採点基準 数学（文系）

2020 年度最終 1 月京大本番レベル模試 （2021 年 1 月 23 日実施)

採点基準 数学（文系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文科】（150点満点）

第1問（配点30点）

PQをOA,OBで表して6点

Kの概形について述べて10点

Kの内部のPQが通過しない部分の面積を求めて8点

Kの面積を求めて6点

第2問（配点30点）

OA',OB',OC'をOA,OB OC, と係数で設定して3点 OGをOA,OB OC, で表して2点

平面A'BC,AB'C,ABC'と直線OGの交点Pの位置ベクトルをOA,OB OC, で表して3点 上記の点Pが平面A'BCにあることから，点Pの位置ベクトルをOA,OB OC, で表して7点

OA,OB OC, の1次独立性を述べ，上記の点Pの2通りの表現の係数を比較して 5点 OA',OB',OC'の設定の係数がすべて等しいことを述べ，さらに結論を述べて 10点

第3問（配点30点）

α β γ, , を解にもつ3次方程式を設定して8点 p

α= q ⁽p q, は互いに素な整数，q≥1)のように表し，3次方程式に代入して整理して6点 上記の設定のもと，qがp³の約数であることを述べて8点

上記で矛盾を述べ，α β γ, , が整数であるという結論を述べて8点

第4問（配点30点）

(1)（配点20点）

Tの座標をt, t  1 2

2 ^{のように設定し，}TにおけるCの接線に垂直でTを通る直線の方程式を 求めて3点

上記の直線がP (1, )p を通るためのtの条件を求め，さらにこの3次方程式が3つの実数解を もつためのpの条件を求めることを述べて4点

p>1が必要であることを述べ，この下でf t( )=t³ −2(p−1)t−2の増減を調べて4点 ( )

f t =0が異なる3つの実数解をもつ条件からpのとり得る値の範囲を求めて9点 (2)（配点10点）

Gのx座標が常に0であることを述べて3点 Gのy座標をpで表して3点

Gの軌跡を求めて 4点

第5問（30点満点）

目の和が7となるような2個のさいころの目の数の組を求めて3点

事象(*)であるためには，出た目が3種類以下であることが必要であることを説明して7点 n個のさいころの出た目が1種類となるときの場合の数に2点

n個のさいころの出た目が2種類となるときの場合の数に5点 n個のさいころの出た目が3種類となるときの場合の数に10点 事象(*)の確率を求めて3点

2020 年度最終 1 月京大本番レベル模試 （2021 年 1 月 23 日実施)

採点基準 数学（理系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【理科】（200点満点）

第1問（配点30点）

OA',OB',OC'をOA,OB OC, と係数で設定して3点 OGをOA,OB OC, で表して2点

平面A'BC,AB'C,ABC'と直線OGの交点Pの位置ベクトルをOA,OB OC, で表して3点 上記の点Pが平面A'BCにあることから，点Pの位置ベクトルをOA,OB OC, で表して7点

OA,OB OC, の1次独立性を述べ，上記の点Pの2通りの表現の係数を比較して 5点 OA',OB',OC'の設定の係数がすべて等しいことを述べ，さらに結論を述べて 10点

第2問（配点30点）

目の和が7となるような2個のさいころの目の数の組を求めて3点

事象(*)であるためには，出た目が3種類以下であることが必要であることを説明して7点 n個のさいころの出た目が1種類となるときの場合の数に2点

n個のさいころの出た目が2種類となるときの場合の数に5点 n個のさいころの出た目が3種類となるときの場合の数に10点 事象(*)の確率を求めて3点

第3問（配点35点）

(1)（配点5点）

答えに5点 (2)（配点30点）

Rが描く曲線の方程式を求めて6点

立体Kの平面y=u (0<u<1)による断面積S u( )を定積分で表して6点

置換積分を用いてS u( )=u(¹−u)

∫

⁰¹f t dt( ) ^{を導いて6点} Kの体積の立式に6点

証明の結論を導いて6点

第4問（35点満点）

(1)（配点8点）

, ,

x<π <x<y< x<π x+ <y π

2 0 2 を理由とともに示して5点 点( , )x y の存在範囲の図示に3点

(2)（配点27点）

辺AB,AC,ADの長さをx y, を用いて表して3点

面積Sをx y, を用いて表し，さらに積和の公式を利用してS=2sin sinx 2xsin(2y−x)まで 求めて6点

sin sin

S≤2 x 2xを述べ，2sin sinx 2xの増減を調べて5点 sin sinx x

2 2 の最大値8 3

9 ^を求め，S≤ 8 3

9 の等号成立条件を述べて6点 上記の条件の図示と答えに7点

第5問（35点満点）

直線lが実軸正方向となす角を設定し，この直線が実軸と平行となるような回転ρを記述し て 10点

上記で回転させた点ρzが原点にくるように平行移動したときのρz−ρα ρ,z−ρβ, z ,z

ρ −ργ ρ −ρδ^{の偏角がいずれも0と}πの間にあることを述べて10点

, , ,

z z z z

ρ −ρα ρ −ρβ ρ −ργ ρ −ρδ

1 1 1 1

の虚部がすべて負となることを示して10点 題意を示して5点

第6問（配点35点）

(1)（配点10点）

'( ), ( ), ( ),( )( )

g x g x′′ g′′′ x g⁴ x を求めて5点 ( ), ( ), '( ), ( )

g′′′ x g x′′ g x g x が定数であることを順に示して5点 (2)（配点25点）

( i )（配点10点）

( ) ( )

p '( ) p f p f p

f f

q q q q

α α

α α ′′ α ′′′ α

≤ − + − + −

  

  

2 3

2 6 が成り立つことを述べて4点 , ( )

p f a

q q

α ′′′ α

< − < 1₄ = ≠

0 6 0のもとで

( ) ( ) ( ) ( )

'( ) ^{p f p f p} '( ) ^{f f}

f q q q f

q q q

α α α α

α −α + ^′′ −α + ^′′′ −α < α ⋅ + ^′′ ⋅ + ^′′′ ⋅

2 3

4 8 12

2 6 2 6

1 1 1

が成り立つことを述べて4点 残りの証明に2点

(ii)（配点15点）

f p

q q q

   ≥ =

   ^{3 3}

1 1

を理由とともに示して3点

上記の不等式と( i )から ( ) ( )

'( ) f f

q f α α

α ′′ ′′′

< + +

2 6 ^{を示して3点}

qが有限個しかないことを述べて3点 残りの証明に6点