روش خط متقاطع Secant

(1)

Advanced Numerical Methods 67

ﻊﻃﺎﻘﺘﻣ ﻂﺧ شور Secant

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻖﺘﺸﻣ ﯽﻠﯿﻠﺤﺗ ﻊﺑاﻮﺗ رد ﯽﺧﺮﺑ دراﻮﻣ ﻞﮑﺸﻣ ﺖﺳا .

رد ﻦﯾا شور ﻖﺘﺸﻣ ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا شور ﻞﺿﺎﻔﺗ دوﺪﺤﻣ ﺐﯾﺮﻘﺗ هدز دﻮﺷ ﯽﻣ .

1

( ) ( )

i

i i

i

x x f x

   f x



ﻊﻃﺎﻘﺘﻣ ﻂﺧ شور Secant

بﻮﻠﻄﻣ ﺖﺳا ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺸﯾر

ﻪﻟدﺎﻌﻣ f(x) = e^-x-x ﺎﺑ

هدﺎﻔﺘﺳا زا

شور ﺖﻧﺎﮑﺳ و

x₀= 0 , x₁=1.0: ﻪﯿﻟوايﺎﻫ سﺪﺣ

x₀= 0 f(x₀) =1.00000 x₁= 1.0 f(x₁) = -0.63212

x₂= 1 - (-0.63212)(1 - 0)/(-0.63212-1) = 0.61270 f(x₂) = -0.07081

x₃= 0.61270 - (-0.07081)(0.6127-1)/(-0.07081+0.63212) = 0.56384 f(x₃) = 0.00518

e_a= abs[(0.56384-0.61270)/(0.56384)] x 100 = 8.67%

) ( ) (

) )(

(

0 1

0 1 1 1

2

f x f x

x x x x f

x 

 

)



( ) (

) )(

(

1 1 1



 

 



i i

i i i i

i f x f x

x x x x f

x

(2)

ﻊﻃﺎﻘﺘﻣ ﻂﺧ شور Secant

ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﺪﺻرد يﺎﻄﺧ ﯽﺒﺴﻧ

ياﺮﺑ ﻦﺘﻓﺎﯾ رد ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻫ شور ﻪﺸﯾر

f(x) = e^-x-x ﻪﻟدﺎﻌﻣ

شور ﺎﺑ هﺎﺒﺘﺷا نﺎﮑﻣ شور ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ

Secant

(3)

ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ياﺮﺑ ﺖﻧﺮﺑ شور )

Brent

(

ﻪﮐﯽﺒﯿﮐﺮﺗ ﯽﻤﺘﯾرﻮﮕﻟا ﯽﮔﮋﯾو

ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ ﯽﻨﯿﻤﻀﺗ

شور ﻒﺼﻧ ندﺮﮐ ار ﺎﺑ ﯽﮔﮋﯾو

ﺐﯿﮐﺮﺗ،سﻮﮑﻌﻣمودﻪﺟردﯽﺑﺎﯿﻧﺎﯿﻣ وﺖﻧﺎﮑﺳيﺎﻫ شورردﻻﺎﺑﯽﯾاﺮﮕﻤﻫﺖﻋﺮﺳ

.ﺖﺳاهدﺮﮐ

ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ ﻢﺘﺴﯿﺳ

لﺎﺜﻣ :

(4)

ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ ﻢﺘﺴﯿﺳ هدﺎﺳ راﺮﮑﺗ شور –

i xi yi

0 1.50000 3.50000

1 2.21429 -24.37516

2 -0.20910 429.709

دﻮﺷ ﯽﻤﻧ اﺮﮕﻤﻫ ﻞﺣ .

2 / 1

1 (10 _i _i)

i x y

x_  

2 / 1 1 ((57 _i)/3 _i)

i y x

y_  

i xi yi

0 1.50000 3.50000

1 2.17945 2.86051

(5)

ياﺮﺑ ﺐﺳﺎﻨﻣ ﻞﮑﺷ بﺎﺨﺘﻧا x=f(x,y)

و y=g(x,y) رادرﻮﺧﺮﺑ ﯽﺻﺎﺧ ﺖﯿﻤﻫا زا

ﺖﺳا .

ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ طﺮﺷ

ﻦﯾا شور ﻪﺑ سﺪﺣ ﻪﯿﻟوا ﻪﺘﺴﺑاو ﺖﺳا

. ﻦﮑﻤﻣ ﺖﺳا ﻪﮐ ﺎﺑ بﺎﺨﺘﻧا سﺪﺣ

.دﻮﺷاﺮﮔاوﻪﻟﺎﺴﻣﻞﺣ،ﺢﯿﺤﺻﺎﻧ

ﯽﻄﺧﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ ﻢﺘﺴﯿﺳ ﻦﺗﻮﯿﻧ شور –

- نﻮﺴﻓار

ﻦﺗﻮﯿﻧ شور

هﺎﮕﺘﺳد ﻦﺗﻮﯿﻧ شور تﻻدﺎﻌﻣ

هﺎﮕﺘﺳد ﻦﯾا ﻞﺣ ﺎﺑ

(6)

- نﻮﺴﻓار

تﻻدﺎﻌﻣ ﯽﺴﯾﺮﺗﺎﻣ ﻞﮑﺷ

   

     

   



 





















 



 

 

 



 





j i

j i j

i j

i

j i j

i

j i 1

j 1 i

y , x v

y , x u 1

y y , x v x

y , x v

y y , x u x

y , x u

y x y

x

- نﻮﺴﻓار

لﺎﺜﻣ :

(7)

ﺮﻟﻮﻣ شور Muller

Secant Muller

ﯽﻤﻬﺳ ﺐﯾاﺮﺿ ﻦﺘﻓﺎﯾ

(8)

دراد ﻪﺸﯾر ود ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا .

؟ﻢﯿﻨﮐ بﺎﺨﺘﻧا ﺪﯾﺎﺑ ار ﻪﺸﯾر ماﺪﮐ

ﺮﻟﻮﻣ شور Muller

راﺪﻘﻣ  x₃ ﯽﻣ بﺎﺨﺘﻧا ار يا ﻪﺑ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ

x₂ ﺪﺷﺎﺑ ﺮﺗ ﮏﯾدﺰﻧ .

If b>0 then choose + If b<0 then choose -

If Root > x1 then choose x₁,x_r,x₀ If Root < x1 then choose x₂,x_r,x₁

ﺖﻣﻼﻋ ﺎﺑ ﻪﺑﺎﺸﻣ ﺖﻣﻼﻋ دﻮﺷ ﯽﻣ بﺎﺨﺘﻧا b

.

ﻪﺘﺷاﺬﮔ رﺎﻨﮐ طﺎﻘﻧ ماﺪﮐ يﺪﻌﺑ راﺮﮑﺗ رد  دﻮﺷ ﯽﻣ

.

ﻦﯾﺮﺗ ﮏﯾدﺰﻧ ﻪﮐ يا ﻪﻄﻘﻧ ود نآ ﺪﻧراد ﺪﯾﺪﺟ ﻪﺸﯾر ﺎﺑ ار ﻪﻠﺻﺎﻓ

ﺪﻧﻮﺷ ﯽﻣ بﺎﺨﺘﻧا .

(9)

بﻮﻠﻄﻣ ﺖﺳا ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺸﯾر

ﻪﻟدﺎﻌﻣ f(x) = x³-13x-12 ﺎﺑ

هدﺎﻔﺘﺳا زا

شور ﺮﻟﻮﻣ

x₂= 4.5 , x₁=5.0 , x₀=5.5 : ﻪﯿﻟوايﺎﻫ سﺪﺣو

x1x0 , x2x1 , x3x2

75 . 5 54

. 0

48 625 .

20 



5

. 0 x

x

h

₀



₁



₀

  h

₁

 x

₂

 x

₁

  0 . 5

75

. 5 69

. 0

875 . 82

48 



1 15 75 . 69 75 .

54 



 

a b15(0.5)54.7547.25 c 20.625

 

976487 .

54461 3 .

31 25 . 47

20.625 5 2

. 4

x

₃





 



هژوﺮﭘ 1 : ﯽﻄﺧ ﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﺣ

ﻪﻄﺑار  Colebrook ياﺮﺑ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﺐﯾﺮﺿ كﺎﮑﻄﺻا لﺎﻧﺎﮐ

ﺮﺑز رد نﺎﯾﺮﺟ ﻪﺘﻔﺷآ ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﺮﯾز ﻒﯾﺮﻌﺗ ﯽﻣ دﻮﺷ . بﻮﻠﻄﻣ ﺖﺳا ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ رد f

هدوﺪﺤﻣ داﺪﻋا زﺪﻟﻮﻨﯾر ﻦﯿﺑ 4000 ﺎﺗ 10⁸

ياﺮﺑ ﺮﯾدﺎﻘﻣ ﺖﺒﺴﻧ يﺮﺑز ﻪﺑ ﺮﻄﻗ ﺺﺨﺸﻣ هﺪﺷ رد ترﻮﺻ ﻪﻟﺎﺴﻣ .

0.0, 0.00001, 0.0008, 0.02

d d d d

   

   

يﺎﻫ شور ﻞﺣ

:-1 شور ﻒﺼﻧ ندﺮﮐنﺎﮑﻣيﺎﻫ شور-2 هﺎﺒﺘﺷا

و نﺎﮑﻣ هﺎﺒﺘﺷا حﻼﺻا

هﺪﺷ x=g(x)هدﺎﺳراﺮﮑﺗشور- 3 4 - يﺎﻫ شور نﻮﺗﻮﯿﻧ

- نﻮﺴﻓار ﻪﺒﺗﺮﻣ لوا و

مود ﺖﻧﺎﮑﺳشور- 5

6 - شور ﺮﻟﻮﻣ

(10)

رد  ﺮﻫ

،ﺖﻟﺎﺣ رادﻮﻤﻧ تاﺮﯿﯿﻐﺗ ار f

ﺮﺑ ﺐﺴﺣ زﺪﻟﻮﻨﯾر ﻢﺳر ﺪﯿﻨﮐ .

ﺖﻬﺟ  ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﯽﻣ ﺪﯿﻧاﻮﺗ ﺞﯾﺎﺘﻧ دﻮﺧ ار ﺎﺑ ﺞﯾﺎﺘﻧ ماﺮﮔﺎﯾد يدﻮﻣ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﺪﯿﯾﺎﻤﻧ .

داﺪﻌﺗ  يراﺮﮑﺗ ﻪﮐ ﺮﻫ شور ﺮﺠﻨﻣ ﻪﺑ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ ﯽﻣ

دﻮﺷ ار ﺎﺑ ﻢﻫ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ و رد صﻮﺼﺧ ﺞﯾﺎﺘﻧ

ﺚﺤﺑ ﺪﯿﻨﮐ .

ﺖﻋﺮﺳ  ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ شور

ﺎﻫ ار ﺎﺑ ﻢﻫ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ ﺪﯿﻨﮐ .

ياﺮﺑ  شور يﺎﻫ ﻦﺗﻮﯿﻧ و ﺖﻧﺎﮑﺳ ﺮﺛا بﺎﺨﺘﻧا سﺪﺣ ﻪﯿﻟوا ار ﺮﺑ ﺖﻋﺮﺳ ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ ﻪﺴﯾﺎﻘﻣ

و

رد .ﺪﯿﻨﮐﺚﺤﺑﺞﯾﺎﺘﻧصﻮﺼﺧ

طﺮﺷ  ﯽﯾاﺮﮕﻤﻫ ار

رد شور يﺎﻫ راﺮﮑﺗ هدﺎﺳ و ﻦﺗﻮﯿﻧ ﯽﺳرﺮﺑ ﺪﯿﻨﮐ .

شراﺰﮔ  ﻪﯿﻬﺗ هﺪﺷ ﺪﯾﺎﺑ يوﺎﺣ ناﻮﻨﻋ و ﺖﺳﺮﻬﻓ ﺪﺷﺎﺑ .

شراﺰﮔ  دﻮﺧ ار ﻪﺑ ترﻮﺻ ﻢﻈﻨﻣ ﺪﯿﺴﯾﻮﻨﺑ .

ترﻮﺻ  ﻪﻟﺎﺴﻣ رد شراﺰﮔ ﺪﯾﺎﺑ ﻪﺑ ترﻮﺻ فﺎﻔﺷ ﺺﺨﺸﻣ ﺪﺷﺎﺑ .

ﺞﯾﺎﺘﻧ  ار ﻪﺑ ترﻮﺻ ﺐﺳﺎﻨﻣ رد ﺐﻟﺎﻗ ﯽﻨﺤﻨﻣ و ﺎﯾ لوﺪﺟ ﻪﺋارا ﺪﯿﻫد .

يﺎﻫ ﻪﺘﺳاﻮﺧ  ﻪﻟﺎﺴﻣ

ار ﻪﺑ رﻮﻃ ﻞﻣﺎﮐ رد شراﺰﮔ ﺪﯾروﺎﯿﺑ .

ﻞﯾﺎﻓ  ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ ار ﻪﺑ هاﺮﻤﻫ شراﺰﮔ لﺎﺳرا ﺪﯿﻨﮐ .

يﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ  ﯽﻠﺻا

ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ ار رﻮﻃ ﻪﺑ فﺎﻔﺷ ﯽﻓﺮﻌﻣ ﺪﯿﻨﮐ .

زا  يﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ راد ﯽﻨﻌﻣ

رد ﯽﺴﯾﻮﻧ ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ هدﺎﻔﺘﺳا

ﺪﯿﻨﮐ .

ﯽﻌﺳ  ﺪﯿﻨﮐ ترﻮﺻ ﻪﺑ رﻻوﺪﻣ ﻪﻣﺎﻧﺮﺑ ﺪﯿﺴﯾﻮﻨﺑ .

(11)

ﯽﻨﺤﻨﻣ شزاﺮﺑ

Curve Fitting

ﻪﻣﺪﻘﻣ

شور ﯽﻨﺤﻨﻣ شزاﺮﺑ يﺎﻫ ﯽﺳﺪﻨﻬﻣ رد ﯽﻨﺤﻨﻣ شزاﺮﺑ ﺖﯿﻤﻫا

(12)

ﻪﻣﺪﻘﻣ

هزاﺪﻧا زا ﻞﺻﺎﺣ هداد يداﺪﻌﺗ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ﺮﯾز لوﺪﺟ ﻖﺑﺎﻄﻣ ار يﺮﯿﮔ

.

ﻦﯿﮕﻧﺎﯿﻣ راﺪﻘﻣ :

Average رﺎﯿﻌﻣ فاﺮﺤﻧا :

Standard Deviation ﺲﻧﺎﯾراو Variance

فﻼﺘﺧا ﺐﯾﺮﺿ :

ﻪﺑ رﺎﯿﻌﻣ فاﺮﺤﻧا ﻦﯿﺑ ﺖﺒﺴﻧ

ﺖﺳا ﻂﺳﻮﺘﻣ راﺪﻘﻣ .

لﺎﻣﺮﻧ ﻊﯾزﻮﺗ

(13)

ﯽﻄﺧ شزاﺮﺑ Linear Regression

ﻪﺒﺗﺮﻣ يا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﺟ 6

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ زا ﺖﺳار ﻂﺧ نﺪﻧارﺬﮔ ياﺮﺑ شور ﻦﯾﺮﺘﻬﺑ

؟ﺖﺴﯿﭼ ،ﺎﻄﺧ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ طﺎﻘﻧ

1 - ﻢﯿﻨﮐ ﻪﻨﯿﻤﮐ ار ﺎﻫﺎﻄﺧ عﻮﻤﺠﻣ

. - 2

ﻢﯿﻨﮐ ﻪﻨﯿﻤﮐ ار ﻖﻠﻄﻣ يﺎﻄﺧ عﻮﻤﺠﻣ . .ﻢﯿﻨﮐ ﻪﻨﯿﻤﮐ ار ﺎﻄﺧ ﻪﻨﯿﺸﯿﺑ - 3

ﯽﻌﻗاو راﺪﻘﻣ هﺪﻧﺎﻣ ﯽﻗﺎﺑ ﺎﯾ ﺎﻄﺧ راﺪﻘﻣ

ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ راﺪﻘﻣ

(14)

ﯽﻄﺧ شزاﺮﺑ Linear Regression

ﺖﻟﺎﺣ 1 : ود ﻪﻄﻘﻧ رد يور رادﻮﻤﻧ ار رد ﺮﻈﻧ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ . ﻦﯾﺮﺘﻬﺑ ﻂﺧ شزاﺮﺑ هﺪﺷ رد

ﻊﻗاوﻂﺳوﻪﻄﻘﻧزا ﻪﮐﯽﻄﺧﺮﻫﻪﮐﯽﺗرﻮﺻرد. درﺬﮔﯽﻣﻪﻄﻘﻧودﺮﻫزا ﻪﮐﺖﺳاﯽﻄﺧ

ﻂﺧ .درادارﺎﻄﺧﻦﯾﺮﺘﻤﮐﺰﯿﻧدرﺬﮔ ﯽﻣﻪﻄﻘﻧودلﺎﺼﺗا

ﯽﻄﺧ شزاﺮﺑ

Linear Regression

(15)

ﺖﻟﺎﺣ مﻮﺳ ﻦﯾا: رﺎﯿﻌﻣ ﺰﯿﻧ ﺐﺳﺎﻨﻣ ﺖﺴﯿﻧ . اﺮﯾز ﺖﺤﺗ ﺮﯿﺛﺎﺗ ﻪﻄﻘﻧ يا ﺎﺑ يﺎﻄﺧ دﺎﯾز ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻣ .

؟ﺖﺴﯿﭼ ﺐﺳﺎﻨﻣ رﺎﯿﻌﻣ

تﺎﻌﺑﺮﻣ ﻞﻗاﺪﺣ شور ﯽﻄﺧ شزاﺮﺑ –

رد ﺐﯾاﺮﺿ ندروآ ﺖﺳﺪﺑ فﺪﻫ ﺖﺳا ﯽﻄﺧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ .

(16)

لﺎﺜﻣ

هداد ياﺮﺑ  ﺪﯿﻨﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ار ﺎﻄﺧ راﺪﻘﻣ و ﯽﻄﺧ شزاﺮﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﺿﺎﺣ يﺎﻫ .

ﯽﻄﺧ شزاﺮﺑ رد ﺎﻄﺧ راﺪﻘﻣ

(17)

ﺎﺑ  ﻪﺟﻮﺗ ﻪﺑ ﻒﯾﺮﻌﺗ عﻮﻤﺠﻣ ﻊﺑﺮﻣ فﻼﺘﺧا هداد و راﺪﻘﻣ

،ﻂﺳﻮﺘﻣ ﯽﻣ ﺐﯾﺮﺿ ناﻮﺗ ﻦﯿﯿﻌﺗ

و :دﻮﻤﻧﻪﺒﺳﺎﺤﻣارﯽﮕﺘﺴﺒﻤﻫﺐﯾﺮﺿ

r²: Coefficient of Determination r: Correlation Factor

ﻪﮐ ﯽﻧﺎﻣز ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻦﯾا ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ S_r=0

ﯽﻣ يور ﻪﭼ ،ﺪﺷﺎﺑ

؟ﺪﻫد ؟دراد ﯽﺗﺎﯿﺻﻮﺼﺧ ﻪﭼ شزاﺮﺑ ﻦﯾﺮﺘﻬﺑ

راﺪﻘﻣ  دروآﺮﺑ رﺎﯿﻌﻣ يﺎﻄﺧ ﯽﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ ﺮﯾز ﻪﻄﺑار زا

ﺪﯾآ :

؟ﺖﺴﯿﭼ رﺎﯿﻌﻣ زا فاﺮﺤﻧا و دروآﺮﺑ رﺎﯿﻌﻣ يﺎﻄﺧ توﺎﻔﺗ

Standard Error of Estimate

S S

(18)

Advanced Numerical Methods 101

ﯽﻄﺧ ﯽﻄﺧ ﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ يزﺎﺳ

رد ﯽﺧﺮﺑ دراﻮﻣ ﯽﻣ ناﻮﺗ

ياﺮﺑ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ،ﺺﺨﺸﻣﯽﻌﯾزﻮﺗ ﺮﯿﯿﻐﺗ

،ﺮﯿﻐﺘﻣ يا ﻪﻄﺑار ترﻮﺻ ﻪﺑ

ﯽﻄﺧ ودﻮﻤﻧ جاﺮﺨﺘﺳا ﺎﻫهداد ياﺮﺑ رد ار ﯽﻄﺧ شزاﺮﺑ ،ﺖﯾﺎﻬﻧ ياﺮﺑ .دﺮﮐبﺎﺴﺣﺪﯾﺪﺟيﺎﻫهداد

ﯽﻄﺧ ﯽﻄﺧ ﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ يزﺎﺳ )

ﯽﯾﺎﻤﻧ لﺪﻣ

(

(19)

ﯽﻄﺧ ﯽﻄﺧ ﺮﯿﻏ تﻻدﺎﻌﻣ يزﺎﺳ )

ﯽﻧاﻮﺗ لﺪﻣ (

يزﺎﺳ ﯽﻄﺧ

(20)

ﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا زا ﻞﯾﺪﺒﺗ ﯽﻧاﻮﺗ ﮏﯾ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻧاﻮﺗ ﺮﺑ يﺎﻫ هداد لوﺪﺟ ﺮﯾز شزاﺮﺑ ﺪﯿﻨﮐ .

ﺎﺑ شزاﺮﺑ ﯽﻄﺧ ﺮﺑ يور يﺎﻫ هداد

ﻞﯾﺪﺒﺗ هﺪﺷ ﻪﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﯽﻄﺧ ﺮﯾز ﻢﯿﺳر ﯽﻣ :