機構を題材とした授業実践に関する一考察
― 楕 円 ・ 双 曲 線 の 作 図 を 通 し て −
筑 波 大 学 大 学 院 修 士 課 程 教 育 研 究 科 石 川 智 史
キ ー ワ ー ド ： 機 構,証 明,楕 円 ・ 双 曲 線,作 図
要 約
本 研 究 は 機 構 を 使 っ て 描 け る 図 形 と し て 楕 円 と 双 曲 線 を 取 り 上 げ 、 授 業 を 行 っ た 。そ こ で は 、生 徒 が 自 ら 作 業 を し 、 証 明 を す る こ と で 、数 学 を 身 近 に 感 じ 、 授 業 に 積 極 的 に 参 加 す る こ と を 目 的 と し た 。 事 後 ア ン ケ ー ト 等 か ら 道 具 を 取 り 入 れ た 作 図 の 授 業 が 有 効 で あ る こ と を 示 し た 。
章 構 成 1.は じ め に
2.研 究 目 的 ・ 研 究 方 法 3.機 構 の 教 材 化
4.道 具 の 数 学 的 解 説
5.「 機 構 に よ る 作 図 」の 授 業 概 要 6.議 論
7 お わ り に
1.は じ め に
高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説 で は 数 学 C の 学 習 に つ い て 「 事 象 を 数 学 的 に 考 察 し 処 理 す る 能 力 を 伸 ば す 」と 示 し て お り 、「 こ の 能 力 は 、あ る 課 題 に 関 心 を も ち 、 そ の 解 決 に 当 た っ て 、こ れ ま で に 学 習 し た 知 識 等 を 基 に し て 一 般 的 な 方 略 な ど を 見 つ け 、そ れ を 用 い て 適 切 に 処 理 す る 学 習 を 通 し て 育 成 さ れ る 。」（ 文 部 省,1999） と 述 べ て い る 。筆 者 は 本 研 究 に お い て 、厚 紙 で 作 っ た 機 構 を 生 徒 が 自 ら の 手 で 動 か し 、作 図 す る こ と に よ っ て 、対 象 に 興 味 を 持 ち 、作 図 し て で き た 図 形 の 性 質 を 確 認 す る た め に 、既 存 の 学 習 内 容 で あ る 、三 角 形 の 相 似・合 同 条 件 、平 行 四 辺 形 の 性 質 な ど を 用 い て 、証 明 を 行 っ て い る 。事 前 ア ン ケ ー ト の 結 果 か ら も 、生 徒 は 機 構 と い う 事 に 関 し て 馴 染 み が な く 、異 文 化 体 験 と な っ て い る 。こ の こ と が 学 習 に 関 し て 果 た す 役 割 に つ い て は「 数 学 に お け る 異 文 化 体 験 が 、無 意 識 下 に 潜 む 自 ら の 数 学 文 化 を 自 覚 さ せ 、そ の 文 化 の 一 層 の 進 展 に 貢 献 す る 好 機 と み て 、そ れ を 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒 と 呼 ん だ 」（ 礒 田,2002） と 言 わ れ て い る 。 ま た 、3 回 の 授 業 を 通 し て 自 分 で 実 際 に 作 図 を し 、で き た 図 形 の 性 質 を 予 想 し 、数 学 的 に 証 明 す る と い う こ と を 度 々 行 っ た 。自 分 で 活 動 し 、予 想 し た こ と を 証 明 す る た め 、生 徒 は 授 業 に 対 し て 積 極 的 に 取 り 組 み が 、数 学 の 有 用 性 を 発 見 で き る の で は な い か と 考 え る 。ま た 、は じ め は 、こ ち ら の 指 示 で 行 っ て い た が 、繰 り 返 す う ち に 、図 形 の 性 質 を 用 い て 数 学 的 に 証 明 し て み よ う と 、自 ら 学 び 、自 ら 考 え る 態 度 を 育 む の に 効 果 が あ る の で は な い か と 考 え る 。
2. 研 究 目 的 ・ 方 法 (1).研 究 目 的
機 構 を 用 い た 作 図 に 関 す る 授 業 を 通 し て 、 数 学 が 身 近 に 使 わ れ て い る こ と を 感 じ 、 数 学 観 を 変 容 で き る か 。
上 記 の 目 的 を 達 成 す る た め 、 以 下 の 課 題 を 設 定 す る
課 題 1 自 分 た ち が 作 図 し て 得 た 結 果 を 、 証 明 し 、 確 認 す る こ と で 授 業 前 後 で 生 徒 の 数 学 に 対 す る 考 え 、 特 に 身 近 な 事 に 関 し て 数 学 が 役 に 立 っ て い る か に つ い て 、 意 識 の 変 化 が 生 ま れ る か 。
課 題 2 授 業 前 に は あ ま り 身 近 で な か っ た 楕 円 ・ 双 曲 線 、 機 構 に つ い て 、 授 業 を 行 う こ と で 、 従 来 の 代 数 的 な 定 義 を 用 い た 授 業 と は 異 な る イ メ ー ジ を 育 て ら れ る か 。
(2).研 究 方 法
機 構 を 題 材 と し た 楕 円 ・ 双 曲 線 の 作 図 に 関 す る テ キ ス ト を 開 発 し 、 そ れ を 用 い て 授 業 実 践 を 行 う 。そ し て 、授 業 前 後 の ア ン ケ ー ト 、ビ デ オ に よ る 授 業 記 録 に 基 づ き 考 察 す る 。
3． 機 構 の 教 材 化
機 構 を 用 い た 授 業 に 関 し て 、 先 行 研 究 で は 「 社 会 生 活 に 役 に 立 つ 内 容 と し て 、 日 常 生 活 で 目 に す る こ と の で き る 身 近 な 数 学 の 内 容 を 盛 り 込 む 」、「 機 構 の 仕 組 み と そ の 運 動 を 見 る と と も に 、 作 図 ツ ー ル を 利 用 し て 行 わ れ る 探 求 的 な 活 動 」（ 小 関,1998） と あ る 。 そ こ で は 、 ク ラ ン ク 機 構 に つ い て の 探 求 と 、 ４ 節 リ ン ク 機 構 に 現 れ る 曲 線 群 に 関 す る 探 究 で あ っ た 。そ し て「 考 察 と ま と め 」に お い て「 リ ン ク 機 構 を 更 に 、数 学 に お け る 機 械 作 図 の 歴 史 の 中 に 位 置 づ け 、パ ン タ グ ラ フ な ど の 他 の 作 図 機 械 と 関 連 さ せ 一 連 の 教 材 と し て 活 用 す る こ と が で き る か が 課 題 で あ る 」と 述 べ て い る 。本 研 究 で は 、パ ン タ グ ラ フ と 4 節 リ ン ク 機 構 の ひ と つ で あ る 交 叉 平 行 四 辺 形 型 の 機 構 を 扱 っ た 。授 業 で は 、前 者 を 使 っ て 、相 似 な 図 形 の 作 図 と 点 対 称 な 図 形 の 作 図 を 行 い 、後 者 を 使 っ て 楕 円・双 曲 線 の 作 図 を 行 っ た 。ま た 、 導 入 に お い て 同 じ く 4 節 リ ン ク 機 構 の ひ と つ で あ る 、 凧 型 の 機 構 を 用 い た 。 こ れ は 、パ ワ ー シ ョ ベ ル に も 見 ら れ る 機 構 で 、写 真 や ダ ン ボ ー ル で 作 成 し た 模 型 を 使 っ て 、機 構 が ど ん な も の で あ る か を 紹 介 し た 。生 徒 の 活 動 と し て は 基 本 的 に 2人 1組 で 行 い 、厚 紙 で 作 っ た 機 構 を 配 布 し そ れ を 用 い て 、画 用 紙 に 作 図 を し た 。 そ の 後 、 で き る 図 形 を 予 想 し 、 そ れ を 証 明 し て み る と い う こ と を 何 度 か 行 っ た 。 ま た 、機 構 の 動 き を 確 認 す る た め に 作 図 ソ フ ト で あ る Cabri GeometryⅡ を 用 い た
（ 以 下 カ ブ リ と 示 す ）。
4.道 具 の 数 学 的 解 説
こ こ で は 、3 時 間 の 授 業 で 扱 っ た ３ つ の 機 構 を 紹 介 す る 。主 に 機 構 の 形 と 、授 業 で 行 っ た 作 業 の 様 子 を 解 説 す る 。
1 時 間 目 の 授 業 で 使 用 し た 機 構
上 記 の パ ン タ グ ラ フ は 、等 し い 長 さ の 棒 4 本 で で き て お り 、点 D、E は そ れ ぞ れ 棒 の 中 点 に 位 置 し て い る 。 点 A を 固 定 し 、 点 B に お い て 図 形 を な ぞ る と 、 点 C の 軌 跡 は 点 B で な ぞ っ た 図 形 を 二 倍 に 拡 大 し た 図 形 と な る 。 点 B を 固 定 し 、 点 A に お い て 図 形 を な ぞ る と 、点 C の 軌 跡 は 点 B を 中 心 と し て 、点 A で な ぞ っ た 図 形 の 点 対 称 な 図 形 と な る 。 証 明 は 、 △ADB≡ △BEC で あ る こ と を 利 用 す る が 、 点 対 称 に 関 し て は 、 そ れ に 加 え て 点 A、B、C が 一 直 線 上 に あ る こ と も 利 用 す る 。
2 時 間 目 の 授 業 で 使 用 し た 機 構
上 記 の 図 形 ABCD を 交 叉 平 行 四 辺 形 と い う 。 平 行 四 辺 形 ABCD’を 対 角 線 AC で 折 り 返 し た も の で あ る 。AD＝BC、AB＝CD、AB＜BC を 満 た す 。 点 P は AD と BC の 交 点 で あ る 。AB を 固 定 し 、点 D が 点 A の 周 り を 回 転 す る と き 、点 P の 軌 跡 は 点 A、B を 焦 点 と す る 楕 円 を 描 く 。（ 右 側 の 写 真 参 照 ）。ま た 、こ の と き 点 C、D を 焦 点 と す る 同 じ 大 き さ の 楕 円 が 存 在 す る 。 こ の 楕 円 は 、 始 め の 楕 円 と 点 P に お い て 接 し 、楕 円 の 周 り を も う 一 つ の 楕 円 が 滑 ら ず に 回 転 し て い る 。授 業 で も 、楕 円 型 に 切 り 取 っ た 厚 紙 を ２ つ 配 り 、交 叉 平 行 四 辺 形 型 の 機 構 に 取 り 付 け る こ と で 確 認 し た 。
3 時 間 目 の 授 業 で 使 用 し た 機 構
2 時 間 目 と 同 じ く 、 交 叉 平 行 四 辺 形 型 の 機 構 を 扱 う 。AD＝BC、AB＝CD、AB
＜BC で あ り 、 点 E は AD と BC の 交 点 、 点 P は AB、CD を 通 る 直 線 の 交 点 と す る 。BC を 固 定 し 、点 A が 点 B の 周 り を 回 転 す る と き 、点 P の 軌 跡 は 点 B、C を 焦 点 と す る 双 曲 線 を 描 く 。右 側 の 写 真 は 、機 構 に 部 品 を 新 た に 取 り 付 け て 、AB、 CD を 延 長 し た も の 。 授 業 で は こ れ を 用 い て 双 曲 線 を 作 図 し た 。
５ ．「 機 構 に よ る 作 図 」 の 授 業 概 要 (1)授 業 環 境
日 時:平 成 15 年 11 月 7 日 、10 日 、14 日 （ 計 47 分 ×3 回 ） 対 象:栃 木 県 公 立 高 校 2 年 生 理 系 ク ラ ス （41 名 ）
準 備:コ ン ピ ュ ー タ（Windows）、ビ デ オ プ ロ ジ ェ ク タ ー 、Microsoft Power Point、
作 図 ソ フ ト （Cabri GeometryⅡ ）、 実 物 投 影 機 、 授 業 テ キ ス ト 、 事 前 ・ 事 後 ア ン ケ ー ト 、楕 円・双 曲 線 作 図 器（ 交 叉 平 行 四 辺 形 型 の 機 構 ）、パ ン タ グ ラ フ 、 画 用 紙 、 画 鋲 等
(2)授 業 展 開
1 時 間 目 の 目 標
機 構 と は ど ん な も の を い う の か 知 る 。 パ ン タ グ ラ フ を 用 い て 作 図 を し 、 次 に 行 う 証 明 へ の 興 味 が 持 て る よ う に す る 。 既 存 の 平 行 線 の 性 質 、 相 似 条 件 等 を 用 い て 、 予 想 し た こ と が 確 か で あ る か 証 明 を 行 い 、 厳 密 性 ・ 客 観 性 な ど の 数 学 的 な 考 え 方 の よ さ を 認 識 す る 。
授 業 概 要
生 徒 に と っ て 機 構 と い う 言 葉 自 体 、あ ま り 馴 染 み が な い た め 、身 近 な 機 構 の 例 と し て 、 パ ワ ー シ ョ ベ ル に 見 ら れ る 機 構 を カ ブ リ や ダ ン ボ ー ル で 作 っ た 模 型 を 使 っ て 説 明 し た （ 図 ① 参 照 ）。
次 に 、二 人 一 組 に な っ て も ら い 、ダ ン ボ ー ル の 台 紙・画 鋲・画 用 紙・パ ン タ グ
【 図 ① 】 凧 型 の 機 構 の 説 明
【 図 ② 】パ ン タ グ ラ フ に よ る 作図
ラ フ を 配 布 し た 。 描 く 図 形 が 画 用 紙 か ら は み 出 さ な い よ う に す る た め に 、 画 用 紙 に は 三 角 形 と パ ン タ グ ラ フ を 固 定 す る 点 が 描 か れ て お り 、 ダ ン ボ ー ル に 画 鋲 で 固 定 さ れ て い る 。 作 業 の 説 明 を 実 物 投 影 機 で 実 演 し 、生 徒 も 作 図 を 行 っ た（ 図
② 参 照 ）。で き た 図 形（ 図 ③ 参 照 ）を 考 え て も ら っ た 。二 人 一 組 で 作 業 し て い る の で 、2 人 で 話 合 こ で は 次 の よ う な 会 話 が 見 て 取 れ た 。
う よ う 促 し た（ 図 ④ 参 照 ）。
生 徒 ① ：「 点 E で 描 く 三 角 形 よ り も 大 き く
生 徒 ② ：
か 」
を カ ブ リ で 行 っ た 。2
ラ フ を 用 い て 、 点 対 称 な 図
そ
【 会 話 ① 】
生 徒 ① ：「 こ れ と 同 じ 三 角 形 を し て ん だ よ 」 生 徒 ② ：「 こ れ を 大 き く で き ん だ よ 」
生 徒 ③ ：「2 倍 に な っ て い る 」
そ の 後 で き た 図 形 を 発 表 し て も ら っ た 。
【 会 話 ② 】
生 徒 ① ：「 三 角 形 」
教 師 ：「 も っ と 詳 し く い う と 、 ど ん な 三 角 形 と い え る か な 」
な っ た 三 角 形 」
「 相 似 な 図 形 」 教 師 ：「 他 に 何 か あ り ま す 生 徒 ③ ：「 １ ： ２ 、2 倍 」 こ の 後 、機 構 の 動 き の 確 認
回 目 か ら ト レ ー ス 機 能 を 使 い 、 で き る 図 形 も 確 認 し た 。 次 に 、 実 際 に 点 の 軌 跡 が 予 想 し た 通 り に な る か 、 テ キ ス ト の 穴 埋 め の 証 明 を 行 っ た 。 そ の 際 、 ２ 人 で 相 談 す る と こ ろ が 見 ら れ た 。 生 徒 の 様 子 を み て 、 ど の 三 角 形 に 注 目 す れ ば よ い か ヒ ン ト を 出 し た 。
次 に 、 同 じ パ ン タ グ
【 図 ③ 】生 徒 に よ る 作 図 の 結 果
形 を 描 い て も ら っ た 。 で き た 図 形 に 対 し て 、 合 同 だ け で 終 わ ら な い よ う に 、 さ ら に 詳 し く 考 え る こ と を 促 し た 。 そ の 後 、 描 け た 図 形 を 発 表 し て も ら っ た 。
【 図 ④ 】 話 し 合 う 生 徒
【 会 話 ③ 】
教 師 ：「 ど ん な 図 形 が で き ま し た か 」 生 徒 ：「 合 同 で 線 対 称 」
こ れ に つ い て も 、 証 明 と カ ブ リ で の 確 認 を 行 っ た 。1 時 間 目 の ま と め と し て 、次 の こ と を 示 し た 。
① 機 構 の 紹 介 凧 型 の 機 構 パ ン タ グ ラ フ
② 機 構 の 特 徴 部 品 や 固 定 点 に よ っ て 性 質 が 変 わ る
1 時 間 目 に 引 き 続 き 、機 構 に よ っ て 図 形 を 描 く こ と に よ り 、 生 徒 が 授 業 に つ い て 積 極 的 に 取 り
業 概 要
。
く 二 人 一 組 に な っ て も ら い 次 の も
作 ら れ る 図 形 で あ る 。 詳 し く は 、4.道 具 の 数 学 的 解 説 を 参 照 ） 2 時 間 目 の 目 標
【 図 ⑤ 】 交 叉 平 行 四 辺 形 型 の 機 構
組 め る よ う に す る 。 そ し て 、 数 学 観 の 変 容 と 身 近 な こ と に 数 学 が 関 わ っ て い る 事 を 実 感 で き る よ う に す る 。 ま た 、 二 人 で 作 業 を す る こ と に よ り 、 お 互 い に 意 見 を 出 し 合 い な が ら 、 作 業 が 進 め ら れ る よ う に す る 。
授
前 回 の 復 習 と し て 、 機 構 は 「 機 械 に あ る 仕 事 を さ せ る 、 物 体 の 組 み 合 わ せ 」 で あ り 、 前 時 で は 凧 型 の 機 構 を 例 と し て 紹 介 し た こ と を 述 べ た そ し て 本 時 で は 、 そ れ と 全 く 同 じ 部 品 で 、 接 続 の 仕 方 だ け を 変 え た 機 構 を 扱 う こ と を 述 べ た 。1 時 間 目 と 同 じ
の を 配 布 し た 。
厚 紙 で 作 っ た 交 叉 平 行 四 辺 形 型 の 機 構 （ 交 叉 平 行 四 辺 形 と は 、平 行 四 辺 形 を そ の 対 角 線 で 折 り 曲 げ 、そ の と き に 、も と の 平 行 四 辺 形 の 四 辺 に よ っ て
こ こ で は 、交 叉 平 行 四 辺 形 の 交 点 P の 軌 跡 に 注 目 し た 。次 の よ う な 会 話 が 見 ら れ た 。
【 会 話 ④ 】
生 徒 ① ：「 円 … 、 楕 円 ！ 」
教 師 ：「 他 に 何 か 気 づ い た こ と あ り ま す か 」 生 徒 ② ：「 楕 円 」
で き る 図 形 を カ ブ リ で 確 認 し た 。
ま た 、手 元 に あ る 機 構 の 交 点 が 実 際 に 楕 円 を 描 く か ど う か 確 認 す る た め に 、描 く 軌 跡 と 同 じ 大 き さ に 切 り 取 ら れ た 楕 円 型 の 厚 紙 を 配 っ た 。生 徒 は こ れ を 、機 構 に 取 り 付 け る こ と で 、交 点 P が 楕 円 の 縁 を た ど っ て い く 様 子 を 確 認 で き た は ず で あ
【 図 ⑥ 】 楕 円 歯 車
る （ 図 ⑤ 参 照 ）。
生 徒 は ま だ 楕 円 を 未 習 の た め 、楕 円 の 定 義（ ２ 定 点 か ら の 距 離 の 和 が 一 定 で あ る 点 の 軌 跡 を 楕 円 と 呼 ぶ ）を 紹 介 し た 。実 際 に 点 が 楕 円 の 定 義 を 満 た す か ど う か 確 認 す る た め に 、 下 記 の よ う な 穴 埋 め の 証 明 を 行 い 、 発 表 し て も ら っ た 。
（ 証 明 ）
平 行 四 辺 形 ABCD’の 対 角 線 AC に 対 し て D’を 線 対 称 移 動 し た も の が D で あ る か ら 、 △ACD は △ ACD’を 折 り 返 し た 図 形 と な る 。 よ っ て 、
CD＝CD’=AB― ①
∠CPD＝ ∠APB― ②
∠CDA＝ ∠CD’A＝ ∠ABC― ③
② ③ よ り ∠PCD＝ ∠PAB― ④
よ っ て ① ③ ④ よ り １ 辺 と そ の 両 端 の 角 が 等 し い の で 、 （ ） ― ⑤
従 っ て 、⑤ よ りAP＋BP＝AP＋ （ ） ＝ （ ）
つ ま り 、 点 P は A、B か ら の 距 離 の 和 が 常 に 一 定 と な る 。（ 証 明 終 わ り ）
次 に F.VAN SCHOOTEN が 彼 の 著 書『ORGANICA』の な か で 今 日 の 授 業 で 扱 っ た 方 法 で 楕 円 を 描 い て い る （ 挿 絵 ① 参 照 。 挿 絵 ② は 本 の 表 紙 ） こ と を 紹 介 し た 。 ま た 、デ カ ル ト は 彼 の 著 書『 屈 折 光 学 』に お い て 、違 う 方 法（ 杭 と 紐 を 使 っ た 方 法 ） で 描 い て い る こ と も 紹 介 し た 。
次 に 楕 円 型 に 切 ら れ た 厚 紙 を も う ひ と つ 配 っ て 、機 構 に 取 り 付 け て も ら い 、楕 円 の 外 側 を も う ひ と つ の 楕 円 が 滑 ら ず に 転 が っ て い く 様 子 を 見 て も ら っ た 。こ れ を 楕 円 歯 車 と 呼 ぶ （ 図 ⑥ 参 照 ）。 円 の 歯 車 よ り も 楕 円 歯 車 の ほ う が 滑 ら ず 、 し っ か り と 力 を 伝 え る こ と か ら 、水 道 メ ー タ ー な ど に 使 用 さ れ て い る こ と を 述 べ 、身 ブ リ を 用 い て 、機 構 の 部 品 の 長 さ を 変 え る と 楕 円 の 形 は 変 わ る も の の 、 軌 跡 が 楕 円 に な る こ と に は 変 わ り が な い こ と を 示 し た 。 今 日 の 授 業 の ま と め と し て 次 の よ う な こ と を 述 べ た 。
① 楕 円 の 定 義
② 機 構 は 部 品 が 近 な 生 活 に 実 用 さ れ て い る こ と を 示 し た 。次 に 、カ
同 じ で も
（ 接 続 の
【 挿 絵 ① 】楕 円 の 作 図 【 挿 絵 ② 】本 の 表 紙
組 み 合 わ せ 方
仕 方 ） で 違 う 動 き を す る こ と
3 時 間 目 の 目 標
く 、作 図 と 証 明 を 行 う こ と で 、
１ ・ ２ 時 間 目 の 復 習 を 行 い 、 機 構 と は ど ん な も の か 、 ど の よ う な 機 構 を 扱 っ た の か も う 一 度
し た 。
・ 交 叉 平 行 四 辺 形 型 の
た め の パ ー ツ
画 用 紙
台 紙 （ ダ ン ボ ー ル ）
に よ っ て 、 上 手 く 回 転 し な い こ
（F.VAN SCHOOTEN） の 紹 介 を し 、 そ の 本 の 中 で 紹 介 さ れ て い る 作 図 方 法 と 、 ２ 時 間 目 と 同 じ
生 徒 が 興 味 を 持 っ て 取 り 組 み 、 数 学 の よ さ を 学 べ る よ う に す る 。 ま た 、 ３ 時 間 通 し て 行 っ て き た 、 作 図 ・ 予 想 ・ 数 学 的 に 証 明 と い う 流 れ を 繰 り 返 す こ と に よ り 、 自 ら 学 び 自 ら 考 え る 姿 勢 を 育 む 。 本 時 は 最 後 の 授 業 と な る た め 、 ３ 時 間 の ま と め も 行 う 。
授 業 概 要
【 図 ⑦ 】 機 構 に パ ー ツ を 取 付 け た も の り
紹 介 し た 。次 に 、2 時 間 目 と の 関 連 を 確 認 す る た め 、次 の 2 つ を 確 認 し た 。1 つ 目 は 、本 時 で は 2 時 間 目 と 全 く 同 じ 機 構 を 用 い る こ と 。2 つ 目 は 前 回 、 短 い 辺 を 固 定 し て 機 構 を 動 か し て い た が 、 今 回 は 長 い 辺 を 固 定 し た 場 合 を 考 え る こ と で あ る 。 二 人 一 組 に な っ て も ら い 、 次 の も の を 配 布
機 構
・ 短 い 辺 を 延 長 す る
・ 画 鋲
・
・
機 構 の 動 か し 方
と が あ る た め 、 回 転 の 仕 方 を 実 物 投 影 機 で 説 明 し た 。 パ ー ツ を 機 構 に 取 り 付 け て も ら い 、 短 い 辺 を 延 長 し た も の の 交 点 の 軌 跡 を 画 用 紙 に 描 い て も ら っ た（ 図 ⑦ ⑧ ⑨ 参 照 ）。両 方 に 延 長 し て い る の で 、 交 点 は 両 側 に で き る 。 し か し 、 そ れ に 気 づ い て い な い 生 徒 が 多 く 見 ら れ た の で 、 補 足 説 明 し た 。 そ の 後 、 カ ブ リ で 実 演 し た 。 次 に 証 明 を 行 っ た 。2 時 間 目 で 証 明 し た 条 件（ 三 角 形 の 相 似 ）は 使 っ て よ い と し た 。原 典『ORGANICA』
今 回 の 授 業 で 行 っ た こ と が 同 じ で あ る こ と を 述 べ た （ 挿 絵 ③ 参 照 ）。
【 図 ⑧ 】 双 曲 線 の 作 図
次 に カ ブ リ を 用 い て 、機 構 の 部 品 の 長 さ を 変 え る と 、ど の よ う に な る か 見 て も ら っ た 。こ こ で は 、双 曲 線 の 形 は 変 化 す る も の の 、注 目 し た 点 が 、2 定 点 か ら の 距 離 の 差 が 一 定 で あ る と い う 条 件 を 満 た す 限 り 、軌 跡 が 双 曲 線 に な る こ と を 示 し
【 図 ⑨ 】 生 徒 に よ る 作 図 の 結 果
た 。
【 挿 絵 ③ 】 双 曲 線 の 作 図
3 時 間 の ま と め と し て 次 の こ と を 述 べ た 。
① 機 構 は 構 成 す る 部 品 ・ 組 み 合 わ せ 等 に よ っ て 多 様 な 動 き を す る こ と
② 棒 の 条 件 を 変 え る こ と で 同 じ 点 の 軌 跡 も 楕 円 に な っ た り 双 曲 線 に な っ た り す る こ と
③ 図 形 の 性 質 を 確 認 す る た め に 数 学 が 役 立 っ て い る こ と
6． 議 論
（ １ ） 課 題 1 に 関 す る 議 論
課 題 1：自 分 た ち が 作 図 し て 得 た 結 果 を 、証 明 し 確 認 す る こ と で 授 業 前 後 で 生 徒 の 数 学 に 対 す る 考 え 、特 に 身 近 な 事 に 関 し て 数 学 が 役 に 立 っ て い る か に つ い て 、 意 識 の 変 化 が 生 ま れ る か 。
授 業 後 に 行 っ た ア ン ケ ー ト の 質 問 と 回 答 は 以 下 の 通 り で あ る 。（ 生 徒 個 人 の 回 答 を 次 の ① 〜 ⑥ に グ ル ー プ 分 け し た ）。
質 問 1： 授 業 で は 毎 時 間 、証 明 を 行 い ま し た が 、授 業 を 受 け て 、あ な た の 数 学 の 証 明 に つ い て の イ メ ー ジ に 何 か 変 わ っ た こ と は あ り ま す か ？ ま た 、現 在 証 明 に つ い て ど ん な イ メ ー ジ が あ り ま す か ？
①・今 ま で や っ た こ と の な い よ う な 証 明 が 出 来 て よ か っ た で す 。楽 し く 出 来 ま し た 。
・ 基 本 的 な こ と が 出 来 れ ば あ と は 応 用 す れ ば い い と い う イ メ ー ジ に な っ た 。
・証 明 は 式 だ け で や る も の だ と 思 っ て い た が 、実 際 に 道 具 を 使 う こ と に よ っ て 分 か り や す く な っ た 。
・ 難 し い 数 式 を 使 わ ず に 出 来 る の で 、 ク イ ズ み た い な 感 覚 で 面 白 い と 思 っ た 。
・ 図 形 を 使 っ た の で 分 か り や す く な っ た 。 証 明 は や り 方 が 分 か れ ば 簡 単 。
② ・ 数 学 が 生 活 に 深 く 関 係 し て い る と い う こ と が 分 か っ た 。
質 問 2：授 業 で は 機 構 を 使 っ て 図 形 を 描 き ま し た が 、こ の よ う に 、数 学 の 授 業 に 道 具 を 用 い る こ と に つ い て 思 っ た 事 を 書 い て く だ さ い 。
③・今 ま で 、こ の 様 な 授 業 は 受 け た こ と が 無 い の で 楽 し い 。で も 、内 容 は ち ゃ ん と し た 機 構 の 勉 強 に な っ て い る 。
・数 字 を 使 っ て 計 算 す る こ と だ け が 数 学 だ と 思 っ て い た の で 、数 学 に 対 す る 見 方 が か な り 変 わ っ た 。
・ 説 得 力 が あ る 。
・こ の よ う な 道 具 を 使 っ て 図 形 を 書 く と い う こ と は し た こ と が な い の で 、ま だ
ま だ 知 ら な い こ と が た く さ ん あ る の だ な あ と 思 い ま し た 。
・ 話 を 聞 く よ り 実 際 に 自 分 で や っ た ほ う が 、 面 白 い し 、 理 解 も 良 く 出 来 た 。
・頭 で 考 え る だ け で な く 、実 際 に 手 を 動 か し て い る の で 、と て も 楽 し か っ た し 、 分 か り や す い と 思 っ た 。
・ 数 学 で も 分 か り や す く て 楽 し か っ た 。
質 問 3： 日 常 生 活 と 数 学 の 関 わ り に つ い て ど う 思 い ま す か ？
④ ・ 思 わ ぬ 所 で 関 わ り が あ っ た の で び っ く り し た 。
・ 様 々 な こ と に 数 学 が 関 わ っ て い る と 感 じ 凄 い と 思 っ た 。
・授 業 を 通 し て 一 見 関 わ り の な い と 思 う 所 に も 数 学 が 生 か さ れ て い る の だ と 思 っ た 。
・ 機 構 が 上 手 く 使 わ れ て い る 事 を 知 っ て 、 関 わ り が あ る と 思 っ た 。
・ 大 規 模 な こ と を す る と き に 良 く 使 わ れ て い る と 思 う 。
⑤ シ ョ ベ ル カ ー の 例 で し か 実 際 に 使 わ れ て い る の が 分 か ら な か っ た の で 、も っ と 他 の 例 が 知 り た い と 思 っ た 。
質 問 4：3 日 間 の 授 業 を 終 え て 、 あ な た の 感 じ た こ と を 自 由 に 書 い て く だ さ い 。
⑥ ・ 数 学 は 教 科 書 だ け じ ゃ な い と あ ら た め て 感 じ ら れ た 。
・ 悪 い 先 入 観 が 無 く な り ま し た 。 授 業 受 け て よ か っ た 。
・数 学 で 実 験 を す る と は 思 っ て も い な か っ た の で 、普 通 に 授 業 を 受 け る よ り 楽 し か っ た 。
・ 数 学 と 物 理 が と て も 身 近 な も の だ と 思 っ た 。
・ 数 学 の 新 し い 部 分 を 発 見 で き た 。
・ 3 日 間 、機 構 と い う も の を 学 び 、日 常 の 中 に も 、数 学 は ど こ か し ら に 関 係 が あ る の だ な と 思 い ま し た 。
こ の 授 業 で は 道 具 の 材 料 は 違 う も の の 、 原 典 で あ る 『ORGANICA』 で F.VAN SCHOOTEN が 行 っ た 作 図 と 同 じ 方 法 を 生 徒 は 体 験 す る こ と が で き た 。「 道 具 を 実 際 に 生 徒 が 自 ら 利 用 し て 見 る こ と で 、人 は そ の 道 具 の 開 発 者・利 用 者 が ど の よ う に 考 え た か を 知 る き っ か け を 得 る こ と が で き る 」（ 礒 田,2003）と あ り 、ア ン ケ ー ト の 回 答 ③ ⑥ か ら も そ の 効 果 が 伺 え る 。ま た 、道 具 を 用 い る こ と で 生 徒 は 数 学 の よ さ や 、身 近 な と こ ろ で 数 学 が 使 用 さ れ て い る こ と を 気 付 き 、ま た 、数 学 と い う 範 囲 を 超 え て そ の 道 具 そ の も の に 関 す る 意 識 を 変 化 さ せ る と い う 効 果 も あ る 。
（ ア ン ケ ー ト の 回 答 ① ② ④ ）。 道 具 を 二 人 に １ つ 配 る こ と で 、 生 徒 自 ら が 機 構 を 動 か し な が ら 、探 求 す る 学 習 活 動 を 実 現 し た 。二 人 一 組 で 活 動 を 行 う こ と で 、相 談 を し な が ら 、活 動 す る こ と も で き た 。こ の こ と は 、実 際 の 授 業 の 会 話 ① な ど か ら も 見 て 取 れ 、自 分 が 作 図 を し た も の を 見 な が ら 、結 果 が ど う な る か を 周 り と 意 見 を 交 換 し て い る 場 面 が 多 く 見 ら れ た 。機 構 の 点 の 軌 跡 を 各 自 、作 図 し た 結 果 が 、 始 め か ら 画 用 紙 に 書 い て あ っ た 三 角 形 と 何 か 関 係 が あ る の で は な い か と 疑 問 が 浮 か ん だ た め で あ る 。こ の こ と が 問 題 意 識 や 興 味 を 生 み 出 し 、学 習 効 果 を 上 げ る の に つ な が る と 考 え ら れ る 。 他 に も お 互 い に 話 合 う 場 面 が 見 ら れ た 。 授 業 で は 、
F.VAN SCHOOTEN が 著 書 『ORGANICA』 の な か で 用 い て い る 方 法 と 、 デ カ ル ト が 彼 の 著 書『 屈 折 光 学 』で 、用 い て い る 方 法 を 紹 介 し た 。こ の こ と は 、異 文 化 体 験 に よ る 文 化 的 視 野 の 覚 醒 と し て 、そ の 効 果 は「 異 文 化 体 験 で 顕 在 化 し た 、他 文 化 と そ こ で 自 覚 さ れ た 、 自 文 化 の 自 覚 あ る 進 展 」（ 礒 田,2001） と 言 わ れ て い る 。 ま た 、会 話 ② の よ う に 、ど ん な も の が 描 け た か 聞 い て み る 際 に 、始 め は 三 角 形 と 答 え る だ け で あ り 、こ ち ら か ら 問 い か け て か ら 、ど ん な 三 角 形 で あ る か 考 え 出 し た 。し か し 、次 の 機 会 で は 、会 話 ③ の よ う に 、始 め か ら ど ん な 三 角 形 に な る か ま で 考 え て 答 え て お り 、さ ら に 会 話 ④ の よ う に 、指 名 し て な い 生 徒 か ら も 積 極 的 な 発 言 が 見 ら れ た 。こ れ は 、自 分 が 作 図 し た も の を 発 表 す る の で 、間 違 い な ど を 気 に せ ず 発 表 で き る た め だ と 考 え る 。ま た 、作 図 の 仕 方 が 分 か っ て い る 人 も 、誤 解 す る 人 も 当 然 い る が 、 生 徒 間 で 教 え あ い が 見 ら れ た 。
数 学 科 の 目 標 と し て 「 数 学 に お け る 基 本 的 な 概 念 や 原 理 ・ 法 則 の 理 解 を 深 め 、 事 象 を 数 学 的 に 考 察 し 処 理 す る 能 力 を 高 め 、数 学 的 活 動 を 通 し て 創 造 性 の 基 礎 を 培 う と と も に 、数 学 的 な 考 え 方 の よ さ を 認 識 し 、そ れ ら を 積 極 的 に 活 用 す る 態 度 を 育 て る 」（ 文 部 省,1999）と あ る 。今 回 、上 記 の ア ン ケ ー ト 結 果 や 先 行 研 究 及 び 、 下 記 に 示 す 事 前・事 後 ア ン ケ ー ト の 結 果 か ら も 、生 徒 が 実 際 に 作 図 を 行 い 、予 想 し 証 明 を 行 う と い う こ と は 数 学 的 活 動 で あ り 、既 習 事 項 を 使 っ て 結 論 を 導 く こ と は 、数 学 を 積 極 的 に 使 用 す る 態 度 を 育 て 、数 学 の よ さ を 知 る こ と に 繋 が る の で は な い か と 考 え る 。
事 前 ・ 事 後 ア ン ケ ー ト の 結 果 を ま と め た 表 を 質 問 内 容 と 共 に 下 記 に 示 す 。 日 常 の 問 題 の 解 決 に 数 学 が 役 立 つ
調 査 人 数/意 見 大 賛 成 賛 成 ど ち ら と も 反 対 大 反 対 事 前 （36） 2(6%) 12(33%) 14(38%) 6(17%) 2(6%) 事 後 （37） 10(27%) 13(36%) 9(24%) 3(8%) 2(5%) 大 部 分 の 数 学 が 仕 事 上 で 実 際 に 使 わ れ る
調 査 人 数/意 見 大 賛 成 賛 成 ど ち ら と も 反 対 大 反 対 事 前 （36） 5(14%) 12(33%) 14(39%) 4(11%) 1(3%)
事 後 （37） 9(24%) 16(43%) 8(22%) 3(8%) 1(3%)
身 の 回 り の 道 具 か ら 数 学 的 な 性 質 を 見 つ け る こ と が で き る
調 査 人 数/意 見 大 賛 成 賛 成 ど ち ら と も 反 対 大 反 対 事 前 （36） 5(14%) 16(44%) 12(33%) 1(3%) 2(6%) 事 後 （37） 11(30%) 14(38%) 10(27%) 0(0%) 2(5%) 数 学 は 自 分 で 新 し い こ と を 考 え て い こ う と す る 人 に と っ て 適 し た 学 問 で あ る
調 査 人 数/意 見 大 賛 成 賛 成 ど ち ら と も 反 対 大 反 対
事 前 （36） 9(25%) 10(28%) 10(28%) 7(19%) 0(0%) 事 後 （37） 10(27%) 15(40%) 11(30%) 0(0%) 1(3%)
「 日 常 の 問 題 の 解 決 に 数 学 が 役 立 つ 」と い う 質 問 の 回 答 に 関 し て 、大 賛 成 を 5、
賛 成 を 4、 ど ち ら で も な い を 3、 … と 数 値 化 し て 、 母 平 均 の 差 の 検 定 を 行 っ た 。 事 前 ・ 事 後 の 2 つ の 母 集 団 をN(µ１,σ12)、N(µ2,σ22)と し 、 帰 無 仮 説 をH０：µ１=µ
２、 対 立 仮 説 をH：µ１＜µ２と し た 。 そ れ ぞ れ µ１=3.1666… ≒3.167 σ12=0.9428… ≒0.943 µ2=3.702703≒3.703 σ22=1.27027≒1.27
68 60276 . 67
179 . 2 178898 .
2
≅
=
≅
= ν
t
よ っ て 、自 由 度 68 のt分 布 に 従 う 。有 意 水 準 をα=0.05 と 設 定 す る 。ｔ 分 布 表 よ り 、 自 由 度 68 の ｔ 分 布 の 片 側 5％ 点 はt0.05(68)＜t0.05(80)＝1.664 で あ る 。
と こ ろ で 、t=2.179、t0.05(80)＝1.664 で あ る の で 、t=2.179＞1.664＝t0.05(80)
と な り 、帰 無 仮 説 は 有 意 水 準 0.05 で 棄 却 で き る 。従 っ て 、生 徒 の「 日 常 の 問 題 の 解 決 に 数 学 が 役 立 つ 」に 対 す る 意 見 に つ い て 、授 業 前 と 授 業 後 で は よ り 多 く の 生 徒 が 賛 成 す る よ う に な っ た と い え る 。つ ま り 数 学 に 対 す る 日 常 の 問 題 の 解 決 に 数 学 が 役 立 つ と い う 意 識 を 変 容 し た こ と が わ か る 。他 に も 、上 記 の ア ン ケ ー ト 結 果 の 下 線 部 か ら も 授 業 前 後 で 生 徒 の 数 学 に 対 す る 考 え に 意 識 の 変 化 が 生 ま れ た と 考 え ら れ る 。
以 上 の こ と か ら 機 構 を 用 い る こ と よ っ て 、授 業 へ の 積 極 的 な 態 度 が 生 ま れ 、教 材 に つ い て 興 味 を 持 て る こ と が 分 か っ た 。ま た 、機 構 を 用 い て 作 図 を 行 い 、で き る 図 形 を 予 想 し 、証 明 す る こ と で 、生 徒 は 数 学 の 有 用 性 や 日 常 生 活 の 中 に 数 学 が 使 わ れ て い る と 感 じ 、 数 学 観 の 変 容 を 図 る こ と が で き た と 考 え る 。
（ ２ ） 課 題 2 に 関 す る 議 論
課 題 ２ ： 授 業 前 に は あ ま り 身 近 で な か っ た 楕 円 ・ 双 曲 線 、 機 構 に つ い て 、 授 業 を 行 う こ と で 、 従 来 の 代 数 的 な 定 義 を 用 い た 授 業 と は 異 な る イ メ ー ジ を 育 て ら れ る か 。
授 業 後 に 行 っ た ア ン ケ ー ト の 質 問 内 容 と 回 答 は 以 下 の 通 り で あ る 。（ 生 徒 個 人 の 回 答 を 次 の ⑦ 〜 ⑨ に グ ル ー プ 分 け し た ）。
質 問 5：授 業 を 終 え て 、あ な た の 機 構 に 対 す る イ メ ー ジ は ど の よ う に 変 わ り ま し た か ？
⑦・機 構 と い う も の が 前 は 分 か ら な か っ た が 授 業 を や っ て い く に つ れ て 興 味 が わ い て き た 。
・も と も と ど ん な も の か 分 か ら な か っ た の で 、機 構 に つ い て 知 る い い 機 会 に な っ た と 思 い ま す 。
・今 ま で 機 械 そ の も の が 嫌 い だ っ た が 、数 学 と の 関 わ り を 持 つ と 知 り 、嫌 い で は な く な り 、 少 し 機 構 を 知 る こ と が で き た 。
・最 初 は 全 く 意 味 不 明 の 言 葉 だ っ た け ど 、機 械 に あ る 運 動 を さ せ る 一 組 の 物 体 の 組 み 合 わ せ だ と い う こ と が 分 か っ た 。
質 問 6：3 日 間 の 授 業 を 終 え て 、 あ な た の 感 じ た こ と を 自 由 に 書 い て く だ さ い 。
⑧ 機 構 は 数 学 と い う よ り 物 理 に 近 い 気 が す る 。
⑨ 中 学 校 と か 高 校 の 総 合 学 習 と か に 役 立 つ と 思 い ま す 。
今 回 は 機 構 と 数 学 を 結 び つ け て の 授 業 と な っ た 。機 構 の 例 を 多 く す る こ と に よ り 、総 合 的 な 学 習 の 時 間 や 、数 学 が あ ま り 好 き で な い 生 徒 に と っ て も 、数 学 に 対 す る 新 た な 視 点・考 え を 生 み 出 す こ と が で き る の で は な い か と 考 え る（ ア ン ケ ー ト の 回 答 ⑨ ）。 従 来 の 教 科 書 か ら は 、 少 し 離 れ た 内 容 で あ っ た が 、 そ こ か ら 数 学 を 見 つ め な お す こ と で 、数 学 へ の 見 方 、特 に 数 学 が 身 近 な 場 所 で 活 用 さ れ て い る こ と に 関 し て 変 容 が あ っ た と 考 え ら れ る 。そ し て 、こ の こ と は 、今 後 の 数 学 の 学 習 に も よ い 影 響 が 出 て く る と 考 え る 。実 際 に 回 答 ⑦ や 課 題 1 の 結 果 に も あ る よ う に 、自 ら が 手 に と っ て 作 業 を し た こ と で 、機 構 に つ い て 興 味 を 持 ち 、そ れ ら の 性 質 を 証 明 す る こ と で 、生 徒 は 数 学 を 使 う こ と で あ る 事 柄 が 明 ら か に な っ て い く こ と を 経 験 で き た は ず で あ る 。ま た 、こ れ に よ っ て 、証 明 に 関 す る 意 識 も 、変 化 が 出 た と 考 え る 。ま た 、⑧ の 回 答 の よ う に 物 理 と の 関 係 を 書 く 生 徒 も い た 。他 に も 、 数 学 が 他 の 分 野 と 関 わ り 、将 来 、仕 事 で 使 う こ と が あ る だ ろ う と 答 え て い る 生 徒 も い た 。事 前 ア ン ケ ー ト よ り 、授 業 前 で は 楕 円・双 曲 線 と 言 う 言 葉 を 知 っ て い る 生 徒 は あ ま り な く 、そ の 正 確 な 定 義 を 知 っ て い る 生 徒 も ほ と ん ど い な か っ た と 考 え ら れ る 。し か し 、授 業 を 通 し て 楕 円・双 曲 線 の 定 義 を 学 び 、そ れ を 実 際 に 作 図・
証 明 す る こ と で 、従 来 の 代 数 的 な 定 義 と は 違 い 、点 が 、自 分 た ち が 証 明 し た 条 件 を 満 た し な が ら 動 い て い く 様 子 を 確 認 す る こ と が 出 来 た 。そ し て 、そ の 軌 跡 が 楕 円 ・ 双 曲 線 と い う も の で あ る こ と を 学 ぶ こ と が 出 来 た 。
7. お わ り に
本 研 究 に お い て 、機 構 に よ る 作 図 を テ ー マ に 授 業 実 践 を 行 っ て き た 。授 業 に お い て 生 徒 は 実 際 に 道 具 を 手 に と っ て 動 か す こ と に よ り 、あ る 条 件 を 満 た す 点 の 軌 跡 が ど ん な 図 形 を 描 く か を 自 分 の 目 で 確 認 す る こ と が で き た 。ま た 、ス ク リ ー ン 上 で も 、作 図 ソ フ ト で あ る カ ブ リ を 用 い る こ と で 確 認 す る こ と が で き た 。道 具 を 使 う こ と で 、内 容 が 現 実 的 な も の と な り 、生 徒 は よ り 興 味 を 持 っ て 授 業 に 取 り 組 む こ と が で き た 。そ し て 、既 習 内 容 を 用 い て 結 論 を 得 る こ と で 、数 学 観 の 変 容 が 得 ら れ た こ と が 事 後 ア ン ケ ー ト か ら も 確 認 で き た 。こ こ で は 、2 次 曲 線 を 未 習 の 生 徒 に 対 し て 、楕 円・双 曲 線 を 題 材 に し た 。授 業 で は そ れ ら の 知 識 を 前 提 と し な く て も 授 業 に 参 加 で き る よ う に 、数 式 を 出 さ ず 、定 義 と そ れ を 満 た す 点 の 軌 跡 が 実 際 に そ の 図 形 を 描 く こ と を 示 し た 。こ の 活 動 を し た こ と で 、2 次 曲 線 を も う 一 度 学 ぶ 際 に ど ん な 影 響 が あ る か は そ の と き に な っ て み な い と 確 認 す る こ と が で き な い 。し か し 、楕 円・双 曲 線 は ど の よ う な 定 義 で 、機 構 は 、固 定 す る 辺 に よ っ て 点 の 軌 跡 が 変 わ る と い う こ と は 知 る こ と が 出 来 た と 考 え る 。授 業 で は 、実 際 に 機 構 が 使 用 さ れ て い る 例 と し て 挙 げ た の は パ ワ ー シ ョ ベ ル だ け だ っ た 。ま た 、楕 円 歯 車 を 取 り 挙 げ た が 、力 を 正 確 に 伝 え 、速 度 が 変 化 す る と い う 性 質 を 伝 え る だ け に と ど ま り 、 具 体 例 を 出 せ な か っ た 。 今 後 の 課 題 と し て は 、「 も っ と 具 体 的 な 例 が 見 た か っ た 」（ ア ン ケ ー ト の 回 答 ⑤ 参 照 ） と あ る よ う に 、 実 際 に 機 構 が 使 わ
れ て い る 例 を た く さ ん 盛 り 込 む こ と が 挙 げ ら れ る 。
謝 辞
研 究 授 業 の 実 施 に 際 し て 、 栃 木 県 立 佐 野 高 等 学 校 の 石 塚 学 先 生 、 秋 澤 学 先 生 を は じ め 同 高 等 学 校 の 数 学 科 の 先 生 方 に は 貴 重 な ご 意 見・ご 指 導 を い た だ き 、同 高 等 学 校 の 諸 先 生 方 に も 多 大 な る ご 協 力 を い た だ き ま し た 。そ し て 、筑 波 大 学 に 内 地 留 学 さ れ て い る 佐 野 高 校 の 会 田 英 一 先 生 に も 、日 程 の 調 整・段 取 り な ど ご 協 力 い た だ き ま し た 。 厚 く 御 礼 申 し 上 げ ま す 。
注 ）
本 研 究 は 平 成 15 年 度 科 学 研 究 費 、特 定 領 域 研 究（2）課 題 番 号 15020214「 数 学 用 機 械 と JAVA に よ る 移 動・変 換 と 関 数・微 積 ハ ン ズ オ ン 教 材 の WEB 化 研 究 」（ 研 究 代 表 者 礒 田 正 美 ）に お い て 開 発 さ れ た 歴 史 的 道 具 を 前 提 に し て 、平 成 15 年 度 科 学 研 究 費 、基 盤 研 究(B)(2)課 題 番 号 14380055「 数 学 の 文 化 的 視 野 覚 醒 と 新 文 化 創 出 の た め の 教 材・指 導 法 開 発 研 究 」（ 研 究 代 表 者 礒 田 正 美 ）の 一 環 と し て 行 わ れ た 。
〈 参 考 ・ 引 用 文 献 〉
(1)文 部 省(1999).高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説 数 学 編 理 数 編. 東 京 ： 実 教 出 版. (2)文 部 省(1999).高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 東 京 ： 大 蔵 省 印 刷 局.
(3)小 関 勝 則(1998).4 節 リ ン ク 機 構 に お け る 曲 線 の 探 求:LEGO dacta と 作 図 ツ ー ル を 用 い た 他 教 科 と の 関 連 教 材.中 学 校 ・ 高 等 学 校 数 学 科 教 育 課 程 開 発 に 関 す る 研 究(5) テ ク ノ ロ ジ ー の 活 用 に よ る 数 学 教 育 内 容 と 指 導 法 の 創 造 に 関 す る 研 究 ： 代 数 、 解 析 、 幾 何 の 改 革,pp.212-218.筑 波 大 学 数 学 教 育 研 究 室.
(4) 礒 田 正 美(2003).な ぜ 道 具 を 数 学 教 育 で 活 用 す る 必 要 が あ る の か:道 具 を 使 っ て こ そ 学 べ る 数 学 の 教 育 的 価 値 を 明 か す た め の パ ー ス ペ ク テ ィ ブ.日 本 数 学 教 育 学 会 第 36 回 数 学 教 育 論 文 発 表 会 「 課 題 別 分 科 会 」 発 表 収 録:今 後 の 我 が 国 の 数 学 教 育 研 究,pp.246-249. 筑 波 大 学 数 学 教 育 研 究 室.
(5) 小 林 正(1993).現 場 の 歯 車 活 用 事 典.日 本 プ ラ ン ト メ ン テ ナ ン ス 協 会
(6) 礒 田 正 美 （2002）.異 文 化 体 験 か ら み た 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒 に 関 す る 一
考 察:隠 れ た 文 化 と し て の 数 学 観 の 意 識 化 と 変 容 を 求 め て.筑 波 数 学 教 育 研
究,20,pp.39-48.
(7) 広 井 徳 文,北 島 茂 樹,坂 本 正 彦(2000).回 転 作 図 器 の 授 業 に お け る レ ゴ の 効 果 に 関 す る 一 考 察：LEGO dacta を 利 用 し た 平 面 図 形 の 探 究 活 動 Ⅰ.中 学 校・高 等 学 校 数 学 科 教 育 課 程 開 発 に 関 す る 研 究(7)数 学 教 育 改 革 の 推 進 と テ ク ノ ロ ジ ー の 利 用 の 実 証 に 関 す る 研 究 ： ミ レ ニ ア ム プ ロ ジ ェ ク ト に 応 え て. pp.89-100.筑 波 大 学 数 学 教 育 研 究 室.
(8) 小 島 泰 一,北 島 茂 樹,坂 本 正 彦(2000).線 対 称 作 図 器 の 授 業 に 関 す る 一 考 察 ： LEGO dacta を 利 用 し た 平 面 図 形 の 探 究 活 動 Ⅱ.中 学 校・高 等 学 校 数 学 科 教 育 課
程 開 発 に 関 す る 研 究(7)数 学 教 育 改 革 の 推 進 と テ ク ノ ロ ジ ー の 利 用 の 実 証 に 関 す る 研 究 ： ミ レ ニ ア ム プ ロ ジ ェ ク ト に 応 え て.pp.101-108.筑 波 大 学 数 学 教 育 研 究 室.
(9) 礒 田 正 美(2000).道 具 が 媒 介 す る 図 形 に お け る「 観 察,操 作,実 験 」型 探 求 の 楽 し さ.中 学 校・高 等 学 校 数 学 科 教 育 課 程 開 発 に 関 す る 研 究(7)数 学 教 育 改 革 の 推 進 と テ ク ノ ロ ジ ー の 利 用 の 実 証 に 関 す る 研 究 ： ミ レ ニ ア ム プ ロ ジ ェ ク ト に 応 え
て.pp.83-87.筑 波 大 学 数 学 教 育 研 究 室.
(10)礒 田 正 美(2002).解 釈 学 か ら み た 数 学 的 活 動 論 の 展 開：人 間 の 営 み を 構 想 す る 学 教 育 学 へ の パ ー ス ペ ク テ ィ ブ.筑 波 数 学 教 育 研 究,21,pp.1-10.
(11)辻 宏 子(2002).数 学 教 育 に お け る 教 材・教 具 と し て の コ ン ピ ュ ー タ の 機 能 に 関 す る 一 考 察 ：Cabri-Geometry に お け る 『 点 の 自 由 度 』 を 事 例 と し て.筑 波 数 学 教 育 研 究,21,pp.47-54.
〈 上 記 以 外 で 授 業 に 際 し て 参 考 に し た 文 献 〉
(12)斉 藤 二 郎(1976).機 構 学 へ の ア プ ロ ー チ.大 河 出 版.
(13)デ カ ル ト(1637).三 宅 徳 嘉 他 訳(2001).デ カ ル ト 著 作 集 １ 増 補 版：屈 折 光 学.白 水 社.
(14)F.VAN SCHOOTEN(1648).ORGANICA.
(15)永 尾 汎 ほ か 8 名(2001).改 訂 版 高 等 学 校 数 学 Ｃ.数 研 出 版 株 式 会 社. (16)井 沢 実,加 藤 博 共(1979).機 構 学.産 業 図 書.
(17)井 垣 久 ほ か(1989).機 構 学.朝 倉 書 店.
(18)船 山 良 三(1977).工 科 の た め の 運 動 の 幾 何 学.理 工 図 書.
(19)ボ イ ヤ ー(1968).加 賀 美 鉄 雄,浦 野 由 有 共 訳(1984).数 学 の 歴 史 ：3.朝 倉 書 店. (20)ス チ ュ ア ー ト・ホ リ ン グ デ ー ル(1989).岡 部 恒 治 監 訳(1993).数 学 を 築 い た 天 才
た ち ： 上 下.講 談 社.
(21)技 能 士 の 友 編 集 部 編(1973).歯 車 の ハ タ ラ キ.大 河 出 版.
