رد ﻳ ﺖﻓﺎ 6 / 10 / 90
ﺬﭘ ﻳ شﺮ 15 / 11 / 90
ﻪﺋارا رد ﺎﺳ ﻳ ﺖ 30 / 5 / 91
ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﺖﺤﺗ يﻮﻘﻠﺣ
2
دوﺮﻫﺎﺷ ، دوﺮﻫﺎﺷ ،
akaramim@yahoo.com
ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ندروآ ﺖﺳﺪﺑ ﺖﻬﺟ ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﺎﺑ يﻮﻘﻠﺣ ﻪﺤﻔﺻ رﺎﻜﺑ ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﻦﻳا ندﺮﻛ لﺪﻣ ياﺮﺑ ،هﺪﺷ ﻞﭘﻮﻛ يﺪﻌﺑ ﻚﻳ ﻲﺗراﺮﺣ ﺖﻳاﺪﻫ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺎﺑ ﻪﻛ وﻻ
ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا ﺲﻧﺎﻛﺮﻓ ﻪﻟدﺎﻌﻣ .
ﻦﻳا ﻲﮕﺘﺴﺑاو ﻦﻴﻨﭽﻤﻫ
رادﺮﻴﮔ و رادﺮﻴﮔ -
ﺖﺳا هﺪﺷ ﻲﺳرﺮﺑ دازآ .
نﺎﺸﻧ ﺞﻳﺎﺘﻧ
،دراد ﻲﮕﺘﺴﺑ ﺰﻴﻧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ عﻮﻧ ﻪﺑ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا رادﺮﻴﮔ زا ﺮﺘﺸﻴﺑ دازآ -
رادﺮﻴﮔ ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ .
Thermoelastic damping in electrostatically actuated
A. Karami Mohammadi
1- Assist. Prof., Dept 2- PhD Student,
*
Abstract-In this paper, a linear model for
thermoelastic damping is considered for calculating the quality factor of this damping.
is used to model the microplate which is coupled with thermal conduction equation
the Q-factors in each mode, two methods are compared with respect to linearization of frequency equation. Also the dependency of thermoelastic damping to electrostatic load and geometry of annular microplate is investiga
clamped-clamped and clamped-free boundaries.
show that, there are a critical radius and thickness which make the thermoelastic damping to be maximal. Also the results show that the effect of electrostatic load on thermoelastic damping depends on the type of boundary conditions.
The effect of electrostatic load on thermoelastic damping clamped boundaries.
Keywords: Microplate, Thermoelastic Damping,
هرود 12 هرﺎﻤﺷ 3 رﻮﻳﺮﻬﺷ 1391 ص ص 81 - 94
ﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ رد ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﺔ
ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﺖﺤﺗ يﻮﻘﻠﺣ
ﺮﻛ ﺮﻴﺷدرا ﻲﻣ
يﺪﻤﺤﻣ
1
،*
ﻲﻠﻋ لآ ﻢﻴﺴﻧ
1 - دوﺮﻫﺎﺷ ﻲﺘﻌﻨﺻ هﺎﮕﺸﻧاد ﻚﻴﻧﺎﻜﻣ هﺪﻜﺸﻧاد ،رﺎﻳدﺎﺘﺳا دوﺮﻫﺎﺷ ،
2 - ﻚﻴﻧﺎﻜﻣ هﺪﻜﺸﻧاد ،يﺮﺘﻛد يﻮﺠﺸﻧاد ﻌﻨﺻ هﺎﮕﺸﻧاد
دوﺮﻫﺎﺷ ﻲﺘ دوﺮﻫﺎﺷ ،
* دوﺮﻫﺎﺷ
، ﻲﺘﺴﭘ قوﺪﻨﺻ 36155
akaramim@yahoo.com ،
وﺮﻜﻴﻣ ﻚﻳ ﻲﻄﺧ لﺪﻣ ، ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ندروآ ﺖﺳﺪﺑ ﺖﻬﺟ ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﺎﺑ يﻮﻘﻠﺣ ﻪﺤﻔﺻ
ﻒﻬﺷﺮﻴﻛ ﻪﺤﻔﺻ يرﻮﺌﺗ -
رﺎﻜﺑ ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﻦﻳا ندﺮﻛ لﺪﻣ ياﺮﺑ ،هﺪﺷ ﻞﭘﻮﻛ يﺪﻌﺑ ﻚﻳ ﻲﺗراﺮﺣ ﺖﻳاﺪﻫ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺎﺑ ﻪﻛ وﻻ
ﺷﺎﻌﺗرا دﻮﻣ ﺮﻫ رد ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ سﺎﺳا ﺮﺑ شور ود ﻲ
ﻲﻄﺧ يزﺎﺳ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا ﺲﻧﺎﻛﺮﻓ ﻪﻟدﺎﻌﻣ
رادﺮﻴﮔ ،يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﺖﻟﺎﺣ ود رد يﻮﻘﻠﺣ ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﻪﺳﺪﻨﻫ و ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﻪﺑ ﻲﻳاﺮﻴﻣ -
رادﺮﻴﮔ و رادﺮﻴﮔ
ﺮﻴﻣ نآ رد ﻪﻛ دراد دﻮﺟو ﻲﻧاﺮﺤﺑ ﺖﻣﺎﺨﺿ و عﺎﻌﺷ ﻪﻛ ﺪﻫد ﻲﻣ ﺮﺜﻛاﺪﺣ ﻪﺑ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳا
ﺪﺳر . ،دراد ﻲﮕﺘﺴﺑ ﺰﻴﻧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ عﻮﻧ ﻪﺑ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا
رادﺮﻴﮔ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ رد ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ،ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ رﻮﻀﺣ رد ﻪﻛ يرﻮﻃ ﻪﺑ -
رادﺮﻴﮔ زا ﺮﺘﺸﻴﺑ دازآ
،ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ يرﻮﺌﺗ
ﻪﺤﻔﺻ ﻒﻬﺷﺮﻴﻛ - وﻻ ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ، .
Thermoelastic damping in electrostatically actuated annular microplate
A. Karami Mohammadi1*, N. Ale Ali2
Dept. of Mech. Eng., Shahrood Univ. of Tech., Shahrood, Iran Dept. of Mech. Eng., Shahrood Univ. of Tech., Shahrood, Iran
* P.O.B. 36155 Shahrood, Iran. akaramim@yahoo.com
In this paper, a linear model for symmetrical vibrations of electrostatically actuated annular microplate with thermoelastic damping is considered for calculating the quality factor of this damping. The Kirchhoff
is used to model the microplate which is coupled with thermal conduction equation one dimensionally. For calculating factors in each mode, two methods are compared with respect to linearization of frequency equation. Also the dependency of thermoelastic damping to electrostatic load and geometry of annular microplate is investiga
free boundaries. A silicon annular microplate is considered as an example. T
critical radius and thickness which make the thermoelastic damping to be maximal. Also the the effect of electrostatic load on thermoelastic damping depends on the type of boundary conditions.
thermoelastic damping for clamped-free boundaries is more than Microplate, Thermoelastic Damping, Kirchhoff–Love Plate Theory, Quality Factor.
ﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ رد ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ
هﺪﻴﻜﭼ - ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﻳا رد وﺮﻜﻴﻣ ﻚﻳ ﻲﻄﺧ لﺪﻣ ،
ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺋارا ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا .
ﻒﻬﺷﺮﻴﻛ ﻪﺤﻔﺻ يرﻮﺌﺗ
ﺘﻓر ﺖﺳا ﻪ . ﺷﺎﻌﺗرا دﻮﻣ ﺮﻫ رد ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ
رادﺮﻴﮔ ،يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﺖﻟﺎﺣ ود رد يﻮﻘﻠﺣ ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﻪﺳﺪﻨﻫ و ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﻪﺑ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻲﻣ ﺮﻴﻣ نآ رد ﻪﻛ دراد دﻮﺟو ﻲﻧاﺮﺤﺑ ﺖﻣﺎﺨﺿ و عﺎﻌﺷ ﻪﻛ ﺪﻫد رادﺮﻴﮔ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ رد ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ،ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ رﻮﻀﺣ رد ﻪﻛ يرﻮﻃ ﻪﺑ
ﺪﻴﻠﻛ نﺎﮔژاو :
ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ
، ،ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ
Thermoelastic damping in electrostatically actuated
, Iran * , Iran
of electrostatically actuated annular microplate with Kirchhoff–Love plate theory one dimensionally. For calculating factors in each mode, two methods are compared with respect to linearization of frequency equation. Also the dependency of thermoelastic damping to electrostatic load and geometry of annular microplate is investigated with A silicon annular microplate is considered as an example. The results critical radius and thickness which make the thermoelastic damping to be maximal. Also the the effect of electrostatic load on thermoelastic damping depends on the type of boundary conditions.
free boundaries is more than for clamped-
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
1 - ﻪﻣﺪﻘﻣ
رد ﻢﺘﺴﻴﺳ ﺎﻫ ﻲﻳاﺮﻴﻣ زا ﻲﻔﻠﺘﺨﻣ عاﻮﻧا ،ﻲﻜﻴﻧﺎﻜﻣوﺮﺘﻜﻟا وﺮﻜﻴﻣ ي ﺎﻫ
ﺮﺛا ﺎﻬﻧآ ﻲﻳارﺎﻛ ﺮﺑ ﻪﻛ ﺪﻧراد دﻮﺟو ﻲﻣ
ﺪﻧراﺬﮔ . ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا ود ﻪﺑ ﺎﻫ
ﻢﻴﺴﻘﺗ هﺪﻤﻋ عﻮﻧ ﻲﻣ
ﺪﻧﻮﺷ : ﻲﻧورد و ﻲﻧوﺮﺑ .
ﻲﻳاﺮﻴﻣ ار ﻲﻧوﺮﺑ يﺎﻫ
ﻲﻣ ﻲﺣاﺮﻃ ﺎﺑ ناﻮﺗ دﺎﺠﻳا ﺎﻳ ﺖﺧﺎﺳ يﺎﻬﺷور زا هدﺎﻔﺘﺳا ،ﺐﺳﺎﻨﻣ
هﺮﻬﺑ ﻂﻳاﺮﺷ ﺪﻧﺎﺳر ﻞﻗاﺪﺣ ﻪﺑ ﺐﺳﺎﻨﻣ يرادﺮﺑ
. ﻲﻳاﺮﻴﻣ لﺎﺜﻣ ياﺮﺑ
ﻪﻛ ﺖﺳا ﻲﻧوﺮﺑ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻲﻋﻮﻧ يرﺎﺸﻓ ﻢﻠﻴﻓ ﻲﻣ
ﻸﺧ دﺎﺠﻳا ﺎﺑ ناﻮﺗ
وﺮﻜﻴﻣ ياﺮﺑ ﺪﻧﺎﺳر ﻞﻗاﺪﺣ ﻪﺑ ار نآ ﺮﻈﻧ درﻮﻣ تاودا
] 1
، 2 .[
ﻲﻧورد ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻲﻋﻮﻧ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻲﻣ
نآ ﺮﺛا ﻪﻛ ﺪﺷﺎﺑ
ﺶﻳاﺰﻓا تاودا هزاﺪﻧا نﺪﺷ ﻚﭼﻮﻛ ﺎﺑ ﻲﻣ
ﺪﺑﺎﻳ ] 2 .[
ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا
ﺖﺸﮔزﺎﺑ ﻲﺗراﺮﺣ رﺎﺷ زا ﻲﺷﺎﻧ شﺎﻌﺗرا ﻦﻴﺣ ﻪﻛ ﺖﺳا يﺮﻳﺬﭘﺎﻧ
دﺎﺠﻳا هزﺎﺳ ﻲﻣ
دﻮﺷ . ﺐﺒﺳ شﺎﻌﺗرا ﻪﻛ ﺐﻴﺗﺮﺗ ﻦﻳا ﻪﺑ ﻲﻣ
ﻪﻛ دﻮﺷ
هﺪﺷ دﺮﺳ و هﺪﻴﺸﻛ نآ زا ﻲﺸﺨﺑ و مﺮﮔ و هدﺮﺸﻓ هزﺎﺳ زا ﻲﺸﺨﺑ ا ﻲﺗراﺮﺣ رﺎﺷ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ و هﺪﻴﺸﻛ ﺖﻤﺴﻗ ﻪﺑ هﺪﺷ هدﺮﺸﻓ ﺖﻤﺴﻗ ز
دﻮﺷ دﺎﺠﻳا هﺪﺷ
، راﺮﻗﺮﺑ هزﺎﺳ رد ﻲﺗراﺮﺣ لدﺎﻌﺗ ﻖﻳﺮﻃ ﻦﻳا زا ﺎﺗ
دﻮﺷ . فﺮﺻ لدﺎﻌﺗ ﻦﻳا دﺎﺠﻳا ياﺮﺑ ﻪﻛ ﻲﻳژﺮﻧا ﻲﻣ
ﻲﻳﺎﻧاﻮﺗ دﻮﺷ
ﻲﻣ ﺐﺒﺳ ار ﻲﭘوﺮﺘﻧآ ﺶﻳاﺰﻓا ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ دراﺪﻧ نﺪﺷ هﺮﻴﺧذ ﻪﻛ دﻮﺷ
ﻳاﺮﻴﻣ ناﻮﻨﻋ ﺖﺤﺗ ار نآ ﻪﻛ هﺪﺷ يژﺮﻧا فﻼﺗا ﺚﻋﺎﺑ هﺪﻳﺪﭘ ﻦﻳا ﻲ
ﻲﻣ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻢﻴﺳﺎﻨﺷ
] 3 .[
ﺮﻧز ] 4
، 5 [ ار ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻪﻛ دﻮﺑ ﻲﺴﻛ ﻦﻴﻟوا
ﺶﻴﭘ ﻪﻄﺑار وا دﺮﻛ ﻲﻨﻴﺑ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ياﺮﺑ يا
داد ﻪﺋارا ﺎﻫﺮﻴﺗ رد ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ .
سﻼﺒﻟا ] 6 [ ﻞﻳﺪﺒﺗ عﻮﺿﻮﻣ ﺰﻴﻧ
راﺮﻗ ﻲﺳرﺮﺑ درﻮﻣ ار ﻚﻴﺘﺳﻻا ﺮﻴﺗ رد ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ ﻪﺑ ﻲﻜﻴﻧﺎﻜﻣ يژﺮﻧا ﻪﻄﺑار و داد دﺮﻛ اﺪﻴﭘ يژﺮﻧا ﻞﻳﺪﺒﺗ ﻦﻳا ياﺮﺑ يا
. ﻲﭘ ﻦﻴﻨﭽﻤﻫ وا
هزﺎﺳ ياﺮﺑ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا ﻪﻛ دﺮﺑ ﺎﻫ
دراد يﺰﻴﭼﺎﻧ راﺪﻘﻣ گرﺰﺑ ي .
سﺎﻛور و ﺰﺘﻴﺸﻔﻴﻟ ]
7 [ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ار ﺮﻴﺗ ﻚﻳ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ
هزﺎﺳ ياﺮﺑ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا ﻪﻛ ﺪﻧداد نﺎﺸﻧ و هدﺮﻛ ﺎﻫ
ﺪﺣ رد ي
ﻲﻣ اﺪﻴﭘ ﺖﻴﻤﻫا ﺮﺘﻣﻮﻧﺎﻧ و ﺮﺘﻣوﺮﻜﻴﻣ ﺪﻨﻛ
.
يﺎﻫرﺎﻛ ترﻮﺻ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا يور ﺮﺑ ﺰﻴﻧ يدﺪﻌﺘﻣ ﻲﻫﺎﮕﺸﻳﺎﻣزآ
ﺖﺳا ﻪﺘﻓﺮﮔ .
يﺮﺑ ] 8 [ دراﮋﺳور ، ]
9 [ ارﻮﻣﻮﺳﺎﻳ ، ]
10 [ ﻒﻟﺎﻜﭽﻣ ،
] 11 [ ﻮﺗﻮﻣﺎﻛا و ]
12 [ ﺸﻳﺎﻣزآ ﻲﻳﺎﻬ و ﺪﻧداد مﺎﺠﻧا ﻪﻨﻴﻣز ﻦﻳا رد
ﺪﻧداد نﺎﺸﻧ ﺎﻫﺮﻴﺗوﺮﻜﻴﻣ رد ار ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا ﺖﻴﻤﻫا .
لود ﻦﻴﻨﭽﻤﻫ
] 13 [ وز و ] 14 [ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﺮﺛا ﺰﻴﻧ يﺎﻬﭘﻮﻜﺳﺮﻳژ ﺮﺑ
ﺪﻧدﺮﻛ ﻲﺳرﺮﺑ ﻲﻜﻴﻧﺎﻜﻴﻣ وﺮﺘﻜﻟا وﺮﻜﻴﻣ .
شور ود ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ دراد دﻮﺟو :
ﻲﺴﻧﺎﻛﺮﻓ شور و يژﺮﻧا شور .
يژﺮﻧا ،يژﺮﻧا شور رد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ،هﺪﺷ هﺮﻴﺧذ ﻢﻤﻳﺰﻛﺎﻣ يژﺮﻧا و ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﻒﻠﺗ
ﻲﻣ ﺪﻧﻮﺷ ) ﻪﺑ لﺎﺜﻣ ياﺮﺑ ]
15 - 18 [ عﻮﺟر دﻮﺷ ( رد و شور
ﻮﻫﻮﻣ و ﻲﻘﻴﻘﺣ ﺖﻤﺴﻗ ،ﻲﺴﻧﺎﻛﺮﻓ ﻲﻣ
ﻲﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﺲﻧﺎﻛﺮﻓ ﺪﻧﻮﺷ
.
) ﻪﺑ لﺎﺜﻣ ياﺮﺑ ]
2
، 3
، 19
، 20 [ عﻮﺟر دﻮﺷ ( ﺎﻬﺷور ﻦﻳا زا ماﺪﻛ ﺮﻫ
ار ﻲﻣ داد مﺎﺠﻧا ﺎﻬﻧآ زا ﻲﺒﻴﻛﺮﺗ ﺎﻳ ﻲﻠﻴﻠﺤﺗ ﺎﻳ يدﺪﻋ هﻮﻴﺷ ﻪﺑ ناﻮﺗ .
ﻲﻜﻴﻧﺎﻜﻣوﺮﺘﻜﻟا وﺮﻜﻴﻣ تاودا زا يرﺎﻴﺴﺑ رد تﺎﺤﻔﺻ وﺮﻜﻴﻣ ﺎﻫﺮﻴﺷ ،ﺎﻫﺮﮕﺴﺣ ،ﺎﻫﺮﮔﺪﻳﺪﺸﺗ ﺮﻴﻈﻧ ﻪﻨﻳآ وﺮﻜﻴﻣ ،
ﻮﺑرﻮﺗ وﺮﻜﻴﻣ ،ﺎﻫ
ﺎﻫرﻮﺗاﺮﻧژ ]
21 [ ﻲﻣ راﺮﻗ هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ ﺎﻬﭙﻤﭘوﺮﻜﻴﻣ و ﻪﻛ ﺪﻧﺮﻴﮔ
ﺰﻴﻧ ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ﺎﻬﭙﻤﭘوﺮﻜﻴﻣ ﻞﺜﻣ ﺎﻬﻧآ زا ﻲﺧﺮﺑ ﺪﻨﺘﺴﻫ ] 2 .[
ﻻﺎﺑ حﻮﺿو و ﺖﻴﺳﺎﺴﺣ ﺎﻫﺮﮔﺪﻳﺪﺸﺗ رد ﻲﻓﺮﻃ زا
ﺪﺷﺎﺑ ﻢﻛ ﺪﻳﺎﺑ ﺎﻬﻧآ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺖﺳا زﺎﻴﻧ درﻮﻣ .
ﻲﻠﻛ رﻮﻄﺑ
ﻢﻴﺳﺎﻨﺸﺑ ﻲﺘﺳرد ﻪﺑ ار تاودا ﻦﻳا دﺮﻜﻠﻤﻋ ﻪﻜﻨﻳا ياﺮﺑ ﺪﻳﺎﺑ
ﻢﻴﻧاﺪﺑ
ﺗ و ﻪﻧﻮﮕﭼ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻦﻳا ﻪﻛ ﺎﻳ ﺶﻳاﺰﻓا ﻲﻳﺎﻫﺮﺘﻣارﺎﭘ ﻪﭼ ﺮﻴﺛﺄﺗ ﺖﺤ
ﺶﻫﺎﻛ ﻲﻣ ﺪﺑﺎﻳ .
ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﺖﺤﺗ يﻮﻘﻠﺣ ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ،ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﻳا رد ﺖﺳا هﺪﺷ لﺪﻣ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻄﺧ يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ .
ياﺮﺑ
رادﺮﻴﮔ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ عﻮﻧ ود ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﻦﻳا -
رادﺮﻴﮔ و رادﺮﻴﮔ -
ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺴﻳﺎﻘﻣ و ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد دازآ .
،ﺎﻬﺴﻧﺎﻛﺮﻓ ﺐﻳاﺮﺿ
دﻮﻣ ﻞﻜﺷ و ﺖﻴﻔﻴﻛ دﻮﻣ ﺮﻫ رد يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ زا ﻚﻳﺮﻫ ياﺮﺑ ﺎﻫ
ﺖﺳا هﺪﺷ هداد نﺎﺸﻧ و ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ .
ﻪﻟدﺎﻌﻣ رﻮﻈﻨﻣ ﻦﻳا ياﺮﺑ
ﺮﻈﻧ رد ﻲﻄﺧﺮﻴﻏ ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ﻢﻫ و ﻲﻄﺧ ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ﻢﻫ ،ﻲﺴﻧﺎﻛﺮﻓ رد ،دﻮﺧ صاﻮﺧ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ نﻮﻜﻴﻠﻴﺳ ﻪﻛ ﺪﺷ مﻮﻠﻌﻣ و ﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ دراد راﺮﻗ ﻲﻄﺧ دوﺪﺤﻣ .
ﻣ زا ﻪﻣادا رد ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ﻲﺴﻧﺎﻛﺮﻓ ﻪﻟدﺎﻌ
ﺪﺷ هدﺎﻔﺘﺳا هﺪﺷ ﻲﻄﺧ .
ياﺮﺑ ﻲﻧاﺮﺤﺑ ﺖﻣﺎﺨﺿ و عﺎﻌﺷ
هﺮﻳاد ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ رد يا
] 3 [ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻲﺳرﺮﺑ .
ﻟﺎﻘﻣ رد ﺔ ﺮﺿﺎﺣ ،
يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ عﻮﻧ ﺮﻴﺛﺄﺗ و ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﺮﺛا درﻮﻣ ﺰﻴﻧ
ﻲﺳرﺮﺑ ﺘﻓﺮﮔ راﺮﻗ ﺖﺳا ﻪ .
2 - ﻲﻠﺻا تﻻدﺎﻌﻣ
ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﺖﻣﺎﺨﺿ ﻪﺑ يا
ﻲﻠﺧاد عﺎﻌﺷ ،h ﻲﺟرﺎﺧ عﺎﻌﺷ و a
ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد b )
ﻞﻜﺷ 1 .(
تﺎﺼﺘﺨﻣ ﻢﺘﺴﻴﺳ أﺪﺒﻣ
ﻪﻧاﻮﺘﺳا يﺎﻫرﻮﺤﻣ و ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﺰﻛﺮﻣ رد يا ( , )r ϕ
رد ار
و هدﺮﻛ ﻒﻳﺮﻌﺗ ﻲﺜﻨﺧ ﻪﺤﻔﺻ ﻪﺤﻔﺻ ﻦﻳا ﺮﺑ دﻮﻤﻋ رﻮﺤﻣ z
ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ ) . , ,
(r t
w ϕ
) و , , ,
(r z t
T ϕ
ﻪﺑ ار ﻪﺑ ﺐﻴﺗﺮﺗ ناﻮﻨﻋ
ﺑﺎﺟ ﻲﻣ ﻒﻳﺮﻌﺗ ﺎﻣد ﻊﻳزﻮﺗ و ﻪﺤﻔﺻ ﻲﺒﻧﺎﺟ ﻲﻳﺎﺠ ﻢﻴﻨﻛ
.
،ﺖﺑﺎﺛ ژﺎﺘﻟو زا ﻞﻜﺸﺘﻣ ﻲﻜﻳﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ Vp
و
،بوﺎﻨﺘﻣ ژﺎﺘﻟو ( )
دراد راﺮﻗv t .
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
ﻞﻜﺷ 1 هﺮﻳاد جﺎﺗ ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﻪﻧاﻮﺘﺳا تﺎﺼﺘﺨﻣ رد ،يا
يا
ﻲﻳﺎﺠﺑﺎﺟ ضﺮﻓ ﺎﺑ ﻪﺤﻔﺻ يرﻮﺌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا و ﻚﭼﻮﻛ يﺎﻫ
ﻒﻬﺷﺮﻴﻛ - رﺎﺑ ﺖﺤﺗ ار ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﻲﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻟدﺎﻌﻣ ،وﻻ
هاﺮﻤﻫ ﻪﺑ ﻲﻜﻴﺗﺎﺘﺳاوﺮﺘﻜﻟا ﻲﻣ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﺮﺛا
ﺖﺷﻮﻧ ناﻮﺗ ]
2،
22 .[
( )
( )
2 2
4 (1 ) 2
( ) 2
p
D w D T MT hw tt
V v t d w
ν α ρ
ε
∇ + + ∇ +
= +
− (1)
نآ رد ﻪﻛ ε
ρ ν α , , ,
, T
و t ﻪﺑ d ﻚﻳﺮﺘﻜﻟا يد ﺖﺑﺎﺛ ﺐﻴﺗﺮﺗ
،ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ طﺎﺴﺒﻧا ﺐﻳﺮﺿ ،ﻦﺳاﻮﭘ ﺐﻳﺮﺿ ،ﻲﻟﺎﮕﭼ ،ﻪﺤﻔﺻ ود ﻦﻴﺑ ﻪﺤﻔﺻ ود ﻦﻴﺑ ﻪﻴﻟوا ﻲﺿﺮﻋ ﻪﻠﺻﺎﻓ و نﺎﻣز ﻲﻣ
ﺪﻨﺷﺎﺑ .
ﻦ ﻴﻨﭽﻤﻫ
) 1 (
12 2
3 −ν
=Eh
،ﺖﻴﺒﻠﺻ لوﺪﻣ D
لوﺪﻣ E
،ﮓﻧﺎﻳ و
∇2
ﻪﻧاﻮﺘﺳا تﺎﺼﺘﺨﻣ رد سﻼﭘﻻ رﻮﺗاﺮﭘا ﺖﺳا يا
. رد
ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ﺰﻴﻧ ﺎﺠﻨﻳا ﻒﻳﺮﻌﺗ
T0
T−
= نآ رد ﻪﻛ ،θ
T0
يﺎﻣد
ﺶﻨﺗ - ﻲﻣ لدﺎﻌﺗ ﺖﻟﺎﺣ رد دازآ ترﻮﺻ ﻪﺑ ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ روﺎﺘﺸﮔ ،ﺪﺷﺎﺑ
ﻲﻣ ﻒﻳﺮﻌﺗ ﺮﻳز دﻮﺷ
:
/ 2
12 / 2
3 hh
MT zdz
h − θ
= ∫ (2)
هﺪﺷ ﻞﭘﻮﻛ ﻪﻠﻤﺟ ﻞﻣﺎﺷ ﻪﻛ ار ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ ﺖﻳاﺪﻫ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻲﻜﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻣ
ﻲﻣ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ناﻮﺗ ﺔﻄﺑار
) 3 ( ﺖﺷﻮﻧ .
2 z22 cv t T z0 t ( 2w)
θ θ
κ θ κ∇ + ∂ =ρ ∂ −β ∂ ∇
∂ ∂
∂ (3)
نآ رد ﻪﻛ cv
و κ ﺖﺑﺎﺛ ﻢﺠﺣ هﮋﻳو ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ ﺖﺑﺎﺛ ﺐﻴﺗﺮﺗ ﻪﺑ
و هدﻮﺑ ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ ﺖﻳاﺪﻫ ﺐﻳﺮﺿ و (1 2 )
E T
β = α − υ لوﺪﻣ
ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ . سﺎﻛور و ﺰﺘﻴﺸﻔﻴﻟ ضﺮﻓ زا لﺪﻣ ﻦﻳا رد
يﺎﺘﺳار رد ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ نﺎﻳداﺮﮔ ضﺮﻓ ﻦﻳا ﻖﺒﻃ ﺖﺳا هﺪﺷ هدﺎﻔﺘﺳا هﺪﻳدﺎﻧ ﺖﻣﺎﺨﺿ يﺎﺘﺳار رد ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ نﺎﻳداﺮﮔ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﻲﻋﺎﻌﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﻲﻣ دﻮﺷ ] 7 [،
ﻪﻠﻤﺟ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ κ θ∇2
ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد )
3 ( فﺬﺣ
ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺖﻳﺎﻬﻧ رد و هﺪﺷ )
3 ( ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ) 4 ( ﻲﻣ هدﺎﺳ دﻮﺷ . )
4
2 (
0 2
2 cv T z ( w)
t t
z
θ θ
κ ∂ =ρ ∂ −β ∂ ∇
∂ ∂
∂ﻲﻄﺧ ناﻮﺗﻲﻣ ار (1) ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺖﺳار فﺮﻃ ﻲﻜﻳﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ يزﺎﺳ
دﺮﻛ :
) 5
( )
(( )
2 2
2 2 3
( ) ( )
2
p p p
V v t V v t V d d w d w
ε + ε ε
= +
−
ﻪﻄﺑار يراﺬﮕﻳﺎﺟ ﺎﺑ )
5 ( رد ) 1 ( ﻢﻳراد :
) 6 (
4 2
2
2 3
(1 )
( )
T T tt
p p
D w D M hw
V v t V d d w
ν α ρ
ε ε
∇ + + ∇ +
= +
تﻻدﺎﻌﻣ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ )
4 ( و ) 6 ( ﻲﻄﺧ شﺎﻌﺗرا ﻲﻠﺻا تﻻدﺎﻌﻣ
ﻲﻣ ﻲﻜﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﺪﻨﺷﺎﺑ
.
،دراد ﺎﻣد ﻪﺑ ﻲﮕﺘﺴﺑ نﻮﻜﻴﻠﺳ ﻲﻳﺎﻣﺮﮔ و ﻲﻜﻴﺘﺳﻻا تﺎﻴﺻﻮﺼﺧ ﻢﻛ رﺎﻴﺴﺑ ﻲﻜﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ شﺎﻌﺗرا مﺎﮕﻨﻫ ﺎﻣد تاﺮﻴﻴﻐﺗ ﻲﻓﺮﻃ زا
ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ ) ﻦﻳﻮﻠﻛ ﻪﺟرد ﻚﻳ زا ﺮﺘﻤﻛ ] (
3 .[
ضﺮﻓ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ﻲﻣ
دﻮﺷ
مﺎﺠﻧا ﻲﺘﺑﺎﺛ يﺎﻣد رد تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻪﻛ ﻲﻣ
ًﻻﻮﻤﻌﻣ ﺎﻣد ﻦﻳا ﻪﻛ دﻮﺷ
T0
ﻲﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد دﻮﺷ
.
3 - ﻲﻠﺻا تﻻدﺎﻌﻣ ﻲﻠﻛ ﻞﺣ
ﻲﻠﺻا تﻻدﺎﻌﻣ )
4 ( و ) 6 ( تﺎﺷﺎﻌﺗرا ندﻮﺑ ﻚﻴﻧﻮﻣرﺎﻫ ضﺮﻓ ﺎﺑ ار
ﻲﻣ دﺮﻛ ﻞﺣ ناﻮﺗ .
ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ) , , (r t
w ϕ
و ) , , , (rϕzt ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ارθ
) 7 ( ﻲﻣ ﻢﻴﺴﻳﻮﻧ :
( )
1 0
( , , ) n m mn( ) i mnt m w r ϕ t =∑ ∑∞= ∞= R r e ω + ϕ
( )
1 0
( , , , )r z t n m mn( , )r z ei ωmnt mϕ θ ϕ =
∑ ∑
∞= ∞= Θ + (7)نآ رد ﻪﻛ ωmn
و ﺲﻧﺎﻛﺮﻓ
( ) im Rmn r e ϕ
و ( ) im
mn r e ϕ Θ
ﻪﺑ يﺎﻫﺪﻣ ﻞﻜﺷ ﺐﻴﺗﺮﺗ m
ﺎﻣد و ﻪﺤﻔﺻ ﻲﺷﺎﻌﺗرا ﻂﻠﺘﺨﻣ ما
ﻲﻣ ﺪﻨﺷﺎﺑ . يراﺬﮔدﺎﻤﻧ ﻦﻳا رد 0,1,2,...
m= و
1,2,3,...
n = هﺮﻳاد و ﻲﻋﺎﻌﺷ هﺮﮔ دﺪﻋ ﺮﮕﻧﺎﻴﺑ ﺐﻴﺗﺮﺗ ﻪﺑ يا
ﻲﻣ ﺪﻨﺷﺎﺑ
mn . ﻪﺑ نآ ﻲﻘﻴﻘﺣ ﺖﻤﺴﻗ ﻪﻛ ﺖﺳا ﻂﻠﺘﺨﻣ ﻲﺘﻴﻤﻛ ω
ﻮﻫﻮﻣ ﺖﻤﺴﻗ و ﻲﻜﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﮓﻨﻴﻠﭘﻮﻛ ﺮﺛا ﻲﻣ
ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻪﺑ نآ
ﻂﺒﺗﺮﻣ تﺎﺷﺎﻌﺗرا ﻲﻣ
دﻮﺷ .
يراﺬﮕﻳﺎﺟ ﺎﺑ )
7 ( رد ) 4 ( و ) 6 ( ﻢﻳراد :
2
*4 *2 2
(1 ) T 3p
mn T mn mn mn
D R D M h V R
d
ν α ρ ω ε
∇ + + ∇ − =
) 8 (
2 *2
2 0
mn i mn cv mn i mn T z Rmn
κ∂ Θz = ω ρ Θ − ω β ∇
∂ (9)
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
نآ رد ﻪﻛ :
) 10
2 2 (
*2
2 2
1 m
r r r r
∂ ∂
∇ = + −
∂ ∂
) 11 (
123 2 2
( , )
h Tmn h h mn
M r z zdz
=
∫
− Θﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ ياﺮﺑ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ )
9 ( زا ﺪﻨﺗرﺎﺒﻋ
0
=
∂ Θ
∂ mn z
2 رد z = ±h ،
اﺮﻳز ﻪﻳور رد ﻪﻟوﺰﻳا ﻪﺤﻔﺻوﺮﻜﻴﻣ ﻦﻴﻳﺎﭘ و ﻻﺎﺑ يﺎﻫ
ﻪﻳور ﻦﻳا زا ﻲﺗراﺮﺣ رﺎﺷ ﭻﻴﻫ و هﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ ﺎﻫ
ﻲﻤﻧ رﻮﺒﻋ ﺪﻨﻛ
،
ﻞﺣ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ )
9 ( ﻲﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﺮﻳز ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ﺪﻳآ
:
0 *2 sin( )
( , )
cos( 2)
v
T mnz
mn c mn
mn mn
r z R z N
N N h
β ρ
Θ = ∇ −
(12)
نآ رد ﻪﻛ :
) 13 ( (1 )
2
mn v mn
N i ω ρc
= − κ
i رﺬﺟ 1 - ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ .
mnT
ندﺮﺑ رﺎﻛ ﻪﺑ ﺎﺑ M )
12 ( رد ) 11 ( ﺖﺳﺪﺑ ﻲﻣ ﺪﻳآ :
) 14
*2 (
T T
mn mn mn
M =C ∇ R
نآ رد ﻪﻛ :
) 15
( ) (
0 1 ( )
Tmn mn
v
C T f
c
β ω
= ρ +
) 16
( )
2 (3 3
( ) 24 tan
2
N hmn
mn mn
mn
f N h
ω = N h −
mnT
و ﻲﻘﻴﻘﺣ ﺖﻤﺴﻗ ود ياراد ﻪﻛ ﺖﺳا ﻂﻠﺘﺨﻣ ﻲﺘﻴﻤﻛ C ﻮﻫﻮﻣ ﻲﻣ ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ .
ﺮﻴﻐﺘﻣ ξmn
ﺖﻟﻮﻬﺳ ياﺮﺑ هﺪﺷ ﻒﻳﺮﻌﺗ ﺮﻳز ترﻮﺻ ﻪﺑ
ﺖﺳا :
) 17 2 (
mn v mn
h ω ρc
ξ = κ
و ﻲﻣ ﻮﻫﻮﻣ و ﻲﻘﻴﻘﺣ ﺖﻤﺴﻗ ناﻮﺗ ﻲﻣ
دﺮﻛ اﺪﺟ ﺮﻳز ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ار
:
{ }
0
3
Re
sin sinh 1 6
cos cosh
TR T
mn mn
mn mn
v mn mn mn
C C
T c
β ξ ξ
ρ ξ ξ ξ
= =
+ −
+
(18)
{ }
0 63Im
sin sinh
cos cosh
TI T
mn mn
v mn
mn mn
mn mn mn
C C T
c β
ρ ξ
ξ ξ
ξ ξ ξ
= =
− +
+
(19)
ﺣ يراﺬﮕﻳﺎﺟ ﺎﺑ لﺎ )
14 ( رد ) 8 ( ﻢﻳراد :
) 20 (
2 2Rmn γmn4 Rmn 0
∇ ∇ − =
نآ رد ﻪﻛ : )
21 (
2 2 4 3
mn p mn
mn
h V
d Dω ρ ω ε
γ +
=
) 22
( )
((
1 1 ( ))
mn D mn
Dω =D + ∆ +f ω
) 23 (
(1 ) T 0
D v
T c ν α β
ρ
∆ = +
ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ )
20 ( ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﻳز ﻞﻜﺷ ﻪﺑ يﻮﻘﻠﺣ ﻪﺤﻔﺻ ياﺮﺑ
دﻮﺑ :
( ) 1 ( ) 2 ( )
( ) ( )
3 4
Rmn r C Jm mnr C Ym mnr C Im mnr C Km mnr
γ γ
γ γ
= + +
+ (24)
ﺐﻳاﺮﺿ نآ رد ﻪﻛ ( 1, 2,3, 4)
C jj = ﺎﺑ
يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ لﺎﻤﻋا
ﻲﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ ﺪﻨﻳآ
. يﻮﻘﻠﺣ ﻪﺤﻔﺻ ﻲﺷﺎﻌﺗرا ﺲﻧﺎﻛﺮﻓ ﻦﻴﻨﭽﻤﻫ
ار ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﺮﺛا ﺎﺑ هﺪﺷ ﻞﭘﻮﻛ ﻲﻣ
دﺮﻛ نﺎﻴﺑ ﺮﻳز ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ناﻮﺗ :
) 25
[ ]
2 (02 1 (1 ( )) p3
mn mn D mn
f V
hd
ω ω ω ε
= + ∆ + −ρ
نآ رد ﻪﻛ
mn
ω0
ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﺮﺛا نوﺪﺑ ﺲﻧﺎﻛﺮﻓ ﻲﻣ
ﺪﺷﺎﺑ .
) 26 (
0mn mn4 D
ω γ h
= ρ
ﻲﺴﻧﺎﻛﺮﻓ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ ياﺮﺑ شور ود )
25 ( ﺖﺳا هﺪﺷ هدﺎﻔﺘﺳا .
راﺪﻘﻣ ﻪﺑ ﻲﮕﺘﺴﺑ ﺎﻬﻠﺣ هار
∆D
دراد
، ﻚﭼﻮﻛ راﺪﻘﻣ ﻦﻳا ﻪﭽﻧﺎﻨﭼ
ﺪﺷﺎﺑ ﻲﻣ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ار نآ ناﻮﺗ
ωmn
ﻦﻳا ﺮﻴﻏ رد دﺮﻛ ﻲﻄﺧ
يدﺪﻋ ﻞﺣ يﺎﻬﺷور زا ﻲﻠﺻا يﺎﻬﻣﺮﺗ ﻦﺘﺷاد ﻪﮕﻧ ﺎﺑ ﺪﻳﺎﺑ ترﻮﺻ دﺮﻛ هدﺎﻔﺘﺳا .
3 - 1 - ﻲﻄﺧ نوﺪﺑ ﺲﻧﺎﻛﺮﻓ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يزﺎﺳ
ﻲﻣ لﺎﺣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ناﻮﺗ )
25 ( ﺐﺴﺣ ﺮﺑ ار
ξmn
ﺖﺷﻮﻧ
، ﻦﻳا ياﺮﺑ
ﻂﺑاور ﺪﻳﺎﺑ رﺎﻛ )
13 ( ، ) 16 ( و ) 17 ( رد ار ) 25 ( دﺮﻛ ﻦﻳﺰﮕﻳﺎﺟ :
4 3
1 2 3
sin sinh
cos cosh
sin sinh
cos cosh
mn mn
mn
mn mn
mn
mn mn
mn mn mn
B B B i
ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ ξ
−
= + + +
− +
+
(27)
نآ رد ﻪﻛ :
) 28 (
2
1 2
2
v
B h c κ ρ
=
) 29 (
2
2 2
2 0 0 3
p
mn mn D
B V
hd ω ω ε
= + ∆ −ρ
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
) 30 (
3 6 02mn D
B = ω ∆
ξmn
ﻚﻳ ﻲﻣ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ،ﺖﺳا ﻂﻠﺘﺨﻣ دﺪﻋ ﺖﺷﻮﻧ ناﻮﺗ
:
) 31 (
R I
mn mn i mn
ξ =ξ + ξ
ﺲﭙﺳ زا ندادراﺮﻗ ﺎﺑ )
31 ( رد ) 27 ( ﻲﻘﻴﻘﺣ ﺖﻤﺴﻗ ندﺮﻛ اﺪﺟ و
ﻲﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ود ،ﻲﻣﻮﻫﻮﻣ و ﺪﻳآ
:
) 32
1 1 2 2 3 R 2 I 1 6 (
mn mn
FT −F T =T −ξ T −ξ T T+
) 33
1 2 2 1 4 R 1 I 2 5 (
mn mn
FT +F T T= +ξ T −ξ T +T
1 ﻪﻛ و F F2
و
) 6 ,..., 2 , 1 (i= Ti
هﺪﺷ هدروآ ﻪﻤﻴﻤﺿ رد ﺪﻧا
. ﺎﺑ
ﻪﻄﺑار زا هدﺎﻔﺘﺳا )
17 ( تﻻدﺎﻌﻣ ) 32 ( و ) 33 ( و هﺪﺷ ﻞﺣ
ωmn
ﻲﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ﺲﭙﺳ و ﺪﻨﻳآ
.
) 34 (
1 Im( )
2 Re( mn)
Q mn
ωω
− =
3 - 2 - ﻲﻄﺧ شور زا ﺲﻧﺎﻛﺮﻓ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣ يزﺎﺳ
D ﺮﮔا ﻪﻟدﺎﻌﻣ ،دﻮﺷ ﻚﭼﻮﻛ ∆ )
25 ( ار ﻲﻣ ﺎﺑ ناﻮﺗ ﻲﻄﺧ يزﺎﺳ
دﺮﻛ هدﺎﺳ .
و لوا يﺎﻬﻣﺮﺗ ﻦﺘﺷاد ﻪﮕﻧ و رﻮﻠﻴﺗ ﻂﺴﺑ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ
ﻞﻳﺪﺒﺗ ﻲﻄﺧ ﻪﺑ ﻲﻟﺎﻜﻳدار ﻞﻜﺷ زا ﻪﻟدﺎﻌﻣ مود ﻲﻣ
دﻮﺷ .
( )
2 2
0 0
02 3 2
02 3
1 ( )
2
p mn D mn
mn mn
p mn
V f
hd V
hd
ε ω ω
ω ω
ρ ε
ω ρ
∆ +
= − +
−
) 35 ( رد ﻮﻫﻮﻣ و ﻲﻘﻴﻘﺣ يﺎﻬﺘﻤﺴﻗ ﺎﺠﻨﻳا
mnﻲﻣ اﺪﺟω ﻲﻣ ﺪﻧﻮﺷ .
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
02 3
02 2 3
02 3
Re
sin sinh
1 6
cos cosh
2
p
mn mn
mn mn
mn D
mn mn
p mn mn
V hd
V hd
ω ω ε
ρ
γ γ
ω
γ γ
ε γ
ω ρ
= − +
Ξ − Ξ
∆ + Ξ Ξ + Ξ
−
) 36 (
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
02 2 3
02 3
Im
sin sinh
3
cos cosh
mn
mn mn
mn D
mn mn mn
p mn mn
V hd ω
γ γ
ω γ
γ γ
ε γ
ω ρ
=
Ξ + Ξ
∆ Ξ Ξ − Ξ + Ξ
−
) 37 ( نآ رد ﻪﻛ :
) 38 ( 2 4
cv D
h h
ρ κ ρ Ξ =
ار ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﺖﻴﻔﻴﻛ ﺐﻳﺮﺿ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ﻲﻣ
ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ناﻮﺗ
ﻪﻄﺑار ) 39 ( ﺖﺷﻮﻧ :
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
3 1
2
4 4
3 3
sin sinh
3
cos cosh
2
sin sinh
1 6
2 cos cosh
mn mn
mn D mn
mn mn
mn
p D mn mn
mn mn
mn mn
mn
D Q h
V D
D
h hd h
γ γ
γ γ
γ γ
ρ γ
ε γ γ
γ γ
ρ ρ ρ γ γ γ
−
Ξ + Ξ
∆ Ξ Ξ − Ξ + Ξ
= − + ∆ + Ξ − Ξ
Ξ Ξ + Ξ
) 39 ( ﻞﻜﺷ 2 ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ تاﺮﻴﻴﻐﺗ
∆D
و
نﺎﺸﻧ ار ﻲﻜﻳﺮﺘﻜﻟا رﺎﺑ نوﺪﺑ ﻲﻣ
ﺪﻫد . لوا دﻮﻣ سﺎﺳاﺮﺑ ﻞﻜﺷ ﻦﻳا
ﻂﻳاﺮﺷ رد رادﺮﻴﮔ يزﺮﻣ
- ﺖﺳا هﺪﺷ ﻢﺳر رادﺮﻴﮔ .
ﻦﻳا سﺎﺳا ﺮﺑ
ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ و ﻞﻜﺷ ياﺮﺑ ﻪﻛ ﻦﻳا
راﺪﻘﻣ نﻮﻜﻴﻠﻴﺳ
∆D
ﻚﭼﻮﻛ رﺎﻴﺴﺑ
ﺖﺳا ) 10 4
2760 .
4 × −
=
∆D يﺎﻣد رد
K
0=293
(T
ﻲﻣ ، ناﻮﺗ
ﻲﻄﺧ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﻪﻛ ﺖﻓﺮﮔ ﻪﺠﻴﺘﻧ ﻲﻘﻄﻨﻣ نﻮﻜﻴﻠﻴﺳ ياﺮﺑ يزﺎﺳ
دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ .
4 - ﻌﻟﺎﻄﻣ ﺔ يدرﻮﻣ
ﻲﻠﺧاد ﻪﺒﻟ ﺎﻬﻧآ ود ﺮﻫ رد ﻪﻛ هﺪﺷ ﻲﺳرﺮﺑ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ درﻮﻣ ود ﺖﺳا رادﺮﻴﮔ .
رادﺮﻴﮔ ﺰﻴﻧ ﻲﻧوﺮﻴﺑ ﻪﺒﻟ ﻲﻟوا رد ﻲﻣ
ار نآ ﻪﻛ ﺪﺷﺎﺑ
رادﺮﻴﮔ - رادﺮﻴﮔ ﻲﻣ ود رد و ﻢﻴﻣﺎﻧ ﻲﻣ
دازآ ﻲﻧوﺮﻴﺑ ﻪﺒﻟ ﻲﻣ
ﻪﻛ ﺪﺷﺎﺑ
رادﺮﻴﮔ نآ ﻪﺑ -
دازآ ﻲﻣ ﻢﻴﻳﻮﮔ .
4 - 1 - رادﺮﻴﮔ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ -
رادﺮﻴﮔ
ﻪﺒﻟ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺪﻨﺘﺴﻫ رادﺮﻴﮔ ﻲﻧورد و ﻲﻧوﺮﻴﺑ يﺎﻫ
ﻲﻣ ﺮﻈﻧ رد ﺎﻬﻧآ ياﺮﺑ ار ﺮﻳز ﻢﻳﺮﻴﮔ
.
) 40
0, , 0 (
,
wr r a b w r a b
∂∂ = = = =
ندﺮﻛ ﻦﻳﺰﮕﻳﺎﺟ ﺎﺑ )
7 ( رد ) 40 ( ﻢﻳراد :
) 41 (
0, , 0
,
dRmndr r a b = Rmn r a b= =
=
ﻞﻜﺷ 2 ﻚﻴﺘﺳﻻاﻮﻣﺮﺗ ﻲﻳاﺮﻴﻣ ﻲﻄﺧﺮﻴﻏ و ﻲﻄﺧ ﻞﺣ ﻪﺴﻳﺎﻘﻣ
ﻲﻄﺧ ﺮﻴﻏ ﻲﻄﺧ
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
ﻲﻨﻳﺰﮕﻳﺎﺟ ﺎﺑ )
24 ( يﺎﻫﺮﺘﻣارﺎﭘ ﻒﻳﺮﻌﺗ ﺎﺑ و قﻮﻓ ﻂﻳاﺮﺷ رد )
42 (
و ) 43 ( رد ، تﻻدﺎﻌﻣ ﺪﻧا هﺪﺷ هدروآ ﺮﻳز )
44 - 47 ( ﻂﻳاﺮﺷ ياﺮﺑ
رادﺮﻴﮔ يزﺮﻣ -
ﻲﻣ ﺖﺳﺪﺑ رادﺮﻴﮔ ﺪﻨﻳآ
.
) 42 a (
mn γmn Γ =
) 43 b (
s =a
1 2 3
4
( ) ( ) ( )
( ) 0
m mn m mn m mn
m mn
C J C Y C I
C K
Γ + Γ + Γ +
Γ = (44)
1 1
2 1
3 1
4 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
mn
mn
mn
mn
m mn m m mn mn
m mn m m mn mn
m mn m m mn mn
m mn m m mn mn
C J J
C Y Y
C I I
C K K
γ γ γ
γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
− Γ + Γ +
− Γ + Γ +
Γ + Γ +
− Γ + Γ =
(45)
1 2 3
4
( ) ( ) ( )
( ) 0
m mn m mn m mn
m mn
C J s C Y s C I s C K s
Γ + Γ + Γ +
Γ = (46)
1 1
2 1
3 1
4 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
mn
mn
mn
mn
m mn sm m mn mn
m mn sm m mn mn
m mn sm m mn mn
m mn sm m mn mn
C J s J s
C Y s Y s
C I s I s
C K s K s
γ γ γ
γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
+ Γ
− Γ + Γ +
− Γ + Γ +
Γ + Γ +
− Γ + Γ =
) 47 ( ﻢﻳراد ،ﺮﻔﺻ ﺮﻴﻏ باﻮﺟ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ :
) 48 (
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
0
A A A A
A A A A
A A A A
A A A A
=
ﺖﺳا هﺪﺷ هدروآ ﺖﺳﻮﻴﭘ رد نآ ﺐﻳاﺮﺿ ﻪﻛ .
ضﺮﻓ ﺎﺑ لﺎﺣ 2
s =
mn ، زا Γ ) 48 ( ﻪﻛ ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ
ﺮﻳدﺎﻘﻣ ﻦﻳا لوﺪﺟ رد
1 جرد هﺪﺷ ﺪﻧا ﺎﺑ ﻂﺒﺗﺮﻣ يﺎﻫﺪﻣ ﻞﻜﺷ و
ﻞﻜﺷ رد ﺰﻴﻧ ﺎﻬﻧآ 3
هﺪﺷ هدروآ ﺪﻧا
.
4 - 2 - رادﺮﻴﮔ يزﺮﻣ طﺮﺷ -
دازآ
ﻲﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ ﺮﻳز ﻞﻜﺷ ﻪﺑ يزﺮﻣ طﺮﺷ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﻳا رد دﻮﺷ
:
) 49 ( 0
w(a, ,t) =ϕ
) 50 ( ( , , ) 0
r a
w r t r
ϕ
=
∂ =
∂ لوﺪﺟ
1 ﺮﻳدﺎﻘﻣ
Γmn
رادﺮﻴﮔ يزﺮﻣ طﺮﺷ ياﺮﺑ -
و رادﺮﻴﮔ 2 s =
m
1
Γm 2
Γm
0 7236
/ 4 8477
/ 7
1 7495
/ 4 8699
/ 7
) 0,1
( (0,2)
) 1,1
( (1,2)
ﻞﻜﺷ 3 يﺎﻫﺪﻣ ﻞﻜﺷ (m,n)
رادﺮﻴﮔ ﻂﻳاﺮﺷ رد -
و رادﺮﻴﮔ 2 s =
( )
2 2
2 2 2
1 1 0
1
T r b
w w w M
r r D
r υ r
ϕ υ =
∂ + ∂ + ∂ + =
∂ ∂ ∂ −
(51
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 1
1 0
1
T r b
w w
r w r r r r
M
D r
υ
ϕ ϕ ϕ
υ =
∂ ∇ + − ∂ ∂ − ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ =
− ∂ (52)
ﺎﺑ يراﺬﮕﻳﺎﺟ )
7 ( و ) 14 ( قﻮﻓ تﻻدﺎﻌﻣ رد
، ﺮﻳز تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺑ
ﺖﺳد ﻲﻣ ﺪﻨﻳآ :
) 53 ( ( ) 0
Rmn a =
) 54 ( ) (
mn 0
r a
dR r dr = =
2 2
2 2
1 1
(1 ) (1 )
(1 ) 0
TR TR
mn mn mn mn
TR
mn mn
r b
C d R C dR
D dr D r dr
C m R
D r
ν ν ν
ν ν =
+ + + −
− −
+ =
−
(55)
3 2
3 2
2 2
2
2 2
3
1 1 1
(1 ) (1 )
1 (2 ) ( 1) 1
(1 )
(3 ) 2 0
(1 )
TR TR
mn mn mn mn
mnTR mn
TRmn mn r b
C d R C d R
D dr D r dr
C dR
m m
D r dr
C R
m m
D r
ν ν
ν ν
ν ν =
+ + + −
− −
+ − + + +
−
− + =
−
(56)
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
