The beta generalized Rayleigh distribution and its application

(1)

هدکشناد ی مولع

یشزومآ هوگر هادبرراک و رامآ

ىبیبپ

ِخرز تفبیرز یازث ِهبً

سضرا یسبٌضربک ی

ِتضر رز یضبیر ربهآ صیازگ ربهآ ی

هتفای هعسوت یلیار عیزوت نآ دربراک و اتب ی

:زگطٍّژپ

ییافص وزرآ

:بوٌّار زبتسا

یجنگ دوعسه رتکد

:رٍبطه زبتسا

یرارق هوطاف

7937زیت

(2)

ىاٌَػ

ٍ :رٍآسیسپ مبً

هتفای هعسوت یلیار عیزوت ییافص وزرآ /ىآ درتراک و اتت ی

بتسا ز بوٌّار : یدٌگ زَؼسه زتکز

زبتسا :رٍبطه رازل ِوعبف نًبذ

ی

دیربت :عبفز /42

/42 79

زاسؼت حفغ 215 :تب

.ص

ىبیبپ ُربوض :ِهبً

اپ هراوش / هورگ مان ی

ىا ههان

:هدیکچ ىبیبپ يیا رز

ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت یٍر ،یلغا ثحث ،ِهبً

ِئارا ٍ بتث ی سا یذزث ی

ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت .زَث سّاَذ ىآ ظاَذ یربهآ لیلحت یازث یلک ةَچربچ بتث ی

ُزاز یه نّازف ار تجثه یبّ

لسه ِث تجسً زتْث شسازث کی ىآ ززثربک ِک ،زرٍآ یبّ

ُزاز لیلحت رز زگیز یربهآ یه ِئارا ار زوػ لَع یبّ

ٍ یؼودت غیسَت غثبت ظسث .سٌک

تفبیّر ىآزث ٍُلاػ ٍ رٍبتطگ سلَه غثبت ٍ بّرٍبتطگ سا ُزبفتسا بث لبوتحا یلبگچ غثبت

ِلیسٍ ِث بّزتهاربپ یزتبه ٍ نویشکبه ییبوٌتسرز شٍر ی

یه تاسّبطه علاعا س سًٌاَت

ىبیبپ يیا رز یسرزث ٍ ثحث زرَه .سًزیگ رازل ِهبً

هژاو یدیلک یاه غثبت ،رٍبتطگ سلَه غثبت ،بّرٍبتطگ ،ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت :

نویشکبه ییبوٌتسرز

(3)

أ ةلاطه تسرهف

تسرهف لودج

اه ...

...

ج

هف تسر لکش اه ...

...

د

پ ی راتفگش ...

...

ه

-1 راعت ی ف و هافه ی ن تاهدقه ی ...

...

7

-7 -7

ِهسمه ...

...

7

-7 -2

ّبفه ی ن لبوتحا ...

...

7

-7 -9 ً ی

َک یی شسازث ...

...

71

-7 -1 ذزث ی سَت ی غ بّ

ی ربهآ ی ...

Error! Bookmark not defined....

-7 -5

ّبفه ی ن ر ی ضب ی ...

...

Error! Bookmark not defined.

-2 زوت ی ع ار ی ل ی هعسوت ی هتفا ...

ERROR!BOOKMARK NOT DEFINED...

-2 -7

ِهسمه ...

...

Error! Bookmark not defined...

-2 -2 سَت ی غ ار یل ی

ِؼسَت ی

ِتفب ...

Error! Bookmark not defined..

-2 -9 بّرٍبتطگ ...

...

-2 -1 زرٍآزث بوٌتسرز یی شکبه ی نو ...

-3 زوت ی ع ار ی ل ی هعسوت ی هتفا ی اتت ...

ERROR!BOOKMARK NOT DEFINED.

-9 -7

ِهسمه ...

...

-9 -2 سَت ی غ ار یل ی

ِؼسَت ی

ِتفب ی بتث ...

-9 -9 بّرٍبتطگ

ٍ غثبت سلَه رٍبتطگ ...

-9 -9 -7 بّرٍبتطگ ...

...

-9 -9 -2 غثبت سلَه رٍبتطگ ...

Error! Bookmark not defined....

-9 -1 ؼه ی بّرب ی ز ی زگ ...

...

-9 -1 -7 ه ی گًب ی ي فازحًا بّ

...

Error! Bookmark not defined..

-9 -1 -2 نذ بّ

ی

ًٍزفًَث ی

ٍ شًرَل ...

-9 -1 -9 پٍزتًآ ی

ًر ی ...

...

-9 -1 -1 لثبل ی ت زبوتػا ...

...

(4)

ب

-9 -5

ُربهآ بّ

ی تزت ی ج ی

ٍ -L بّرٍبتطگ ...

-9 -6 زرٍآزث بوٌتسرز یی شکبه ی نو ...

-4 اهدرتراک ی

زوت ی ع ار ی ل ی هعسوت ی هتفا ی اتت ...

E^RROR!BOOKMARK NOT DEFINED.

-1 -7

ِهسمه ...

...

-1 -2 ززثربک سَت ی غ ار یل ی

ِؼسَت ی

ِتفب ی بتث ازث ی

ُزاز بّ

ی حغس صٌت ...

Error!

Bookmark not defined.

-1 -2 ززثربک سَت ی غ ار یل ی

ِؼسَت ی

ِتفب ی بتث ازث ی

ُزاز بّ

ی ززثاَّ

Error! Bookmark ..

not defined.

-1 -1 تً

ی

ِد گ ی ز ی ...

...

عتانه ...

...

پ ی تسو فلا ...

...

E^RROR!BOOKMARK NOT DEFINED.

پ ی تسو ب ...

...

هژاو ههان سراف ی هت لگنا ی س ی ...

ERROR!BOOKMARK NOT DEFINED....

(5)

ج لودج تسرهف اه

1لٍسخ 7- - بّزرٍآزث یی سا بّزتهاربپ ی لسه ازث ی

ُزاز بّ

ی حغس صٌت

ٍ زبمه ی ز AIC AICC،

ٍ ...BIC ...

...

ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

1لٍسخ 2- -

ُربهآ بّ

ی ذ ی

ٍز

ٍ فٍزگَولَک -

وسا ی فًَز ازث ی

ُزاز بّ

ی حغس ERROR! صٌت

BOOKMARK NOT DEFINED.

1لٍسخ 9- - بّزٍآزث یی سا بّزتهاربپ ی لسه ازث ی

ُزاز بّ

ی ززثاَّ

ٍ زبمه ی AICز ، وAICC

...BIC ...

...

1لٍسخ 1- -

ُربهآ بّ

ی فٍزگَولَک -

وسا ی فًَز

ٍ ذ ی

ٍز ازث ی

ُزاز بّ

ی ززثاَّ

...

ERROR!

(6)

د لکش تسرهف اه

3 لکض 1- -

ِتفبی ِؼسَت یلیار یلبگچ غثبت رازَوً

بتث ی ...

ERROR! BOOKMARK

NOT DEFINED.

3لکض 2- -

ِتفبی ِؼسَت یلیار زغذ خزً غثبت رازَوً

زتهاربپ زیزبمه یذزث یازث بتث ی

...

3لکض 3- -

ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت یگلَچ رازَوً

سا یؼثبت ىاٌَػ ِث بتث ی زیزبمه یازث

فلتره .

...

3 لکض 4- -

ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت یگلَچ رازَوً

سا یؼثبت ىاٌَػ ِث بتث ی زیزبمه یازث𝑎

فلتره ...𝑏

...

4 لکض 1- -

ُزاز یازث ىَهسآ لک ىبهس رازَوً

.صٌت حغس یبّ

...

..

ERROR!

4 لکض 2- -

ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت یازث بمث غثبت زرٍآزث رازَوً

لسه زیس سا یذزث یازث ٍ بتث ی -

ُزاز یازث یثزدت یبمث غثبت ٍ بّ

...

ERROR! BOOKMARK NOT

DEFINED.

4 لکض 3- - یلبگچ رازَوً

لسه سا ییبّ

ُزاز یازث بّ

...

ERROR!

4 لکض 4- -

ُزاز یازث ىَهسآ لک ىبهس رازَوً

ززثاَّ یبّ

...

ERROR! BOOKMARK

NOT DEFINED.

4 لکض 5- -

ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت یازث بمث غثبت زرٍآزث رازَوً

لسه زیس سا یذزث یازث ٍ بتث ی -

ُزاز یازث یثزدت یبمث غثبت ٍ بّ

.ززثاَّ یبّ

...

ERROR! BOOKMARK NOT

DEFINED.

4 لکض 6- - یلبگچ رازَوً

لسه سا ییبّ

ُزاز یازث بّ

ززثاَّ یبّ

...

ERROR! ....

(7)

ه

راتفگشیپ لسه رز یوْه صمً یلیار غیسَت

ُسیسپ زوػ لَع یسٌث یه بفیا یفزبػت یبّ

سٌک رز ٍ

ِهبًزث سا یربیسث یه حزغه بمث لیلحت ٍ زوػ ىَهسآ ،زبوتػا تیلثبل لهبض یززثربک یبّ

-

.زَض نیوؼت سا یذزث ازٍ تلابمه رز یلیار غیسَت یبّ

(1

ىبٌطیزکلابث ،)1976 ٍ 2

بتَکلازچَک (3

سلزس ،)1985 تگزبپ ٍ 4

(5

ٍسًبک ،)2001 تلر ٍ 6

(7

صٌه ٍ )2005 ٍ 8

یسلبذ (9

ِتفزگ رازل یسرزث زرَه )2008 یبست ًازیذا .سًا

ٍٍ ٍ10

(11

ِلئسه )2006 کی ی

ًَِوً حزع یضزیذپ یزیگ

ُسض ُسیزث زوػ ىَهسآ یازث12

ُزاز ِک یغیازض رز ،ار13

بّ

ی

یه تیؼجت ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت سا زوػ لَع یسرزث ،سٌک

ُززک .سًا بیبپ يیا رز ى

،ِهبً

ٍزیززک ِلبمه سبسازث ِک

ٌَیتسیزک،14

َتَویضبّ ،15

بگترٍا ٍ 16

(17

)2013 ُسض يیٍست

ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت یفزؼه فسّ ،تسا

ِئارا ٍ بتث ی ٍ یربهآ ظاَذ سا یذزث ی

یه ىآ یبّززثربک .سضبث

ىبیبپ يیا یه لػف ربْچ لهبض ِهبً

لهبض یلک نیّبفه ٍ فیربؼت لٍا لػف رز :سضبث

لػف رز ِک سبیً زرَه یبیبضل یه ىبیث ،سض سّاَذ ُزبفتسا ُسٌیآ یبّ

ززگ مٍز لػف رز .ز

1Voda

2Balakrishnan 3Kocherlakota 4Surles 5 Padgett 6Kundu 7Raqab 8Manesh 9Khaledi 10Tsai 11Wu

12acceptance sampling plan 13Truncated life test 14 Cordeiro

15 Cristino 16 Hashimoto 17 Ortega

(8)

و

یه یفزؼه ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت

ِتفبی ِؼسَت یلیار غیسَت مَس لػف رز .زَض ٍ بتث ی

ژیٍ

یگ .تسا ُسهآ تسسث ىآ یربهآ یبّ

یلیار غیسَت سا ییبّززثربک مربْچ لػف رز

ِتفبی ِؼسَت

ُزاز سا ِػَوده ٍز سا ُزبفتسا بث ار بتث ی نسر یازث .ززک نیّاَذ ىبیث بّ

رازَوً

راشفا مزً سا تبجسبحه مبدًا ٍ بّ

ىبیبپ رز ُزبفتسا حزض ِک تسا ُسض ُزبفتسا R

.تسا تسَیپ

(9)

-1 یتاهدقه نیهافه و فیراعت

-1 -1 همدقم

لػف رز ِک ییبیبضل ٍ نیّبفه ،فیربؼت لػف يیا رز ىبایبپ یسؼث یبّ

سبایً زرَاه ِاهبً

یه یه ىبیث ار سضبث ُززاک نیسمت صرث حٌپ ِث ار لػف يیا سبسا يیوّ زث .نیٌک

رز .نایا

یه ىبیث ار سبیً زرَه فیربؼت ٍ لبوتحا نیّبفه مٍز صرث ییَاکیً مَاس صارث رز .نیاٌک

ىَهسآ ٍ شسازث صدٌاس یازاث ییباّربیؼه یاسرزث ِاث ِاهازا رز ٍ ىبیث ار شسازث ییَکیً

یه شسازث ییَکیً

غیسَت یذزث مربْچ صرث رز .نیساززپ یربهآ یبّ

سبیً زرَه ُساض ُزرٍآ

لهبض ندٌپ صرث ٍ تسا نیّبفه

یه سبیً زرَه یضبیر .سضبث

-1 -2 لامتحا میهافم

فیرعت -1

-2 -1 غیسَت غثبت(

غثبت .)18

ِػَوده سا یمیمح زاسػا

ِلغبف ِث

1

زّ یازث ِک ار

یه فیزؼت زیس ِغثبض بث :زَض

∫ 𝑓 𝑑

غیسَت غثبت یه

یه زیس ظاَذ یاراز ِک نیهبً

سضبث

:

زگا )1

1 ₂

ُبگًآ ،

₁ ₂

،

)2 یٌؼی ،تسا ِتسَیپ تسار سا

،

)3

1

،

زگا )4 ُبگًآ ،سضبث ِتسَیپ یفزبػت زیغته کی

𝑑

𝑑 𝑓 𝑑 𝑓 𝑑 ∫ 𝑓 𝑑

18Distribution Function

(10)

8

زگا )5 يکوه زیزبمه بث ِتسسگ یفزبػت زیغته کی

1 ₂

ُبگًآ ،سضبث

𝑓 ₁ 1 2 ∑ 𝑓

،ىبیسربپ(

ظ ،1389 )5

فیرعت -1

-2 -2

ُربهآ(

یجیتزت یبّ

زگا .)19 1

یفزبػت ًَِوً کی سا ییبت

ِؼهبخ یا غیسَت غثبت بث لبوتحا یلبگچ غثبت ٍ

ُسض تتزه زیزبمه ،سٌضبث 𝑓

1 ₂

ُربهآ ار یبّ

یه یفزبػت ًَِوً یجیتزت فیزؼت بث .نیهبً

1 1

مأَت لبوتحا یلبگچ غثبت

1

: بث تسا زثازث

𝑓 1 ( ₁ ) ∏ 𝑓

1

₁

یلبگچ غثبت ٍ یجیتزت ُربهآ يیها

: بث تسا زثازث

𝑓

1 𝑓 ¹[1 ]

1

1 𝑓 ¹ 1

ىآ رز ِک

1

یه بتث غثبت یه فیزؼت زیس ترَغ ِث ٍ سضبث

:زَض

1 ∫ ¹ 1 ^{1 1}𝑑

1

ُربهآ مأَت یلبگچ غثبت یجیتزت یبّ

ٍ

زّ یازث تسا زثازث

:بث

𝑓( )

1 1 ¹

( ) ¹ 1 ( ) 𝑓 𝑓 ( )

19 Order Statistics

(11)

،سار(

ظ ،1390 )319

یه رازل ُزبفتسا زرَه ًبجلبغ ِک یزرٍآزث شٍر یسرزث ِث ِهازا رز شٍر یٌؼی ،ززیگ

"

نویشکبه ییبوٌتسرز زرٍآزث

"

زرٍآزث ىاٌَػ بث ربػتذا ِث ىآ سا ِک یه زبی

یه ،زَض -

یویسل سا یکی شٍر يیا .نیساززپ ٍ يیزت

تیوّا زپ شٍر يیزت

،تسبّزرٍآزث ِیزظً رز بّ

يیلٍا ِک ربث

سَگ ظسَت لبس رز 20

ترَغ ِث ىآ سا سپ ٍ سض ِتفزگ ربک ِث 1821

ُززتسگ لبس رز یزت زطیف ظسَت 1925

شٍر سا زبمتًا رز 21

"

یرٍبتطگ زرٍآزث

"

زرَه

شٍر .تفزگ رازل ُزبفتسا ػ

ث یازث یلوؼلارَتسز سا تسا تربج ىزرٍآ تسس

مبً ِث یزگزرٍآزث

"

نویشکبه ییبوٌتسرز زگزرٍآزث

"

ِث ىآ سا ِک ربػتذا

نیّاَذ زبی

مبً ِث نْه یربهآ غثبت کی زث یٌتجه ٍ ززک

"

ییبوٌتسرز غثبت

"

.تسا

فیرعت -1

-2 -3 ییبوٌتسرز غثبت(

سیٌک ؼزف .)22

𝜃 Θ Θ(

یبضف

ٍ )تسا مَلؼهبً یبّزتهاربپ

₁

راززث یلبگچ غثبت بث یفزبػت زیغته

مأَت لبوتحا

𝑓_𝜃

ُسض ُزاز راسمه زّ یازث .سضبث ییبوٌتسرز غثبت

غثبت ار

مأَت لبوتحا یلبگچ یٌؼی ،

𝑓_𝜃

یه فیزؼت ، سا یؼثبت ترَغ ِث ِک نیٌک

زظً رز𝜃

یه ِتفزگ زبوً بث ار ىآ ٍ زَض

یه صیبوً 𝜃

یتربجػ ِث نیّز

𝜃 𝑓_𝜃

.

،ىبیسربپ(

ظ ،1389 )126

فیرعت -1

-2 -4 نویشکبه ییبوٌتسرز زگزرٍآزث(

)23

زگا . یازث یزگزرٍآزث

𝜃

ِث سضبث یرَع : ِک

)1

_𝜃 1 𝜃

ٍ )2

( ) 𝜃 𝜃

ُبگًآ نویشکبه ییبوٌتسرز زگزرٍآزث کی ىاٌَػ ِث

یه فیزؼت𝜃

ىآ ًلاَوؼه .زَض

بث ار یه صیبوً 𝜃̂

سٌّز فیزؼت سبسازث يیٌچوّ .سضبث ززف ِث زػحٌه ِک زراسً یهٍشل ٍ

:نیراز𝜃̂

20 Gauss

21 Fisher

22 Likelihood function

23 Maximum Likelihood Estimation

(12)

10 (𝜃̂)

𝜃

:نیٌک فیزؼت زگا بی

ℓ 𝜃 𝜃

ُبگًآ ، ℓ(𝜃̂)

𝜃

ℓ 𝜃

،ىبیسربپ(

ظ ،1389 )127

فیرعت -1

-2 -5 یپٍزتًآ(

سهبطیپ .)24

یه زظً رز تجثه عَلٍ لبوتحا بث ار .نیزیگ

یه تدؼت رسمچ نیًاسث زگا نیٌک

یه زظً ِث یمغٌه ؟تسا ُزاز خر نیٌک رَػت ِک سسر

عَلٍ علاعا سا لغبح تدؼت ىاشیه ىزاز خر لبوتحا ِث سیبث

ِث .سضبث ِتضاز یگتسث

تسا جٍس ُسض ٍر زاسػا عَوده نیًاسث زگا سبت تفخ کی ةبتزپ صیبهسآ رز لبثه ىاٌَػ یوً تدؼت زبیس عَلٍ لبوتحا ىَچ نیٌک

2 ىآ 1/ عَوده نیًاسث زگا ِک یلبح رز ،تسا

ُسض ٍر زاسػا یه تدؼت زتطیث تسا12

ىآ عَلٍ لبوتحا ىَچ ،نیٌک /36

ىاشیه .تسا1

سهبطیپ زاسذر سا به تدؼت یازث لبح .سٌیَگ سهبطیپ ىآ یفیلکتلاث ِخرز بی یپٍزتًآ ار

سًٌبه یؼثبت ،نیٌک یّوک ار تدؼت ىاشیه يیا ِکٌیا یه فیزؼت

ظمف ىآ راسمه ِک نیٌک

سهبطیپ زاسذر لبوتحا ِث یگتسث زبوً بث ار ىآ ٍ زراز

یه ىبطً

.نیّز

لبوتحا بث یسهبطیپ عَلٍ سا ِک یجدؼت ىاشیه یٌؼی یه لغبح

ِکٌیا یازث .زززگ

:سٌک قسغ زیس لَغا رز تسا مسلا ،سضبث ِتضاز یٌیؼه لکض )1

1

طیپ زگا ، ىآ عَالٍ سا باه تادؼت ىاشیه ،سّسث خر کی لبوتحا بث یسهب

.زَث سّاَذ زفغ )2 سا یلٍشً ًاسیکا یؼثبت

ِک یسهبطیپ زاسذر سا تدؼت ىاشیه یٌؼی .تسا

سًبض ِک تسا یسهبطیپ یازث تدؼت ىاشیه سا زتطیث ،زراز عَلٍ یازث یزتوک سًبض .زراز یزتطیث عَلٍ

)3 سا ِتسَیپ یؼثبت

غثبت یضبیر تیغَػذ کی يیا .تسا ازچ ،تسا

راسمه رز کچَک زییغت زّ زٍر یه ربظتًا ِک راسمه رز یکچَک زییغت ثػبث ،

.زززگ لمتسه سهبطیپ ٍز )4 ٍ

ِک یرَع ِث ،سیزیگث زظً رز ار

ٍ

24 Entropy

(13)

للامتسا فیزؼت كجع .

زاسذر سا لغبح تدؼت ىاشیه سپ .

ىبهس نّ

ٍ بث

سهبطیپ استثا ِک نیَض غلغه زگا لبح .زَث سّاَذ زثازث ٍ

سهبطیپ ىآ سا سپ ىَچ ،تسا ُزاز خر

سهبطیپ زاسذر سا تدؼت ىاشیه

،تسا

سهبطیپ زگا اذل سضبث ُزاز خر شیً

شفا ُسٌّز ىبطً

.تسا تدؼت صیا

ِث ىَچ ٍُلاػ ٍ

عَلٍ مسػ بی عَلٍ سا علاعا یٌؼی ،سٌتسّ لمتسه زگیسکی سا

سهبطیپ سهبطیپ عَلٍ لبوتحا رز یزیثأت ،

ًبمیلز سیبث تدؼت صیاشفا ،يیازثبٌث زراسً

بث زثازث ِدیتً رز .سضبث

،سار(

ظ ،1390 )509

فیرعت -1

-2 -6 یًر یپٍزتًآ(

یفزبػت زیغته یازث .)25

لبوتحا یلبگچ غثبت بث

₁

ىًَبض علاعا تربجػ بث26

∑

1

یه فیزؼت ىآ رز ِک زَض

∑₁ 1

رز ىًَبض ِک ،فیزؼت يیا ِث ِخَت بث .تسا

1948 لبس تلبح یازث ىًَبض یپٍزتًآ ،تسا ُززک ىبیث ِتسَیپ یبّ

شیً

زیس ترَغ ِث

یه فیزؼت :زَض

𝑓 ∫ 𝑓 𝑓 𝑑

ِجتزه یًر یپٍزتًآ ِک یًر ظسَت زیذا فیزؼت سا یویوؼت یه ُسیهبً𝑐

ترَغ ِث زَض

یه زیس :سضبث

1𝑓 1

1 𝑐 ∫ 𝑓 𝑑

𝑐 1 ِک

𝑐 ، ٍُلاؼث

₁ ¹ 𝑓 ِک

یپٍزتًآ ىبوّ

،یًر( .تسا ىًَبض ظ ،1961

-561 )547

25 Renyi Entropy

26 Shannon information

(14)

12

فیرعت -1

-2 -7 زبوتػا تیلثبل(

تیمفَه لبوتحا تمیمح رز زبوتػا تیلثبل .)27

زیس ترَغ ِث نتسیس زبوتػا تیلثبل ُبگًآ سضبث زظً زرَه نتسیس کی سیٌک ؼزف .تسا یه فیزؼت :زَض

ِث یثازذ عَلٍ ىٍسث ِػَوده بی نتسیس ِکٌیا لبوتحا بث ُسض يییؼت فیبظٍ

تیزٍسحه ظیازض رز ٍ )... ٍ یًبکه ،یًبهس تیزٍسحه :سًٌبه( یحازع رز ُسض يییؼت یبّ

یاراز نتسیس سیٌک ؼزف .سٌک لوػ ) ...ٍ شبؼترا ،تثَعر ،بهز :سًٌبه( عرطه یززکربک زوػ لَع ِک تسا یؼیجع ،سضبث

ِلغبف رز ِک تسا یفزبػت زیغته کی

یه راسمه یگ

.زز یه یه نتسیس زگیز تربجػ ِث سضبث ِتسسگ بی ِتسَیپ سًاَت لَع سًاَت

رز ار راسمه زّ ِک سضبث ِتضاز یزوػ

زیزبمه ِک سضبث ِتسسگ بی سٌک ربتذا

ِلغبف رز ار زیذپ شربوض

زگا .سٌک ربیتذا یلبگچ غثبت یاراز

سا ُبگًآ سضبث 𝑓

ا تیلثبل ربهآ ٍ یضبیر زظً ِغمً

ىبهس رز نتسیس زبوتػ بث ِک

یه صیبوً

نیّز

:سا تسا تربجػ

∫ 𝑓 𝑑

يیورت ظ ،یسسا( .تسا زبوتػا تیلثبل تبؼلبغه رز نْه فاسّا سا یکی

-9 )1

فیرعت -1

-2 -8 بمث غثبت(

تیلثبل ،ُسًس سحاٍ کی زوػ لَع ِث طَثزه لئبسه رز .)28

ِث زتطیث ار زبوتػا یه بمث لیلحت مبً

زوػ لَع یاراز یوتسیس ِک سیٌک ؼزف .سٌسبٌض

ِک تسا یؼیجع ،سضبث یه ِک تسا یفٌهبً یفزبػت زیغته کی

ِتسسگ بی ِتسَیپ سًاَت

یازث ىبٌیوعا تیلثبل بی بمث غثبت .سضبث یه فیزؼت زیس ترَغ ِث

:زَض

̅ 1 1

گًبیث ٍ ىبهس بت للاسح زظً زرَه سحاٍ ِک تسا لبوتحا يیا ز یکزت( .سًبوث ُسًس

فدً

،یزبثآ ظ ،1388

-15 )14

فیرعت -1

-2 -9 زغذ خزً غثبت(

زگا .)29

غیسَت غثبت بث یفٌهبً یفزبػت زیغته کی

یؼودت یلبگچ غثبت ٍ

غثبت ُبگًآ سضبث𝑓

27 Reliability 28 Survival function 29 Hazard rate function

(15)

𝑓

𝑓 1

غثبت ار خزً

غیسَت تسکض خزً بی زغذ یه

ِک تسا لبوتحا يیا زگًبیث ِک سٌهبً

ِلغبف رز زظً زرَه سحاٍ

یًبهس

𝑑

ىبهس بت ِکٌیا طزض ِث .زَض تسکض ربچز

.سضبث ِتضاز یربگسًبه ،سار(

ظ ،1390 252

(

فیرعت -1

-2 -11 علبً یبهبگ غثبت(

ْخَت لثبل زاسؼت یازث ِتسث مزف ةاَخ .)30

سا ی

ِتسّ کیشیف ،یهَدً کیشیف ،یززثربک تبضبیر لئبسه ،یسسٌْه ٍ ربهآ ،یلَکلَه ٍ یا

یه یفزبػت یٍر ُزبیپ ٍ زاسػا ِیزظً

غثبت .سًَض ىبیث علبً یبهبگ غثبت ِلیسٍ ِث سًٌاَت

یه فیزؼت زیس ترَغ ِث يیؼه لازگتًا ِغساٍ ِث بهبگ :زَض

Γ ∫ 𝑒 ¹𝑑

بهبگ غثبت فیزؼت بها لازگتًا کی سا ُزبفتسا بث علبً ی

یه ترَغ يیؼه ززیذپ

ٍز ِک

یه عًَ

ٍ تسا زیغته ىآ لازگتًا يییبپ سح ِک تسا لابث علبً یبهبگ غثبت یکی سضبث ترَغ ِث ِک تسا زیغته ىآ لازگتًا یلابث سح ِک تسا يییبپ علبً یبهبگ غثبت یزگیز

یه فیزؼت زیس :سًَض

:لابث علبً یبهبگ غثبت

Γ 𝑎 ∫ ¹𝑒𝑑

:يییبپ علبً یبهبگ غثبت ٍ

γ 𝑎 ∫ ¹𝑒𝑑

،زیثس ؛یرزبچ(

ظ ،2001 ىبیبپ يیا رز .)37

ُزبفتسا يییبپ علبً یبهبگ غثبت سا ِهبً

یه .زَض فیرعت -1

-2 -11 علبً یبتث غثبت(

یه فیزؼت زیس ترَغ ِث بتث غثبت .)31

:زَض

30 Incomplete gamma function 31 Incomplete beta function

(16)

14

𝑎 𝑏 ∫ ¹ 1 ¹𝑑

1

یه فیزؼت زیس ترَغ ِث ِک تسا لهبک یبتث غثبت سا یویوؼت علبً یبتث غثبت :زَض

𝑎 𝑏 ∫ ¹ 1 ¹𝑑

یازث ِک

1

ت ىبوّ علبً یبتث غثبت یه لهبک یبتث غثب

س ؛یرزبچ(.سضبث ،زیث

ظ ،2001 )217

-1 -3 شزارب ییوکین

ىَهسآ رز غیسَت عًَ ًلاَوؼه یربهآ یبّ

سا ُزبفتسا بث بی ار یفزبػت زیغته لبوتحا

ُزاز یًاٍازف یٌحٌه یه سسح یثزدت رَع ِث بی بّ

ىآ ٍ سًٌس یه زظً رز مَلؼه ار

ٍ سًزیگ

یه مبدًا غیسَت يیا لَْده زتهاربپ ُربثرز ار ىَهسآ .سٌّز

بّها يیا ُربثرز تسا يکوه

ً يئوغه ىاسٌچ ،تسا ُسض ُزس سسح لجل سا ِک ،مَلؼه غیسَت يیا نیّاَرث ٍ نیضبج

یه ربک ِث رَظٌه يیا یازث ِک ار یًَهسآ .نییبهسبیث ار سسح شسازث ییَکیً ىَهسآ نیزث

یه غیسَت ىَهسآ .سٌهبً

فٍزگَولَک یزتهاربپبً یبّ

- يیا ِلوخ سا ٍز یذ ٍ فًَزیوسا

ىَهسآ .تسا بّ

فیرعت -1

-3 -1 یثزدت غیسَت غثبت(

یه .)32

سا رَظٌه ِک نیًاز

ا تسا يی

ِک

ُبگزّ يیازثبٌث

1 ₂

سا یفزبػت ًَِوً کی یه ربظتًا ،سضبث

ِک زٍر

زاسؼت

سا سا بّ

یه ٍر يیا سا .سٌضبث زتکچَک نیًاَت

زّ یازث ار

نیٌک زرٍآزث زیس ترَغ ِث

̂ یٍبسه بی زتکچَک یبّ زاسؼت

ًَِوً ِث ِک ار زرٍآزث يیا بث ًلاَوؼه زراز یگتسث ییبت

یه ىبطً

غثبت ٍ سٌّز

یه یثزدت غیسَت .سٌهبً

ىسض گرشث بث یزظً غیسَت ِث یثزدت غیسَت ،

یه لیه

-

32 Empirical distribution function

(17)

.سٌک ،ىبیزَجْث(

ظ ،1387 )213

فیرعت -1

-3 -2 فٍزگَولک ىَهسآ(

- فًَزیوسا فٍزگَولک .)33

یسٍر ىاسیضبیر

1933( بث يیلٍا یازث ) سا ُزبفتسا بث ار شسازث ییَکیً ىَهسآ ر

ُربهآ

| |

زاز ِئارا ىآ رز ِک

یفزبػت زیغته یثزدت غیسَت

غلاٍ رز ىَهسآ يیا .تسا

ض عرطه غیسَت غثبت ِث ُساسًا ِچ بت تاسّبطه سا یضٍزفه ِػَوده ِک ار زها يیا

ُس ی

یه ىَهسآ ،تسا ُسًسازث

ِفزع ٍز ىَهسآ رز ِغلاذ رَع ِث .سٌک

{

1

زگا ترَغ يیا رز ،سضبث تسرزبً

غیسَت غثبت ِث ىسض کیزشً ِث لیبوته

یؼلاٍ

ٍ تسا ِث ىسض کیزشً ًِ

ِدیتً رز | |

یه زر ار زفغ ؼزف يیازثبٌث ؛تضاز سّاَذ ىسض گرشث ِث لیبوت ِتفبی ُبگزّ نیٌک

| |

یازث فٍزگَولک ُربهآ كیلز غیسَت .زَض گرشث یلیذ

.تسا ُسض یسٌث لٍسخ فلتره یبّ

،ىبیزَجْث(

ظ ،1387 )216

فیرعت -1

-3 -3

ٍز یذ ىَهسآ(

حیار سا یکی ىَهسآ يیا )34

یزت ىَهسآ ي یبّ

.تسا یزتهاربپبً

یه ُززث ربک ِث یًبهس ىَهسآ يیا

ُزاز ِک زَض

ٍ یًاٍازف ترَغ ِث بّ

ِمجع :سضبث یه زیس ترَغ ِث ىَهسآ يیا ُربهآ .سٌضبث )یوسا سبیمه( یا

2 ∑ ²

1

بث ٍز یذ غیسَت یاراز ُربهآ يیا

1

ىآ رز ِک ،تسا یزاسآ ِخرز یًاٍازف

ٍ ُسض ُسّبطه یه ربظتًا زرَه یًاٍازف

.سضبث ٍز یذ زگا يیٌچوّ

ث یذ سا ُسهآ تسس

یه زر زفغ ؼزف سضبث زتگرشث لٍسخ ٍز .زَض

،ىبیزَجْث(

ظ ،1387 )191

یه ِلوخ ىآ سا ِک زراز زَخٍ ییبّربیؼه شسازث ییَکیً صدٌس یازث ربیؼه ِث ىاَت

عا ربیؼه ،ِکیئبکآ علاعا کآ علا

ُسض حیحػت ِکیئب شتراَض علاعا ربیؼه ٍ

- ُربضا يیشیث

.ززک

33 Kolmogorov-Smirnov test 34 Chi-square test

(18)

16

فیرعت -1

-3 -4 ( ِکیئبکآ علاعا ربیؼه(

)AIC

ییَکیً صدٌس یازث یربیؼه .)35

یه ىبطً ِک تسا شسازث تسز سا ثػبث ىاشیه ِچ ِث یربهآ لسه کی سا ُزبفتسا سّز

تفر یه تبػلاعا ي زگیز تربجػ ِث .زَض

ىبیه یلزبؼت ربیؼه يیا ، ىآ یگسیچیپ ٍ لسه تلز

یه رازلزث

ِکیئبکآ َگَستٍزیّ ظسَت ربیؼه يیا .سٌک (36

لسه يیزتْث ةبرتًا یازث )1974

ِغثار بث یربهآ ی

2 ̂ 2

ىآ رز ِک تسا ُسض ِئارا سبسا زث نویشکبه ییبوٌتسرز زرٍآزث ̂

ٍ θ

زاسؼت

یه لسه یبّزتهاربپ .سضبث

ُزاز يتضاز بث سا ،بّ

لسه ىبیه راسمه ِث ِخَت بث ِک ییبّ

یه یسٌث ِجتر

سًَض

يیزتوک یاراز ِک یلسه راسمه سا .تسا یزتْث لسه ،سضبث

یه

طبجٌتسا ىاَت

لسه ماسک ِک زَوً

لسه ِیمث ٍ سًراز یزتْث ًبتجسً تیؼضٍ بّ

بها ،سٌتسّ زتسث تتازه ِث بّ

یازث ربیؼه راسمه ةبرتًا یازث یربیؼه يتضاز ِغساٍ ِث ار یلسه ىاَتث ِک

،ىَسرسًا ،مبّزث( .زراسً زَخٍ ،ززک زر راسمه يیا سا زتگرشث )1998

فیرعت -1

-3 -5

ُسض حیحػت ِکیئبکآ علاعا ربیؼه(

( )CAIC

.)37

بث ِکیئبکآ ربیؼه

ِجتزه حیحػت ٍز

ًَِوً یازث یه تسسث زتوک زاسؼت بث ییبّ

تلغا تلبح يیا رز .سیآ

بث ار ىآ ِک تسا سبیً زرَه یتبحلاغا یه فیزؼت زیس ترَغ ِث ٍ ُزاز صیبوً

:زَض

2 1 1

ًَِوً زاسؼت یازث ِک ییبدًآ سا زبیس یبّ

ِث

سیبث ِطیوّ سپ ،تسا ازگوّ

یبدث ار

.ززث ربکث

،ىَسرسًا ،مبّزث(

)1998

فیرعت -1

-3 -6 شتراَض علاعا ربیؼه(

(يیشیث – )BIC

ظسَت ِک ربیؼه يیا .)38

مزف بث ٍ تفبی ِؼسَت شتراَض

2 ̂

35 Akaike Information Criterion 36 Hirotugu Akaike

37 Corrected Akaike Information Criterion 38 Schwartz-Bayesian Information Criterion

(19)

Title and Author: The Beta Generalized Rayleigh Distribution and its Application/Arezoo Safaei

Supervisor: Prof. Masoud Gangji

Graduation date: 15/7/2018 Number of pages: 125

Abstract

In this thesis, the main discussion will be on the beta generalized Rayleigh distribution and the presentation of some of its properties. The beta generalized Rayleigh distribution provides a rather general and flexible framework for statistical analysis of positive data, which provides a better fit than other statistical models in lifetime data analysis. The expansions of the cumulative distribution function and the probability density function using the moments and the moment generating function in addition, the parameters is approached by the method of maximum likelihood and the observed can be discussed in this thesis.

Keywords: Generalized Rayleigh distribution, Moments, Moment generating function, Maximum likelihood function.

(20)

18

University of Mohaghegh Ardabili Faculty of Sciences

Department of Statistics and Applications

Thesis submitted in partial fulfilment of the requirements for the degree of M.Sc. in Statistics (Mathematical Statistics)

The beta generalized Rayleigh distribution and its application

By:

Arezoo Safaei

Supervisor:

Prof. Masoud Ganji

Advisor:

Fatemeh Gharari

july 2018