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第 1 回 6 月東大本番レベル模試 （2019 年 6 月 16 日実施)
採点基準 数学（文系・理系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文科】（80点満点）
第1問（20点満点）
直線の方程式をmについて整理し，x=2の場合について考察して5点 x− ≠2 0のとき，mを消去して2直線の交点の軌跡の式を導いて4点 m≥ 0より，y
x
− ≥
− 2 0
2 を導いて4点 軌跡を正しく求めて2点
正しく図示して5点
第2問（20点満点）
赤球と白球の取り出し方を，正しく場合分けをして4点
上記の場合分けに対し，それぞれの確率を求めて9点（各3点）
求められた確率を吟味し，答えに7点
第3問（20点満点）
(1)（配点10点）
y= x3 −2xのグラフの概形を示して2点
y= x3 −2xのグラフ上の接線の方程式を求め，接点の座標と傾きを求めて6点 答えに2点
(2)（配点10点）
sinθをxと置き換えて，xに対応するθの個数を考えて3点 答えに7点 (aの各範囲に対応する の個数に各θ 1点)
2/4 第4問（20点満点）
(1)（配点4点）
答えに4点（各2点）
(2)（配点6点）
, ,
,
k=1 2 ⋯⋯ 198に対して，r n k( , )がすべて自然数であることを証明して3点
, ,
,
k=1 2 ⋯⋯ 198に対して，r n k( , )がすべて互いに異なることを証明して3点 (3)（配点5点）
n∈Rに対し，ある整数
k
が存在しr n k( , )=1,1≤ k≤198が成立することを証明して3点 考え方と答えに2点(4)（配点5点）
( , ) , ,
r n k =1 2≤k≤197 n≠kとなる
k
が1通りに定まることを述べて2点 考え方と答えに3点3/4
【理科】（120点満点）
第1問（20点満点）
OBをθ,aで表して4点
OC>OBであることを述べて2点
BCをθ,aで表し，分子の有理化を行って4点 BCを因数(1−cosθ)をもつ式に変形して4点 途中の計算と答えに6点
第2問（20点満点）
(1)（配点6点）
2つの放物線が異なる2点で交わることを示して3点 答えに3点
(2)（配点14点）
直線PQの傾きを
θ , a
で表して4点S
が最大になる場合の点M,Nの取り方を説明できて2点S
をθ,aのみで表して4点 aで場合分けをし，答えに4点第3問（20点満点）
(1)（配点14点）
四面体に関する条件（大きさ，角度）をベクトルの大きさ，内積で表現して2点 OB OC• の値を求めて2点
Gを始点としてAP BP• をGA,GB,GPで表して2点
GA +GB とGP のなす角をθとして，
(
GA +GB)
⋅GP = GA +GB cosθを述べて2点GA +GB , GA GB• の値をそれぞれ求めて4点（各2点）
答えに2点 (2)（配点6点）
2つの四面体の体積比を垂線の長さの比に置き換えられて2点 途中の計算と答えに4点
4/4 第4問（20点満点）
(1)（配点5点）
ド・モアブルの定理を適用できて2点 正しく証明できて3点
(2)（配点15点）
tan s
(
r s,,
r)
r
πα =
は互いに素な整数
≥1 のようにおき，(1)のpを用いて r is pr is
+ =
−
1の形の式を記述して2点
上記のp, ,r sに対して，p=1の場合を述べて1点 上記のp, ,r sに対して，p≥2のとき，二項定理を用いて
( )
( , )
is p
r is =
−
2 実部 虚部がともに整数である複素数 の形で表して6点
上記のr s,に対し，r2 +s2 =2l（
l
は非負整数）とおけることを示して2点 上記のlに対し，l=0 1,となることを述べ，証明できて4点第5問（20点満点）
赤球と白球の取り出し方を，正しく場合分けをして4点
上記の場合分けに対し，それぞれの確率を求めて9点（各3点）
求められた確率を吟味し，答えに7点
第6問（20点満点）
aを固定しf x( ) =axa(1−x) (0<x<1)のように定め，log ( )f x を正しく微分して4点 上記のf x( )の最大値を求めて3点
( )
f x の最大値から， ( )
x x+1
g x = x +
1 を定め，g x( )の単調増加の証明に7点 上記のg x( )に対して，lim ( )
x
g x
→∞
を求めて2点 考え方と答えに4点
