UJIAN SELEKSI MASUK
PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA ITB 2014 Senin, 19 Mei 2014
WAKTU 08:00 – 11:00 (180 MENIT)
Selesaikanlah soal-soal berikut dalam kertas putih A4 secara mandiri, kemudian anda scan/photo dan emailkan ke : [email protected] dan cc-kan ke : [email protected] paling lambat jam 11.30 WIB. Pastikan nama anda sudah tertulis pada lembar jawa- ban yang anda emailkan.
Bagian A: FUNGSI REAL
1. Misalkan f fungsi bernilai real dengan domainDf ⊂ R. Fungsif disebut fungsi cantik jika ada konstanta K > 0 dan untuk setiap x ∈ Df ada y ∈ Df sehingga
|f (y)| ≤ K|f (x)|. Tuliskan arti fungsi f tidak cantik.
2. Misalkan U = (0,1) = {x : 0 < x < 1} dan a ∈ U. Carilah bilangan > 0 sehingga B(a, ) ={y : |y −a| < } ⊂ U.
3. Misalkan [x] menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Hitunglah
n→∞lim
[n] + 10 n−5 4. Diketahui barisan (an) dengan an ≥ 0 dan P∞
n=1an divergen. Tentukan kekon- vergen deret
∞
X
n=1
an 1 +nan.
5. Carilah bilangan δ > 0 sehingga berlaku bagi setiap bilangan real x yang memenuhi
x− 14
< δ maka
√x− 12 < 1.
6. Misalkan f fungsi kontinu di [0,2] dengan f (0) = f (2). Buktikan bahwa ada titik x1, x2 di [0,2] sehingga
x2 −x1 = 1 dan f (x2) =f (x1)
Penuntun : Definisikan g(x) = f (x+ 1)−f (x)
7. Diberikan sebuah himpunan S yang merupakan himpunan bagian dari bilangan real positif yang tak kosong dan terbatas di atas. Misalkan T = {y2 : y ∈ S}.
Tunjukkan : (a) supT ada.
(b) supT = (supS)2. Bagian B: ALJABAR LINEAR
1. Diberikan x1 =
2 1 3
, x2 =
3
−1 4
, dan x3 =
2 6 4
di R3.
(a) Perlihatkan bahwa x1, x2, dan x3 bergantung linear.
(b) Perlihatkan bahwa x1 dan x2 bebas linear.
(c) Tentukan sebuah vektor v sehingga v tegak lurus terhadap vektor x1 dan x2.
(d) Pilihlah sebuah vektor u sehingga {x1, x2, u} basis untuk R3. 2. Carilah matriks P yang mendiagonalisasi matriks
A =
−4 2 −2 2 −7 4
−2 4 −7
secara ortogonal.
Selamat bekerja
