微分方程式の数値計算

(1)

微分方程式の数値計算

〜1次元波動方程式を題材にして〜

桂田祐史 2014 年 9 月 18 日

講演資料は

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/20140918/

にあるファイル

20140918.pdf (nalab

の

l

は

L

の小文字)。

Safari

で直接読めなくはないが、プログラムのコピー＆ペーストがしにくいので、control+

クリックで保存して、プレビューで読むことを勧める。

問

1

では次の微分方程式を考えている。

(WE) ∂

²

u

∂t

²

(x, t) = c

²

∂

²

u

∂x

²

(x, t) (x ∈ R , t > 0).

ただし

c

は正定数である

(実は波の速さを表す)。

問

1

任意の関数

f, g

に対して、

(D) u(x, t) := f(x − ct) + g(x + ct)

で定まる

u

は

(WE)

の解であることを確かめよ。

ヒント: 一般に

{ F (ax + b) }

^′

= aF

^′

(ax + b).

だから例えば

∂

∂t F (at + bx) = aF

^′

(at + bx).

問

2

では、xの範囲を

0 ≤ x ≤ 1

に限定した次の問題を考えている。

∂

²

u

∂t

²

(x, t) = c

²

∂

²

u

∂x

²

(x, t) (0 < x < 1, t > 0) (WE)

u(0, t) = u(1, t) = 0 (t > 0) (DBC)

u(x, 0) = ϕ(x), ∂u

∂t (x, 0) = ψ(x) (0 ≤ x ≤ 1) (IC)

p

と

f

は次式で定まる関数とする。

p(x) = {

(x

²

− 1)

⁴

( | x | < 1)

0 ( | x | ≥ 1), f (x) = p (

10 (

x − 1 2

))

(0 ≤ x ≤ 1)

1

(2)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

図

1: f

のグラフ

( x −

¹₂

< 0.1

だけ盛り上がっている) たたき台プログラム

(山が割れて左右に進む)

Clear[p,f,phi,psi,nextu];

p[x_] := If[Abs[x] < 1, (x^2 - 1)^4, 0];

f[x_] := p[10(x-0.5)];

phi[x_] := f[x];

psi[x_] := 0;

NN = 100; c = 1; lambda = 1; dx = 1.0/NN; dt = lambda*dx/c;

lambda2=lambda^2;

u = Table[phi[i*dx], {i, 0, NN}];

oldu = u;

u = oldu + dt*Table[psi[i*dx], {i, 0, NN}];

nextu[n_] :=

(v = 2*(1 - lambda2)*Take[u, {2, NN}]

+ lambda2*(Take[u, {3, NN + 1}] + Take[u, {1, NN - 1}]) - Take[oldu, {2, NN}];

oldu = u;

u = Append[Prepend[v, 0], 0]

);

Animate[ListPlot[nextu[n], Joined -> True, PlotRange -> {-1.1, 1.1}], {n, 1, Infinity},AnimationRunning->False]

問

2 t = 0

のとき

f

に一致して、最初のうちは右方向に進む波、つまり

(⋆) u(x, t) = f(x − ct) (t

が小さいうち)

となる解

u

をシミュレートしてみたい。(波が端に到達しないうちは、無限の長さの弦と同じで、こういう式で表される解があるだろう。)

(1) (⋆)

と

(IC)

から

ϕ

と

ψ

を求めよ

(f

で表せる)。

(2)

プログラムの

phi[], psi[]

を、(1) で求めた

ϕ, ψ

を計算するように必要に応じて書き換える

(f , p

の導関数が必要になる)。

(3)

プログラムを実行して、どうなるか調べ、簡単に説明する。

2