採点基準 数学（文系）

1/4

2022 年度最終 京大本番レベル模試

採点基準 数学（文系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は1点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（150点満点）

第1問 (30点満点)

 点Pのx座標をp，Cとlの交点のうちPと異なるもののx座標をqとしたとき，lの傾きを ,

p qで表して6点

 上記のqをpで表して6点

 Sをp q, で表して6点

 Sをpのみで表して6点



p > 0

や等号成立条件を述べた上で最小値を求めて6点

第2問 (30点満点)

 事象Aの余事象の2つの排反な事象を示して4点

 事象Aの起こる確率P(A)を求めて4点



P

_kを求めて4点



n k

k k=0

å

6 P を求め，題意の不等式を 33 n

8 2000

æ ö÷ ç ÷

ç ÷ çè ø

^{≧ と言い換えて6点}

 n≧6のとき上記の不等式が成り立つことを示して4点

 n≦5のとき上記の不等式が成り立たないことを示して4点

 答えに4点

第3問 (30点満点)

 条件

(*)

を満たすP,Qに対して，AC = PQ

となる点Cを考えて8点

 BとCが平面bに関して反対側にあることを述べた上で，AP+PQ+QB≧CB+2 = 14を示 して10点

 上記の不等式における等号の成立条件を述べて2点

 上記の不等式の等号が成立するときのQ,Pの座標を求めて10点

第4問 (30点満点)

 OP =OB + OC ,OQ =OC + OA ,OR =OA +OB

を述べて6点(各2点)

2/4

 OH =OA +OB +OC

で定まる点HがABCの垂心であることを述べ，それを証明して 12点

 上記の点Hに対して，PH = OA ,QH = OB ,RH =OC

を示して6点(各2点)

 PH = QH = RH

を示し，証明の結論を述べて6点

第5問 (30点満点)

 ある整数a,b (a > b≧1)を用いて2N = a + b^{2 2}と設定して 4点

 上記のNを

2 2

a b a b

N = +

2 2

æ + ö÷ æ - ö÷

ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø のように平方の和に変形して12点

 aとbの偶奇が一致することを述べて4点

 a + b a - b

2 , 2 がいずれも整数であることを述べて4点

 証明の結論を述べて6点

3/4

【理系】（200点満点）

第1問 (30点満点)

 点Pのx座標をp，Cとlの交点のうちPと異なるもののx座標をqとしたとき，lの傾きを ,

p qで表して6点

 上記のqをpで表して6点

 線分PQの長さLをpで表して6点

 Lの式においてt = p + 1² などとおき，tの関数として微分して6点

 答えに6点

第2問 (30点満点)

 事象Aの余事象の2つの排反な事象を示して4点

 事象Aの起こる確率P(A)を求めて4点



P

_kを求めて4点



n k

k k=0

å

6 P を求め，題意の不等式を 33 n

8 2000

æ ö÷ ç ÷

ç ÷ çè ø

^{≧ と言い換えて6点}

 n≧6のとき上記の不等式が成り立つことを示して4点

 n≦5のとき上記の不等式が成り立たないことを示して4点

 答えに4点

第3問 (35点満点)

 a b+ +g = 2,a² +b² +g² = 2,a³ +b² +g² = 5 ^に3点(各1点)

 ab+bg+gaを求めて2点

 abgを求めて5点

 a b g, , を解にもつ3次方程式を述べて2点

 A_n+3 = 2A_n+2 - A_n+1 + A_nを示して6点

 A₁, ,A₂ A₃が整数であることからA_nが整数となることを述べて2点

 A_n+3º2A_n+2 - A_n+1 + A_n (mod )4 を述べて2点

 A₄,A_5,,,A₁₀を4で割った余りを正しく計算して求めて7点(各１点)

 A_nを4で割った余りが2 2 1 2 1 1 3, , , , , , の繰り返しであることを述べて3点

 答えに3点

第4問 (30点満点)

 1

1 + p^{を極形式で表して10点}

 OPQ=OQRから-2sin3 =q sinqを導いて10点

 sin² 7

=8

q を導いて5点

4/4

 答えに10点

第5問 (35点満点)

 極方程式r =qで表される曲線上の点を直交座標x =qcos ,q y =qsinqで表して4点

 上記のもとdx dy,

dq dq^{を求めて6点(各3点)}

 ⁿ

ò

nⁿ⁺¹

q

²

q

L

= + 1 d

を求めて6点



ò

nⁿ⁺¹

q q

ⁿ

ò

nⁿ⁺¹

( q ) q

d <

L

< + 1 d

を示して8点

 上記から

1 L

ⁿ

3 1 + < < 1 +

2n n 2n

^{を示して6点}

 答えに5点

第6問 (35点満点)

（1）(配点12点)



cos

tan

2

a

x = a

^が

tan

cos²

a 1

a = xと同値であることを述べて2点

 tanxに関する平均値の定理に活用に4点



cos

²

x

が

0 < x <

2

p

において単調減少であることを述べ，さらに

cos

tan

2

a

x = a

^{を満たすx}

が存在してもただ1つであることを示して4点

 証明の結論を述べて2点

（2）(配点23点)



tan

sin

2 2

2

1 -

æ ö

æ ö ÷ ç ÷

ç ÷ = ç ÷ ⋅

ç ÷ ç ÷

ç ç ÷

è ø è ø

a a

a

a

x x a

a x a

^{と変形して7点}

 十分小さな正の数aに対して，

(*)

から

tan

²

2 2 2 4

1 - a

1 < a < 40 + a

3 + a a 120 - 20a + a

が成り立つことを述べて6点

 上記から

lim tan

₂

a 0

1 - a

a = 1 a 3

+ を求めて5点

 答えに5点