数学解析第13回メモ - 明治大学

数学解析 第 13 ^回メモ

桂田 祐史

2017 年 7 月 10 日 , 2017 年 7 月 11 日

今日は宿題を出した。

後2回。

例 0.1 (第1象限はR²の開集合) 第1象限(軸は含まない)はR²の開集合である。実際 Ω :={

(x, y)∈R² x >0∧y >0} は

Ω = Ω₁∩Ω₂, Ω₁ :={

(x, y)∈R² x >0}

, Ω₂ :={

(x, y)∈R² y >0}

であり、Ω₁ と Ω₂ は、ともに、R² 上の連続関数 > 0 という条件で定められる集合であるか ら、R² の開集合である。ゆえにΩ = Ω₁∩Ω₂ もR² の開集合である。

例 0.2 (三角形の内部はR²の開集合) (0,0), (1,0), (0,1) を頂点とする三角形の内部 {(x, y)|x >0∧y >0∧ ∧x+y <1}

は R² の開集合である。任意の三角形の内部は R² の開集合である。

例 0.3 (1点からなる集合の補集合はRⁿの開集合) c∈Rⁿ とするとき Ω :=Rⁿ\ {c}

は Rⁿ の開集合である。実際、x7→ |x−c|² はRⁿ 上定義された連続関数であり、

Ω ={

x∈Rⁿ |x−c|² >0} が成り立つので、Ω は Rⁿ の開集合である。

Rⁿ の開集合でないことの証明はどうすれば良いか？

Ω が Rⁿ の開集合である ⇔ (∀a∈Ω)(∃ε >0)B(a;ε)⊂Ω であるから

Ω が Rⁿ の開集合でない⇔(∃a ∈Ω)(∀ε >0)B(a;ε)̸⊂Ω

⇔(∃a ∈Ω)(∀ε >0)B(a;ε)∩Ω^c̸=∅. この条件が成り立つことを証明するには、a は Ω の縁に取れば良い。

例 0.4 (閉球は開集合ではない) c∈ Rⁿ, r >0 とするとき、Ω = B(c;r) は Rⁿ の開集合では ない。

実際、a:=c+re₁とおくと、|a−c|=|re₁|=|r| |e₁|=r·1 =rであるから、a∈B(c;r) = Ω.

ところが任意のε >0 に対して、x=a+₂^εe₁ とおくと、|x−a|=^ε

2e₁= ^ε₂ < ε であるか ら、x∈B(a;ε). ところが

x=a+ε

2e₁ =c+re₁+ ε 2e₁ であるから

|x−c|=( r+ ε

2 )

e₁=r+ ε 2

· |e₁|=r+ ε 2 > r.

ゆえに x ̸∈B(c;r) = Ω^c. ゆえに x ∈B(a;ε)∩Ω^c. ゆえに B(a;ε)∩Ω^c ̸=∅. ゆえに Ω は Rⁿ の開集合ではない。

定義 0.5 F ⊂Rⁿ とする。F が Rⁿ の閉集合であるとは、F^c は Rⁿ の開集合であること をいう。

定理 0.6 (1) ∅と Rⁿ は Rⁿ の閉集合である。

(2) 集合族∩ {F_λ |λ∈Λ} が、各 λ ∈ Λ に対して F_λ は Rⁿ の閉集合、を満たすならば、

λ∈Λ

Fλ はRⁿ の閉集合である。

(3) F₁ と F₂ が Rⁿ の閉集合であれば、F₁∪F₂ は Rⁿ の閉集合である。

証明

(1) (∅)^c=Rⁿ, (Rⁿ)^c=∅はともにRⁿ の開集合であるから、∅とRⁿ は、Rⁿ の閉集合である。

(2) 任意の λ ∈ Λ に対して、F_λ は Rⁿ の閉集合であるから、F_λ^c は Rⁿ の開集合である。ゆ

えに (

∩

λ∈Λ

F_λ )c

= ∪

λ∈Λ

(F_λ^c)

はRⁿ の開集合の合併であるから、Rⁿ の開集合である。ゆえに ∩

λ∈Λ

F_λ は、Rⁿ の閉集合 である。

(3) F₁ と F₂ は Rⁿ の閉集合であるから、F₁^c, F₂^c は Rⁿ の開集合である。ゆえに (F₁∪F₂)^c= (F₁^c)∩(F₂^c)

は Rⁿ の開集合の共通部分であるから、 Rⁿ の開集合である。ゆえに F₁ ∪F₂ は、Rⁿ の 閉集合である。

定理 0.7 f: Rⁿ→R が連続であり、α, β, γ ∈R とするとき、F₁ :={x∈Rⁿ |f(x)≥α}, F2 :={x∈Rⁿ |f(x)≤β},F3 :={x∈Rⁿ|α ≤f(x)≤β},F4 :={x∈Rⁿ|f(x) =γ} は Rⁿ の閉集合である。

証明

F₁^c={x∈Rⁿ |f(x)< α}, F₂^c={x∈Rⁿ |f(x)> β},

F₃^c={x∈Rⁿ |f(x)< α∨f(x)> β}={x∈Rⁿ|f(x)< α} ∪ {x∈Rⁿ |f(x)> β}, F₄^c={x∈Rⁿ |f(x)̸=γ}

は Rⁿ の開集合であるから、F₁,F₂, F₃, F₄ はRⁿ の閉集合である。

例 0.8 F :=B(c;r) は Rⁿ の閉集合。実際 F ={

x∈Rⁿ |x−c|² ≤r²}

であるから。

例 0.9 F :={c}は Rⁿ の閉集合である。実際 F ={

x∈Rⁿ|x−c|² = 0} であるから。

例 0.10 (開球は閉集合ではない) F :=B(c;r) は Rⁿ の閉集合ではない。それを示すには、

F^c ={x∈Rⁿ | |x−c| ≥r}

が Rⁿ の開集合ではないことを示せば良い。a =c+re₁ とおくと、|a−c|= r であるから、

a∈F^c. ところが 0< ε < r を満たす任意のε に対して、

x=a− ε 2e₁ とおくと、

|x−c|=c+re₁− ε

2e₁−c=( r− ε

2 )

e₁=r− ε 2

|e₁|=r− ε 2 < r

であるから、x∈(F^c)^c. ゆえに B(c;ε)̸⊂F^c. これはF^c が開集合でないことを意味している。

ゆえに F は閉集合ではない。

命題 0.11 F ⊂R^N に対して、次の(i),(ii)は同値である。

(i) F は R^N の有界な閉集合である。

(ii) F 内の任意の点列{a_n}に対して、{a_n}が R^N で収束するならば、その極限は F に 属する。

証明

(i)⇒(ii) (i) を仮定する。F は R^N の閉集合で、{a_n} は F 内の点列、a ∈ R^N, lim

n→∞a_n =a とする。a ∈F を背理法で示そう。a̸∈F とすると、a ∈F^c で、F^c は R^N の開集合で あるから、

(∃ε >0)B(a;ε)⊂F^c.

n→∞lim an =a より、十分大きな n ∈ N に対して、an ∈B(a;ε) となる。ゆえに an ∈ F^c. ところが an ∈F であるから矛盾する。ゆえに a ∈F.

(ii)⇒(i) (ii)を仮定して、(i)を背理法で示す。F が閉集合でないと仮定すると、F^c は開集合 ではないので、

(∃a ∈F^c)(∀ε >0)B(a;ε)̸⊂K^c.

これは B(a;ε)∩F ̸=∅ を意味する。n = 1,2,3, . . . に対して、ε:= 1

n として、これを用 いると a_n ∈ B(a;_n¹)∩F となる a_n が取れる。こうして作った {a_n} は F 内の点列で、

nlim→∞a_n=a を満たす。(ii) を仮定しているので a ∈F. これは a∈F^c に矛盾する。

定理 0.12 (Weierstrass の最大値定理 (多次元板)) K は R^N の有界閉集合、f: K →R は連続とするとき、f の K における最大値、最小値が存在する。

証明 1次元のときとほぼ同様にして、

nlim→∞f(x_n) = sup

x∈K

f(x)

を満たす K 内の点列{x_n}が存在する。K は有界であるから、Bolzano-Weierstrassの定理に よって、収束部分列 {x_nk}k∈N が存在する。c:= lim

k→∞x_nk とおくと、

lim

k→∞f(x_nk) = sup

x∈K

f(x).

K は閉集合であるから、上の命題より、c∈F である。f は cで連続であるから、

klim→∞f(xn_k) = f(c).

ゆえに

f(c) = sup

x∈K

f(x).

これは f(c) が最大値であることを示している。

少し時間的余裕を得たので、将来知っておくと良さそうな事実を紹介した。

定理 0.13 (コンパクト集合の特徴づけ) K ⊂ R^N について、次の (i), (ii), (iii) は互いに 同値である。

(i) K は有界閉集合である。

(ii) K 内の任意の点列 {a_n} は収束部分列を持ち、その極限は K に属する。

(iii) K はコンパクトである。

「コンパクト」という言葉は「トポロジー」で学ぶ。ここではその説明を省略し、(i)⇔ (ii)の み証明する。

証明

(i)⇒(ii) Bolzano-Weierstrass より収束部分列を持つ。閉集合であるから、その極限は K に 属する。

(ii)⇒(i) (ii) を仮定する。K が閉集合であることは簡単に分かる (省略する)。K が有界であ ることを背理法で証明する。K が有界でないと仮定すると、

(∀n ∈N)(∃a_n∈K) |a_n|> n.

こうして作った {a_n} の任意の部分列 {a_nk}k∈N は、

|an_k|> nk ≥k

を満たすので収束しない (収束するならば有界のはずだが、非有界なので)。