計算量

(1)

本講義最後の話題は、

計算量

について

問題の難しさを如何に計るか ?

(2)

Church-Turingの提唱

「全てのアルゴリズム(計算手順)は、

チューリングマシンで実装できる」

(アルゴリズムと呼べるのは

チューリングマシンで実装できるものだけ)

· · · 「アルゴリズム」の定式化

(3)

計算量(complexity)

• 時間計算量 : 計算に掛かるステップ数

(TMでの計算の遷移の回数)

• 空間計算量 : 計算に必要なメモリ量

(TMでの計算で使うテープの区画数) 通常は、決まった桁数の四則演算 1 回を

1 ステップと数えることが多い入力データ長 n に対する

増加のオーダー (Landau の O-記号) で表す

(4)

(5)

(6)

Landau の O-記号・o-記号 f, g:N−→R^>0に対し、

f=O(g)⇐⇒^← ∃N > 0,∃C > 0:∀n:

(n≥N=⇒f(n)≤Cg(n))

f=o(g)⇐⇒^← f(n)

g(n) −→0 (n→ ∞)

⇐⇒∀ε > 0:∃N > 0:∀n:

(n≥N=⇒f(n)≤εg(n))

(7)

Landau の O-記号・o-記号 f, g:N−→R^>0に対し、

f=O(g)⇐⇒^← ∃N > 0,∃C > 0:∀n:

(n≥N=⇒f(n)≤Cg(n))

f=o(g)⇐⇒^← f(n)

g(n) −→0 (n→ ∞)

⇐⇒∀ε > 0:∃N > 0:∀n:

(n≥N=⇒f(n)≤εg(n))

(8)

問題を解くアルゴリズムによって決まる

· · · アルゴリズムの計算量

−→ アルゴリズムの効率の評価問題の計算量 :

その問題を解くアルゴリズムの計算量の下限最も効率良く解くと、どれ位で解けるか

= どうしてもどれ位必要か

= どれ位難しい問題か

−→ 問題の難しさの評価

(9)

(10)

(11)

(12)

基本的な例

• 加法 : O(n)

• 乗法: O(n²)かと思いきやO(nlognlog logn) (高速フーリエ変換 (FFT))

(13)

基本的な例

• 加法 : O(n)

• 乗法: O(n²)かと思いきやO(nlognlog logn) (高速フーリエ変換 (FFT))

(14)

例 : 互除法

• 入力 : 正整数 x, y 入力データ長 :

n=dlog₂xe+dlog₂ye∼max{logx,logy}

• 出力 : 最大公約数 d=gcd(x, y) 計算量の評価 :

• 割算の回数 : O(n)

• 1回の割算 : 素朴な方法でも O(n²) (FFT を使えば O(nlognlog logn))

−→ 併せて O(n³) (FFTで O(n²lognlog logn))

· · · 充分に高速なアルゴリズム

(15)

例 : 互除法

• 入力 : 正整数 x, y 入力データ長 :

n=dlog₂xe+dlog₂ye∼max{logx,logy}

• 出力 : 最大公約数 d=gcd(x, y) 計算量の評価 :

• 割算の回数 : O(n)

• 1回の割算 : 素朴な方法でも O(n²) (FFT を使えば O(nlognlog logn))

−→ 併せて O(n³) (FFTで O(n²lognlog logn))

· · · 充分に高速なアルゴリズム

(16)

重要な難しさのクラス多項式時間 P · · · ∃k:O(n^k)

• “事実上計算可能”な難しさ

• 計算モデルの変更に関して頑健

(複数テープTMなどに変更しても不変)

「しらみつぶし」が入ると

大体 O(2ⁿ) 程度以上になる(指数時間 EXP)

“事実上計算不可能”

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(18)

(19)

例 : 素数判定(PRIMES) n=log₂N : N の二進桁数

試行除算(小さい方から割っていく)だと

O(n^k2^n/2) くらい掛かりそう実は多項式時間で解ける!!

Agrawal-Kayal-Saxena

“PRIMES is in P” (2002)

(出版はAnn. of Math. 160(2) (2004), 781-793.)

(20)