Ujian ”Online” Seleksi Masuk Program Studi Magister FMIPA ITB Selasa, 12 Mei 2015
Waktu : 100 menit
Petunjuk : Soal Ujian Online ini terdiri dari dua bagian, yaitu bagian A : Aljabar dan bagian B : Analisis. Kerjakan secara berurutan, 50 menit pertama kerjakan bagian A dan 50 menit kedua kerjakan bagian B. Tuliskan jawaban anda dalam kertas putih. Pada setiap lembar jawaban tuliskan nama anda dan nomor halaman. Kemudian ”scan” atau
”photo” jawaban anda. Selanjutnya emailkan jawaban anda paling lambat jam 10:30 WIB. Selamat bekerja.
Bagian A : Aljabar
1. Diketahui bahwa V ruang vektor real, x1, x2, . . . , xk ∈ V, β ∈ R, dan T pemetaan linier dari V ke V.
Pernyataan-pernyataan berikut salah. Untuk masing-masing pernyataan tersebut, tuliskan pernyataan benarnya dengan menggunakan kalimat positif.
(a) Jika u ∈ V = 0, maka terdapat α1, α2, . . . , αk ∈ R, sehingga berlaku u =
∑k i=1
αixi.
(b) Terdapatv ∈V,v ̸= 0, yang memenuhi T(v) =βv.
2. Misalkan P2 adalah ruang polinom real berderajat paling tinggi 2. Tentukan koor- dinat x2 terhadap basis {x2+x, x+ 1, x2+ 1} di P2.
3. Tentukan semua bilangan reals sehingga W =
{ f
∫ 1
−1
f(x)dx=s }
adalah subruang dari ruang fungsi real yang kontinu di selang [−1,1].
4. Tentukan semua a dan b agar matriks real
a 1 b b a 1 1 b a
adalah matriks ortogonal.
5. MisalkanA= [0 1
0 1 ]
. MisalkanT operator linier pada R2×2 dengan aturanT(X) = AX−XA, ∀X ∈R2×2. Tentukan rank(T).
6. MisalkanK danL dua subruang berbeda dari ruang vektor real V. Jika dim(K) = dim(L) = 4, tentukan dimensi minimal yang mungkin untuk V.
7. Tentukan semua bilangan real a sehingga matriks
1 a a a 1 a a a 1
memiliki tiga nilai eigen real positif.
Bagian B : Analisis
1. Misalkan 𝑎 > 0 dan 𝑏 > 0.
a. Carilah bilangan 𝛿 > 0 sehingga setiap 𝑥 yang memenuhi |𝑥| < 𝛿 maka
−𝑎 < 𝑥 < 𝑏.
b. Carilah bilangan 𝜖 > 0 sehingga setiap 𝑥 yang memenuhi −𝑎 < 𝑥 < 𝑏 maka
|𝑥| < 𝜖.
c. Carilah bilangan 𝛿 > 0 sehingga setiap 𝑥 yang memenuhi |𝑥 − 1| < 𝛿 maka
|
1𝑥
| < 2.
2. Hitunglah limit berikut
a. lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑔(𝑎)−𝑓(𝑎)𝑔(𝑥)𝑥−𝑎
jika 𝑓, g mempunyai turunan di 𝑥 = 𝑎.
b. lim
𝑥→0 1𝑥2
−
1sin2𝑥
3. Misalkan 𝐼 suatu interval dan fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 disebut sebagai fungsi terbatas jika ada bilangan 𝑀 > 0 sehingga |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼.
a. Definisikan arti fungsi 𝑓 tidak terbatas di 𝐼.
b. Pilihlah fungsi yang terbatas i. 𝑓(𝑥) =
1𝑥
dengan 𝐼 = (0,1) ii. 𝑓(𝑥) =
1𝑥
dengan 𝐼 = (1, ∞)
c. Buktikan bahwa pilihan fungsi ( c ) merupakan fungsi yang terbatas.
d. Buktikan bahwa fungsi yang lain di ( b ) merupakan fungsi yang tidak terbatas.
4. Misalkan 𝐼 suatu interval dan fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 disebut sebagai fungsi kontinu uniform jika untuk setiap 𝜖 > 0 selalu ada bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 dengan
|𝑥 − 𝑦| < 𝛿 maka |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| < 𝜖.
a. Definisikan arti fungsi 𝑓 tidak kontinu uniform.
b. Pilihlah fungsi yang kontinu uniform i. 𝑓(𝑥) =
1𝑥
dengan 𝐼 = (0,1) ii. 𝑓(𝑥) =
1𝑥
