物理（工学部・ロボティクス＆デザイン工学部・情報科学部）

物理（工学部・ロボティクス＆デザイン工学部・情報科学部）

Ⅰ

空所を埋め，問いに答えよ。 オ は力の名称で答えよ。（配点 ）

図 のように，質量mの小球と断面が直角三角形PQRで質量M の台を考える。台の斜面は なめらかで長さはL，∠QPRはθである。この台をなめらかで水平な床の上に置く。以下では，

台上の小球の運動と床上の台の運動は，紙面内に限られるとする。重力加速度の大きさをgと し，空気の抵抗は無視する。床に固定された座標軸として，水平方向にx軸をとり，右向きを正 とする。

（ ） 図 に示すように，Rがx軸上の原点Oに一致するようにストッパーを用いて台を床に 固 定 し た。Qに 小 球 を 置 い て 静 か に は な す と，小 球 は 斜 面 に 沿 っ て 下 向 き に 大 き さ ア の 一 定 の 加 速 度 で す べ り 下 り た。小 球 がPに 達 す る ま で に か か っ た 時 間 は イ であり，小球の水平方向の変位l は ウ となる。

小球が台から受ける垂直抗力 台が小球から

押される力

図 図

（ ） 次に，図 に示すように，ストッパーをはずして台が床の上を自由に動けるようにした。

RがOに一致するようにし，Qに小球を置いて静かにはなした（図 ）。小球と台は，大き さN の作用と反作用を互いに及ぼしあい，同時に動き始めた。

図 （a）に，床から見た台の加速度（大きさをαとする）と小球 の 加 速 度 の 水 平 成 分

（βx）を示す。図 （b）には，（a）と同じ時刻に台上から見た小球の斜面に沿った加速度（大 きさをβ′とする）と，小球にはたらく力を示す。

垂直抗力

重力

オ

図

物 理

まず，床から見た運動を考えよう。台は小球から押される力の水平成分により左向きに等 加速度運動した。台の運動方程式は次のようになる。

M（−α）＝−N × エ ①

また，小球は垂直抗力の水平成分により，右向きに等加速度運動をする。小球の水平方向の 運動方程式は次のようになる。

mβx＝N × エ ②

式①と式②より，βxをαを用いて次のように表すことができる。

βx＝M

m α ③

次に，台上から見ると，図 （b）に示すように小球は重力と垂直抗力に加え， オ を受けて斜面上を運動する。斜面に垂直な方向の力のつり合いを表す式は次のようになる。

N − カ ×cosθ＋ キ ×sinθ＝ ④

また，小球の運動方程式は次のようになる。

mβ′＝ カ ×sinθ＋ キ ×cosθ ⑤

式①と式④よりN を消去すると，台の加速度の大きさαはM，m，θ，gを用いて次の ように表せる。

α＝ ク ⑥

したがって，式⑤と式⑥より，β′は次のように求められる。

β′＝ M ＋m

M ＋msin θ×gsinθ ⑦

式⑦より，台上から見た小球の加速度の大きさβ′はM，m，θの関数となることが分かる。

問 θ＝ °，M ＝mの場合，β′の値は（ ）の ア の何倍になるか求めよ。

台上から見た小球の斜面に沿った変位はLで，水平方向の変位はl である。QからPに 達するのにかかった時間T は，式⑦で求めたβ′の値を用いると，L，M，m，θの関数と して次のようになる。

T ＝ ケ ⑧

改めて小球の運動を床から見てみる。式⑧の時間T の間に小球が水平方向に移動する距 離（x軸方向の変位）l を式③，式⑥，式⑧を用いて計算すると，M とmの関数として次 のように表せることが分かる。

l ＝l × コ ⑨

これより，床から見た小球の水平方向の変位l は小球と台の質量比k＝ m

Mの関数となる。

問 変位l を ≦k≦ の範囲でグラフにし，解答欄に図示せよ。

Ⅱ

空所を埋め，問いに答えよ。 イ ， ウ ， キ ， ク は数値で埋め よ。（配点 ）

ハイブリッド自動車や電気自動車等は回生ブレーキを装備し，省エネを実現している。回生ブ レーキは，減速の時に，通常は駆動力を得るために用いるモーターを発電機として作動させ，運 動エネルギーの一部を電気エネルギーに変換する。図 に示す電気回路を利用し，回生ブレーキ を使ってエネルギーを再利用する効果を簡単な仕組みで考えてみよう。図 において，スーパー キャパシターは電気容量C〔F〕のコンデンサーであり，回生ブレーキからの電気エネルギーを 蓄える。抵抗 ，抵抗 および抵抗 の抵抗値はすべて同じでR〔Ω〕である。電池は起電力が E〔V〕であり，内部抵抗が無視できる。各抵抗を流れる電流I，I，I の向きは図の矢印の向き を正とする。最初，スーパーキャパシターに電荷はないものとする。スイッチS を閉じると，

スーパーキャパシターの極板Aには正の電荷が蓄えられる。

回生 ブレーキ

スーパー キャパシター

＋

−

抵抗 1

抵抗 2

電池

抵抗 3

図

（ ） まず，スーパーキャパシターに静電エネルギーを蓄える過程を考えよう。

ス イ ッ チS を 開 い て，ス イ ッ チS を 閉 じ た と こ ろ，回 生 ブ レ ー キ が 作 動 し，質 量 m〔kg〕，速さv〔m／s〕の自動車が完全に停止した。ブレーキをかける時に生じた自動車の 運動エネルギーの減少量の ％が静電エネルギーとしてスーパーキャパシターに蓄えられ，

そ の 直 後 にS を 開 い た。こ の と き，ス ー パ ー キ ャ パ シ タ ー に 生 じ た 電 位 差V_c〔V〕は ア となる。

以下，数値で答える問題において，C ＝ ． F，m＝ kg，v＝ m／s，R ＝ Ω，

E ＝ Vとする。この時，V_cの値は Vである。

一方，S を開いている時，電池，抵抗 および抵抗 からなる閉回路において，抵抗

（ ） 次に，スーパーキャパシターに蓄えられていた静電エネルギーを使おう。

S を開いたまま，S を閉じた。その瞬間に抵抗 を流れる電流I と抵抗 で消費される 電力の大きさを考えてみよう。キルヒホッフの第 法則により，電流I，I，I の間に

エ ＝I ①

の関係が成立する。また，スーパーキャパシター，抵抗 ，抵抗 ，電池からなる閉回路に キルヒホッフの第 法則を適用すると，

V_c−E ＝ オ ②

となる。同様に，電池，抵抗 ，抵抗 からなる閉回路について，

E ＝ カ ③

となる。連立方程式①〜③を解いて数値を代入すると，電流I の大きさを キ Aと 計算できる。したがって，抵抗 で消費される電力の大きさは，回生ブレーキを利用しない 時の ウ Wの ク 倍となる。

問い 抵抗 の代わりに電球を接続する場合，S を閉じた時刻を として，電球の明るさ の時間変化について，もっとも適切なグラフを下の（a）〜（e）から一つ選択せよ。

明るさ

0 時間

明るさ

0 時間

明るさ

0 時間

明るさ

0 時間

明るさ

0 時間

（a） （b） （c）

（d） （e）

図

Ⅲ

空所を埋め，問いに答えよ。空所の後に選択肢! "がある ア と イ はいずれ か適切なものを選び，記号で答えよ。（配点 ）

空気

薄膜

水

図 図 に示すように，空気中で厚さd（＞ ）〔m〕，

屈折率n の透明な薄膜が，屈折率n の水の表面上に 広がっている。ただし，空気の屈折率を ，空気中で の光の速さをc〔m／s〕とし，n ＞n ＞ とする。い ま，空気中から波長λ〔m〕の平面波である単色光を 入射角iで薄膜の表面に入射させると，点A におい て屈折角rで屈折して薄膜中を進む。この光は薄膜の 底面（薄膜と水の境界面）上の点Cで反射して進み，

点Bで再び空気中に出てくる。このときの光の経路 を とする。

問 光の振動数をc，λを用いて表せ。

問 薄膜中での光の速さをn，cを用いて表せ。

問 sinrをn とiを用いて表せ。

経路 における点Cでの反射では，光の位相は ア !（a）変化しない，（b）π だけ変 化する，（c）πだけ変化する"。一方，空気中から入射角iで点Bに入射した光は一部が反射し，

経路 の光と重なり空気中を進む。点Bでの反射では，光の位相は イ !（a）変化しな い，（b）π

だけ変化する，（c）πだけ変化する"。このときの光の経路を とする。ただし，

図 に示す点A は点A と同一波面上にある。

次 に，経 路 と 経 路 で の 光 路 長（光 学 距 離）の 差ΔL〔m〕を 考 え る。経 路 で の A →C→Bの 光 路 長 をL〔m〕，経 路 で のA →Bの 光 路 長 をL〔m〕と す る と，

ΔL＝L −L で与えられる。L はn ，d，rを用いてL ＝ ウ となり，一方，L はd，r，i を用いてL ＝ エ と表すことができるので，問 の結果を用いて，

ΔL＝L −L ＝ ウ − エ ＝ n dcosr＝ d!n −sin i ① が得られる。経路 と経路 を進む光が弱め合う条件は正の整数m（m＝ ， ， ，…）を 用いて，

ΔL＝!

# オ "

$×λ ②

となる。

問 波長λ の単色光を薄膜に入射角i＝ °で（垂直に）入射させた場合，反射光の強度が極

一方，経路 と経路 を進む光が強め合う条件は 以上の整数m′（m′＝ ， ， ，…）を 用いて，

ΔL＝!

# カ "

$×λ ③

となる。

問 n ＝ ．，d ＝ ． × ⁻ mとして，白色光を入射角i＝ °で入射させた場合，反射 光の強度が強め合って色づいて見える反射光の波長をλ〔m〕とする。λ を有効数字 桁で 求めよ。ただし，可視光の波長は ． × ⁻ mから ． × ⁻ mの範囲とする。

問 問 と同じn とd のとき，白色光の入射角iを °から次第に大きくしていく場合，反 射光の強度が強め合う波長はλ と比べてどうなるか，次の（a）〜（c）のうちいずれか つを 選び，記号で答えよ。さらに，そうなる理由を述べよ。ただし，屈折率は波長に依存しない ものとする。

（a） 長くなる （b） 短くなる （c） 変化しない