問 題 選 択 方 法 第 1 問 必 答 第 2 問 必 答
第 3 問
いずれか 2間 を選択 し, 解答 しなさい。
第 4 問 第 5 問 第 6 問
数学 工 ・数学 B
‑ 1 5 ‑
(2605‑15)
第 1 問 は 答問題) 側 点 3 0
〔1 〕 労≧ 2 , ノ ≧ 2 , 8 ≦ り ≦ 1 6 の とき, z = l o g 2 V メ + 1 0 g 2 ノの最大値 を求 めよ う。
S = 1 0 g 2 ガ, レ = l o g 2 ノとお くと,s,す ,s十 すの と り得 る値 の範 囲はそれ ぞれ
s ≧ ア , た匡王: 王 ト ロ ≦s 十 す ≦□
となる。 また
z = 目 s 十 ″
胸 立 " 療 ギ
E 豆 三コ 戸 = E 亜
三コ 碇 き最 大 値 目
を
塩 O 晩 嘘 州は, = E = 王 コ 押 = 圧至王コ 碇 き最大値 呂 を と る。
(数学 Ⅱ ・数学 B第 1間 は 18ベ ー ジに続 く。)
‑ 1 6 ‑
( 2 6 0 5 ‑ 1 6 )
・数学 B
O ≦ θ< 2 π の範 囲で 5 slll θ一‑3 cos 2 θ==3 を満 たす θにつ いて考 え よ う。
方程 式 ( * ) を s i n θを用 いて表す と
説ギθ+ 5 飾 θ一 ス = 0 となる。 したがって, ‑1≦ sin θ≦ 1よ り
である。
数 学 H
〔2 〕
…… … … 。( * )
小 さ い方 を θl ,
洛
の ︐つ ちθ
す
南
商 た 式 を ２ 等 θ の ｏ で こ
︐ 範 囲 の と 府
一 □ □ 募 窃
βυ
︲θ θ
一 一
＜ Ｓ を ｏ
θ ０
． 方
Ｈ・醐
︒ り
き し
あ 大 で
何 十″
C °S 花π
戸=
π
一 ５
π
一 ２
＜
＜
②
⑤
π
一 ６
π
一 ３
＜
＜ ０
０
◎
③
寺< θ l 寺< θ l
さ らに, 不 等 式 舛θl > θ 2 を 満 た す 自然 数 タタの うち最 小 の もの は テ
θ lに ついて不等式 ツ が成り立つ。匡ッ]に当てはまるものを,
次の◎〜⑤のうちから一つ選べ。
0 < θ l < 祐
十< θ l < 孝
ただ し, 必 要な らば, 次 の値
c o s 十 = 上審生,
を用 いて もよ い。
を< θ l 者< θ l
である。
‑ 1 8 ‑
( 2 6 0 5 ‑ 1 8 )
第 2 問 ひ 答問題) 廻 己点 3 0
放物線 ノ= 2 メ2 を C,点 (1,‑2)を Aと する。
点 Q ( ク, υ) に関して, 点 A と 対称な点を P ( ガ,ノ) とすると
2 r =
労 十 ア メ ー
□
線 物 は 放 と つ す る Ｄ と を
□ 中 咽
が ノ Ｑ
Ｏ
ノ
エ立 つ 成 り カ
, υ=
である。
二つ の放 物線 C と D の 交点 を R と S と す る。ただ し, メ座標 の小 さい方 を R とす る。t t R , S の ィ座標 はそれぞれ キ ク , E 重 =コ で,点 R,Sに お ける 放物線 D の 接線 の方程式はそれぞれ
ノ= コ , ノ = □ 労 □
である。
(数学 Ⅱ ・数学 B第 2間 は次ベー ジに続 く。)
一‑ 20 ‑一 ( 2 6 0 5 ‑ 2 0 )
数 学 H ・ 数 学 B Pを 放物線 D上 の点 とし,Pの ィ座標 を αとお く。Pか らχ軸 に引いた垂線 と 放 物 線 Cと の交 点 を Hと す る。 キ ク <α <匠 重=ヨ の とき,三 角 形 PHR の面積 S(α)は
け 歯 (□が中 □ か□ )
申 生 的 = 昌 嘘 報 盗 O
α=￨ ッ ￨の
とき,直 線 HRと 放 物 線 Dの 交 点 の うち,Rと 異 な る点 の
加
昌
転 弁 , 昌 窒 ≦
呂
加 激 物
線 D と 直線 P H お よび直線 H R で 囲まれた図形の面積は
キ三三三計
である。
‑ 2 1 ‑
( 2 6 0 5 ‑ 2 1 )
第 3 問 罐 択問題) 観 点 2 0
{ α" } を初項 αl が 1 で公比カミキ の等比数列 とす る。数列 { α″} の偶数番 日の項
を取り出して, 数列{ b " } を あ= α2 ″ ( 角 = 1 , 2 , 3 , … ) で定める。T ″ = Σ b た
た= 1
とお く。
側 憾 比湖賜■で 咋 の切" 爵は
: : : : i 飢
は
: : : : i で
イ コ …
サ皮筑 てした が っ
ｒ た ︐ け
■ ま ｈ る る あ な で と
(数学 Ⅱ ・数学 B第 3間 は次ベー ジに続 く。)
一‑ 22 十 一
( 2 6 0 5 ‑ 2 2 )
数学 工 ・数学B ( 2 ) 次に, 数 列{ ご 料をら= 2 ″ ・ら( 夕 2 = 1 , 2 , 3 , …) で定め, J " = Σ ご たと
力 = 1
お く。
サ 伽 一ら= E 至 = コ ら し= L 及L →
が成 り立つか ら
だポ サ び体1 1 ‑ び々) = 匹 コ T " … ① で あ る。 また, この左辺 の和 をま とめ直す と, r / ″, ら + 1 , ご1 を用 いて
港( サ び た + 1 ご た ) = 匡 王] 」 " 十 □ ご ″ + 1 □ご 1 …②
と表される。
① と② より
トナ ″十□
とな る。
一 □ □
Ｊ
︲一日
一‑ 23 ‑一 ( 2 6 0 5 ‑ 2 3 )
第 4 問 健 択 問題) 廻 己点 2 0
0 を 原 点 と す る 座 標 空 間 に お け る 5 点 を A ( 0 , 0 , 1 ) , B ( 1 , 0 , 0 ) , C ( 0 , 2 , 0 ) , D ( ‑ 1 , 0 , 0 ) , E ( 0 , ‑ 2 , 0 ) と す る。 ひ し形 B C I ) E を 底 面 と す る四 角錐 A 一B C D E と , 平 面 A B C に 平行 な平面 との共通 部分 につ いて考 え る。
耐・ 面=□切勃К 伽目萌
% = B A , υ = B E と お く。 0 < α < 1 と し, 点 B l を 線 分 B E を : ( 1 ‑ α ) に内 分 す る点 とす る と, B B l = E エ コけで あ る。 点 A l を ( 2 )
α
OAl=OA tt BBl
で定 め, 線 分 A l B l と 線 分 A E が 交わ る ことを示そ う。A l B l 上 の点 P は , 0 ≦ D ≦ 1 を 満 たす うを用 いて
高市= 5 壱十D 務 十 工 才
と表 され る。 また, A E 上 の点 Q は , 0 ≦ び≦ 1 を 満たす びを用 いて 石石 = 5 壱 十 オ 所十( E 豆王コー
つけ
(数学 H・ 数学 B第 4問 は次 ベー ジに続 く。) と表 され る。
‑ 2 4 ‑
(26()5 24)
数学 H・ 数学 B
P と Q は か= キ = 厘 2 互コ + 1 の と き 一 致 す る か ら, 線 分 A l B l と
A E は , A E を コ : ( 1 ‑ 匡
= = ヨ ) に内 分す る 点 で 交 わ る こ とが わ か る。 この点 を E l と す る。
点 C l を
OCl=OC tt BBl
で定 め る と, 同 様 に考 え る ことによ り, 線 分 A l C l と 線分 A D も , A D を サ : ( 1 ‑ 匡
王= ヨ ) に内分 する点 で 交 わ る こ とが わ か る。 この点 を L とす る と
D l E l = シ 石古
で あ り, 三 角 形 A l B l C l は 三 角 形 A B C と 平行 で あ るか ら, 四 角 形 B i C t D l E l の面積 は
目 (□― □助
である。
また
1蕊、 十 =7匡 至 =コα 2̲ テ α ttE亜 王 ヨ
である。
一‑ 25 ‑一 (2605‑ 25)
第 5 問 健 択 問題) は 己点 2 0
下 の表 は, 1 0 名 か らな るあ る少人数 ク ラス を I 班 と 工班 に分 けて, 1 0 0 点 満点 で 2 回 ずつ実施 した数学 と英語のテス トの得点をまとめたものである。ただ し, 表中の平均値はそれぞれ 1 回 日と2 回 目の数学 と英語のクラス全体の平均値を表
している。 また, A , B , C , D の 値はすべて整数 とする。
1回 目 2回 目
班 番 号 数学 英 語 数学 英 語
1 2 3 4 5
40 43 63 55 59 B 35 64 43 36
6 0 5 4 6 1 6 7 5 6 6 0 6 0 7 1
C 8 0
ロ
１ ９匂 ３ ４ ５
A 48 51 46 57 71 32 65 34 50
D 5 0 5 4 5 7 5 9 4 0 4 9 4 2 5 7 6 9
平均値 45,O E 58.9 59.0
以 下 , 小 数 の形 で解 答 す る場 合 は, 指 定 され た桁 数 の一 つ下 の桁 を四捨五 入 し, 解 答 せ よ。 途 中で割 り切 れ た場 合 は, 指 定 され た桁 まで◎ にマ ー クす る こ と。
( 1 ) 1 回 目の数学 の得点 につ いて, I また, ク ラス 全体 の平 均値 は 4 5 . 学 の得点 A は エ オ 点 で あ る。
班の 平均 値はア イ . E ウ コ点である 。
0 点 で あ るので, Ⅱ班 の 1 番 目の 生 徒 の数 (数学 Ⅱ ・数学 B第 5問 は次ベー ジに続 く。)
一‑ 26 ‑一
( 2 6 0 5 ‑ 2 6 )
数 学 工 ・数 学 B ( 2 ) Ⅱ班の 1 回 目の数学 と英語の得点について, 数 学 と英語の分散はともに
101.2で ある 。し たがっ て ,相 関 係数は 力 。 Eキ ク コである 。
( 3 ) 1 回 目の英語 の得点 につ いて, I 班 の 3 番 目の生徒 の得点 B の 値 がわか らな い とき, ク ラス 全体 の得 点 の 中央値 M の 値 と して E ケ コ 通 りの値 が あ り得 る。
実 際 は, 1 回 目の英 語 の得 点 の ク ラス 全体 の平 均 値 E が 5 4 . 0 点で あ った。
した が って, B は ヨサ 点 と定 ま り, 弓J 央値 M は E シスコ. 睡 コ 点で あ る。
( 4 ) 2 回 目の数学 の得 点 につ いて, I 班 の平均値 は 工班 の平均値 よ り 4 . 6 点 大 き か った。 したが って, I 班 の 5 番 目の生徒 の得 点 C か ら Ⅱ班 の 1 番 目の生徒 の 得 点 D を 引 いた値 は ソ 点 で あ る。
( 数 学Ⅱ・数学B 第 5 間は次ベージに続く。)
一‑ 27 ‑一
(2605‑27)
の 1回 目のクラス全体の数学 と英語の得点の相関図(散布図)は, 夕 で あ り,2回 目のクラス全体の数学 と英語の得点の相関図は, チ で ある。 ま た, 1回 目のクラス全体の数学 と英語の得点の相関係数を /1, 2回目のクラ ス全体 の数学 と英語の得点の相関係数 を /2とす るとき,値 の組 (″1,/2)とし
配 しいのは ツ である。匡愛=ヨ, 匡重=ヨに当てはまるものを, それ
ぞれ次の◎〜③のうちから一つずつ選べ。
(点)100 90 80 70 60
姿 5 0
40 30 20 10 0
( 点) 1 0 0 90 80 70 60
籍 5 0
40 30 20 10 0
(点)100 90 80 70 60
塞 5 0
40 30 20 10 0
(点)100 90 80 70 60
籍 5 0
40 30 20 10 0
Ｏ
③
( ‑ 0 , 5 4 , 0 . 2 0 ) ( 0 。2 0 , ‑ 0 。 5 4 )
( 数学 Ⅱ ・数学B 第 5 問 は次ベージに続 く。)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 10 20 30 40 50 00 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
また, ツ に 当てはまるものを,次の◎〜③のうちから一つ選べ。
◎ (0.54,0,20)
② (0。 20,0,54)
一‑ 28 ‑一
( 2 6 0 5 ‑ 2 8 )
数 学 Ⅱ ・数 学 B ( 6 ) 2 回 目のクラス全体 1 0 名の英語の得点について, 採 点基準を変更 した とこ
ろ, 得 点の高い方か ら2 名 の得点が 2 点ずつ下が り, 得 点の低い方か ら2 名 の 得点が 2 点 ずつ上がったが, そ の他の 6 名 の得点に変更は生 じなかった。 この とき, 変 更後の平均値は テ す る。 また, 変 更後の分散は Eト コ する。
テ ,匡玉ヨに当てはまるものを,それぞれ次の◎〜②のうちから一つ
ずつ選べ。
◎ 変更前より減少 ① 変更前と一致 ② 変更前より増加￨
一‑ 29 ‑―
( 2 6 0 5 ‑ 2 9 )
第 6 問 罐 択 問題 ) は 己点 2 0
少, ? を 異な る 自然数 とす る。 この とき, 与 え られ た 自然数 〃につ いて, 〃 以 下の 自然数 たの うちで
た= ′′夕少 十 ′2 ? (′′2,"は 0以 上の整数)。 ……… (*)
のよ うに表す ことができるものを小さい順 にすべて列挙 し, 最 後 にその個数 を表 示 した い。そ のため に次 のよ うな 〔プ ログ ラム〕を作 った。 ここで, I N T ( X ) は X を超 えない最大の整数 を表す関数である。
〔プログラム〕
100 1NPUT PROMPT l10 1NPUT PROMPT 120 1NPUT PROMPT 130 LET U〓0 140 FOR K=l TO D
150 1F K一INT(K/P)*P=O THEN 160 FOR M=O TO INT(K/P)
Ｐ Ｑ Ｄ
1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 0 0 2 1 0 2 2 0 2 3 0 2 4 0 2 5 0
LET R=K一 M*P
IF イ THEN匡アヨ
NEXT M
PRINT K
N E X T K
P R I N T W 総数 〓W ; U E N D
(数学 Ⅱ ・数学 B第 6間 は次ベー ジに続 く。)
一‑ 30 ‑一 ( 2 6 0 5 ‑ 3 0 )
(1)〔 プログラム〕 の ア , ウ ,[エ ヨに当てはまるものを,それぞ
れ次の◎〜⑤のうちから一つずつ選べ。
◎ G O T 0 1 5 0 0 G O T 0 1 7 0 ② G O T 0 1 8 0 () GOT0 200 (〕 GOT0 210 () GOT0 230
⑥ P R I N T R ⑦ P R I N T U ③ P R I N T M
( ) L E T R = R + 1 ( ) L E T U = U + 1 ( ) L E T K = K + 1
また, イ に 当てはまるものを,次の◎〜⑤のうちから一つ選べ。
( ) R 一I N T ( R / M ) * M く〉0 に) R 一I N T ( R / P ) * P く〉0 C ) R 一I N T ( R / Q ) * Q く〉0
( 2 ) 〔プ ロ グ ラム〕を実 行 し, 変 数 P , Q , D に そ れ ぞ れ 3 , 7 , 1 5 を 入 力 した と き, 整 数 の列
3 オ 7 9 □ 柁 帽 M 朽
に続 いて
総数 = 9
が出力され る。 また, 変 数 P , Q , D に それぞれ 3 , 7 , 1 0 0 を 入力 した とき, 整 数の列 に続 いて
総 数 〓 ク ケ が 出 力 され る。
(数学 Ⅱ ・数学 B第 6問 は次ベー ジに続 く。)
数学 工 ・数学 B
O R 一 I N T ( R / M ) * M = 0
③ R 一 I N T ( R / P ) * P 〓0
⑤ R ― I N T ( R / Q ) * Q = 0
‑ 3 1 ‑ (2605‑‑31)
〔プログラム〕を部分的 に変更 して, 次 のような 2 種 類のプログラム を作 る。
( 3 ) 式 ( * ) の よ うに表す ことができないよ うな 〃以下 の自然数 力を小 さい順 にす べて列挙 し, 最 後 にそ の個数 を表示 した い。そ のためには, 〔プログラム〕の
150行 および180行 にある ア をEヨ]に 置き 換えるとともに ,200行
を削除すればよい。 コ に当てはまるものを,次の◎〜⑤のうちから一つ
選 べ。
(》 GOT0 190
() GOT0 220
C) GOT0
() GOT0
() GOT0 210 () GOT0 240
( 4 ) 自 然数 たに対 して, 式 ( * ) を満たす組 ( 〃ι, 夕2 ) の個数を υ々とする。だ以 ドの 各 自然数 力について υたを出力し, 最 後 に総数 として和 υl + …・十 υどの値 を表 示 したい。そのためには, 〔プログラム〕の 1 5 0 行を
150
のよ うに変更 し,180行 の ア を 匡 シ ]に 置き換えて,200行 を削除す る。 さ らに 2 1 0 行および 2 2 0 行を
2 1 0 P R I N T W k = W ; K ; W のとき, 220 ス
に変更すればよい。 サ ,匡 シ],匡ス]に当てはまるものを,それ
ぞれ次の◎〜③のうちから一つずつ選べ。
() GO T 0 2 1 0 () LE T V= 0 () LE T Vi V ttU
() GOT0 220 に) LET V=U C) LET U=U+1
W ;V; Wl回 W
に ) GOT0 230
( ) L E T U = U t t V C ) L E T V 〓V + 1
‑ 3 2 ‑
( 2 6 0 5 ‑ 3 2 )
問題と解答は、独立行政法人 大学入試センターホームページより転載しています。
ただし、著作権上の都合により、一部の問題・画像を省略しています。
http://www.js88.com
http://jyuku.js88.com
日本一の学校情報
★★
★
★★ 進学情報 ★
★
★
★
★
インターネット 塾・予備校情報サイト
★★
★
★★ 進学情報 ★
★
★
★
★
