惑星軌道の解析

(1)

. – p.1/17

(2)

惑星軌道の解析

座標平面上で (e, 0)、(−e, 0) を焦点とし、両焦点への距離の和が 2a となる点の描く楕円の方程式は以下のようになる：

x²

a² + y²

b² = 1 但し b = √

a² − e²

(-e,0) (e,0)

a b a

(a,0) (-a,0)

(b,0)

(-b,0) e

e x

y

を長半径、を短半径、を離心率と呼ぶ。

(3)

惑星軌道の解析

x²

a² + y²

b² = 1 但し b = √

a² − e²

(-e,0) (e,0)

a b a

(a,0) (-a,0)

(b,0)

(-b,0) e

e x

y

を長半径、を短半径、を離心率と呼ぶ。

. – p.2/17

(4)

惑星軌道の解析

x²

a² + y²

b² = 1 但し b = √

a² − e²

(-e,0) (e,0)

a b a

(a,0) (-a,0)

(b,0)

(-b,0) e

e x

y

(5)

惑星軌道の解析

惑星が時刻 0 で近日点 N に居たとするとき、時刻 t _における惑星の位置 P _{について、太陽} S _{からの距離} r _と SN _と SP _の間の角 α を求めることを考える：

S N P

r

α

. – p.3/17

(6)

惑星軌道の解析

惑星軌道の中心を原点とし、太陽の位置 S を片方の焦点

(e, 0) とする座標系をとる。この楕円の長半径を a_{、短半径を} b = √

a² − e²_、 P _の座標を (x, y) とする。更に、原点中心半径 a _{の円周上に} P₀(x, y₀)_、x _軸上に X(x, 0) _をとり ∠P₀ON を β _とする。

P(x,y)

r

α x

y P₀(x,y₀)

β

(7)

惑星軌道の解析

以下の手順で P の位置を解析する：

. – p.5/17

(8)

惑星軌道の解析

以下の手順で P の位置を解析する：

• r _と α _を β _で表す。

との関係式を求める。

上の関係式を解き、をで表す。

(9)

惑星軌道の解析

以下の手順で P の位置を解析する：

• β _と t _{の関係式を求める。}

上の関係式を解き、をで表す。

. – p.6/17

(10)

惑星軌道の解析

以下の手順で P の位置を解析する：

• β _と t _{の関係式を求める。}

• 上の関係式を解き、β _を t _で表す。

(11)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

先ず x = a cos β_{。また、}y₀ = a sin β _より y = b

ay₀ = b sin β_。に三平方の定理を用いると：

従って、より

. – p.7/17

(12)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

ay₀ = b sin β_。

△SP X に三平方の定理を用いると：

従って、より

(13)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

r² = y² + (e − x)² 従って、より

. – p.7/17

(14)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

r² = y² + (e − x)² = b² sin² β + (e − a cos β)² 従って、より

(15)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

r² = y² + (e − x)² = b² sin² β + (e − a cos β)²

= b² sin² β + a² cos² β − 2ae cos β + e² 従って、より

. – p.7/17

(16)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

= b² sin² β + a² cos² β − 2ae cos β + e²

= (a² − e²) sin² β + a² cos² β − 2ae cos β + e² 従って、より

(17)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

= (a² − e²) sin² β + a² cos² β − 2ae cos β + e²

= a² + e²(1 − sin² β) − 2ae cos β 従って、より

. – p.7/17

(18)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

= a² + e²(1 − sin² β) − 2ae cos β

= a² + e² cos² β − 2ae cos β 従って、より

(19)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

= a² + e²(1 − sin² β) − 2ae cos β

= a² + e² cos² β − 2ae cos β

= (a − e cos β)² 従って、より

. – p.7/17

(20)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

= a² + e²(1 − sin² β) − 2ae cos β

= (a − e cos β)² 従って、 a > e _より r = a − e cos β

(21)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

= a² + e²(1 − sin² β) − 2ae cos β

= (a − e cos β)² 従って、 a > e _より

r = a − e cos β = a(1 − e

a cos β)

. – p.7/17

(22)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

= a² + e²(1 − sin² β) − 2ae cos β

= (a − e cos β)² 従って、 a > e _より

r = a − e cos β = a(1 − e

cos β)

(23)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X _について tan α = − tan(π − α) これより

この導出はレポート課題

. – p.8/17

(24)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X について

tan α = − tan(π − α) = − y e − x これより

この導出はレポート課題

(25)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X について

tan α = − tan(π − α) = − y e − x

= b sinβ a cos β − e これより

. – p.8/17

(26)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X について

tan α = − tan(π − α) = − y e − x

= b sinβ

a cos β − e = b sinβ a(cos β − ε) これより

(27)

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X について

tan α = − tan(π − α) = − y e − x

= b sinβ

a cos β − e = b sinβ a(cos β − ε)

これより tan α

2 =

r1 + ε

1 − ε tan β

2 (この導出はレポート課題)

. – p.8/17

(28)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

(29)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

次に、時刻 0 から t _{までの間に、線分} OP _{が掃く面積} A^t _を考える。

AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA

N(a,0) S(e,0)

P(x,y)

r

α x

y P₀(x,y₀)

β

X(x,0) O

At

. – p.10/17

(30)

N(a,0) S(e,0)

P(x,y)

r

α x

y P₀(x,y₀)

β

X(x,0) O

At

A^t = P XN − △P XS

(31)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

N(a,0) S(e,0)

P(x,y)

r

α x

y P₀(x,y₀)

β

X(x,0) O

At

A^t = P XN − △P XS = P XN − 1

2(e − x)y

. – p.10/17

(32)

N(a,0) S(e,0)

P(x,y)

r

α x

y P₀(x,y₀)

β

X(x,0) O

At

A^t = P XN − △P XS = P XN − 1

2(e − x)y 1

(33)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

外側の円を考えると、カバリエリの原理より P XN = b

aP₀XN ここで

よって

. – p.11/17

(34)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

aP₀XN ここで

P₀XN = P₀ON − △P₀XO よって

(35)

aP₀XN ここで

P₀XN = P₀ON − △P₀XO

= 1

2βa² − 1

2xasin β よって

. – p.11/17

(36)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

aP₀XN ここで

= 1

2βa² − 1

2xasin β よって

A^t =

1

2βab − 1

2xb sin β

− 1

2(e − x)b sin β

(37)

aP₀XN ここで

= 1

2βa² − 1

2xasin β よって

A^t =

1

2βab − 1

2xb sin β

− 1

2(e − x)b sin β

= 1

2βab − 1

2eb sin β

. – p.11/17

(38)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

aP₀XN ここで

= 1

2βa² − 1

2xasin β よって

A^t =

1

2βab − 1

2xb sin β

− 1

2(e − x)b sin β

= 1

2βab − 1

2eb sin β = 1

2βab − 1

2εab sin β

(39)

aP₀XN ここで

= 1

2βa² − 1

2xasin β よって

A^t =

1

2βab − 1

2xb sin β

− 1

2(e − x)b sin β

= 1

2βab − 1

2eb sin β = 1

2βab − 1

2εab sin β

= ab

2 (β − ε sin β)

. – p.11/17

(40)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

ケプラーの法則より面積速度は一定なので、惑星の周期 T _に対して A^t

t = πab

T が成り立つ。

従って

これより

が得られる。

(41)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

t = πab

T が成り立つ。

従って A^t = ab

2 (β − ε sin β) = πabt T これより

が得られる。

. – p.12/17

(42)

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

t = πab

T が成り立つ。

従って A^t = ab

2 (β − ε sin β) = πabt T これより

β − ε sin β = 2πt が得られる。 T

(43)

逐次近似法

. – p.13/17

(44)

逐次近似法

x = f(x) の形の方程式を数値的に解く方法。

仮定

となるがある。

解法

をの解とする。適当なを最初に選び、

とすると、

が成り立つ。

証明

より

(45)

逐次近似法

仮定

|f(ξ) − f(η)| ≤ ε|ξ − η| ^となる 0 < ε < 1 がある。

解法

をの解とする。適当なを最初に選び、

とすると、

が成り立つ。

証明

より

. – p.14/17

(46)

逐次近似法

仮定

|f(ξ) − f(η)| ≤ ε|ξ − η| ^となる 0 < ε < 1 がある。

解法

x₀ _を x = f(x) の解とする。適当な x₁ _{を最初に選び、}

x₂ = f(x₁), x₃ = f(x₂), . . . , xⁿ = f(xⁿ⁻₁), . . . とすると、

x = lim

n→∞ xⁿ が成り立つ。

証明

より

(47)

逐次近似法

仮定

|f(ξ) − f(η)| ≤ ε|ξ − η| ^となる 0 < ε < 1 がある。

解法

x = lim

証明より

. – p.14/17

(48)

逐次近似法

仮定

|f(ξ) − f(η)| ≤ ε|ξ − η| ^となる 0 < ε < 1 がある。

解法

x = lim

証明

|x₂ − x₀| = |f(x₁) − f(x₀)| ≤ ε|x₁ − x₀|, より

(49)

逐次近似法

仮定

|f(ξ) − f(η)| ≤ ε|ξ − η| ^となる 0 < ε < 1 がある。

解法

x = lim

証明

|x₂ − x₀| = |f(x₁) − f(x₀)| ≤ ε|x₁ − x₀|,

|x₃ − x₀| = |f(x₂) − f(x₀)| ≤ ε|x₂ − x₀| より

. – p.14/17

(50)

逐次近似法

仮定

|f(ξ) − f(η)| ≤ ε|ξ − η| ^となる 0 < ε < 1 がある。

解法

x = lim

証明

|x₂ − x₀| = |f(x₁) − f(x₀)| ≤ ε|x₁ − x₀|,

|x₃ − x₀| = |f(x₂) − f(x₀)| ≤ ε|x₂ − x₀|

= |f(x ) − f(x )| ≤ ε²|x − x |, より

(51)

逐次近似法

仮定

|f(ξ) − f(η)| ≤ ε|ξ − η| ^となる 0 < ε < 1 がある。

解法

x = lim

証明

|x₂ − x₀| = |f(x₁) − f(x₀)| ≤ ε|x₁ − x₀|,

|x₃ − x₀| = |f(x₂) − f(x₀)| ≤ ε|x₂ − x₀|

= |f(x₁) − f(x₀)| ≤ ε²|x₁ − x₀|,

. . . , |xⁿ − x₀| ≤ εⁿ⁻¹|x₁ − x₀|, . . . より lim

n→∞ xⁿ = x₀

. – p.14/17

(52)

惑星軌道の解析 (β を t で表す )

(53)

惑星軌道の解析 (β を t で表す )

β = ε sin β + 2πt

T ^を満たす β = β(t) を求める。

が成り立つので、離心率より逐次近似法が使える。

具体例地球の離心率は

年の一年の長さは日、近日点は月日時分、近日点から春分点までの時間が

日であった。春分点での地球の位置を求める。

とすると、

これよりとすると

天文単位は地球の公転軌道の長半径

. – p.16/17

(54)

惑星軌道の解析 (β を t で表す )

| sin φ − sin ψ| ≤ |φ − ψ| が成り立つので、離心率 ε < 1 _より逐次近似法が使える。

具体例地球の離心率は

年の一年の長さは日、近日点は月日時分、近日点から春分点までの時間が

日であった。春分点での地球の位置を求める。

とすると、

これよりとすると

天文単位は地球の公転軌道の長半径

(55)

惑星軌道の解析 (β を t で表す )

具体例 (_{地球の離心率は} ε = 0.0167)

1994 年の一年の長さは T = 365.2422 日、近日点は 1 月 2 日 5 時 55 分 (GMT)、近日点から春分点までの時間が t^ve =

77.6023 日であった。春分点での地球の位置 (r, α) を求める。

とすると、

. – p.16/17

(56)

惑星軌道の解析 (β を t で表す )

β₁ = 2πt^ve

T = 2 · 3.1416 · 77.6023

365.2422 = 1.3350 とすると、

(57)

惑星軌道の解析 (β を t で表す )

β₁ = 2πt^ve

T = 2 · 3.1416 · 77.6023

365.2422 = 1.3350 とすると、

β₂ = ε sin β₁+ 2πt^ve

T = 1.33512, これよりとすると

. – p.16/17

(58)

惑星軌道の解析 (β を t で表す )

β₁ = 2πt^ve

T = 2 · 3.1416 · 77.6023

365.2422 = 1.3350 とすると、

T = 1.33512, β₃ = 1.33513, β₄ = 1.33513, ...

(59)

惑星軌道の解析 (β を t で表す )

β₁ = 2πt^ve

T = 2 · 3.1416 · 77.6023

365.2422 = 1.3350 とすると、

T = 1.33512, β₃ = 1.33513, β₄ = 1.33513, ...

これより β = 1.33513 _とすると r = 0.9964_[AU], α = 1.3648_[rad]

(1_[AU] = 1.495×10¹¹_[m] (1 天文単位) は地球の公転軌道の長半径)

. – p.16/17

(60)

惑星軌道の解析 - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）

惑星軌道の解析

を長半径 、 を短半径、 を離心率と呼ぶ。

惑星軌道の解析

を長半径 、 を短半径、 を離心率と呼ぶ。

惑星軌道の解析

惑星軌道の解析

惑星軌道の解析

惑星軌道の中心を原点とし、太陽の位置 S を片方の焦点

惑星軌道の解析

以下の手順で P の位置を解析する：

惑星軌道の解析

以下の手順で P の位置を解析する：

惑星軌道の解析

以下の手順で P の位置を解析する：

惑星軌道の解析

以下の手順で P の位置を解析する：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

従って、 より

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

△SP X に三平方の定理を用いると：

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

この導出はレポート課題

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X について

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X について

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X について

惑星軌道の解析 ( r と α を β で表す )

再び △SP X について

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

よって

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

T が成り立つ。

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

T が成り立つ。

惑星軌道の解析 (β と t の関係式 )

T が成り立つ。

逐次近似法

仮定

より

逐次近似法

仮定

より

逐次近似法

仮定

より

逐次近似法

仮定

逐次近似法

仮定

逐次近似法

仮定

逐次近似法

を長半径、を短半径、を離心率と呼ぶ。

を長半径、を短半径、を離心率と呼ぶ。

従って、より

が成り立つので、離心率より逐次近似法が使える。

これよりとすると

具体例地球の離心率は

天文単位は地球の公転軌道の長半径