UJIAN SELEKSI MASUK GELOMBANG I PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA ITB 2017

UJIAN SELEKSI MASUK GELOMBANG I PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA ITB 2017

Kamis, 13 April 2017 WAKTU 08:00 - 10:30 WIB

PETUNJUK PENGIRIMAN NASKAH HASIL UJIAN SELEKSI Setelah Anda menyelesaikan pekerjaan, untuk mempersiapkan pengiriman naskah jawaban dan untuk memudahkan kami dalam pengoreksian, mohon diperhatikan hal-hal berikut

1. Berkas jawaban Anda dapat di-scan atau difoto. Usahakan di-scan.

2. Kalau Anda dapat men-scan, mohon filenya dalam format PDF dan nama filenya adalah nama Anda, sebagai contoh : nama Anda : An- jelina, file Anda adalah anjelina.pdf.

Kemudian emailkan ke ntankaprodi@gmail.com, cc yana@math.itb.ac.id, dengan subjek : Solusi Tes Online S2 Matematika Gel I.

3. Kalau Anda dapat memfoto, mohon hasil foto di insert ke file word (perhatikan hasil fotonya, harus terbaca dengan jelas dengan ukuran yang layak dibaca), kemudian disimpan dalam format PDF dan nama filenya adalah nama anda, sebagai contoh : nama Anda : Anjelina, file Anda adalah anjelina.pdf.

Kemudian emailkan ke ntankaprodi@gmail.com, cc yana@math.itb.ac.id, dengan subjek : Solusi Tes Online S2 Matematika Gel I.

4. Anda wajib meyakinkan bahwa citra yang Anda kirim dapat terbaca dengan jelas. Kami tidak bertanggungjawab atas jawaban/bagian dari jawaban Anda yang tidak dapat terbaca jelas.

Selesaikanlah soal-soal berikut dalam kertas putih A4 secara mandiri, emailkan ke : ntankaprodi@gmail.com dan cc-kan ke : yana@math.itb.ac.id paling lambat jam 11.00 WIB. Pastikan nama Anda sudah tertulis pada lem- bar jawaban yang Anda emailkan.

1

UJIAN SELEKSI MASUK GELOMBANG I PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA ITB 2017

Kamis, 13 April 2017 Bagian A: Analisis Real

Waktu : 1 jam

1. Misalkana bilangan real dan >0. Definisikan V(a) ={x:|x−a|<

}.

(a) Carilahγ >0 sehingga V_γ(a) = V(a)∩V_δ(a).

(b) Carilahγ >0 sehingga V_γ(a) = V(a)∪V_δ(a).

(c) Jika a6=b, carilah >0 dan δ >0 sehingga V(a)∩V_δ(b) =∅.

2. Barisan bilangan real {xn} dikatakan terbatas apabila terdapat bilan- gan real M > 0 sehingga untuk setiapn berlaku|x_n| ≤M.

(a) Buktikan bahwa barisan

1

2ⁿ

terbatas.

(b) Definisikan arti bilangan real{x_n} tidak terbatas.

(c) Buktikan bahwa barisan {2ⁿ} tidak terbatas.

3. Fungsi f dikatakan kontinu di c apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x∈D_f dengan|x−c|< δ, maka |f(x)− f(c)|< . (D_f: daerah definisi f)

(a) Buktikan bahwa fungsi f(x) =|x| kontinu di 0.

(b) Definisikan arti fungsif tidak kontinu di c.

(c) Buktikan bahwa fungsi f(x) :=

|x|/x jika x6= 0 0 jika x= 0.

tidak kontinu di 0.

4. Misalkanf terdefinisi pada selangI yang memuatcdanf kontinu dic.

Buktikan: jikaf(c)<0, maka terdapat selangJ ⊂I sehinggaf(x)<0 untuk setiap x diJ.

2

UJIAN SELEKSI MASUK GELOMBANG I PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA ITB 2017

Kamis, 13 April 2017 Bagian B : Aljabar Linier

Waktu : 1 jam

1. Misalkan I adalah matriks identitas berukuran 3 ×3 dan J adalah matriks berukuran 3×3 yang yang semua entrinya adalah 1. Misalkan A adalah matriks 6×6 yang dapat dituliskan sebagai matriks blok

A=

I J

0 0

(a) Tentukan basis bagi ruang nol dari A.

(b) Tentukan basis bagi ruang nol dari A^T.

(c) Tentukan semua matriksB yang mempunyai sifat nolitasB sama dengan nolitas B^T.

Catatan: nolitasB adalah dimensi ruang nol B.

2. Misalkan A_n adalah matriks berukuran n×n dengan entri-entri diag- onal A_n semuanya nol dan entri yang lain selain diagonal semuanya

−1.

(a) Gunakan operasi baris untuk menghitung determinan A_n. (b) Tentukan semua nilai eigen dari A_n.

(c) Tunjukkan bahwaA_n dapat didiagonalkan.

(d) Tentukan matriks P sehingga P⁻¹A5P =D untuk suatu matriks diagonal D.

3