広島大本番レベル模試(理系) 解答・解説・採点基準

1

広島大本番レベル模試(理系) 解答・解説・採点基準

全５問 １５０分 ２００点満点

〔１〕 （４０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 6点

1

1

a =2から，逐次的に計算すると,

2

3

4

1 2

1 1 3 0 2

1 3 0

2 1 5 3

1 5

3 1 8 5

a

a

a

= − = −  +

= − = 

− −

= − = − + となる。

(答) ₂ 2 ₃ 3 ₄ 5

, ,

3 5 8

a = − a = a = −

2

2

a = −3‥2点

3

3

a =5‥2点

4

5

a = −8‥2点

(2)

数学的帰納法によりa_2n−10を示す。

[1] n=1のとき

1

1 0

a = 2 より成立する。

[2] n k= (kは正の整数)のときa_2k−10を仮定すると,

2

2 1

1

k 1

k

a a ₋

= −

+ ・・・①

となる。ここで, ①式の分母は正であり, 分子は負であるから

2_k 0

a  である。よって,

(2) 14点

2_k 1 0

a ₋  の仮定の下 でa_2k 0‥6点

2

2 1 2

1

k 1

k

a ⁺ a

= −

− ・・・②

と な る 。 こ こ で, ② 式 の 分 子 と 分 母 は 共 に 負 で ある か ら,

( ) 2 1

2_k 1 1 _k 0

a _{+ −} =a ₊  である。よって, n k= +1のときも成立する。

以上, [1], [2]より, 問題文の主張は成立する。

(証明終)

証明完了‥8点 (n=1の確認がない 場合は2点減点) (3)

(2)の過程より, a_2n−1=  0とおくと,

2

1

n 1

a 

= − +

となる。ここで, a_2n 0であるから,

( )( )

2 1

2

2 2 1

1 1

1 1 2

1

1 1 1

1 2 1 2

n

n n

a

a a







  

   

+

+

− +

= =

− − +

+

− + + −

 + = + =

+ + + +

を得る。よって,

( )( )

( )

2 2 1

2

0

1 0 1 2 0

1 5 1 5 0

2 2

0 5 1 2

n n

a a

   

 

 + + 

 + −  + + 

 − +  − − 

 −  − 

  

   −

を示せば十分である。以下, 数学的帰納法により

2 1

0 5 1

n 2

a ₋ −

  ・・・③

を示す。

[1] n=1のとき

1

1 a =2 であり,

5 1 4 1 1

2 2 2

−  − =

より,

(3) 20点

2n 2n 1

a +a ₊ を a_2n−1の みで表す‥5点

③式に帰着して

‥5点

3

1

0 5 1

a 2−

  が成立する。

[2] n k= (kは正の整数)のとき _{2 1} 5 1

0a^k₋  2− を仮定すると,

2 1 2 1

2 1 2 1

1 1 1

2 2

k k

k k

a a

a a

+ −

− −

= + = −

+ +

より,

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2 5 3

2

2 1 1

2 2

3 5

3 5 1 1

2 2 2

1 1 1 5 1

2 2 2

1 5 1

0 2 2

k

k

k

k

k

a

a

a

a a

−

−

−

−

+

 +  +

  

+ +

 −  

+

  −  −

+

    −

となり, n k= +1のときも③式は成立する。

以上, [1], [2]より, _{2 1} 5 1

0aⁿ₋  2− が示され, 同時に問題文の主張 も示された。

(証明終)

2k 1

a ₊ をa_2k−1の み で 表す‥5点

証明完了‥5点 (n=1の確認がない 場合は2点減点)

(3)[別解1]

(2)の過程より, a_2n 0であるから, a_2n =とおくと,

2 1

2

2 2 1

1 1

1 1

1 1

n

n n

a

a a



 

  

+

+

= −

−

− − −

 + = + =

− −

を得る。よって,

(3)[別解1] 20点

2n 2n 1

a +a ₊ をa_2nのみ で表す‥5点

4

( )

( )

2 2 1

2

0

1 0 1 0

1 5 1 5

2 2 0

1 5 1 5

0 0

2 2

1 5

2 0

n n

a a

  

 

 



+ + 

 − −  − 

 +  − 

 −  − 

 

− +

 −   −  

  − 

を示せば十分である。以下, 数学的帰納法により

2

1 5

n 2

a  − ・・・④

を示す。

[1] n=1のとき (1)の結果より

2

2 a = −3 である。また,

5 6.25  5 2.5 より,

( )( )

( )

( )

2

1 5 1 5 2

2 2 3

7 3 5 6

7 3 5 7 3 5 6 7 3 5

2 3 7 3 5 0

− a −

− = +

= −

− +

= +

= +



2

1 5 a −2

  が成立する。

[2] n k= (kは正の整数)のとき ₂ 1 5

k 2

a  − を仮定すると,

④式に帰着して

‥5点

5

( )

( )

2 1

2 2

2

2 2 2

2 2 2

1 0

1

1 2 1

1 1

1 1 1 2 1 2

1 1

k

k

k

k k

k k

k

k

a a

a a

a a a a

a

+

+

= − 

−

− − − +

= − = = − = − −

− + − + − − −

− より,

( )

2

2

2

2

2

2

2

1 5

2

3 5

2 2

1 2 3 5

2 3 5 2

1 3 5

2 0

1 5

1 1

2 2 2

1 5

2

k

k

k

k

k

ak

a

a

a

a a ₊

 −

 −  − +

  − = − −

− +

−

−

 − −  − + = −

−

  −



となり, n= +k 1のときも④式は成立する。

以上, [1], [2]より, ₂ 1 5

n 2

a  − が示され, 同時に問題文の主張も示

された。

(証明終)

2k 2

a ₊ をa_2k^のみで表 す‥5点

証明完了‥5点 (n=1の確認がない 場合は2点減点) (3)[別解2]

(1)の過程よりa_2n+1^をa_2n−1^で表すと

2 1

2 1

1 1

n 2

n

a ⁺ = −a ₋ +

となる。同様にa_2n+2をa_2n^で表すと

2 2

2

1 1

n 2

n

a ⁺ = − −a

− となる。以上より

2 2 2 1

2 1 2

1 1

2 2

n n

n n

a a

a a

+ +

−

 

+ = − + + − 

(

2 ²2

)(

²2 ¹1 2

)

n n

n n

a a

a a

−

−

= − +

− + ・・・⑤ を得る。 (2)より,

( )( )

2_n 0, 2_n1 0 2_n 2 2_n1 2 0

a  a ₋   − a − a ₋ + 

である。ゆえに⑤式よりa_2n+2+a_2n+1とa_2n+a_2n−1の符号は一致する。

(3)[別解2] 20点

2n 1

a ₊ ^をa_2n−1^{の み で} 表す‥5 点(途中式 は本解に示した)

2n 2

a ₊ をa_2n^のみで表 す‥5 点(途中式は 別解1に示した)

⑤式を導いて‥5点

証明完了‥5点 (n=1の言及がない 場合は2点減点

6 ここで, (1)より, _{2 1} 1 2 1

2 3 6 0

a +a = − = −  であるから帰納的に

2_n 2 2_n1 0

a ₊ +a ₊  である。

2_n 0

a  の証明は(2) の 答 案 か ら 読 み 取 れれば無くても可) (証明終)

1

〔２〕 （４０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 5点

(

a a1, 2

)

の選び方は4²=16通りであり, それぞれ同様に確からしく 選ばれる。その内a1+a2 =0を満たすのは,

(

a a1, 2

) (

= −2, 2 ,

) (

−1, 1 , 1, 1 , 2, 2

) (

−

) (

−

)

の4通りである。よって求 める確率は ^{4 1}

16=4となる。

(答) 1

4 答‥5点

(2)

方法Mは, 整数の絶対値と符号を独立に定めていると見ることが できる。具体的には, 絶対値は1, 2からそれぞれ1

2の確率で, 符号は + −, からそれぞれ1

2の確率で選んでいると見ることができる。絶対 値と符号に注目して条件を言い換えると,

aとbが直交する。

0

  =a b

1 1 2 2 0

a b a b

 + =

「 a b_{1 1} = a b_{2 2} 」かつ「a b1 1とa b2 2が異符号である。」

となる。絶対値と符号は独立に定まっていたので, それぞれの確率 を考えればよい。

まず a b_{1 1} = a b_{2 2} となる確率を考える。P= a b_{1 1} とすると, 1, 2, 4

P= となり得る。P=1となるのは,

(

a1 , b1

)

=

^{( )}

1, 1 となると きのみで, 確率は

1 2 1

2 4

  =

   である。P=4となるのは,

(

a1 , b1

)

=

⁽

2, 2

⁾

となるときのみで, 確率は

1 2 1

2 4

  =

   である。よっ

て, P=2となる確率は, 1 1

1 2

4 2

−  = である。a b_{2 2} も同様であるか

(2) 15点

絶対値と符号を考 える工夫(またはそ れと同等の考える パターンを減らす ための工夫)‥5点

2 ら, a b_{1 1} = a b_{2 2} となる確率は,

2 2 2

1 1 1 3

4 2 4 8

  +  +  =

     

      である。

次にa b_{1 1}とa b_{2 2}が異符号となる確率を考える。これはa₁とb a b_{1 2 2}が 異符号となる確率と等しく, 1

2である。

以上より, 求める確率は^{3 1 3}

8 2 16 = となる。

(答) ³

16 答‥10点

(3)

2 2

1 2

a = a + a であるから, a はa₁ , a₂ によって定まる。a は

2, 5, 2 2となり得るが, それぞれの確率は1 1 1

4 2 4, , である。b

も同様であるから, a  b となる確率は,

1 1 1 1 1 5

4 2 4 2 4 16

 

 + +  =

である。次に a  b かつ^{b= −}

(

^{1, 2}

)

^{である確率を考える。b= −}

(

^{1, 2}

)

となる確率は ¹

16である。さらに a  b  a  5となるのは, 2

a = のときで, その確率は1

4である。よってこの確率は

1 1 1

16 4 =64である。よって求める条件付き確率は 1

64 1 5 20 16

=

である。

(3) 20点

a  b となる確率

‥5点

a  b か つ

(

^{1, 2}

)

b= − で あ る 確率‥5点

条件付き確率の理 解(正しい立式)

‥5点

3

(答) 1

20 答‥5点

1

〔３〕 （４０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 8点

( )

₁ ¹ x

f x = e⁻

+ ^{について,}

( ) ( )

( )  ( ) 

1 2

1

1 1

1 1

1 1 1

1

x x

x

x x

x x

f x e

e e

e e

e e

f x f x

−

−

−

− −

− −

 = − − +

= 

+ +

 

= +  − + 

= −

となる。

(証明終)

( ) (

¹

)

²

x x

f x e

e

−

 = −

+

‥4点

証明完了‥4点 (2)

V は, 下図斜線部分をx軸のまわりに1回転してできる回転体で ある。

x y

O

(1)の結果より



^{f x}

( ) 

^{2 = f x}

( )

^{− f x}

( )

が成り立つことと,

( )

x^x₁ ^log

(

^{x 1}

)

f x dx e dx e A

= e = + +

 

+ ^{(Aは積分定数)} であることを踏まえると, 求める体積は,

(2) 12点

(1)の結果を利用す る方針‥3点 log3

x=

( )

y= f x

2

 ( )   ( ) ( ) 

( )

log 3 2 log 3

0 0

log 3

0

log 1 1 1 log 2 1

4

x

x

f x dx f x f x dx

e e

 





−

= − 

 

=  + − + 

 

=  − 

 

となる。

(答) 1

log 2

^ −4^

 

立式‥3点

答‥6点 (2)[別解]

V は, 下図斜線部分をx軸のまわりに1回転してできる回転体で ある。

x y

O

したがって, 求める体積は

 ( ) 

( )

log 3 2 log 3

0 0 2

1

1 ^x

f x dx dx

e

 

= −

 

+

となる。ここで, t e= ^−xと置換すると, 積分範囲は

x ₀ → log3

t 1 → 1

3 となり, また

1 dt x

dx e

dx dx

t

= − −

 = −

であるから, 求める体積は

(2)[別解] 12点

立式‥3点

 ( ) 

log 3 2

0 f x dx





^を

置換積分で直接求 める方針‥3点 log3

x=

( )

y= f x

3

( ) ^{( )}

( )

( )

log 3 1

3

2 2

0 1

1 3 1 2

1 3

1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

log log 1 1 1 log 2 1

4

x dx dt

t t e

t t t dt

t t

t

 







−

 

=  − 

  + +

 

 

= − + + 

+ +

 

 

 

= − + + − + 

 

=  − 

 



となる。

(答) 1

log 2

^ −4^

 

答‥6点 (3)

(1)の過程より

( )

(

¹

)

²

x x

f x e

e

−

 = −

+ ^{であるから,} 直線 の方程式は,

( ) ^{( )}

1

1 1 2

1 3

log 3

1 3 1 3

3 3 3

log 3

16 16 4

y x

y x

−

− −

− = −

+ +

 = − +

となる。ここで, x0において

( )

(

¹

)

^{2 0}

x x

f x e

e

−

 = − 

+ ^{であり, 同じ} くx0において

( ) ( )  ( ) 

( )

( )

( )

2

4

2 3

1 2 1

1 1

1 0

x x x x x

x

x x

x

e e e e e

f x

e

e e

e

− − − − −

−

−

−

− + −  − +

 =

+

= − +



である。したがって, 曲線Cはx0において上に凸な曲線であり, 接線 は曲線Cより上に位置することが分かる。このことから, 求める面積は下図斜線部分の面積となる。

(3) 20点

直線 の方程式

‥4点

4 x y

O よって, 求める面積は,

( ) ( )

( )

( )

log 3 0

log 3 0

log 3 2

0 2

3 3 log 3 3

16 16 4

3 3 3

log 3

16 16 4

3 3 3

log 1 log 3

32 16 4

3 3

log 2 log 3 log 3

32 4

x

x f x dx

f x x dx

e x x

 − + − 

  

 

  

= − + + − + 

 

 

   

= − + + + − +  

= − − +





となる。

求める面積部分を 図示あるいは言及 して‥2点

立式‥4点

(答) ^{log 2 3}

(

^{log 3}

)

^{2 3log 3}

32 4

− − +

答‥10点 log3

C

1

〔４〕 （４０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 10点

条件(i), (ii)より, 複素数平面上における各点の位置関係は下図の ようになる。

x y

O

上図から

arg AOB

arg AOC









  = 

  

  = 

  

が言えるため, AOB, AOC を求めればよい。さて, 条件(i), (ii) よりOA AD, AD AB= = であるから, OA AB= となる。したがっ て, △OABは頂角が 5

3 2 6

 + = の二等辺三角形であり

1 5

AOB 2 6 12

  

 

 =  − =

となる。よって, arg

12

 

  =

   ^{である。また, 同様に} COD 12

 =  で あるから

arg  AOB

  = 

   ,

arg  AOC

  = 

  

‥2点(完答)

AOB 12

 =  ‥4点

( )

A 

( )

B 

( )

C 

( )

D 

1

2

AOC AOD COD

3 12 4

 



 =  − 

= −

=

となる。よって, arg

4

 

  =

   ^である。

(答) arg , arg

12 4

   

 

 =  =

   

   

AOC=4

  ‥4点

(2)

上図より, OB 2cos 12

=  であり, 同様にOC 2cos 12

=  となる。

cos cos

12 3 4

cos cos sin sin

3 4 3 4

1 3

2 2 2 2 2 6

4

  

   

 

=  − 

 

= +

= +

= +

であることを踏まえると, 答は

( )

OB cos sin

OA 12 12

2cos cos sin cos sin

12 12 12

2 6 cos sin

2 12 12

i

i i

i

 

 

    

   

 

=  + 

 

=  +  +

+     

=   + +  + 

(2) 10点

OB OC 2cos 12

= = 

‥2点(完答)

2 6

cos12 4

 = +

‥2点 O

A

B 12

 1

3

( )

OC cos sin

OA 4 4

2cos cos sin cos sin

12 4 4

2 6 cos sin

2 4 4

i

i i

i

 

 

    

   

 

=  + 

 

=  +  +

+     

=   + +  + 

( )

OD cos sin

OA 3 3

cos sin cos sin

3 3

cos sin

3 3

i

i i

i

 

 

   

   

 

=  + 

 

= +  +

   

=  + +  + 

となる。

(答) 前式

答‥6点 (各2点×3) (3)

, , ,

   は方程式^{P z}

( )

^{=0の解であるから, P z}

( )

の最高次の項 の係数が1であることを踏まえると

( ) ( )( )( )( )

P z = z− z− z− z− と書ける。したがって, 定数項 の係数比較によりa₀=が得られるから

( )

2 0

cos 4

12 4 3

2 6

2 sin 4

12 4 3

2 2

2 3 cos 4 sin 4

3 3

a

i

i

   

   

   

  + + +  

 

 +     

=    +  + + + 

    

= +   + +  + 

となる。

(答) ^a0=

(

^{2+ 3 cos}

)

^ ^²₃^+4^+isin²₃^+4^

(3) 10点

a0=‥2点

答‥8点 (4)

(3)の結果より, a₀が正の実数になるための必要十分条件は

2 4 2

3 3

6 k k

  

   + =

 = −

が成り立つことである。ただし, kは整数である。0≦2であ ることを踏まえると, 上の方程式はk=1, 2, 3, 4で解けて

(4) 10点

a0が正の実数にな るための の必要 十分条件‥2点

4

5 4 11

, , ,

3 6 3 6

 =   

となる。したがって, a₀が正の実数となるような =cos+isin は

1 3 3 1 1 3 3 1

, , ,

2 2 i 2 2i 2 2 i 2 2i

= + − + − − −

の4つである。

条件を満たす を 求めて

‥2点(完答)

(答) 1 3 3 1 1 3 3 1

, , ,

2 2 i 2 2i 2 2 i 2 2i

 = + − + − − −

答‥6点(完答)

1

〔５〕 （４０点）

【解答・採点基準】

(1) (1) 5点

tを実数とする。曲線C₁の接点

( )

^{t t, 2 における傾きは, y =2xに}

x t= を代入して2tとなる。したがって, C₁の接点

( )

^{t t, 2 における接}

線の方程式は

( )

²

2

y= t x t− +t 2 2

y tx t

 = − ・・・①

である。直線l_Pの傾きは 3

3 であるから, 2 3

3 3 6 t

t

=

 =

である。よってl_Pの方程式は

3 1

3 12

y= x− となる。

(答) 3 1

3 12

y= x− 答‥5点

(2)

C1とC₂の接点がQであり, また, C₁と直線l_Qの接点もQであるか ら, l_QはC₁, C₂の共通接線である。l_Pとl_Qの交点をRとする。l_Pの 傾きは 3 tan

3 6

=  であるから, l_Pとx軸の正の向きとのなす角が

6

 である。四角形PIQRについて, 四角形の内角の和が2であるこ

とと, 5

PIQ , RPI , RQI

6 2 2

 



 =  =  = であることから,

PRQ 2 2 5

2 6 6

  



 = −  −

=

(2) 10点

PRQ 6

 = ‥2点

2 となる。よって, l_Qとx軸の正の向きとのなす角は

6 6 0, 3

  = 

である。l_Qとx軸の正の向きとのなす角が0, 3

 のときのl_Qの傾き

は, それぞれ tan 0 0=

tan 3

3

 =

である。l_Qの傾きは正であるから, l_Qの傾きは 3と求まる。

x y

O

①において, y=2tx t− ²の傾きが 3であるから

2 3

3 2 t

t

=

 =

である。よってl_Qの方程式は 3 3

y= x−4 となる。

(答) 3

3 4

y= x−

lQとx軸の正の向 きとのなす角の候

補が0, 3

 ‥2点

lQの傾きは 3

‥2点

答‥4点

(3) (3) 10点

Q

P I

2 1: C y=x

C2

lP

lQ

6



5 6

3

 ⁶

R 

3

x y

O

直線mとx軸のなす角は, l l_P, _Qのそれぞれがx軸の正の向きとな す角の和の半分であるから, mの傾きは

6 3

tan tan

2 4

1

  

 + 

 

 =

 

 

 

=

である。また, l l_P, _Qの交点は

3 1

3 12 3 3

4

y x

y x

 = −



 = −



を解いて,

(

^,

)

^{3 1,}

3 4

x y  

=  

と求まる。よって, 傾き1で 3 1 3 , 4

 

 

 

 を通る直線がmであるから,

3 1

1 3 4

3 1 3 4

y x

y x

 

=  − +

 = − +

となる。

mの傾きが1‥2点

P, Q

l l の交点の座標

‥2点

2 1: C y=x

Q I

P C2

lP

lQ

m

3



6



R

4

(答) 3 1

3 4

y= −x + 答‥6点

(3)［別解］

( )

S X Y, とする。 _P: 3 1 3 12

l y= x− , _Q: 3 3

l y= x−4より,

(

^{X Y,}

)

と

P, Q

l l の距離は, 点と直線の距離の公式から

( ) ( ) ^{( )}

2 2 2

2

3 1 3 3

3 12 , 4

3 1 3 1

3

X Y− − X Y− −

  + − + −

 

 

 

と, それぞれ表せる。PIQの二等分線mは,

(

^{X Y,}

)

^とlPの距離と,

(

^{X Y,}

)

^とlQの距離が等しい点の軌跡であるから

( ) ( ) ^{( )}

2 2 2

2

3 1 3

3 12 3 4

3 1 3 1

3

3 3

3 3

12 4

X Y X Y

X Y X Y

− − − −

=

  + − + −

 

 

 

 − − = − −

3 3

3 3

12 4

X Y X Y

 − − = − − または

3 3

3 3

12 4

X− Y− = − X Y− − 

3 1

3 4

Y X

 = − + + または 3 1

3 4

Y =X− +

となる。傾きは正であるから 3 1

3 4

y= −x + と求まる。

(答) 3 1

3 4

y= −x +

(3)[別解] 10点

二等分線の軌跡を 求める方針‥2点

立式‥2点

答‥6点

(4)

mはPIQの二等分線であることと, △IPRと△IQRは合同である ことから, PRQの二等分線でもある。したがって, mはl l_P, _Qの二 等分線である。さらに, C₂はl l_P, _Qに接しているため, 点Iはm上の 点である。よって, uを実数として

(4) 15点

5 I , 3 1

3 4

u u 

− +

 

 

 

とおける。また, (2)より 3 3

Q ,

2 4

 

 

 

 である。_Q 3

: 3

l y= x−4について, QI⊥lQより, 直線QIとl_Qの方向ベクトルの内積を考えて

( )

( ) ( )

3, 3 1 3 1, 3 0

2 3 4 4

1 3 1 3 0

1

u u

u u

 

− − + −  =

 

 

 

 + − + =

 =

となる。よって, 5 3 I 1, 4 3

 

 − 

 

 である。また, C₂の半径は, 線分QIの 長さに等しいことより,

( )

2 2

2 2

2

3 3 5 3

2 1 4 4 3

3 1 3 1

3 3 2 3 2

3 1 3 1

3 2

2 3 1

3 2

2 3 1 3

 

 −  + − − 

    

    

    

    

 

=   −  + − 

 

= +  − 

 

=  −

= −

と求まる。

(答) 5 3

I 1, 4 3

 

 − 

 

 , 半径：2 3

3 −1

I , 3 1

3 4

u u 

− +

 

 

 

とおく‥2点

内積の立式‥3点

答‥10点

（各5点×2）

(4)[別解1］

C2はl l_P, _Qに接しており, さらにmはl l_P, _Qの二等分線であるので, 点Iはm上の点である。よって, uを実数として

I , 3 1

3 4

u u 

− +

 

 

 

とおける。また, (2)より 3 3

Q ,

2 4

 

 

 

 である。線分QIの長さが半径に 等しいことより, 点と直線の距離の公式から

(4)[別解1] 15点

I , 3 1

3 4

u u 

− +

 

 

 

とおく‥2点

6

( ) ^{( )}

( )

2 2

2 2

2 2

3 1 3

3 3 4 4 3 3 1 3

2 3 4 4

3 1

1 3 1 3 1 3 1 3

2 3 2 2 3

u u

u u

u u u

 

− − + − =  −  + − + − 

   

+ −

   

 − + − =  −  + − − 

( )

²

1 3 5 3 4 3

3 1 2 1

2 u 3 u  3 u 3 3

 − − = − +  + + ^・・・②

となる。両辺はともに正なので, 2乗しても同値であり,

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2

2 2

2

2

2

2

2 2

1 3 5 3 4 3

3 1 2 1

4 3 3 3 3

3 5 3 4 3

3 1 4 2 1

3 3 3 3

8 3 4 2 3

4 2 3 4

3 3 3

20 3 16 4 3

8 4

3 3 3

4 2 3 8 4 3 4 2 3 0 2 1 0

1 0 1

u u u

u u u

u u

u u

u u

u u

u u

 

− − = − +  + +

 

   

 

 − − =  − +  + + 

 

 − − −  + −

 

= − +  + +

 + − + + + =

 − + =

 − =

 =

となる。よって, 5 3 I 1,4 3

 

 − 

 

 である。また, C₂の半径は, ②の左辺 より,

( )

³

(

^{3 1}

)

²

1 3 1 1 3 1

2 3 2 3

2 3 1 3

− − =  −

= −

である。

(答) 5 3

I 1, 4 3

 

 − 

 

 , 半径：2 3

3 −1

線分QIの長さにつ いての立式‥3点

答‥10点

（各5点×2）

(4)[別解2]

直線QIは, 点 3 3

Q ,

2 4

 

 

 

 を通り, _Q 3

: 3

l y= x−4に垂直である直線 であるから,

(4)[別解2] 15点

7

1 3 3

2 4

3

3 5

3 4

y x

y x

 

= −  − +

 = − +

である。直線QIと : 3 1 3 4

m y x= − + の交点が点Iの座標であるから, 連立して

( )

3 5

3 4

3 1 3 4

5 3

, 1, 4 3

y x

y x x y

 = − +



 = − +



 

 = − 

と求まる。また, C₂の半径は, 線分QIの長さに等しいことより,

( )

2 2

2 2

2

3 1 3 5 3

2 4 4 3

3 1 3 1

3 3 2 3 2

3 1 3 1

3 2

2 3 1

3 2

2 3 1 3

 

 −  + − − 

    

    

    

    

 

=   −  + − 

 

= +  − 

 

=  −

= −

と求まる。

直線QIの方程式

‥3点

直線QIとmの交点 が点I‥2点

(答) 5 3

I 1, 4 3

 

 − 

 

 , 半径：2 3

3 −1 答‥10点

（各5点×2）

5

( )

( )

2 1

2 2

2

2 2 2

2 2 2

1 0

1

1 2 1

1 1 1

1 1 1 1 2 2

1

k

k

k

k k

k k

k

k

a a

a a

a a a a

a

+

+

= − 

−

− − − +

= − = = − = − −

− + − + − − −

− より,

( )

2

2

2

2

2

2

2

1 5

2

3 5

2 2

1 2 3 5

2 3 5 2

1 3 5

2 0

1 5

1 1

2 2 2

1 5

2

k

k

k

k

k

ak

a

a

a

a a ₊

 −

 −  − +

  − = − −

− +

−

−

 − −  − + = −

−

  −



となり, n k= +1のときも④式は成立する。

以上, [1], [2]より, ₂ 1 5

n 2

a  − が示され, 同時に問題文の主張も示 された。

(証明終)

2k 2

a ₊ をa_2kのみで表 す‥5点

証明完了‥5点 (n=1の確認がない 場合は2点減点) (3)[別解2]

(1)の過程よりa_2n+1をa_2n−1で表すと

2 1

2 1

1 1

n 2

n

a ⁺ = −a ₋ +

となる。同様にa_2n+2をa_2nで表すと

2 2

2

1 1

n 2

n

a ⁺ = − −a

− となる。以上より

2 2 2 1

2 1 2

1 1

2 2

n n

n n

a a

a a

+ +

−

 

+ = − + + − 

(

2 ²2

)(

²2 ¹1 2

)

n n

n n

a a

a a

−

−

= − +

− + ・・・⑤ を得る。 (2)より,

( )( )

2_n 0, 2_n1 0 2_n 2 2_n1 2 0

a  a ₋   − a − a ₋ + 

である。ゆえに⑤式よりa_2n+2+a_2n+1とa_2n+a_2n−1の符号は一致する。

(3)[別解2] 20点

2n 1

a ₊ をa_2n−1の み で 表す‥5 点(途中式 は本解に示した)

2n 2

a ₊ をa_2nのみで表 す‥5 点(途中式は 別解1に示した)

⑤式を導いて‥5点

証明完了‥5点 (n=1の言及がない 場合は2点減点

6 ここで, (1)より, 2 1

1 2 1

2 3 6 0

a +a = − = −  であるから帰納的に

2_n 2 2_n1 0

a ₊ +a ₊  である。

2_n 0

a  の証明は(2) の 答 案 か ら 読 み 取 れれば無くても可) (証明終)