言
ｃ 一○ Ｗ
Ｏ 脾
○ 半 一 夛！
ソ ︵ ︲ 十 Ｊ
Ｉ
Ｏ Ｕ 〆 一 ｒ 夕 へ し
Ｐ い 〃 却 渉 〃 胡園 ｗ Ｗ Ｊ 訓 帆 ︷ 一 戸 シ ﹃ ゴ Ｖ
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一 ザ 蛾 牌 ０ 説 腸 討 荊 仙 啄 一 ︾
島 〃
ず 川 榊 却 一ず 今ﾉ)、 』
ョ 鰐
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』
偏微分係数と 極大。極小の必要条件
一＝一一二雪■
NobuyukiTOSE
Apri l l6, 2018
﹁一 一 一 一一
一 一 一一
匂 一 ､OQ(、
ロ
[̲‑̲r 垂 NobuyukiTOSE 偏微分係数と極大・極小の必要条件 1／20
…マ P堂
冬､蕊溌蟻;蕊鶏溌蕊蕊瞬罵蕊蕊蕊灘蕊溌蕊認識蕊壁譲識騨認靜』 麓'．
ミクロ経済学における基本的な問題
ミクロ経済学では最初に以下の基本的な問題を学びます．
。生産理論(ProductionTheory)
･消費者理論(ConsumerTheory)
鄙 一一一二一 一一一一一 ､OQO'
ロ 一一一一
NobuyukiTOSE 偏微分係数と極大。極小の必要条件 2／20
’ ’ 眠
蝋 倒 副，
朧 R
ii点
１ １ 曲
Ⅲ
生産理論(ProductionTheo
ry)
丁｡γ侭｡｡'4
生産物(product)Cが生産要素(productionelements)A,Bから隼産される
とします. A,B,Cの価格はそれぞれp,9,rとします. AとBをそれぞれ xとy投入するときCがz=f(X,y)得られるとします．
このときf(x,y)を生産関数(productionfunction)と呼ばれます． またこ
の状況で利潤関数(profitfunction)を コ 7 ､9.ｸ¥ラス通関源
= 'irT
4(x,1)=c'88f 7r(x,y)=rf(x,y)‑px‑qy
と定義します．
生産理論の最初のステップは，利潤関数汀(x,y)を最大化して生産要素需
要関数
x=x(p,9,r),y=y(p,9,r)
を求めることにあります．
卸 一一一コ一
一 一 一 一
一 ､OQO'
□ 一日﹁一
I NobuyukiTOSE窪 ﾈタ 偏微分係数と極大。極小の必要条件 3／20
’
哩
)ry)
蝋懲 珊悪 譜消費者理論(ConsumerTheory) ､｡ 幽 、
商品(Goods)A,Bがあるとします. Aをx,Bをy購入するとき，消費者 が効用関数(uti lityfunction)"(><,y)の効用を得るとします． さらにA,B
の価格がp,qであるとします．
消費者が予算／を全額消費してA,Bを購入するとします． ここでの問題は
予算制約と呼ばれる制約条件
/‑px‑(J)/=0
の下で叩,y)を最大化して需要関数(demandfunction)
x=><(p,9, /),y=y(p,9,/)
と所得の限界効用(mariginal uti l ityofincome)
二二二二二
入＝入(p, (7, /) ←ﾋ"¥g#､
を得ることです．
ロ 旬 言 一一一 一一一一一 OQO'
NobuyukiTOSE ざ屯苞､畠 偏微分係数と極大・極小の必要条件 4／ 20
’
開円盤CT246p
印 粗 M開円幣(OpenDisc)
r>0'Po(a,b)ER2に対して
斗穐
ﾚ‑QAzし"ﾉ｡
ﾇニー
Br(Po) :={PER2; d(P,Po)<r} ■再口■ぬ‐や句、
P0,P)
を中心PO,半径r>0の開円盤と呼びます． こ
こでd(Po,P)は2点Po,Pの距離です. P(x,y)
のとき
８ Ｆ
印
■
■
・ ９
〃 ６ L
"
や
、
、、や、
h■■■■ロロ
I/(x‑a)2+(y‑b)'
d(P0,P) ニニニ
P
注意今後「Poの近くで〜」 という言い方をしますが， これはある正数
r>0に対して
任意のPEBr(Po)において〜
﹇ 一 一百 一
一 一 一 コ言
一 一 一
一一 ､O<kO' 鄙
画
偏微分係数と極大・極小の必要条件 5／20
NobuyukiTOSE
’
開集合(Opensubsets)CT246p
雌 耐Definition
R2の部分集合〃があるとします. (ﾉが開集合 であるとは任意のPoEUに対してr>0が存
在して
B'(Po) :={PER2; d(P:Po)<'}CU ￨
が成立することです．
」
注意(ﾉの任意の点Poの周りが〃に含まれてい
るということです．
鄙 一一一三﹇
一 一
︷ 一
一 ､OQG'
■ 一一﹁和■
偏微分係数と極大 ｡極小の必要条件 6／20
NobuyukiTOSEq D
’ 欝
M ' #
唖 『藍
開集合の例 鯉 燗
m
以下のR2の部分集合は開集合です．
●R2
。上半平面
"1 :={(xly)ER2;y>0}
(1､Quadrant)
R+:={(x,y)ER2; ×､y>0}
。第1象限
・開円盤
Br(Po) :={PER2; d(P,Po)<r}
﹃一 一 一一
一 一 一一
包 一 ､OQO'
7／20
ロ
偏微分係数と極大 ｡極小の必要条件 NobuyukiTOSE寺 P
駒
孔 元 × ︐ 夛 碕 ケ ー ッ ︲
３ × 信 一 ︒ ︑ 〆 〆 ︲ 山 イ Ｖ Ｏ ︽ 仙 平 ︽ 少 ︲〆 Ｆ Ｐ グ ヨ
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ｈ 増 ｇ Ｃ −ー Ｃ Ｐ 声 〆 Ｃ 一 歩 脳 釛︑ Ｊ 土 夛 ｍ Ｃ ｄ Ｉ ３ ｍｆ ｆ ｊ
卜，'。 宝 イ Ｖ Ｏf l I ◆
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1j 〆 幻 一 の ︶ の Ｃ ︑ く Ｊ 小 Ｖ Ｏ
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画 丁 ︵ ○ ⑥ ︶ ハ ハ 川 １ Ｊ × へ
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雫弓 一○ 一イ Ｊ Ｖ ユ ー Ⅱ 堅 ︵ ロ ー ﹂ つ し Ｖ ｏ
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制の ず 句 〆 ︶ 八 岬 印 テ 仁 訳 ︶
湧く
デ ー 今 一 Ｖ ０I式ﾉｨｰ､ −0
I
功 津 ・ 臼 群 脾 〆 〆 辨 甸乙 恥 イ ︵ く ｏ ｆ 命 メ ハ つ ︑ γ シ ﹀
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山 口 戸 か 一 ア ︵ で ０ ｓ ︶
ー 参一＋
醗 典
咽 冊 型 蠅
ｍｍ Ｉ
M ↑、
開集合一反例
以下のR2の部分集合は開集合ではありません．
ePoER2のなす集合{Po}
●閉上半平面
月:={(x,y)ER2; y≧0}
●閉第 象限
R+:={(x,y)R2; ><,y≧0}
●閉円盤
EFTF57:={pER2; d(P,Po)≦r}
罰 一一一国﹇
一一
︽ 一
一 ､OQO'
8／20
■ １Ｊａ
一 三 蜀 屋
偏微分係数と極大。極小の必要条件 NobuyukiTOSE
一 ︑ ０ −
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℃ ・ の 一 勺 レ ゴ タ ． 一 次 〆 夕 ・ 阿 − ９ 纐幸 イ ｖ Ｏ
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勺 ︵ 必
︑ ︑ １ 噸 勺 戸 叉 副︑ ︒ ︑ ︾ ︶ い ず︑Ｉ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ 上 砂 ｒ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ Ｉ Ｉ １ １ １ １ １ １ １ 日 １ １ Ｊ
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令 刃字 単 乱 ︒
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一 一 一 華
琶 群 凶 ﹃ ｖ ｏ 領 孑 令 貢 し 戸 一 ・ ﹀ ︶ 八 羽 一
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や 巾 顧 守 亀 ヴ ゾ ︹ ｍ Ｊ や ︵ 酔 切 寺 ︵ 勺 ︒ ︺
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︐ く ︲ ︲ ︵ ソ ブ 戸 劃 ︐ 今 一
I
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iﾘI畷副 "･W
W 乢
Differentiation 簡
Partial
R2の開集合U上の関数 ＝ 《̲,ｨ，し 、＄
f: (/‑>R 言＞○
§､？○ ＝河 逗一
BF(P｡)く U が定義されているとします．
Po(a,b)E〃に対してxの関数
F(x) :=f(x,b) ｡‑9<xく唾9
−−−(ご−
をX==aの近くで定義できます． さらにy
の関数
G(y) :=f(a,y)
をγ−．の近魚で定義する ：
6 ' fL)
﹇ 一一
﹃
﹇
﹇ 一 一一
鄙 一 ､OQO'
ロ ー
胴 Ｌ 旧 叩 剣 帥 七 唖 曽
偏微分係数と極大 ｡極小の必要条件 9／20
NobuyukiTOSE
’
恥 P里
醒
聯
PartialDifferentiation 肺
この状況で，定義の中の極限が存在すれば, Xとyに関する偏微分係数を
&(a,b) :=F'(a)=, !mf(x,.)"三ヂ(ﾖ'わ）
><‑>a X‑a
f(a,y)‑f(a,b)
"(a,b) :=G'(b) lim
y‑>b
二二二
y−b と定義できます．
﹃ 一一 一 一 一
一
鄙 ﹇ ､OQC'
ロ ー可
偏微分係数と極大・極小の必要条件 10／20ノ
NobuyukiTOSE
議議騨熱瀧譲灘霧灘蕊議灘§溌灘 雷鍵’
ample
噺 蝋
PartialDifferentiation‑Anex
R2上の関数
f(><,y)=x3+2><)/2+y3
について考えます. (alb)ER2の周りで考えるとして
戸(x) :=f(x,b)=x3+2xb2+b3, G(y) :=f(a,y)=a3+2ay2+y3
と定義します． このとき
二O‑t2Cﾍ､2秒今3丁
F'(x)=3><2+262, and G'(y)=4ay+3y2
から
3a2+2b2, i'(a,b)=4ab+3b2
M
弓 ）
&(a,b) 三三三
u
を得ます． Fい）
二 一一一
﹃ 一 一 一
卸 ﹃ ､OQG
11／20'
ロ
偏微分係数と極大・極小の必要条件 NobUyukiTOSE
蝋
1変数の極大点（極小点）一定義
二1S>。
(q!G) ー
]ci ! f−L
一
c=g c c.rg
<ァ
七
開区間]a,b[上の関数f: 1a,b[=>Rが与えられているとき
fがt==Cで極小(resp極大）
骨ある6＞0に対してfが]c‑6,c+6[上最小(resp最大）
骨ある6＞0に対して
f(t)三f(c) (c‑6<t<c+6) 、̲ノ
respf(t)≦f(c) (c‑6<t<c+6) Q c十S
C‑g‑
/ T､
｛
､』叩由哩ツ=(､典今f
１− −今一c‑rSc‑S Q
卸 蔭 一一一一一 OQO'
口 一
偏微分係数と極大・極小の必要条件
NobuyukiTOSE 12／20
、
1
l』
1変数の極大点（極小点) CT104‑105p
微分可能な1変数関数の極小点（極大点）に関する次の定理を紹介します．
Theorem
微分可能な関数f: 1a,bi‑>Rがあるとします. fがcE]a,b[で極小（極
大）ならば 、/ ノヲ
f'(c)=0 畳Ｐ盟尹龍
』
堂軍 司 亭 席
＜一
glr>。
注意これは中身を理解して欲しい定理です．
3r>Q、〜→一ィ
､ t 4
‑‑e−全一ユー半一・一
。、 c−g Q Q‑tre‑
4‑tr)= ぜ
オ' (七}=3tz オ(【､)＝。
【Fキザミ
一一 一
一 一一 一
旬 一 ､OQO'
□
偏微分係数と極大・極小の必要条件
NobuyukiTOSE 13 ／20
’ 穀5摺遜… F可霜 ぞ27 僻 ＃
,曲
Ⅲ
Minimal (Maximal)PointsCT268p
R2の開集合U上の関数
f: (/‑>R
に対して, fがPo(a,b)で極小(resp極大）であるとはある6>0が存
在して P｡｡理くし‑糸世｛
f(x,y)≧f(a,b) ((x,y)EB6(Po))
(resP P｡｡LI<ざ最F
f(x,y)≦f(a,b) ((x,y)EB6(Po))
）
が成立するときです．
罰 一一一三一 一一一一一 ､OQO'
14／20
ロ 一Ｊ
NobuyukiTOSE 偏微分係数と極大 極小の必要条件
I
つ ｄ 試 ︐ 卦 湯 〆 一 伊 一 ︽一
一一 へ 0 叶 寿 ︺
隆一4−m
『
Minimal (Maximal)Points‑TheoremCT269p
U‑
R2の開集合(ﾉ上の関数
f: "−》R
がUの各点PE(/でx,yについて偏微分できると仮定します．
Theorem
fがPo(a,b)EUで極小（極大）ならば ×岨
&(a,b)="(a,b)= (1)
が成立します．
』
この状況で(1)を満たす点Po(a,b)をfの停留点と呼びます．
〕 ､ , ﾐ剛岫、 i〃 鰄嚥鰯
1, {q{.)el"+z‑ft−ぅ(' (G(6>e(砿ゞで秘良齢腎(頁 菖二而噌.)薑。
､OQC'偏微分係数と極大・極小の必要条件 15／20
■ 土竜 一
NobuyukiTOSE ‐ ‐
’ 一 ‐ 鴫 ， ､
剛 間
<etChofnroof "
Minimal (Maximal)Points‑Sketchofproof
3S?。 さ(ｪ 》〉うす(c,("(c'(,')eBsM"､)))
fがPo(a,b)で極小とします． このときF(x)=f(x,b)はX==aで極小と
なります．実際
f(x,y)三f(a,b) ((x,y)EBS(Po)) 副Sンo
から 従っ
b) (a‑6<x<a+ 6
e BS(cq!6)7
(a‑6<x<a+6)
6
F(x)≧F(a) (a‑6<x<a+6)
となります． よって
F'(a)=0従って良(a,b)=0
であることが分かります．
q(i))= Ei(q!3) $3 3=6L‑才迦} ､−ぅ
〆＝
f>(c''c)ここ○
イ
(61=o
面 一一一一﹇ 〔､′
偏微分係数と極大・極小の必要条件
NobuyUkiTOSE 16／20
’
Minimal (Maximal)Points-Anexample
６ ６
十 今 Ｇ
５ ２
８ 一一
ｒ
アＬ
ｒ
瓜
６ 子
６
工↓
・
２
ｙ
十 ｏ Ｑ Ｕ
毒 缶 一
冬 一 Ｘ や 砿 刊
ユ
ｘ ヤ っ 全
昨 響 即 汚 し
＋
︾
Ｘ２
関数
f(x,y)
について考えます．
０
８ ６
０
０ ０
０
｜
｜ 岬一 一
十 ６
＋ ８ １ ｌ １ ｌ ｙ ｙ
・ ｙ ４ ４
× ４ 叶 叶 判 叶 ２ ２
０ ４
１ １
Ｖソ
Ｖゾ
Ｘ
ｉＸ
ｆ
か
を解くと, (x,y)=(1,1)がfの唯一の停留点であることが分かります．
に 一
一 一 一 茸
﹇
一 一 一 一
園 一 ､OQO'
ロ 一
偏微分係数と極大 ･極小の必要条件 17／20
NobuyukiTOSE
噺
クラメールの公式CT205‑206p
連立1次方程式
妻 三：刈 ｜
を考える･ yを消去するために(1)×d‑(2)×bを考える．
a(ﾒx bcx
+b(Iy +b(Iy
ｄｂ
ａ Ｂ Ｉ
二二二
‑） ﾆニニ
（空̲二些L‑w=gZ二互皇一
xを消去するために(1)×c‑(2)×aを考える．
叫心
(ろ4
１
’ １
bC)/
aciy
acx+
-) acX十
aC
二二二
βa
二二＝
Ｑａ
〃 一 一 卸
Ｃ Ｃ
ａ 吠 口
仏 一
一一 ｆ
ｙ 二
ｄ
ｊ３
ａ
︐Ｃ
ｉ ︑ 今
せ︲ 鋤
ＱＣ
Ｉ 〆６
︑ ｑ Ｑ 薑 I
I 一一
一 一一 一
一
一 ､OQG'
偏微分係数と極大・極小の必要条件 18／20
NobuyukiTOSE
’
1甲
11 鰯澱 』綱
行列式・クラメールの公式 N
行列式 −
P
〆 、 ヤ
これを用いると
：:､￨::￨ , ￨: :￨y‑"￨
特にD:=￨ ::￨≠0のとき
※‑古 : , γ‑吉: :
これをクラメールの公式と言います．
‑ NoFi'yuk!TOsE ￨ 偏微分係数と極大･極小の必要条件
一一 一
一 一一 一
鄙 一 ､OQO'
19／20
■ h
〈
1
』
剛 騨
一
ﾆーニ
ニーニ
クラメールの公式一例
ｙ ｙ ４
＋ ４
× ＋
Ｘ
２ ４
を解きます．
［〆,＄う
い
･4−4．4＝−8≠0〜さ （い〉 ！渉
D‑￨"￨‑'
oE‑ハ閥からクラメールの公式が適用できます．実際
一
１ １
１ １
８ ８
１ ８ １ ８
１ １
４ ６ ８ ４ ４
８ ６
ｉ ２
ｉ
ｌ ｌ８ １ ８
｜ キ
｜
１ ８ １ ８
Ｘ Ｖ ソ
一 一 一 一一 一
一
罰 一 ､OQG
20／20
ロ 唾一■・
Ⅱ
Ｉ NobuyukiTOSE 偏微分係数と極大。極小の必要条件
生1 届一
Z次正方行列(No.1)
唖』
一声一字 − ー＝ ■ ー ーーマーー壷一望一一…室一一一一一1…夢毛一里晶
NobuyukiTOSE
MSF2019,April30,2019 (平成最後の講義）
一 一一 毒
﹃
一 一一
﹃
﹃
一 一一 一
一 OQG'
1／15
卸
ロ
Ａ祁 咽
や NobuyukiTb u 0 Sロ■ロ■ 2次正方行列(No｡1)
ト馴
叫田 臘
』11
行列の掛け算 卍 1,
1行 ベクトル×列ベクトル
(二）
(a] a2) =alxl+a2x2
）
(a､ a2 a3) 二二二 alX1+a2X2+a3X3
加 地
(a& a2 ･ an) =alxl+a2x2+･ ･ ･+anxj,
Xh
． 一 一 一 号
一 一 一
﹁
一 一 一 一
卸 一 ､OQG'
2／15
□
2次正方行列(No.1)
NobuyukiTOSE
職
聯
■■
]Ii l群
2行の行列 、 ． ． ゞ
，≦(二). ；(屋)．
C==→(二）
EIR匹（二塁）
→
(36)= (2行2列の行列）
2二更正；'稲11
（ ｡二）
→
(訂b5)= (2行3列の行列）
一﹃
﹃ 一
﹃ 一 一壼 一
ＥＦ
一 一 一一
が ︾ ､OQO'
■
2次正方行列(No.1)
NobUyuki TOSE 3／15
’
行列×列ベクトル
§）
、
(1）
ct( ‑e(
ヘz62/
（ ）
→ r駄 （湖'二
(3b)(>)=×ﾖ+yb=x(:3)+
(討ちそ)(2Fay5+:で‑><(:i)+y
連立1次方程式の表現は次のようになる．
一 一
y(
ｂｂ１２)＝(這蛾)＝(ﾄ）
）≦毎）
><al+ybl+zcl
><a2+yb2+ZC2
'､L雫這）
(屋） (副
;）叩
す
く｝＝イ
１ノ
( +z(a) 二二二
一 一
ｑＱ
↓ａ
Ｘ Ｖジ
ー ２
Ｊ
！ ｂｂ
︑ま
︑ Ｉ Ｉ Ｊ ノ
− ２
句 比仁 卜 や 記
に い い 骨 十
︑
︑ １ １ ノ
↓
︐
●
︑
︺
骨 α β ｙ
／Ｉ
＋
ａｊ ｎ ｐ
｜
↓ ａ
ｆ ｌ
↓ Ｃ Ｘ
↓
＋
沁＋
／ １ １
︑
↓ ａ
↓ ａ ｌ Ｊ
Ｘ
↓ Ｃ
Ｘ
合
↓ 劾
α 骨
Ｑ
〃 α ＲＰ
↓ ムｕ
ｙ
ｌ ｌ ｌ ｌ
｜
｜
｜
＋
↓ ａ
伽 切 耶 叩
↓
＋ ＋
＋ ＋
︑ ｊ
叩 刎 伽 伽 川 る
ｒ ｌ １ ｉ 叶 叶 師 億
列地 垂思 圭我
ｒ ４ １ 注 定
z
:）
)(i)
二二二 (:）→
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一一 一 司一
一 一一 一
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NobuyukiTOSE 2次正方行列(No.1)
汽 迷 Ｆ Ａ
〆−− 戸産』P い Cbごbfも 季Pゴ ー̲／ ll x へ 四mm いい胃 一一 十 、＜ 一一ヘ ダ厚旦 −−一 一一ヘ ＞く＞<＞く Hg当 十十十 《く、＜、＜ Rgg‑ −−一
毎 s
一一 ｚ ０ 口 匡 世 匡 蚕 引 ○ い ︑
』八
＋け ､〈瀞 C‑lQ｣↓ ￨ 一 ︾ 一 ︾ ︑ Ⅱ 一 ︾ 一 ︾ ︑ Ⅱ 一 癖 一
画 斎 月 叶 載 望 ︵ 之 ︒ ・ 二
| □ ￨ 記一一 ヘヘヘ 身｜皆聖 R‑g‑g‑ …
画 11 ﹃二 一 一 一 一
一 一 一
︵ 一 一 Ｌ
Ml IIIII 鳥 ︺ 戸 へ ぞ
印 ︑ 昌 切︑
ｚ ○ ず 匡 旦 匡 蚕 ﹃ ○ い ︑
ご−− PP" …トク− ぬごbゐ いノ1卜，一
い ふ 剖 函 心 一 一
浄 圃 汁 Ⅲ 望
塑 Ⅷ
一
一 一
一一 "P|rPM −−ノ 一 一 |’ｆ ←
Ⅱ × 叫 十 ま ひ ＋ Ｎ ︑ Ⅱ ×
一一ヘ ＞<＞<＞< 山四四 四I。房 十十十 ､＜、＜く O‑C‑O‑ 画澤 ＋＋＋ NNN a9p −−一
掴 斎 月 叶 司 望 言 ︒ ・ 二
|’ ̲、 へ︵ 柵 ︶ ＋ Ｋ 一 ︾ ︶ ＋ Ｎ ︵ 川 ︶
へへ 山 ﹄ ひ 骨 ︒ ﹄ ︶ 一 一 一
ｍ い ひ い Ｇ ︶ 一 一 一
四 Ｆ Ｅ 一 一 一
ロ 勘 I 111 11111 侭 ︺ の ︹ ぐ
○ 一 得 ︑
︑
