MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Topik Khusus: M

(1)

Hasil Ujian Silabus dan Tujuan Perkuliahan Struktur Perkuliahaan Pendahuluan Model Autoregresif Model Autoregresif Bernilai Integer

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

Topik Khusus: Model AR dan INAR

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

(2)

(3)

(4)

Hasil Ujian

Silabus dan Tujuan Perkuliahan Struktur Perkuliahaan Pendahuluan Model Autoregresif Model Autoregresif Bernilai Integer

Mhs dengan 2 jawaban BENAR: 037, 039, 053, 089, 094

(5)

Hasil Ujian

Mhs dengan 3 jawaban BENAR: 073

(6)

Hasil Ujian

Mhs dengan 4 jawaban BENAR: 107

(7)

Hasil Ujian

Silabus dan Tujuan Perkuliahan

Struktur Perkuliahaan Pendahuluan Model Autoregresif Model Autoregresif Bernilai Integer

Silabus

Tujuan

Silabus

Proses autoregresif (AR), proses AR bernilai integer, kestasioneran, struktur momen (tidak) bersyarat, metode likelihood maksimum, metode kuadrat terkecil, penaksiran parameter.

(8)

Hasil Ujian

Silabus dan Tujuan Perkuliahan

Struktur Perkuliahaan Pendahuluan Model Autoregresif Model Autoregresif Bernilai Integer

Silabus

Tujuan

1 _{Mempelajari proses autoregresif (AR)}

2 Mempelajari proses AR bernilai integer (INAR)

3 Menentukan daerah kestasioneran

4 Menurunkan struktur momen bersyarat dan tidak bersyarat

(9)

Hasil Ujian Silabus dan Tujuan Perkuliahan

Struktur Perkuliahaan

Pendahuluan Model Autoregresif Model Autoregresif Bernilai Integer

Struktur Perkuliahaan

Kuliah Pengantar

Tugas kelompok: 4 orang/kelompok (dipilih acak)

Presentasi: 15/11, 17/11, 22/11, 24/11 (jadwal presentasi ditentukan tanggal 10/11 dst.)

(10)

Tentang tugas:

Membahas 1-2 bagian dalam suatu artikel ilmiah Artikel tentang model AR atau INAR dan variannya (konfirmasikan terlebih dahulu artikel yang dipilih) Kajian dapat berupa teoritis atau komputasi

(11)

Penilaian presentasi:

Dilakukan oleh dosen dan 2 kelompok lain yang terpilih (acak) Kelompok penilai harus memberikan pertanyaan

Dosen dapat bertanya atau meminta seseorang/sekelompok untuk bertanya dan menjawab

Cakupan penilaian: - Materi dan akurasi - Tingkat kesulitan - Cara presentasi

(12)

(13)

Formulir:

Daftar kelompok Jadwal presentasi Penilaian

(14)

Hasil Ujian Silabus dan Tujuan Perkuliahan Struktur Perkuliahaan

Pendahuluan

Model Autoregresif Model Autoregresif Bernilai Integer

Model Random Walk

Pandang suatu rantai Markov dengan keadaaan-keadaan 0, ±1, ±2 dan peluang transisi

Pi ,i +1 = p = 1 − Pi ,i −1, dimana 0 < p < 1.

(15)

Pendahuluan

Kita dapat menuliskan m.p.t: (−2, −1, 0, 1, 2) × (−2, −1, 0, 1, 2)

P =       0 p 0 0 0 1 − p 0 p 0 0 0 1 − p 0 p 0 0 0 1 − p 0 p 0 0 0 1 − p 0      

(16)

Pendahuluan

(17)

Hasil Ujian Silabus dan Tujuan Perkuliahan Struktur Perkuliahaan Pendahuluan

Model Autoregresif

Model Autoregresif Bernilai Integer

Model AR

Consider a stationary zero-mean Gaussian first-order autoregressive

process {Yt} satisfying

Yt = ρYt−1+ εt

where |ρ| < 1 and the εt are independent and identically N(0, v ) distributed. Let θ = (ρ, v ). Suppose that the data is Y1, . . . , Yn

(18)

Model Autoregresif

We employ the following estimators bΘ.

(i) The estimator bΘ is equal to eΘ =ρ, e˜ Vwhere

˜ ρ = n−1 X t=1 YtYt+1 n−1 X t=1 Y_t+12 and V =e 1 n − 1 n−1 X t=1 (Yt− ˜ρ Yt+1)2.

(19)

Model Autoregresif

(ii) The estimator bΘ is equal to ¯Θ = ¯ρ, ¯V where

¯ ρ = n X t=2 YtYt−1 n X t=2 Y_t−12 and V =¯ 1 n − 1 n X t=2 (Yt− ¯ρ Yt−1)2.

These estimators are obtained by maximizing the loglikelihood

(20)

Model Autoregresif

The estimators ¯ρ andρ differ by only a small amount. Yet their_e

asymptotic biases conditional on Yn= yn are quite different.

These asymptotic conditional biases are described as follows. E ρ − ρ|Yn_e = yn = −2 ρ n−1+ · · ·

(21)

Hasil Ujian Silabus dan Tujuan Perkuliahan Struktur Perkuliahaan Pendahuluan Model Autoregresif

Model INAR

Suppose that {Yt} is a discrete-time stationary non-negative

INAR(1) process satisfying

Yt =

Yt−1 X

i =1

Vti+ εt, t ≥ 1 (1)

where Vti’s denote i.i.d. random variables following certain

(discrete) distribution and εt’s be uncorrelated non-negative

integer-valued random variables. The first term in r.h.s. may be

presented as “θ ◦ Yt−1”, where ◦ is the thinning operator. The θ is

(22)

Consider the INAR(1) process as in (1). We assume that Vti’s are

Bernoulli random variables with probability of ‘success’ θ i.e.

P(Vti = 1) = 1 − P(Vti = 0) = θ

and εt follows a Poisson distribution with parameter (1 − θ)λ.

Thus, Yt has a Poisson distribution with parameter λ. The process

(23)

The fact that the distribution of εt implies the distribution of Yt

has shown us the same role of the distribution of εt in the usual

(24)

Conditional on Yn= yn, the probability mass function (pmf) of Z

is given by p(z | yn; θ, λ) = P Z = z | Yn= yn = min(z,yn) X k=0 C_kynθk(1 − θ)yn−k 1 (z − k)!e −(1−θ)λ_{{(1 − θ)λ}}z−k for z = 0, 1, 2, . . ..

(25)

We have used the following Yule-Walker estimators

ˆ θ = n−1 X t=1 Yt− ¯Y Yt+1− ¯Y n X t=1 Yt− ¯Y 2 and ˆλ = 1 n − 1 n X t=2 Yt−ˆθ Yt−1