlah pelayanan.
Dalam kehidupan sehari-hari, orang sering mengalami antrean, atau yang dalam bahasa Inggris disebut sebagai baris menunggu atau antrean. Semua orang biasanya harus menunggu dalam garis tunggu di fasilitas pelayanan untuk mendapatkan layanan kedua yang mereka butuhkan. Antrian terjadi karena jumlah pelanggan yang datang melebihi jumlah fasilitas pelayanan yang tersedia. Akibatnya, pelayan yang sibuk tidak dapat melayani pelanggan yang datang segera. Fenomena menunggu adalah akibat langsung dari ketidakpastian yang terjadi saat sarana pelayanan beroperasi. Secara umum, kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena operasi sarana tersebut dapat dijadwalkan untuk menghilangkan keharusan menunggu jika dapat diketahui. Proses antrian adalah ketika seorang pelanggan datang ke fasilitas pelayanan, menunggu antrian jika semua pelayan sibuk, dan kemudian meninggalkan fasilitas setelah layanan selesai. Daftar pelanggan, pelayan, dan aturan yang mengatur kedatangan dan proses pelayanan disebut sistem antrian. Salah satu tempat yang tidak terlepas dari masalah antrian adalah bank. Saat ini bank merupakan salah satu pelaku terpenting dalam perekonomian sebuah negara. Masyarakat umum maupun kalangan industri sangat membutuhkan jasa bank untuk memperlancar aktivitasnya. Bank secara sederhana dapat diartikan sebagai lembaga keuangan yang kegiatan usahanya adalah
menghimpun dana dari masyarakat dan menyalurkan kembali dana tersebut ke masyarakat serta memberikan jasa-jasa bank lainnya.
1.2.2 Sistem Antrean a. Kedatangan
Diasumsikan bahwa kedatangan pengunjung terjadi secara acak dengan beberapa
peluang. Dalam distribusi Poisson, yang biasa digunakan, rata-rata kedatangan adalah lambda (λ), yang menunjukkan jumlah pengunjung dalam satuan waktu tertentu, dan kedatangan bersifat bebas, artinya tidak dipengaruhi oleh kedatangan sebelum dan sesudahnya.
b. Fasilitas Pelayanan
Waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh fasilitas pelayanan untuk
memberikan layanan kepada pengunjung, menentukan kualitas pelayanan. Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, yang juga dikenal sebagai fasilitas pelayanan. Dalam konteks distribusi peluang, distribusi eksponensial biasanya digunakan untuk
menggambarkan waktu layanan, yang dapat bersifat tetap dari waktu ke waktu. Miu (μ) menunjukkan jumlah pengunjung yang dapat dilayani oleh fasilitas pelayanan dalam satuan waktu dan merupakan representasi rata-rata pelayanan yang diberikan.
c. Antrean
Antrean adalah tempat orang atau barang menunggu layanan dari satu atau lebih pelayan.
Antrian memiliki panjang terbatas atau tidak terbatas. Sebuah contoh adalah antrian masuk mall yang termasuk dalam kategori panjang antrian yang tidak terbatas, tetapi antrian di bioskop termasuk dalam kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan ruang.
1.2.3 Disiplin Antrean
Jenis disiplin antrian terdiri dari empat kategori:
a. First in First Out (FIFO)
Aturan FIFO, juga dikenal sebagai First Come First Served (FCFS), menetapkan bahwa pengunjung yang datang pertama dalam antrian juga akan dilayani pertama. Ini adalah contoh antrian di restoran cepat saji.
b. Last in First Out (LIFO)
Aturan LIFO, juga dikenal sebagai Last Come First Served (LCFS), menetapkan bahwa pengunjung yang datang paling terakhir akan dilayani. Jika koper berada di bagasi pesawat, misalnya, mereka akan dikeluarkan terlebih dahulu pada saat bongkar muat.
c. Service in Random Order (SIRO)
SIRO adalah aturan yang memungkinkan pengunjung dilayani secara acak, seperti antrian untuk giveaway acara di mana pemenang dipilih secara acak.
d. Priority Service (PS)
PS adalah aturan yang mengatakan bahwa pengunjung dengan prioritas utama akan dilayani terlebih dahulu. Seseorang yang mengalami kecelakaan, misalnya, akan dilayani terlebih dahulu.
1.2.4 Struktur Antrian
Terdapat empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam suatu sistem antrian, yaitu (Pangestu dkk, 2000) :
1. Single Channel – Single Phase
Single Channel – Single Phase menunjukkan bahwa hanya ada satu server atau satu fasilitas pelayanan dan satu tahapan atau satu fase pelayanan.
Gambar 1. Single Channel – Single Phase 2. Multi Channel – Single Phase
Multi Channel – Single Phase menunjukkan bahwa terdapat dua atau lebih fasilitas pelayanan dalam satu antrian tunggal atau satu fase pelayanan.
Gambar 2. Multi Channel – Single Phase 3. Single Channel – Multi Phase
Single Channel – Multi Phase menunjukkan bahwa terdapat satu fasilitas pelayanan dan beberapa fase pelayanan yang tersusun secara seri (berurutan).
Gambar 3. Single Channel – Multi Phase 4. Multi Channel – Multi Phase
Multi Channel – Multi Phase menunjukkan bahwa terdapat beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahapannya yang terdiri dari lebih dari satu tahapan.
Gambar 4. Multi Channel – Multi Phase
1.3 Sistem Antrean Poisson
Proses antrean poisson merupakan proses antrean dengan pola waktu kedatangan mengikuti distribusi poisson dan rata-rata waktu antara kedatangan berdistribusi eksponensial (Sharma, 2016).
Menurut Taha (2017) notasi atau format yang umum digunakan untuk menyimpulkan karakteristik antrean sebagai berikut:
(a / b / c) : (d / e / f) Dengan a = Distribusi kedatangan
b = Distribusi waktu pelayanan
c = Jumlah server parallel (= 1, 2, …, ∞) d = Disiplin antrean
e = Angka maksimum (terhingga atau tak terhingga) dalam sistem f = Ukuran calling population
Notasi standar yang menggambarkan distribusi waktu kedatangan dan waktu pelayanan (symbol a dan b) adalah
M = Markovian atau Poisson waktu kedatangan atau waktu pelayanan D = Waktu konstan (deterministic)
𝐸𝑘 = Distribusi Erlang atau Gamma
GI = Distribusi umum dari rata-rata waktu antar kedatangan G = Distribusi umum dari waktu pelayanan
1.4 Sistem Antrean Non-Poisson
Proses antrean yang waktu kedatangan dan waktu pelayanan tidak mengikuti distribusi Poisson disebut proses antrean non-poisson. Secara umum proses antrean yang tidak mengikuti distribusi poisson cukup kompleks, sehingga beberapa proses menggunakan simulasi. Berikut beberapa model proses antrean non-poisson
A. (M/G/1) : (GD/∞/∞)
Formula Pollazck-Khintchine (P-K) merupakan suatu formula yang diuraikan melalui pelayanan tunggal dengan situasi yang didasarkan pada 3 asumsi berikut, yaitu;
𝑳𝒔 = 𝝀𝑬{𝒕} +𝝀𝟐(𝑬{𝒕} + 𝒗𝒂𝒓{𝒕})
𝟐(𝟏 − 𝝀𝑬{𝒕}) , 𝝀𝑬{𝒕} < 𝟏 𝑡 merupakan peluang distribusi apapun
Peluang ketika fasilitas kosong adalah
𝒑𝟎= 𝟏 − 𝝀𝑬{𝒕} = 𝟏 − 𝒑
Diberikan 𝝀𝑒𝑓𝑓 = 𝝀, pengukuran 𝐿𝑞,𝑊𝑠, dan 𝑊𝑞 dan dapat diturunkan 𝑳𝒔 menggunakan Little’s Formula.
B. (G/G/c) : (GD/∞/∞)
Menurut Gross & Harris (1998) model antrean (G/G/c) : (GD/∞/∞) adalah model dengan pola kedatangan dan pola pelayanan berdistribusi umum dengan jumlah layanan sebanyak c, c = 1, 2, … dan disiplin antrean yang digunakan dalam model ini adalah FIFO (First-in, First- out), kapasitas maksimum dalam sistem adalah tak hingga, dan calling source/calling population tak hingga.
Berikut rumus yang digunakan dalam mencari ukuran kinerja dalam model ini sebagai berikut:
𝑳𝒒= + 𝒓𝟐𝝆
𝒄! (𝒄 − 𝝆)𝟐𝒑𝟎 𝝁𝟐(𝒗(𝒕) + 𝒗(𝒕′)𝝀𝟐 𝟐
Dengan :
v(t) adalah ragam dari waktu pelayanan
x(t’) adalah ragam dari waktu antar kedatangan
Jumlah customer yang diperkirakan dalam sistem adalah 𝐿𝑠 + 𝐿𝑞 + 𝑟 Waktu menunggu dalam antrean adalah 𝑊𝑞 = 𝑳𝝀𝒒
Waktu menunggu dalam sistem adalah 𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 + = 𝟏𝝁 C. Alternatif Metode Solusi
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa solusi analitik proses antrean non poisson cukup kompleks sehingga pendekatan lainnya yang digunakan adalah pendekatan komputasi atau solusi numerik. Menurut Bertsimas (1990) dalam mencari solusi analitik dari
multiserver antrean pendekatan solusi yang dapat digunakan adalah embedded Markov chain, inclusion of supplementary variables, teori variabel kompleks, dan metode successive exponential stages
Kesimpulan
Proses antrian non-Poisson merujuk pada situasi di mana kedatangan atau waktu pelayanan tidak mengikuti distribusi Poisson. Dalam sistem antrian non-Poisson, distribusi
interkedatangan atau distribusi waktu pelayanan tidak memiliki karakteristik Poisson, yang berarti pola kedatangan atau pelayanan tidak terjadi secara acak dan memiliki pola yang dapat diidentifikasi.
Kesimpulan dari proses antrian non-Poisson adalah bahwa analisis dan perencanaan sistem antrian harus disesuaikan dengan distribusi spesifik yang menggambarkan kedatangan atau pelayanan dalam situasi tersebut. Ini dapat mempengaruhi prediksi kinerja sistem, kebutuhan kapasitas, dan strategi manajemen antrian yang optimal. Dengan memahami distribusi yang sebenarnya, sistem antrian dapat dioptimalkan untuk memenuhi kebutuhan dan harapan pengguna.
