フーリエ変換とまとめ

1

計測システム研究室 章 忠

７ . フーリエ変換とまとめ

応用数学 IV

（ Applied Mathematics IV ）

(Fourier Transform and Summary)

2

【宿題】

授業の内容を全面的に復習すること！

・試験終了後にレポートの回収を行う場合あります．

JABEE 認定のための資料として重要ですので，

試験終了後も各自破棄しないようにしてください．

・レポート６の返却については，個別対応いたします．

試験前の返却を希望する場合は， D-610 まで申し出てください．

3

７ .1 フーリエ積分とフーリエ変換

(7.1)

(7.2)

(7.1) (7.2)

下図

(Fourier Integrals and Transforms) (p.201-202)

4 (7.3)

(7.4)

(7.5)

π ω ω

ω π ω

ω

=

π

= = − = = ∆

∆ ₋ n

n L L

L ^{n n} , ⁿ

2 2

1

5

(7.4)について、フーリエ変換(Fourier Transforms, p.202)は

∫

−^∞∞

= f x e

−

dy F ( ω ) ( )

^iωy

フーリエ逆変換は

∫

−^∞∞

=

ω ω

π

ω d e F

x

f ( ) ^{i x}

2 ) 1 ( と定義される。

フーリエ変換を行う写像：

6

証明： ^(7.5)

な

上の定理

Fourier integral, p.201)

7

また、式 に対して

加法定理： を用いると

フーリエ余弦変換：

フーリエ正弦変換：

8

左下図の信号のフーリエ変換を求めよ

例題１

−L 0 L ^t

[ ]

^sec

0 5 . 0

1

x(t)

0

5 . 0

1

X(ω)

π 0

−2 π

−4 π

−6 2π 4π 6π

[

^{rad /sec}

]

ω

周波数解析

( ) ∫

−^∞∞

( )

= x t e

−

dt X ( ) ω ( )

^iωt

[ ]

ω ω ω ω

ω ω

ω

ω

L

e i e

dt e

dt e

t x X

L i L

i L

L

t i

t i

2 sin 1

=

− −

=

=

=

−

−

−

∞

∞

−

−

∫

∫

オイラーの公式 i

e t e

t i t

i

sin 2

ω

ω =

ω

−

⁻

【例題１】

時間領域では連続であり、周波数波数領域でも連続である

(Solved Problems: 8.1, p.203)

9

( ) ( )

ω ω

ω

^{ω ω}

L

dt e

t x dt

e t x

X

^L

L

t i t

i

sin 2

) (

=

=

= ∫ ∫

−

∞ −

∞

−

−

( ) ( )

( )

n n L

L

t i L

L

t i L

n

L L

dt e

t L x

dt e

t L x

C

n n

ω ω

ω ω

sin 2 2

1 2

1 2

1

2

=

=

=

∫

∫

−

−

−

−

x ( ) t = x

_2L

( ) t ,

^{− L < t < L}

周波数解析

フーリエ級数：

フーリエ変換：

フーリエ変換とフーリエ級数 ( 発展）

信号のパワースペクトル：

2 1

2 0 2

2( ) | | | | 2 | |

2

1

∫ ∑ ∑

^∞

− =

∞

−∞

=

+

=

=

n

n L

L n

n c c

c dt

t

L x

L

X 2

| ) (

| ω

²

時間領域では連続で あるが、周波数領域で は離散化されている

Ck

25 . 0

5 . 0

0

0 0 ω2 4 − ω

6 − ω

− ω₂ ω₄ ω₆

−6 −4 −2 2 4 6

[

^rad/sec

]

ωn

n

L ω = π

∆

基本角周波数 n∆

ω

=

ω

n

L L

− 2L

L

−2

1 5 . 0

0

0 ^t

[ ]

^sec

x0(t)

L

2 基本周期

信号のパワースペクトル：

10

７ .2 ラプラス変換のまとめ

関数f(t)の区間[a,∞)での無限積分が収束するとき、その値をF(s)とする。

∫

^{∞ −}

=

0

( ) )

( s f t e dt

F

^st

tの関数f(t)にsの関数F(s)を対応させる写像(変換)Lをラプラス変換という。

別の視点、二つの関数の集合F1とF2からラプラス変換を考えてみよう。

7.2.1 ラプラス変換の定義

11

12

7.2.2 ラプラス変換存在の十分条件

α

α

>

=

^{− −}

−

e s

e t

f ( )

^{st (s )t}

,

dt e

t f t

f L s

F ( ) = ( ( )) = ∫

0^∞

( )

^−st

ラプラス変換のイメージ

出典：http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-3Rapurasuteigi.htm 微分方程式などの関数

に自然対数量

を掛け合わせたものについて，

座標軸との間に挟まれた領域 の面積

のラプラス変換

領域の写像

( )

f t e⁻st

0

t = → ∞

( )

f t ^{F s}

( )

なぜ必要か？

によって，解の収束性（答えが得られること）を保証して 解析解を求めるため ⇒ 微分方程式を解くために有効

微分方程式：電気系の過渡現象，機械系の運動方程式，

制御系や化学系の状態方程式 (t=0 )

e⁻st → ∞

13

写像

• ある集合（座標系や統計的なグループ）から 別の集合への変換を表現

豊橋技科大

学部１年

学部２年 学部３年

修士課程 教員

一般社会

未成年 成年

３次元直交座標

Ｘ Y

Z

V

U

• 見方を変えることで，扱いを簡略化する，

変形させて応用範囲を広げる

¹⁴

15

7.2.3 ラプラス変換の性質と公式表

16

1)

のラプラス変換を求めよ

(t

倍法則を利用する）

at t

t

f ( ) = cos

2

) 2

(sin s a

at a

L = +

2

) 2

(cos s a

at s

L = +

2)

微分法則で より を導こう

【例題 3 】

17

1)

のラプラス変換を求めよ

(t

倍法則を利用する）

at t

t

f ( ) = cos

( ( ) ) F ( ) ( ) ( s , F s L f ( t ) )

ds t d

tf

L = − =

t倍法則

( )

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(

^{2 2}

)

²

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

0

cos

2 cos

lim )

(

cos ,

cos )

(

a s

a at s

t L

a s

a s

a s

s a

a s

s s a

s a

s

a s

s a

s s a

s s ds

d

dt ds ate

t d g ds L

t d tg L t

f L

at t

g at t

t f

b st

b

+

= −

+

= −

 





 





+

− −

=

 





 





+

−

− +

 =















+

+ ′

−

′ +

−

 =



 





− +

=

 

 

 

−

=

−

=

=

=

=

∫

⁻

∞

→

18

2

) 2

(cos s a

at s

L = +

２

)

微分法則で より を導こう

(sin ) _{2 2} a

s at a

L = +

( )

( f t ) sF ( ) ( ) s f 0

L ′ = −

微分法則

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ) ( )

2 2

2 2

2

2

0

1 1

) 1 (cos

0 0 sin 0

1 , cos

, cos ,

sin

a s

s

a s

a

as a

s s a t a

f a L

t a f

L at

L

a f

t a f

at at

a t

f at t

f

= +

= +

 

 



 −

= +

= ′

 

 



 ′

=

=

′ =

=

′ =

=

_より

19

F(s) f(t)]= L[

を満足するf(t)はたくさんがある場合、そのグループから 1つの代表選んでf(t)とする。ここで、グループ内に連続関数があればf(t) としては連続関数を選ぶ

7.3.1 逆ラプラス変換の定義

7.3 ラプラス変換のまとめ

20

逆ラプラス変換の性質 逆変換の基本公式

7.3.2 逆ラプラス変換の性質

21

求める手順：

１）微分方程式は関数空間F₁ の方程式で、それをラプラス変換により 空間F₂の、Y(s)を未知数とする1次方程式に変換される。このよう にして、微分が消滅され、方程式が簡単化される。

２）空間F₂において、1次方程式を解き、Y(s)を求める。

３）Y(s)を逆ラプラス変換し、微分方程式の解を求める。

7.3.3 常微分方程式への応用

22

 

 





+

− −

) 4 ) (

2

₂

3 1

s L se

s

【例題 4 】

 

 





+ +

−

4 )

1 (

1

2 1

L s

1)

23

 

 





+ +

−

4 )

1 (

1

2 1

L s 1)

( e f ( ) t ) F ( s a )

L

^at

= −

移動法則

t s e

s L

L

^t

sin 2

2 1 2

) 1 (

1 4

) 1 (

1

2 2

1 2

1 − −

−

 =



 





+

= +

 

 





+ +

− 1

= a

 

 





+

− −

) 4 ) (

2

₂

3 1

s L se

s

[ e F ( ) s ] U t a f ( t a )

L

^{−1 −as}

= ( − ) −

移動法則

a at a

L s 1 1sin

2 2

1 =



 



 +

− より

( 3 )

2 cos ) 3 4 (

2 3

1

 = − −



 





+

− −

t t

s U L se

s

s t L s s

L s cos 2

2

4

^{2 2}

1 2

1

=

 

 

= +

 

 

+

−

−

ヘヴィサイドの単位関数

１－

½－

0 a t

演習問題

• 次の逆ラプラス変換を求めなさい

• 次の初期値問題を解きなさい

 

  − +

−

3 2

1

1 2 3

s s

L s  

 

−

−

1

1

1 L s

( ) 0 0 , ( ) 0 1

, 2

3 ′ + =

²

= ′ =

′′ + y y e y y

y

^t

24

演習問題解答

• 次の逆ラプラス変換を求めなさい

( ) ( )

3 2 2

1

! 1 3 3

! 1 2 2

1 1 1 3

1 2 3

2 1

2

1 3 1

2 3

1 2

1 1

3 2

1

t t

t t

L s L s

L s s

s L s

+

−

=

+ −

− −

 =

  + 

 

 

 −

 

= 

 

  − +

^{− − − − −}

−

t e e t

L s s e

L

t t

t

π π =

 =

 

= 

 

 

−

−

−

1 1

1

1

_{1 1}

1

( 1 ) !

1

¹

1

= −

 

 

⁻

−

n t L s

n n

移動法則

( )

[ F s a ] e L [ F ( ) s ] e f ( ) t

L

⁻¹

− =

^{at −1}

=

^at

t L s

π 1

1

1   =

 

−

25

演習問題解答

• 次の初期値問題を解きなさい

( ) 0 0 , ( ) 0 1

, 2

3 ′ + =

²

= ′ =

′′ + y y e y y

y

^t

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) 1

2 2 1

3

2

3

²

− 

=

′ +

′′ +

=

′ +

′′ +

y s L y

L y

L

e L y

y y

L

^t

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ] 3 { ( ) ( ) 0 }

3

0

2

0

y s

sY y

L

y sy

s Y s y

L

−

′ =

− ′

−

′′ =

[ ] ( ) ( )

[ ] y { sY ( ) s } sY ( ) s

L

s Y s s

s Y s y

L

3 0

3 3

1 1

0

²

2

=

−

′ =

−

=

−

−

′′ =

両辺をラプラス変換して

ここで として微分法則を

[ ] y Y ( ) s

適用し

L =

初期値を代入すると

(1)式に戻し

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( 2 ) ( 1 3 2 ) ( 2 )( ( 1 1 ) )( 2 )

2 1 2

2 1 1

2 2 1

3

2 2 1

3 1

2 2

2

+ +

−

= − +

+

−

= −

−

= −

−

−

= +

− +

= +

+

= − +

+

−

s s

s

s s

s s

s s Y

s s s

s s s

Y s

s

s s Y s

sY s

Y s

26

演習問題解答

右辺を部分分数

( ) ( )

に展開

( − 2 )( + − 1 1 )( + 2 )

= s s s

s s

Y ( )

( s − 2 )( s s + − 1 1 )( s + 2 ) = s − A 2 + s B + 1 + s C + 2

と置き，分子を比較する

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

4 3 4

, 3 1 4 3

1 2 2

2 2

2 2

2 2

2 1 2 1

2 2

3 2 3 , 2

1 3 2

1 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 1

12 , 1

4 3 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2

2 1 2 1

2 2

1 2

2 2

2 1

1

−

− =

=

⋅

−

⋅

−

=

−

+

−

−

− + +

−

−

− + +

− +

−

=

−

−

−

− =

= −

⋅

⋅

−

=

−

+

−

−

− + +

−

−

− + +

− +

−

=

−

−

−

=

⋅

⋅

=

+

− +

+

− +

+ +

=

−

+

− +

+

− +

+ +

=

−

C C

C B

A s

B B

C B

A s

A A

C B

A s

s s

C s

s B s

s A s

：

＝

：

＝

：

＝

( ) ( )

( − 2 )( + − 1 1 )( + 2 ) = 12 1 − 1 2 + 3 2 1 + 1 − 4 3 + 1 2

= s s s s s s

s s

Y

₂₇

演習問題解答

( ) 2

1 4 3 1 1 3 2 2 1 12

1

− + + +

= −

s s

s s Y

部分分数展開の結果

より逆ラプラス変換を行う

[ ] ( )

( )t t t t t t

e e

e e

e e

L s L s

L s

L s L s

L s s

Y L

2 2

2 2

1 1

1

1 1

1 1

4 3 3

2 12

1 4

3 3

2 12

1

2 1 4

3 1

1 3

2 2

1 12

1

2 1 4 3 1

1 3 2 2

1 12

1

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− +

=

− +

=

 

 

− +

 

  + +

 

 

= −

 

 

− +

 

  + +

 

 

= −

28

29

（１）関数空間

7.4 フーリエ級数のまとめ

7.4.1 基本概念

30

(2) 内積の定義

31

(3) 直交系の定義

32

7.4.2 フーリエ級数

33

フーリエ定理

34

任意の区分的に連続の関数f(t)に関して、有限の長さ2L(L>0)を切り出して、

周期2Lの周期関数として扱うことができる。

) sin

cos

( t

L b n

L t

a_n nπ _{+ n} π

7.4.3 周期２ L の場合のフーリエ級数

35

注意：関数f(t)のフーリエ級数は関数の奇偶性に関係する

同じ関数でも異なるフーリエ級数で表現できる。

余弦と正弦展開

7.4.4 余弦と正弦展開

偶関数と奇関数のフーリエ級数

36

オイラ－公式：

～

inx n

n n

inx n inx

n

ne c c e c e

c x

f

∑ ∑ ∑

^∞

−∞

=

∞

=

−

−∞

=

= +

+

1 0

1

)

( ～

ここで

7.4.5 複素数フーリエ級数

37

2)

3) 次の関数のフーリエ級数展開を求めよ

x x

x

f ( ) = cos cos3

4) 次の関数の複素フーリエ級数展開を求めよ

t t

f ( ) = cos³

そしてフーリエ級数展開を求めよ 1)指数関数系

直交関数系であることを証明せよ。

} ,

, 1 , , ,

{ e^−i2t e^−it e^it e^i2t

【例題 5 】

38 1)指数関数系

直交関数系であることを証明せよ。

} ,

, 1 , , ,

{ e^−i2t e^−it e^it e^i2t 

【例題 5 】

39

2)

そしてフーリエ級数展開を求めよ

【例題 5 】

40

3) 次の関数のフーリエ級数展開を求めよ

x x

x

f ( ) = cos cos3

【例題 5 】

41

4) 次の関数の複素フーリエ級数展開を求めよ

t t

f ( ) =cos³

【例題 5 】

42 １）区分的に滑らか：

関数f(x)が連続で、f’(x)が区分的に連続であれば、関数f(x)を区分的に滑ら かという

2)項別微分：

：

7.4.1 項別微分

7.5 フーリエ級数の特性

43

：

7.5.2 項別積分

～

～

44

：

7.5.3 ベッセルの不等式

なぜ？

フーリエの定理

n→∞でもギブス現象が 消えない。

犯人は“区分的に連続”

という条件である。

ギブス現象

45

：

7.5.4 パーセバル等式

証明： 区分的に滑らかな関数f(x)のフーリエ級数は関数f(x)に一様収束する。

一様収束：

a≦x≦b上の関数列S_n(x)は 次式を満足すれば

関数f(x)に一様収束という

0

| ) ( ) (

| − →

∞

→ S x f x Lim _n

n

46

7.5.5パーセバル等式が成り立つ関数例

) (

, )

(x = x² −π ≤x<π f

) (

, )

(x = x −π ≤ x<π f

-1 1

) (

,

|

| )

(x = x −π ≤ x<π f





<

≤

−

−

<

= ≤

0 ,

1

0 ,

) 1

( x

x x

f π

π 1)関数 f⁽x⁾=x^{2, (}−^π ≤ x<^π) 2)関数 ^{f(x)=|x|, (−π ≤x<π)}

1)区分的に滑らかの定義：

関数f(x)が連続で、f’(x)が区分的に連続であれば、関数f(x)を区分的に滑らかという。

2)関数f(x)を区分的に滑らかであれば、項別微分が可能である。

３）関数f(x)を区分的に滑らかであれば、パーセバル等式が成り立つ。

４）関数f(x)を区分的に滑らかであれば、そのフーリエ級数がf(x)に一様収束する。

47

7.5.6 信号のパワースペクトル

2π

番目の周波数 基本周波数

k n

f f

n /2 :

: 2 / 1

ρ π

=

=

∆

2 1|

|c

2 2|

|c

2 3|

|c

2 4|

|c

2 5|

|c

2 6|

|c

power

) (t f

∫

∑

−

−

∞

∞

−

=

=

L L

L t in n

L t in n

dt e

t L f

c

e c t

f

/ /

) 2 (

1 ) (

π π

複素フーリエ級数：

2 1

2 0 2

2( ) | | | | 2 | |

2

1

∫ ∑ ∑

^∞

− =

∞

−∞

=

+

=

=

n

n n

n c c

c dt

t

π f

π

π

信号のパワースペクトル：

パーセバル等式より

48

1)

【例題 6 】

49

【例題 6 】

f(t)は連続関数で周期Lはπなので，0≦t ≦π で以下の通り展開できる

𝑡𝑡² = 𝑎𝑎₀

2 + � 𝑎𝑎_𝑛𝑛 cos𝑛𝑛𝑡𝑡

∞

𝑛𝑛=1

𝑎𝑎_𝑛𝑛 = _𝜋𝜋² ∫ 𝑡𝑡₀^{𝜋𝜋 2} cos𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 (𝑛𝑛 = 0,1,2,⋯)

𝑎𝑎₀ = ²_𝜋𝜋∫ 𝑡𝑡₀^{𝜋𝜋 2} 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ²_𝜋𝜋 ¹₃𝑡𝑡^{3 𝜋𝜋}₀ = _𝜋𝜋^{2 1}₃𝜋𝜋³ − 0 = ^2𝜋𝜋₃²(𝑛𝑛 = 0) ここで係数𝑎𝑎_𝑛𝑛(𝑛𝑛 = 0,1,2,⋯)を計算する

𝑎𝑎_𝑛𝑛 = 2

𝜋𝜋 � 𝑡𝑡^{𝜋𝜋 2} cos𝑛𝑛𝑡𝑡

0 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 2

𝜋𝜋 1

𝑛𝑛 𝑡𝑡² sin𝑛𝑛𝑡𝑡 𝜋𝜋 0 − 2

𝑛𝑛 � 𝑡𝑡^𝜋𝜋 sin𝑛𝑛𝑡𝑡

0 𝑑𝑑𝑡𝑡

= 2 𝜋𝜋

1

𝑛𝑛 𝜋𝜋² sin𝑛𝑛𝜋𝜋 − 0 − 2 𝑛𝑛 −

1

𝑛𝑛 𝑡𝑡cos𝑛𝑛𝑡𝑡 𝜋𝜋 0 +

1

𝑛𝑛 �^𝜋𝜋cos𝑛𝑛𝑡𝑡

0 𝑑𝑑𝑡𝑡

= 2

𝜋𝜋 0 − 2 𝑛𝑛 −

1

𝑛𝑛 𝜋𝜋cos𝑛𝑛𝜋𝜋 − 0 + 1 𝑛𝑛

1

𝑛𝑛 sin𝑛𝑛𝑡𝑡 𝜋𝜋 0

= − 4 𝑛𝑛𝜋𝜋 −

𝜋𝜋

𝑛𝑛 −1 ^𝑛𝑛 + 1

𝑛𝑛² sin𝑛𝑛 𝜋𝜋 − sin 0 = − 4 𝑛𝑛𝜋𝜋 −

𝜋𝜋

𝑛𝑛 −1 ^𝑛𝑛 + 0

= 4

𝑛𝑛² −1 ^𝑛𝑛

[ ]

b b b

a f′⋅g dt = fg a − a f g dt⋅ ′

∫ ∫

𝑛𝑛 = 1,2,⋯

𝑛𝑛 = 1,2,⋯

50

【例題 6 】

ゆえにf(t)のフーリエ余弦展開は以下のようになる．

𝑡𝑡² = 1

2 ∙ 2𝜋𝜋²

3 + � 4

𝑛𝑛² −1 ^𝑛𝑛 cos𝑛𝑛𝑡𝑡

∞

𝑛𝑛=1

= 𝜋𝜋²

3 + 4 � −1 ^𝑛𝑛

𝑛𝑛² cos𝑛𝑛𝑡𝑡

∞

𝑛𝑛=1

0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋 このうちの初項数項を書き出すと以下のようになる．

𝑡𝑡² = 𝜋𝜋²

3 + 4 −cos𝑡𝑡 + 1

2² cos 2𝑡𝑡 − 1

3² cos 3𝑡𝑡 + ⋯

上式においてtをどのように与えると求めたい式となるか？

4 −cos𝑡𝑡 + 1

2² cos 2𝑡𝑡 − 1

3² cos 3𝑡𝑡 + ⋯ = 𝑡𝑡² − 𝜋𝜋² 3 1 + 1

2² + 1

3² + 1

4² + ⋯ = 𝜋𝜋² 求めたい式 6

cos𝑡𝑡 をなんとかすれば・・・

𝑡𝑡 = 𝜋𝜋 （cos𝜋𝜋 = 1)と置くと 一般式

𝜋𝜋² = 𝜋𝜋²

3 + 4 � −1 ^𝑛𝑛

𝑛𝑛² cos𝑛𝑛𝜋𝜋

∞

𝑛𝑛=1

𝜋𝜋² − 𝜋𝜋²

3 = 4 � −1 ^𝑛𝑛

𝑛𝑛² −1 ^𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=1

= 4 � −1 ^2𝑛𝑛 𝑛𝑛²

∞

𝑛𝑛=1

= 4� 1 𝑛𝑛²

∞

𝑛𝑛=1

2𝜋𝜋²

3 = 4 � 1 𝑛𝑛²

∞

𝑛𝑛=1

2𝜋𝜋²

3 ∙4 = � 1 𝑛𝑛²

∞

𝑛𝑛=1

� 1

𝑛𝑛²

∞

𝑛𝑛=1

= 𝜋𝜋² 6

51

【宿題】

授業の内容を全面的に復習すること！

・試験終了後にレポートの回収を行う場合あります．

JABEE 認定のための資料として重要ですので，

試験終了後も各自破棄しないようにしてください．

・レポート６の返却については，個別対応いたします．

試験前の返却を希望する場合は， D-610 まで申し出てください．