Tutorial Matematika BAB 4 Integral Tentu

(1)

TUTORIAL BAB 4: INTEGRAL TENTU MA1101 Matematika 1A K10 FITB 2022/2023

Kelompok 17:

1. (16322324) Nafta Fauzan Azta

2. (16322328) M Fairuz Zakariya Al Haidar 3. (16322332) Ridhan Atsqalani Ansev Shaddiq 4. (16322336) Intan Mutia

No. 1: Telaah Konsep

A. Limit Jumlah Riemann yang menyatakan luas dibawah kurva y = x²dan di atas sumbu – x untuk 1 ≤ x ≤ 4 adalah ____

B. Nilai

∑

^2𝑖+1

𝑛

𝑛𝑖=1 adalah ____

C. Misalkan fungsi f terdefinisi pada [a, b]. Jika lim

||𝑃||→0∑^𝑛_𝑖=1𝑓(x _𝑖)∆xi ada, maka f dikatakan ______ pada [a, b]

D. Jika f kontinu pada [a,b] dan x di selang (a, b). Maka ^𝑑

𝑑x

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =

_𝑎^x ^______

E. Misalkan F kontinu pada [a, b} dan F’(x) = f(x) untuk setiap x di (a, b). Maka

∫ 𝑓(

_𝑎^b ^x

)𝑑

x

= ______

F. Jika f ____ pada [a, b}. Teorema Nilai Rata-Rata untuk integral mengatakan bahwa terdapat 𝑐 𝜖 (𝑎, 𝑏) sehingga _____

G. Jika f adalah fungsi ganjil yang kontinu pada [-1, 1], maka ∫ 𝑓(₋₁¹ x)𝑑x= ______

H. Dengan aturan trapesium, dengan n partisi diperoleh taksiran∫ 𝑓(₀¹ x)𝑑x≈ _____ dengan galat mutlak |En| = ____.

Jawaban:

A. Limit Jumlah Riemann yang menyatakan luas dibawah kurva y = x²dan di atas sumbu – x untuk 1 ≤ x ≤ 4 adalah:

(𝐴𝑖) = (𝑥𝑖̅ )²∆𝑥𝑖̅

𝐴 ≈ ∑ 𝐴𝑖 = ∑(𝑥𝑖̅ )²∆𝑥𝑖̅

𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

𝐴 = lim

𝑛→∞∑(𝑥𝑖̅ )²∆𝑥𝑖̅

𝑛

𝑖=1

B.

∑

²¹⁺¹

𝑛

=

²

𝑛

∑

^𝑛_𝑖=1

𝑖 + ∑

¹

𝑛

=

𝑛𝑖=1

(

²

𝑛

) .

^{𝑛.(𝑛+1)}

2

+ 𝑛 .

¹

𝑛

= 𝑛 + 2

(2)

C. Misalkan fungsi f terdefinisi pada [a, b]. Jika lim

||𝑃||→0∑^𝑛_𝑖=1𝑓(x _𝑖)∆xi ada, maka f dikatakan Terintegralkan/Dapat diintegralkan pada [a, b]

D. Jika f kontinu pada [a,b] dan x di selang (a, b). Maka ^𝑑

𝑑x

_𝑎^x

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus I, Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], dan x ϵ(a, b), maka ^𝑑

𝑑x

_𝑎^x

𝑓(𝑥)

E. Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus II, jika F kontinu pada [a, b] dan F’(x) = f(x) untuk setiap x di (a, b) maka

∫ 𝑓(x)𝑑x =

_𝑎^b F(b) – F(a).

F. Jika f ____ pada [a, b}. Teorema Nilai Rata-Rata untuk integral mengatakan bahwa terdapat 𝑐 𝜖 (𝑎, 𝑏) sehingga:

Jika f Kontinu pada [a,b] maka, berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral:

∫ 𝑓(x)𝑑x_𝑎^b

𝑏−𝑎

= 𝑓(𝑐), 𝑐 𝜖(𝑎, 𝑏).

Maka:

𝑓(𝑐) =

¹

𝑏−𝑎

∫ 𝑓(x)𝑑x

_𝑎^b

G. Jika f adalah fungsi ganjil yang kontinu pada [-1, 1]. Maka

∫ 𝑓(x)𝑑x =

₋₁¹

0

H. Dengan aturan trapesium, dengan n partisi diperoleh taksiran ∫ 𝑓(₀¹ x)𝑑x≈ _____ dengan galat mutlak |En| = ____.

• Taksiran

∫ 𝑓(

₀¹

x ) 𝑑x ≈ ℎ ∑ [

^𝑓(𝑥^𝑖−1^)+𝑓(𝑥^𝑖⁾

2

] =

^ℎ

2

[

𝑛𝑖=1

𝑓(𝑥

₀

) + 2𝑓(𝑥

₁

) + 2𝑓(𝑥

₂

) + 2𝑓(𝑥

₃

) + ⋯ + 2𝑓(𝑥

_𝑛−1

) + 𝑓(𝑥

_𝑛

)]

• Galat Mutlak dari aturan Trapesium yaitu:

|𝐸𝑛| = |−(𝑏 − 𝑎)³

12𝑛² . 𝑓′′(𝑐)| 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑐 𝜖(𝑎, 𝑏)

(3)

Kelompok 18 : 1. 16322344 Amanda Ghainza Putri Nabila.

2. 16322348 Feri Saputra.

3. 16322404 Yoseph Harmonsius Hendrikus.

4. 16322408 Raja Ghiffari Fitrian Kencono.

5. 16322412 Prasasta Adhitya Gunawan.

2. Dengan menggunakan limit jumlah Riemann kiri atau kanan, hitunglah a. ∫ 4 𝑑𝑥₀¹

Mencari ∆𝑥

∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑛 =1 − 0

𝑛

= 1 𝑛

Mencari ∆𝑥_𝑖

∆𝑥_𝑖 = (𝑎 + 𝑖)∆𝑥 = (0 + 𝑖)1

𝑛 = 𝑖

𝑛 Untuk Riemann kanan

𝑛→∞lim ∑

𝑛

𝑖=1

(1𝑖 𝑛)1

𝑛

<=> lim

𝑛→∞∑ 4 (6 𝑛)

𝑛

𝑖=1

<=> lim

𝑛→∞∑ (24 𝑛 )

𝑛

𝑖=1

<=> lim

𝑛→∞(24

𝑛) 𝑛

(4)

<=> lim

𝑛→∞24

= 24 b. ∫ (2𝑥 − 1)𝑑𝑥₋₂⁴

Mencari ∆𝑥

∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑛 =4 − (−2)

𝑛

= 6 𝑛

Mencari ∆𝑥_𝑖

∆𝑥_𝑖 = (𝑎 + 𝑖)∆𝑥 = (−2 + 𝑖)6

𝑛 =6𝑖

𝑛 − 2 Untuk Riemann kanan

𝑛→∞lim ∑ (2 (6𝑖

𝑛 − 2) − 1)

𝑛

𝑖=1

6 𝑛

𝑛→∞lim∑ ((12𝑖

𝑛 − 4) − 1)

𝑛

𝑖=1

6 𝑛

𝑛→∞lim ∑ (72𝑖 𝑛² −24

𝑛 −6 𝑛)

𝑛

𝑖=1

𝑛→∞lim ∑ (72𝑖 𝑛² −30

𝑛)

𝑛

𝑖=1 𝑛→∞lim (72𝑖

𝑛² ∑ 𝑖 + ∑ −30 𝑛

𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

)

𝑛→∞lim (72𝑖

𝑛² (𝑛(𝑛 + 1) 2 ) +30

𝑛 𝑛)

𝑛→∞lim (72𝑖

𝑛² ((𝑛²+ 𝑛)

2 ) + 30)

(5)

= ⁷²

2 1 + 30

= 66 c.∫ (𝑥₁⁴ ² + 2𝑥)𝑑𝑥

Mencari ∆𝑥

∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑛 =4 − 1

𝑛

= 3 𝑛 Mencari ∆𝑥_𝑖

∆𝑥_𝑖 = (𝑎 + 𝑖)∆𝑥 = (1 + 𝑖)3

𝑛 Sehingga, 𝑓(𝑥_𝑖) = ((^3𝑖

𝑛 + 1) + 2) Riemann Kanan

𝑛→∞lim∑ ((3𝑖

𝑛 + 1) + 2)3 𝑛

𝑛

𝑖=1 𝑛→∞lim ∑ ((3𝑖²

𝑛² + 1) + 2)3 𝑛

𝑛

𝑖=1

d.∫ (3𝑥₀³ ³ + 2)𝑑𝑥 Mencari ∆𝑥

∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑛 =3 − 0

𝑛

= 3 𝑛 Mencari ∆𝑥_𝑖

∆𝑥_𝑖 = (𝑎 + 𝑖)∆𝑥 = (1 + 𝑖)3

𝑛 Riemman kanan

(6)

𝑛→∞lim ∑^𝑛 ((∆𝑥_𝑖) ∆𝑥)

𝑖=1

𝑛→∞lim ∑ (((3𝑖)³

𝑛³ + 3) + 2)3 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛→∞lim ∑ ((27𝑖³

𝑛³ + 2)3 𝑛)

𝑛

𝑖=1

𝑛→∞lim ∑ (81𝑖³ 𝑛³ +6

𝑛)

𝑛

𝑖=1

𝑛→∞lim ∑ (81𝑖³ 𝑛³ +6

𝑛)

𝑛

𝑖=1

𝑛→∞lim (81

𝑛⁴∑ 𝑖³ + ∑6 𝑛

𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

)

𝑛→∞lim((81

𝑛⁴((𝑛(𝑛 + 1))

2 ))

2

+6 𝑛𝑛)

𝑛→∞lim ((81

𝑛⁴((𝑛²+ 𝑛)

2 ))

2

+ lim

𝑛→∞6)

𝑛→∞lim ((81

𝑛⁴((𝑛⁴+ 𝑛³ + 𝑛²+ 𝑛)

2 )) + 6)

=81 4 1 + 6

= 105 4

= 26,25

(7)

Kelompok. 1: 1. (16322004) Alfian Rahma Ayu Indrajati 2. (16322008) Elicia Hardiyanti

3. (16322012) Grace Evangeline A S 4. (16322016) M. Titus Gideon 5. (16322020) Raisal Nazmi Kamil

3. Kurva y = f(x) berikut terdiri dari tiga garis lurus dan setengah lingkaran seperti pada gambar di bawah ini.

Hitunglah integral tentu berikut dengan menginterpretasikannya sebagai luas daerah bertanda (a) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₀¹

(b) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₀³ (c) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₃⁴ (d) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₀⁶ Jawab :

a) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐿₀¹ 𝐼Δ =1

2 × 1 × 2 = 1 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠

b) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = (−)𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛₁³ = −1

2× 𝜋 × 𝑟² = −1

2× 𝜋 × 1²

(8)

= −1

2𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠 c) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥₂⁴ ₃⁴ ₂³

= 𝐿Δ − 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = (1

2× 1 × 1) −1 4× 𝜋𝑟² =1

2−1

4𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠

d) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ₀⁶ ₀¹ ₁³ ₃⁶ = 𝐿Δ − 𝐿𝑢𝑎𝑠1

2𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 + 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 = (1

2× 1 × 2) − (1

2× 𝜋) + (1

2× (𝑎 + 𝑏) × 𝑡) = (1) − (1

2𝜋) + (1

2× (3 + 2) × 1) = (1) − (1

2𝜋) +5 2 =7

2−1

2𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠

(9)

Kelompok 2 : 1. (16322024) Syarif Hidayat

2. (16322028) Muhammad Radja Adzka 3. (16322032) Helmaliya Prameswari Putri 4. (16322036) Reyhan Moh Somantri 5. (16322040) Salsabila Zahrani Putri

4. Hitung ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙_−𝟏^𝟐 untuk fungsi-fungsi berikut dengan terlebih dahulu membuat sketsa grafik fungsi 𝒇.

(𝐚) 𝒇(𝒙) = |𝒙|

(𝐛) 𝒇(𝒙) = {𝒙, 𝒙 ≤ 𝟏 𝟏, 𝟏 < 𝒙 (𝐜) 𝒇(𝒙) = 𝟐 + ⟦𝒙

𝟐⟧ (𝐝) 𝒇(𝒙) = √𝟒 − 𝒙^𝟐

Jawaban:

(𝐚) 𝒇(𝒙) = |𝒙|

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

2

−1

∫ −𝑥

0

−1

𝑑𝑥 + ∫ 𝑥

2 0

𝑑𝑥 = [−𝑥² 2]

−1 0

+ [𝑥² 2]

0 2

= [0 +1

2] + [2 − 0] =1

2+ 2 =5 2

(10)

(𝐛) 𝒇(𝒙) = {𝒙, 𝒙 ≤ 𝟏 𝟏, 𝟏 < 𝒙

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥

1

−1 2

−1

+ ∫ 1

2 2

𝑑𝑥 = [𝑥² 2]

−1 1

+ [𝑥]₂² = [1 2−1

2] + [2 − 2] = 0 + 0 = 0

atau

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥 = [𝑥² 2]

−1 2

+ [𝑥]₋₁² = [2 −1

2] + [2 + 1] =3

2+ 3 =9 2

2

−1 2

−1

(𝐜) 𝒇(𝒙) = 𝟐 + ⟦𝒙 𝟐⟧

⟦^𝑥

2⟧ tidak ada luas di bawah grafik. Fungsi ini tidak kontinu. Maka, tidak dapat diintegralkan.

(11)

(𝐝) 𝒇(𝒙) = √𝟒 − 𝒙^𝟐

∫ √4 − 𝑥² 𝑑𝑥 = ∫ √4 − 𝑥²𝑑𝑥

2

−1

Misal u = √4 − 𝑥²

= ∫ −√𝑢 𝑑𝑢 = − ∫ √𝑢 𝑑𝑢

= − ∫ 𝑢¹²𝑑𝑢

= −2𝑢³²

3 = −2√𝑢 ∙ |𝑢|

3

= −2√4 − 𝑥² ∙ |4 − 𝑥²| 3

= [−2√4 − 𝑥² ∙ |4 − 𝑥²|

3 ]

−1 2

= [−2√4 − 2² ∙ |4 − 2²|

3 ] − [−2√4 − (−1)² ∙ |4 − (−1)²|

3 ]

= [0] − [−2√3] = 2√3

(12)

Kelompok 3 :

1. (16322044) Diva Ayuni Zahwa

2. (16322048) Rizma Dwinanda Prawira 3. (16322069) Aurora Belva Catalina SOAL

5. Misalkan f dan g fungsi kontinu dan diketahui

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − 2

1 0

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 5

3 1

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 1

3 1

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 4

3 0

(𝑎) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3 0

(𝑏) ∫ 5𝑔(𝑥)𝑑𝑥

3 1

(𝑐) ∫ (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥

3 0

(𝑑) ∫ (2𝑓(𝑡) + 3𝑔(𝑡))𝑑𝑡

3 1

JAWAB

(a)_{∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥}³

0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ₀¹ ₁³

= −2 + 5

= 3

(b)_{∫ 5𝑔(𝑥)𝑑𝑥}³

1 = 5 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ₁³ = 5 × 1 = 5

(c) ∫ (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥₀³ = ∫ 𝑓(𝑥) + ₀³ ∫ 𝑔(𝑥) ₀³

= 3 + 4

= 7

(d)∫ (2𝑓(𝑡) − 3𝑔(𝑡))𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑓(𝑡) − ₁³ ₁³ 3 ∫ 𝑔(𝑡) ₁³

= 2 × 5 − 3 × 1

= 7

(13)

Kelompok 4:

1. 16322064 Muhammad Iqbal Haritsyah 2. 16322080 M. Nabil Alfagani

3. 16322076 Aura Febiola

4. 16322068 Ervina Rahimi Sulistiyo 5. 16322072 Umar Abdullah

Soal No.6

Jawab:

Untuk 0 ≤ 𝑥 < 3, maka

𝐴(𝑥) = ∫ 2 𝑑𝑡 = [ 2𝑡 ]𝑥 0= 2𝑥

𝑥

0

Untuk 3 ≤ 𝑥 ≤ 7, maka

𝐴(𝑥) = ∫ 2 𝑑𝑡 + ∫ 5 − 𝑡 𝑑𝑡 = [ 2𝑡 ]3

0+ [ 5𝑡 −

𝑥

3 3

0

𝑡²]𝑥 3

𝐴(𝑥) = 6 − 0 + 5𝑥 − 𝑥²− 6 = 𝟓𝒙 − 𝒙^𝟐

Tidak berlaku 𝐴′(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap x karena pada 3 ≤ 𝑥 ≤ 7 , memiliki A’(x) = 5 – 2x.

(14)

Kelompok 5

1. (16322084) Izzati Noori Hasan

2. (16322088) Muhammad Rafif Setyo Nugroho 3. (16322092) Andhika Prasetya Adi Nugroho 4. (16322096) Salma Wahyuni

5. (16322100) M. Ammar Zaky

7. Tentukan turunan fungsi dalam variable x berikut.

a. ∫₁^𝑥_𝑡₂^𝑡₊₂² 𝑑𝑡 c. ∫₂^𝑥²⁺¹_{2+sin 𝑠}^3𝑡 𝑑𝑠 b. ∫ √𝑡_𝑥⁴ ⁶+ 2 𝑑𝑡 d. ∫_𝑥^2𝑥+1𝑐𝑜𝑠(𝜃²) 𝑑𝜃 Jawaban:

a. 𝑓(𝑡) =_𝑡₂^𝑡₊₂² 𝑓(𝑥) = ^𝑥²

𝑥²+2

∫ ^𝑡²

𝑡²+2𝑑𝑡

𝑥

1

= _𝑑𝑥^𝑑 [∫ ^𝑥²

𝑥²+2 𝑑𝑥]

𝑥 1

= _𝑑𝑥^𝑑 [𝑓(𝑥) − 𝑓(1)]

= ^𝑥²

𝑥²+2− 0

= _𝑥^𝑥₂₊₂²

b. 𝑓(𝑡) = √𝑡⁶+ 2 𝑓(𝑥) = √𝑥⁶+ 2 ∫ √𝑡_𝑥⁴ ⁶+ 2 𝑑𝑡

= _𝑑𝑥^𝑑 [∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑥⁴

= _𝑑𝑥^𝑑 [∫ √𝑥_𝑥⁴ ⁶+ 2 𝑑𝑥

= ^𝑑

𝑑𝑥 [𝑓(4) − 𝑓(𝑥)]

= 0 − √𝑥⁶+ 2

= −√𝑥⁶+ 2 c. 𝑓(𝑡) = ^3𝑡

2+sin 𝑠

𝑓(𝑥) = ^3𝑥

2+sin 𝑠

∫₂^𝑥²⁺¹_{2+sin 𝑠}^3𝑡 𝑑𝑠

(15)

= ^𝑑

𝑑𝑥 [∫₂^𝑥²⁺¹𝑓(𝑥)𝑑𝑠]

= _𝑑𝑥^𝑑 [ ^3𝑥

2+sin 𝑥 𝑑]

2 𝑥²+1

= _𝑑𝑥^𝑑 ( ^3(𝑥²⁺¹⁾

2+sin(𝑥²+1)× (2𝑥) − 0)

= _{2+sin (𝑥}^6𝑥²⁺⁶₂₊₁₎ d. ∫_𝑥^2𝑥+1𝑐𝑜𝑠(𝜃²) 𝑑𝜃

= ∫ cos(𝜃_𝑥^𝑎 ²) 𝑑𝜃 + ∫_𝑎^2𝑥+1cos(𝜃²) 𝑑𝜃

= − ∫ cos(𝜃_𝑎^𝑥 ²) 𝑑𝜃 + ∫_𝑎^2𝑥+1cos(𝜃²) 𝑑𝜃

𝑓^′(𝑥) = − cos(𝑥²) + cos((2𝑥 + 1)²) 𝑑𝑥 (2𝑥 + 1) = − cos(𝑥²) + 2cos ((2𝑥 + 1)²)

(16)

Tutorial Bab 4 : Integral Tentu Semester 1, 2022-2023

MA1101 Matematika 1A K10 FITB

Kelompok 6 (Nomor 8)

1. 16322104 - Emeralda Putri Andini 2. 16322108 - Najwa Maharani 3. 16322112 - Tahta Farid Walidain

4. 16322116 - Ranny Fitria Mustika Saimuri 5. 16322120 - Febrianti Rahayu

8. Tentukan interval kemonotonan, interval kecekungan, titik kritis dan absis titik belok dari fungsi F(x) =∫₀^2𝑥−4_4+𝑡^𝑡

Jawaban :

Untuk mencari interval kemonotonan fungsi F, carilah turunan pertambahan fungsi F terlebih dahulu F’(x) = _𝑑𝑥^𝑑 ∫₀^2𝑥−4_4+𝑡^𝑡 ₂𝑑𝑡

Pertama misalkan 2x – 4 = u

F’(x) = _𝑑𝑥^𝑑 ∫₀^𝑢_4+𝑡^𝑡 ₂𝑑𝑡 = _𝑑𝑥^𝑑 (∫ ^𝑡

4+𝑡²).^𝑑𝑢

𝑑𝑥 𝑢

0

= _4+𝑢^𝑢₂. ^𝑑𝑢

𝑑𝑥

= _{4+(2𝑥−4)}^2𝑥−4 ₂. ^𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 − 4) = _{4+(2𝑥−4)}^2𝑥−4 ₂. (2)

= _4+(4𝑥^2(2𝑥−4)₂_{−16𝑥+16)} = ^4𝑥−8

20+4𝑥²−16𝑥 (dibagi 4) F’(x) = _5+𝑥^𝑥−4₂_−4𝑥

Perhatikan bahwa saat x < 0, F’(x) < 0 . Dengan demikian fungsi F monoton turun pada x < 0 . Lalu saat 0 < x < 4, F’(x) < 0 , maka akan monoton turun juga. Sementara pada x > 4 , F’(x) > 0 sehingga akan monoton naik.

Interval kecekungan dari fungsi F dapat dicari dengan turunan kedua fungsi.

F”(x) = ^𝑑

𝑑𝑥( ^𝑥−4

5+𝑥²−4𝑥) = ^5+𝑥²−4𝑥−(𝑥−4))2𝑥−4)

(5+𝑥²−4𝑥)²

= ^−𝑥²^+8𝑥−11

(𝑥²−4𝑥+5)²

(17)

Perhatikan bahwa F”(x) > 0 untuk setiap 4-√5 < x < 4+√5 dan F”(x) < 0 untuk setiap (-∞, 4-√5 ) ∪ (4+√5 , ∞) dan fungsi F cekung ke bawah pada interval x < 4-√5 atau x > 4+√5 , kemudian cekung ke atas pada 4-√5 < x < 4+√5.

(18)

Kelompok 7 : 1. 16322124 Adil Berjaya Suherman 2. 16322128 Ega Mutia Asyifa 3. 16322132 Rafie Haidar Arshad

4. 16322136 Atsil Hamid Putera Marwan 5. 16322140 Nur Fadilah Muktiningsih

9. Tentukan fungsi kontinu 𝑓 (jika ada) yang memenuhi a. ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥₁^𝑥 ²− 5𝑥 + 4

b. ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥₀^𝑥³ ³− sin (𝑥³) c. ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥₂^𝑥

Penyelesaian :

a. ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥₁^𝑥 ²− 5𝑥 + 4 𝑑

𝑑𝑥[∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 1

] = 𝑑

𝑑𝑥(𝑥²− 5𝑥 + 4) 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5

b. ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥₀^𝑥³ ³− sin (𝑥³) 𝐷𝑥 [∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥³ 1

] = 𝐷𝑥 (𝑥³− sin(𝑥³))

𝑓(𝑥³). 3𝑥² = 3𝑥² − (cos(𝑥³). 3𝑥²) = 3𝑥²(1 − cos(𝑥³)).

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥³) = 1 − cos(𝑥³) 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑓(𝑥) = 1 − cos (𝑥) c. ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥₂^𝑥

𝑑

𝑑𝑥[∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 2

] = 𝐷𝑥 (𝑥) 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 1

Jadi, 𝑓(𝑥) = 1

(19)

Kelompok 8: 1. 16322144 – Tri Yanita 2. 16322148 – Otto Sebastian 3. 16322152 – Bintang Dwi 4. 16322156 – Fahri Seva 5. 16322160 – Christian Levi

10) Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Kedua untuk menghitung integral tentu berikut.

(a) ∫ (1 − 𝑥₀¹ ²)𝑑𝑥 (b) ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 2

−𝜋

(c) ∫ ^𝑥⁵⁻²

𝑥 3 2 2

1 𝑑𝑥

(d) ∫ (sec²𝑥 + 1

𝜋 4

0 )𝑑𝑥

Jawaban:

(𝑎) ∫ (1 − 𝑥²)𝑑𝑥

1 0

= ∫ 1𝑑𝑥 − ∫ 𝑥²𝑑𝑥

1 0 1

0

= [𝑥]𝑥 = 1 𝑥 = 0− [𝑥³

3]𝑥 = 1 𝑥 = 0 = 1 −1

3 =2

3

(𝑏) ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 2

−𝜋

= [− cos 𝑥] 𝑥 = 𝜋 𝑥 = −𝜋2

= ((− cos𝜋

2) − (− cos −𝜋)) = (0 − 1)

= −1

(20)

(𝑐) ∫ 𝑥⁵− 2 𝑥³²

2 1

𝑑𝑥 = ∫ 𝑥⁷²𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥⁻³²

2 1 2

1

𝑑𝑥

= [2

9𝑥⁹²]𝑥 = 2

𝑥 = 1− [−4𝑥⁻¹²]𝑥 = 2 𝑥 = 1 =2

9(2²⁹− 1⁹²) + 4(2⁻¹²− 1⁻¹²) =2

9(2⁴√2 − 1) + 4( 1

√2− 1)

=2

9(16√2 − 1) + 4(1 − √2

√2 )

=32√2 − 2

9 +4 − 4√2

√2

=64 − 2√2 + 36 − 36√2 9√2

=100 − 38√2 9√2

=100√2 − 38 9

(𝑑) ∫ (sec²𝑥 + 1

𝜋 4 0

)𝑑𝑥 = ∫ sec²𝑥𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥

𝜋 4 0 𝜋

4 0

= [tan 𝑥]𝑥 =𝜋 𝑥 = 04

+ [𝑥]𝑥 =𝜋 𝑥 = 04

= (tan𝜋

4− tan 0) + (𝜋 4− 0) = (1 − 0) +𝜋

4 = 1 +𝜋

4 (a)

(a)

(21)

Kelompok 9 :

1. (16322164) Roudhotul Jannah

2. (16322168) Raja Michael Jeremia Siagian 3. (16322172) Amarra Azzahra Saleh

4. (16322176) Trisia Rima Ayu Andini 5. (16322180) Raihan Hady Permana Soal:

No. 11. Gunakan metode substitusi untuk menentukan integral tentu berikut.

a) ∫ (3𝑥 + 1)₀³ ⁶ 𝑑𝑥 b) ∫₁³_(𝑥^{2𝑥 +1}₂_+𝑥)₄ 𝑑𝑥 c) ∫ 𝑥₀² ⁶√𝑥²+ 1 𝑑𝑥 d) ∫ 𝑐𝑜𝑠(4𝜃)𝑑𝜃_−𝜋^𝜋 e) ∫_𝜋/6^𝜋/4_𝑐𝑜𝑠^{𝑠𝑖𝑛 𝑡}₃_𝑡 𝑑𝑡 f) ∫₀^√𝜋/4𝑡 𝑠𝑒𝑐²(𝑡²)𝑑𝑡 Jawaban

a) ∫ (3𝑥 + 1)₀³ ⁶ 𝑑𝑥 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙: 𝑢 = 3𝑥 + 1 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 3 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =𝑑𝑢

3

∫ (3𝑥 + 1)₀³ ⁶ 𝑑𝑥

= ∫ 𝑢₀³ ⁶ ¹₃𝑑𝑢

=¹

3∫ 𝑢₀³ ⁶ 𝑑𝑢

=¹₃×¹₇𝑢⁷|3 0

= ¹

21𝑢⁷|3 0

=₂₁¹ (3𝑥 + 1)⁷|3 0

= ¹

21(3. (3) + 1)⁷ − ¹

21(3. (0) + 1)⁷

= 476.190,429

(22)

b) ∫₁³_(𝑥^{2𝑥 +1}₂_+𝑥)₄ 𝑑𝑥 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛:

𝑢 = 𝑥²+ 𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢

2𝑥 + 1

∫ 2𝑥 + 1 (𝑥²+ 𝑥)⁴ 𝑑𝑥

3

1

= ∫ 2𝑥 + 1(𝑥²+ 𝑥)⁻⁴ 𝑑𝑥

3

1

= ∫ 2𝑥 + 1𝑢⁻⁴× 𝑑𝑢 2𝑥 + 1

3

1

= ∫ 𝑢⁻⁴ 𝑑𝑢

3

1

= 1

−3𝑢⁻³|3 1

= 1

−3 1 (𝑥²+ 𝑥)³ |3

1

= 1

−3 1

((3)²+ 3)³ − (−1

3) 1

((1)²+ 1)³

= 0,041

c) ∫ 𝑥₀² ⁶√𝑥²+ 1 𝑑𝑥 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛:

𝑢 = 𝑥³+ 1 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 3𝑥² 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢

3𝑥²

∫ 𝑥⁶√𝑥²+ 1 𝑑𝑥

2

0

= ∫ 𝑥₀² ²(𝑥³+ 1)¹²𝑑𝑥

= ∫ 𝑥₀² ²(𝑢)¹² ._3𝑥^𝑑𝑢₂

=¹₃∫ (𝑢)₀² ¹²𝑑𝑢

(23)

=¹

3 .²

3𝑢³²|2 0

=²

9√(𝑥³+ 1)³|2 0

=²

9√(2³+ 1)³ − ²

9√(10²+ 1)³

= 5,778

d) ∫ 𝑐𝑜𝑠(4𝜃)𝑑𝜃_−𝜋^𝜋

=∫ ^𝑑

𝑑𝜃𝑠𝑖𝑛(4𝜃)

𝜋

−𝜋

= ∫ 4 𝑐𝑜𝑠 4𝜃_−𝜋^𝜋 𝑑0

4 ∫ 𝑐𝑜𝑠 4𝜃_−𝜋^𝜋 𝑑0 = ∫ 𝑑 𝑠𝑖𝑛(4𝜃)_−𝜋^𝜋

= ∫ 𝑐𝑜𝑠 4𝜃_−𝜋^𝜋 𝑑0 =¹

4 𝑠𝑖𝑛 4𝜃 | 𝜋

−𝜋

=¹

4 (𝑠𝑖𝑛 (4𝜋) − 𝑠𝑖𝑛 (−4𝜋)

=¹

4(0 + 0)

= 0

e) ∫_𝜋/6^𝜋/4_𝑐𝑜𝑠^{𝑠𝑖𝑛 𝑡}₃_𝑡 𝑑𝑡

= ∫ ^{𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑡}

𝑐𝑜𝑠³𝑡 𝜋/4

𝜋/6

= ∫ ¹

𝑐𝑜𝑠³𝑡 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑡

𝜋/4

𝜋/6

= ∫_𝜋/6^𝜋/4𝑐𝑜𝑠⁻³ + 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑡

= −¹

2[( ¹

𝑐𝑜𝑠 𝜋/4)² − ( ¹

𝑐𝑜𝑠 ^𝜋

6

)²]

= −¹

2(2 −⁴

3)

= −¹

3

f) ∫₀^√𝜋/4𝑡 𝑠𝑒𝑐²(𝑡²)𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛:

𝑢 = 𝑡² 𝑑𝑢 = 2𝑡 𝑑𝑡

𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 𝑡 = √𝜋/4 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑢 = 𝜋/4 𝑡 = 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑢 = 0

∫ 𝑡 𝑠𝑒𝑐²(𝑡²)𝑑𝑡 =

√𝜋/4

0

∫ 𝑠𝑒𝑐²(𝑢)1 2

𝜋/4

0

𝑑𝑢

= [1

2𝑡𝑎𝑛 (𝑢)]𝜋/4 0

(24)

1

2(1 − 0) =1 2

(25)

Kelompok 10:

1. (16322184) Aldi Adriana

2. (16322188) Arya Perdana Putra Nasution 3. (16322196) Bestari Asmarani Prasasti 4. (16322200) Evin Petra Pebrina Debataraja

12. Suatu benda bergerak pada sumbu – x dengan kecepatan gerak

V(t) = {

5, 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 6 −₁₀^𝑡 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 10 < 𝑡 ≤ 70

−1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 70 < 𝑡 < 300

Posisi awal benda adalah di titik asal.

a. Tentukan jarak yang ditempuh benda dari t = 10 sampai dengan t = 60?

𝑠(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 =₁₀⁶⁰ luas di bawah grafik di antara 10 dan 60 = ¹₂(60 – 10)(5) = 125

b. 𝑣(𝑡) > 0 di 0 ≤ 𝑡 ≤ 60 & 𝑣(𝑡) < 0 di 𝑡 > 60 ( lihat grafik di atas ), maka 𝑡 = 60 adalah jarak terajauh benda dari titik asal.

s(t) = {

∫ 5𝑑𝑢 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 10₀^𝑡

∫ 5𝑑𝑢 + ∫ (6 − ₀^𝑡 ₁₀^𝑡 ₁₀^𝑢) 𝑑𝑢 ; 10 < 𝑡 ≤ 70

∫ 5𝑑𝑢 + ∫ (6 − ₀^𝑡 ₁₀⁷⁰ ₁₀^𝑢) 𝑑𝑢 + ∫ (−1)𝑑𝑢 ; ₇₀^𝑡 70 < 𝑡 < 300

= {

5𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 50 + [6𝑢 − ^𝑢²

20 ]₁₀^𝑡 ; 10 < 𝑡 ≤ 70 50 + [6𝑢 − ^𝑢²

20 ]⁷⁰₁₀− [𝑡]₇₀^𝑡 70 < 𝑡 < 300

= {

5𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 10

−5 + 6𝑡 − ₂₀^𝑡² ; 10 < 𝑡 ≤ 70 240 − 𝑡 ; 70 < 𝑡 < 300 S (60) = -5 + 6 (60) - ⁽⁶⁰⁾₂₀² = 175

c. Benda Kembali ke titik asal jika s(t) = 0 , maka 240 – t = 0, diperoleh t = 240

(26)

Kelompok 11

16322204 - Muhamad Rafli Haryoyudanto 16322208 - Alya Rihadatul Aisyah

16322212 - M Farul R A 16322216 - Trisa Tibia Valysa 16322220 - Rifa Ghania R R

13. Tentukan nilai rata-rata integral dari fungsi berikut pada interval [-1,2].

(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥

³

− 𝑥 (c) ℎ(𝑥) = 𝑥 + |𝑥|

(b) 𝑔(𝑥) =

^𝑥

√𝑥²+1

(d) 𝑝(𝑥) = sin (π𝑥) Jawaban:

Teorema nilai rata-rata integral: Misal f kontinu pada [a,b] maka terdapat c pada [a,b] sehingga

𝑓(𝑐) =

¹

𝑏−𝑎

∫ 𝑓(𝑥)

_𝑎^𝑏

𝑑𝑥 (a). 𝑓(𝑥) = 𝑥

³

− 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥

³

− 𝑥 kontinu pada [-1,2] maka terdapat c pada [-1,2] sehingga 𝑓(𝑐) =

¹

2−(−1)

∫ (𝑥

₋₁² ³

− 𝑥)𝑑𝑥 =

¹

3

∫ 𝑥

₋₁² ³

𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑥 =

¹₃

∫

₋₁² ¹₄

𝑥

⁴

−

¹

2

𝑥

²

=

¹

3

(

¹

4

𝑥

⁴

|

₋₁²

−

¹

2

𝑥

²

|

₋₁²

) =

¹

3

(4 −

¹

4

(2 −

¹

2

)) =

¹

3

(

¹⁵⁻⁶

4

)

(27)

=

³

4

(b). 𝑔(𝑥) =

^𝑥

√𝑥²+1

=

∫ 𝑥

√𝑥

²

+ 1 𝑑𝑥

2

−1

2 − (−1) Misal: 𝑥

²

+ 1 = 𝑈

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢

2𝑥

=

∫ 𝑥

√4 . 𝑑𝑢 2𝑥

5 2

3

=

[6𝑢

¹²

]

⁵₂

3

= [6𝑥

²

+ 1]

⁵₂

3

= 126 3

= 42

(c) ℎ(𝑥) = 𝑥 + |𝑥|

ℎ(𝑥) { 𝑥 + 𝑥 0 < 𝑥 ≤ 2 0 0 > 𝑥 ≥ −1 ada c pada [-1,2] sehingga 𝑓(𝑐) =

¹

3

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

₋₁²

= 1

3 ∫ 𝑓(𝑥 + (−𝑥))𝑑𝑥 + ∫(𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥

2

0 0

−1

= 1

3 (0 + (4 − 0))

(28)

= 4 3

(d). 𝑝(𝑥) = sin (π𝑥)

= ∫ sin 𝜋𝑥

₋₁²

2 − (−1)

= ∫ sin 𝜋𝑥

₋₁²

3

=

[ − cos(𝜋𝑥) 3 ]

₋₁²

3

=

−2 𝜋 3

= −2

3 𝜋

(29)

Kelompok 12: (16322224) Fadhil Hamdani Irwanto (16322228) Ahmad Hakim Sufyan

(16322232) Putu Wahyu Tegar Suryananda (16322236) Kelvin Andika Putra

(16322240) Finandika Arya Fattah

14. Temperatur T (dalam derajat Fahrenheit) sebuah ruangan saat menit ke-t adalah 𝑇 = 85 − 3√25 − 𝑡, untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 16

Tentukan temperatur rata-rata ruangan tersebut untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 16 dan tentukan 𝑡₁ sehingga temperatur saat 𝑡₁ sama dengan temperatur rata-rata

Jawaban

Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata pada integral, maka terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), sehingga

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎)_𝑎^𝑏

Oleh karena itu, untuk mencari nilai rata-rata dari temperatur ruangan, maka kita bisa menggunakkan persamaan sebagai berikut ( dengan 𝑓(𝑐) adalah nilai rata-rata temperatur):

𝑓(𝑐) = ∫ 85 − 3√25 − 𝑡 𝑑𝑡 ₀¹⁶ (16 − 0)

= ∫₀¹⁶85 𝑑𝑡− ∫ 3√25 − 𝑡 𝑑𝑡₀¹⁶ 16

Misalkan 𝑢 = 25 − 𝑡, maka 𝑑𝑢 = −𝑑𝑡.

𝑡 = 16 → 𝑢 = 9 dan 𝑡 = 0 → 𝑢 = 25

=∫ 85 𝑑𝑡₀¹⁶ + 3 ∫ √𝑢 𝑑𝑢₂₅⁹

16 = [85𝑡]_𝑡=0^𝑡=16+ 3[2√𝑢³ 3 ]^𝑢=25^𝑢=9

16 = 1360 + (54 − 250)

16 = 𝟕𝟐, 𝟕𝟓

Untuk mencari agar nilai 𝑡1sama dengan nilai temperatur rata-rata, maka gunakanlah 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑡1) sehingga diperoleh persamaan berikut

𝑓(𝑡₁) = 85 − 3√25 − 𝑡1 = 72,75

√25 − 𝑡₁= 4,08 25 − 𝑡₁= 16,674

𝑡₁= 𝟖, 𝟑𝟐𝟔

(30)

(31)

Kelompok 13:

• I Nyoman Rama Ananda Adnyana (16322244)

• Cakra Muhammad Taufani (16322248)

• Fauzan Pratama (16322252)

• Arya Farhansyah Gulo (16322256)

• Rinaya Azmi Azahra (16322260)

15. Tentukan semua nilai c yang memenuhui Teorema Rata-rata untuk integral pada selang yang diberikan

a. 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥; [−4, 3]

∫³ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐). (3 − (−4))

−4

∫ (1 − 𝑥) = 𝑓(𝑐). 7

3

−4

[𝑥 −1

2𝑥²]₋₄³ = 𝑓(𝑐). 7 (−4 −1

2(−4²)) − (3 −1

2(3²)) = 𝑓(𝑐). 7

−12 +3

2= 𝑓(𝑐). 7

−21

2 = 𝑓(𝑐). 7 𝑓(𝑐) = −3

2

b. 𝑔(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥); [0, 1]

∫¹𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(0 − (−1))

0

∫ (𝑥 − 𝑥₀¹ ²) = 𝑓(𝑐).1 [1

2𝑥²−1

3𝑥³]¹₀= 𝑓(𝑐) 𝑓(𝑐) = 0 − (1

2−1 3) 𝑓(𝑐) = −1

6

(32)

c. ℎ(𝑥) = cos(2𝑥) ; [0, 𝜋]

∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝜋)

𝜋 0

[1

2sin(2𝑥)]₀^𝜋= 𝑓(𝑐)(𝜋) (1

2sin(2)(0)) − (1

2sin (2)(𝜋)) = 𝑓(𝑐)(𝜋) 0 − 0 = 𝑓(𝑐)(𝜋)

𝑓(𝑐) = 0

(33)

Kelompok 14: - (16322264) Soulthan Omar Al Maghribby - (16322268) Jovanna Gilda Simanjuntak - (16322272) Shakira Jilan Kheirunisa - (16322276) Raihan Ramadhan

- (16322280) Emanuel Defaro Putra Christy

16. Gunakan kesimetrian fungsi untuk mempermudah perhitungan integral berikut

∫ (𝑥 + 𝑥⁴+ 𝑥⁵³)

1

−1

𝑑𝑥

∫ |𝑥|

𝜋/3

−𝜋/3

𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥

∫ (𝑥³+ 1)√4 − 𝑥²

2

−2

𝑑𝑥

Jawab:

a. ∫ (𝑥 + 𝑥₋₁¹ ⁴ + 𝑥⁵³) 𝑑𝑥

= ∫ 𝑥 𝑑𝑥

1

−1

+ ∫ 𝑥⁴

1

−1

𝑑𝑥 + ∫ 𝑥⁵

1

−1

𝑑𝑥

𝐷𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑥⁵ 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑛 𝑥⁴ 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛 𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡:

= 0 + ∫ 𝑥⁴

1

−1

𝑑𝑥 + 0

= 2 ∫ 𝑥⁴

1 0

𝑑𝑥

= 2 (1 5𝑥⁵) |1

0

=2 5

b. ∫_−𝜋/3^𝜋/3 |𝑥|𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝐷𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 |𝑥| 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛:

∫ |𝑥|

𝜋/3

−𝜋/3

tan 𝑥 𝑑𝑥 = 0 c.

b.

a.

(34)

c.

∫ (𝑥₋₂² ³ + 1)√4 − 𝑥²𝑑𝑥

= ∫ (𝑥³√4 − 𝑥²

2

−2

+ √4 − 𝑥²) 𝑑𝑥

𝑃𝑒𝑟ℎ𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑥³√4 − 𝑥² 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖

√4 − 𝑥² 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙. 𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛

∫ (𝑥³+ 1)√4 − 𝑥²

2

−2

𝑑𝑥 = 0 + 2 ∫ √4 − 𝑥²

2 0

𝑑𝑥 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑥 = 2 sin 𝑡 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑑𝑡

= 2 ∫ √4 − (2𝑠𝑖𝑛𝑡)² 2 cos 𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2 0

= 2 ∫ √4 − 4 sin²𝑡

𝜋 2 0

2 cos 𝑡 𝑑𝑡

= 2 ∫ √4 cos²𝑡

𝜋 2 0

2 cos 𝑡 𝑑𝑡

= 2 ∫ 4 cos²𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2 0

= 8 ∫ 1 + cos 2𝑡 2 𝑑𝑡

𝜋 2 0

= 4 ∫ 1 + cos 2𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2 0

= 4 (𝑥 +1

2sin 2𝑡) | 𝜋 2 0

= 4 (𝜋 2+ 0)

= 2𝜋

(35)

Kelompok 15 : 1. (16322284) Muhammad Fath Al Faiz 2. (16322288) A. Zaky Aditya

3. (16322292) Rezqian Nur Afrizal 4. (16322296) Berliana Atria Prastiwi

5. (16322300) Muhammad Gani Sakha Fawwazen 17.) Gunakan keperiodikan fungsi untuk menghitung integral berikut:

∫ |sin 𝑥| 𝑑𝑥

𝜋 1

+ ∫ |sin 𝑥| 𝑑𝑥

1+𝜋 𝜋

Jawab :

a.) ∫ |cos 𝑥| 𝑑𝑥₀^4𝜋

→ ∫_−2𝜋^2𝜋|cos 𝑥| 𝑑𝑥 , periodik pada selang periode 2𝜋 Jika 𝑥 ≥ 0, maka :

∫_−2𝜋^2𝜋 cos 𝑥 𝑑𝑥 , anti turunannya adalah : [sin 𝑥]_−2𝜋^2𝜋

= sin(2𝜋) − (sin(−2𝜋))

= sin(4𝜋)

= 0

Jika 𝑥 < 0, maka :

∫_2𝜋^−2𝜋(− cos 𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫_2𝜋^−2𝜋(cos 𝑥) 𝑑𝑥 , maka anti turunannya adalah:

[−sin 𝑥]_2𝜋^−2𝜋

= −(− sin(−2𝜋) − (− sin(2𝜋))

(36)

= 0

b.) ∫₀^50𝜋|sin(2𝑥)| 𝑑𝑥

→ ∫_−2𝜋^48𝜋|sin(2𝑥)| 𝑑𝑥, periodik pada selang periode 2𝜋 Jika 𝑥 ≥ 0, maka :

∫_−2𝜋^48𝜋(−cos(2𝑥)) 𝑑𝑥, maka anti turunannya adalah : [−^{cos 2𝑥}

2 ]

−2𝜋 48𝜋

= −cos 2 (48𝜋)

2 − (−cos 2 (−2𝜋)

2 )

= −¹

2− (−^{cos (−4𝜋)}

2 )

= −¹

2− (−¹

2) = 0 Jika 𝑥 < 0, maka :

∫_48𝜋^−2𝜋(−cos(2𝑥)) 𝑑𝑥, , maka anti turunannya adalah : [cos 2𝑥

2 ]

48𝜋 −2𝜋

= cos 2 (−2𝜋)

2 − (cos 2 (48𝜋) 2 )

= ¹

2−¹

2= 0 c.) ∫₁^1+𝜋|sin 𝑥| 𝑑𝑥

→ ∫ |sin 𝑥| 𝑑𝑥₁^𝜋 + ∫₁^1+𝜋|sin 𝑥| 𝑑𝑥

Note :

𝑓(𝑥) = 𝑦 = sin 𝑥 𝑓(𝑥 + 2𝜋) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = |sin 𝑥|

(37)

1

2= [− cos 𝑥]¹₀ = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 +

𝜋 1

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥

1 0

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 ₀¹ = ∫₁^1+𝜋|sin 𝑥| 𝑑𝑥

Maka didapatkan bahwa ∫₁^1+𝜋|sin 𝑥| 𝑑𝑥 :

= ∫ |sin 𝑥| ₀^𝜋 𝑑𝑥

= ∫ sin 𝑥 ₀^𝜋 𝑑𝑥

= −[cos 𝑥]₀^𝜋

= −(−1 − 1