UJIAN SELEKSI MASUK GELOMBANG I PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA ITB 2016
Jumat, 22 April 2016 WAKTU 08:00 - 10:30 WIB
Selesaikanlah soal-soal berikut dalam kertas putih A4 secara mandiri, kemudian ikuti petunjuk dibawah dan emailkan ke : [email protected] dan cc-kan ke : [email protected] paling lambat jam 11.00 WIB. Pastikan nama anda sudah tertulis pada lembar jawaban yang anda emailkan.
Bagian A: Analisis Real
1. (a) Carilah bilangan real δsehingga jika bilangan realxmemenuhi
|x−1|< δ, maka|(2x+ 1)−3|<1.
(b) Carilah bilangan real δsehingga jika bilangan realxmemenuhi
|x−1|< δ, maka|(2x2+ 1)−3|<1.
2. Bilangan real M dikatakan sebagai suatu batas atas bagi sub-himpunan bilangan real S apabila untuk setiapxdi S berlaku x≤M. Batas atas terkecil dariSadalah batas atassbagiSsehingga untuk setiap batas atas M bagiS berlakus≤M.
(a) Buktikan bahwa himpunanS=
1− 1
2n :n∈N
mempunyai suatu batas atas.
(b) Carilah batas atas terkecil dari S. Buktikan pilihan Anda.
3. Jumlah parsial ke−ndari deret
∞
X
k=0
akadalah
n
X
k=0
ak. Deret
∞
X
k=0
akdikatakan konvergen keS(Notasi:
∞
X
k=0
ak =S) apabila barisan jumlah parsial ( n
X
k=0
ak
)∞
n=0
konvergen ke S.
(a) Tuliskan jumlah parsial ke−n dari deret
∞
X
k=0
ak+1. Kemudian cari hubungan antara jumlah parsial ke−ndari
∞
X
k=0
akdan jumlah parsial ke−ndari
∞
X
k=0
ak+1.
(b) Jika
∞
X
k=0
ak konvergen keS, buktikan
∞
X
k=0
ak+1 konvergen keS−a0.
1
4. Misalkan I suatu interval dan f : I → R dikatakan mempunyai nilai maksimal apabila terdapat c ∈ I sehingga untuk setiap x ∈ I berlaku f(x)≤f(c).
(a) Definisikan arti fungsif tidak mempunyai nilai maksimal pada I.
(b) Buktikan fungsif(x) = 2x+ 1 tidak mempunyai nilai maksimal pada interval (0,1).
Bagian B : Aljabar Linier
1. DiketahuiAsuatu matriks m×nsehingga
Ax=
1 2 3
tidak mempunyai solusi (1) dan
Ax=
4 5 6
tepat mempunyai satu solusi z. (2) (a) Misalkany adalah solusi dari Ax= 0. Tunjukkan bahway+zjuga
solusi dari persamaan (2).
(b) Tentukan semua solusi dari Ax= 0.
(c) Jelaskan mengapa rank(A)6= 3.
(d) Tentukan semua nilainyang mungkin.
(e) Untuk masing-masing nilain di jawaban bagian (d) berikan contoh matriksA yang sekaligus memenuhi (1) dan (2).
2. Misalkan{b1, b2, b3}adalah himpunan vektor-vektor berukuran 1×3 yang ortonormal. MisalkanAadalah matriks yang baris-barisnya adalahb1, b2, b3 yakniA=
b1 b2
b3
.
(a) Tentukan det(AAT).
(b) Tentukan semua kemungkinan nilai det(A).
(c) Tentukan semua kemungkinan nilai
det
b1+b2
b2+b3
b3+b1
2
(d) Tentukan nilai
det
b1
b2 b3
×det
b2
b3 b1
PETUNJUK PENGIRIMAN NASKAH HASIL UJIAN SELEKSI Setelah Anda menyelesaikan pekerjaan, untuk mempersiapkan pengiriman naskah jawaban dan untuk memudahkan kami dalam pengoreksian, mohon diperhatikan hal-hal berikut
1. Berkas jawaban anda dapat di-scan atau difoto. Usahakan di-scan.
2. Kalau anda dapat men-scan, mohon filenya dalam format PDF dan nama filenya adalah nama anda, sebagai contoh : nama anda : Anjelina, file anda adalah anjelina.pdf. Kemudian emailkan ke [email protected], [email protected], dengan subjek : Solusi Tes Online Gel I.
3. Kalau anda dapat memfoto, mohon hasil foto di insert ke file word (per- hatikan hasil fotonya, harus terbaca dengan jelas dengan ukuran yang layak dibaca), kemudian disimpan dalam format PDF dan nama filenya adalah nama anda, sebagai contoh : nama anda : Anjelina, file anda
adalah anjelina.pdf. Kemudian emailkan ke [email protected], [email protected], dengan subjek : Solusi Tes Online Gel I.
4. Anda wajib meyakinkan bahwa citra yang Anda kirim dapat terbaca den- gan jelas. Kami tidak bertanggungjawab atas jawaban/bagian dari jawa- ban Anda yang tidak dapat terbaca jelas.
3
