講座画像の三次元理解のための最適化計算[III]

(1)

講座画像の三次元理解のための最適化計算 [III]

— 基礎行列の計算 —

Optimization Computation for 3-D Understanding of Images [III]:

Fundamental Matrix Computation

菅谷保之金谷健一

1. はじめに

前回(1)は，第

1

回⁽²⁾で解説した最適計算を拡張した画像中の円形物体にだ円を当てはめる問題を取り上げた．今回は

2

画像間の点対応から基礎行列を計算する問題を取り上げる．

2. エピ極線幾何

異なる位置から撮影した

2

画像間で，第

1

画像の点

p(x, y)

と第

2

画像の点

p

⁰

(x

⁰

, y

⁰

)

がシーン中の同一点に対応しているとする．それぞれのカメラのレンズ中心

（視点

(viewpoint)

と呼ぶ）を

O, O

⁰とすると，よく知られているように，直線

Op, Op

⁰（これらを視線

(line

of sight)

と呼ぶ）がシーン中で交わる必要十分条件は次

のエピ極線方程式

(epipolar equation)

が成り立つことである⁽³⁾．

(



  x/f

0

y/f

0

1



  ,



 

F

11

F

12

F

13

F

21

F

22

F

23

F

31

F

32

F

33



 



  x

⁰

/f

0

y

⁰

/f

0

1



  ) = 0 (1)

(fundamental

matrix)

と呼ばれ，カメラの配置とその内部パラメータ

のみによって定まる（すなわち何が写っているかによらない）ランク

2

の行列である⁽³⁾．

2

台のカメラでシーン中の点

P

を撮影するとき（図

1），各カメラの視点 O, O

⁰と点

P

を含む平面をエピ極

面

(epipolar plane)

と呼ぶ．エピ極面と各画像面との交線をエピ極線

(epipolar line)

と呼ぶ．式

(1)

は

(x

⁰

, y

⁰

)

を固定すると，それに対する第

1

画像面上のエピ極線の方程式に，(x, y)を固定すると，それに対する第

2

画像面上のエピ極線の方程式になっている．このことから，

一方の画像上の点に対応する他方の画像上の点がエピ極線上に存在することが分かる．この事実はエピ極線拘束条件

(epipolar constraint)

と呼ばれ，ステレオ画像の対応点を探索する基本原理である．

視点

O, O

⁰を結ぶ直線を基線

(baseline)

と呼び，これがそれぞれ画像面と交わる点

e, e

⁰を各画像のエピ極点

エピ極点エピ極線

視点

視点 P

p’

e’

O

O’

エピ極面

p e

基線

図

1

エピ極線幾何

(2)

図２

^{基礎行列の計算} ²画像中に示した対応点の位置から基礎行列を計算し，それからエピ極線を計算して表示したもの．

(epipole)

と呼ぶ．これは一方のカメラから見た他方の

カメラの視点の投影像になっている．図

1

から，すべてのエピ極線はエピ極点を通ることが分かる．

3. 基礎行列の計算

2

枚の画像に共通に写った多数の対応点の組が得られると，式

(1)

のエピ極線方程式が成り立つように基礎行列を定めることができる．基礎行列が得られると，それを用いてカメラ校正やシーンの三次元形状復元が行えるため，基礎行列の計算はシーンの三次元理解のための画像処理応用の出発点である．

基礎行列を計算するためには，対応点を見つけなければならない．そのためにはまず，ハリス作用素

(Harris operator)，SUSAN, SIFT

などを用いて画像から，物体の頂点のようなシーンに特有な特徴点

(feature point)

を

検出する^(注¹⁾^(4),(5)．そして，両方の画像でその回りの

小領域と類似した特徴点を対応付ける^(注²⁾ ．その過程で，後に述べるような方法で候補対応点組から基礎行列を仮に計算し，それから定まるエピ極線方程式に全体の対応点組が矛盾しないかを調べる^(注³⁾．この対応付けは非常に難しい問題であり，多くの研究者によって研究が行われている^(6),(7)．ここではこの問題に深入りせず，

既存の手法，あるいは手動によって対応点が得られているとする．図２は得られた対応点（画像中の丸印）から後述の手法で基礎行列を計算し，それを基にエピ極線を描画したものである．

さて，9次元ベクトル

u，ξ

を，

u ≡ (F

₁₁

, F

₁₂

, F

₁₃

, F

₂₁

, F

₂₂

, F

₂₃

, F

₃₁

, F

₃₂

, F

₃₃

)

^>

ξ ≡ (xx

⁰

, xy

⁰

, xf

₀

, yx

⁰

, yy

⁰

, yf

₀

, f

₀

x

⁰

, f

₀

y

⁰

, f

₀²

)

^>

(2)

(注1)ハリス作用素やSUSANは物体の物体の頂点のような，その周囲で輝度値が大きく変化する点を抽出する．一方，SIFTは物体小平面領域のような，その周囲で輝度値の変化にある規則性がある点を抽出する（それを記述するものをSIFT記述子(SIFT descripter)と呼ぶ）⁽⁴⁾．SIFTは画像の回転やスケール変化に頑健な特徴量であるため，近年多くの画像処理に利用されている．

(注2) SIFTの場合は各点のSIFT記述子を比較する．

(注3)代表的な方法にRANSACと呼ばれる投票法がある^(3),(5)．

と置くと，式

(1)

は次のように書ける．

(u, ξ) = 0 (3)

画像処理によって得られる対応点

(x

_α

, y

_α

), (x

⁰_α

, y

⁰_α

)

はある程度の不確かさがあるので，これらが厳密に式

(3)

式を満たすとは限らない．そこで，(xα

, y

_α

), (x

⁰_α

, y

_α⁰

)

から計算した式

(2)

のベクトル

ξ

を

ξ

_αと置き，

(u, ξ

_α

) ≈ 0, α = 1, ..., N (4)

となるように基礎行列を表すベクトル

u

を定める．ただし，式全体を何倍しても同じ方程式であるから，uには定数倍の不定性がある．そこで，直線の場合⁽²⁾やだ円の場合⁽¹⁾と同様に

k u k = 1

と正規化する．これは

F

を

k F k = 1

と正規化することと同値である．ただし，行列

F = (F

_ij

)

のノルム^(注⁴⁾ を

k F k = √∑

i,j=1

F

_ij² と定義する．これまでの講座^(1),(2)と比較すれば，上式は直線当てはめやだ円当てはめの場合と同じ形をしていることがわかる．したがって，これまでに解説した手法がほとんどそのまま適用できる．

4. 最ゆう推定

前回まで(1),(2)と同様に解析すると，基礎行列の最ゆ

う推定は次式を最小化する問題となる．

J =

∑

N α=1

(u, ξ

_α

)

²

(u, V

0

[ξ

_α

]u) (5)

ただし，9

× 9

行列

V

0

[ξ

_α

]

を次のように置いた．

(注4)フロベニウスノルム(Frobenius norm)とも呼ばれる．

(3)

V

0

[ξ

_α

] ≡



 

 

¯

x

²_α

+ ¯ x

⁰_α²

x ¯

⁰_α

y ¯

⁰_α

f

₀

x ¯

⁰_α

x ¯

_α

y ¯

_α

¯

x

⁰_α

y ¯

_α⁰

x ¯

²_α

+ ¯ y

⁰_α²

f

0

y ¯

_α⁰

0 f

0

x ¯

⁰_α

f

0

y ¯

_α⁰

f

₀²

0

¯

x

α

y ¯

α

0 0 y ¯

²_α

+ ¯ x

⁰_α²

0 x ¯

α

y ¯

α

0 x ¯

⁰_α

y ¯

⁰_α

0 0 0 f

0

x ¯

⁰_α

f

0

x ¯

α

0 0 f

0

y ¯

α

0 f

0

x ¯

α

0 0

0 0 0 0

0 0 f

0

x ¯

α

0 0

¯

x

α

y ¯

α

0 0 f

0

x ¯

α

0

0 0 0 0 0

¯

x

⁰_α

y ¯

_α⁰

f

0

x ¯

⁰_α

f

0

y ¯

α

0 0

¯

y

_α²

+ ¯ y

_α⁰²

f

₀

y ¯

_α⁰

0 f

₀

y ¯

_α

0 f

0

y ¯

_α⁰

f

₀²

0 0 0

0 0 f

₀²

0 0

f

0

y ¯

α

0 0 f

₀²

0

0 0 0 0 0



 

 

(6)

そして，式

(5)

を

5.

で述べる反復手法で最小化する．

反復の初期値は最小二乗法

(least squares)，または

トービン

(Taubin)

法で計算する^(1),(2)．最小二乗法は

∑

N

α=1

(u, ξ

_α

)

²を最小にする

u

を求めるものであり，

9 × 9

行列

M

_LS

M

LS

≡

∑

N α=1

ξ

_α

ξ

^>_α

(7)

の最小固有値に対する単位固有ベクトルである(8),(9)．トービン法は式

(5)

中の

V

0

[ξ

_α

]

を

α = 1, ..., N

に渡る平均値

N

TBで置き換えた

J

_TB

=

∑

N α=1

(u, ξ

_α

)

²

(u, N

_TB

u) , N

_TB

≡ 1 N

∑

N α=1

V

₀

[ξ

_α

] (8)

を最小化するものである．解は次の一般固有値問題の最小一般固有値に対する単位一般固有ベクトルとなる．

M

LS

u = λN

TB

u (9)

具体的な計算法は前回⁽¹⁾の講座を参照．

5. ランク拘束

しかし，基礎行列の計算は直線やだ円の当てはめと大きく異なる点がある．それは

2.

で述べたように，基礎行列はランク

2（行列式が 0）という拘束条件があるこ

とである．もちろん，対応点データが正しければ計算される基礎行列は自動的にランク

2

となる．しかし，データに誤差があれば必ずしもランク

2

とは限らないので，

計算した基礎行列が常にランク

2

になるように工夫しなければならない．その方法として代表的なものに

3

通りがある⁽¹⁰⁾．

5.1

事後補正法

まずランク拘束を考慮しない解を計算し（例えば第

1

回⁽²⁾に述べた

FNS

法を用いる），次にその解をランク拘束を満たすように補正する．その簡単な方法は計算した基礎行列を

F = U



  σ

1

σ

2

σ

₃



  V

^>

(10)

の形に特異値分解

(singular value decomposition)

⁽⁸⁾することである．U

, V

は直交行列であり，σ1

≥ σ

2

≥ σ

3

( ≥ 0)

は特異値

(singular value)

と呼ばれる．そして，

σ

₃ を

0

に置き換えて得られる行列

F ˆ

を解とする．この方法を

SVD

補正

(SVD correction)

と呼ぶ．

SVD

補正した行列

F ˆ

は

det ˆ F = 0

となる行列

F ˆ

のうちで

k F ˆ − F k

を最小にすることが知られている．式

(2)

の第

1

式によって定義される

F

を表すベクトルを

u

とし，

F ˆ

を表すベクトルを

u ˆ

とすると，行列のノルム定義より

k F ˆ − F k = k u ˆ − u k

である．したがって，SVD 補正は

u

のパラメータ空間で，式

(5)

の関数

J

の最小値を

det F = 0

によって定義される超曲面上に直交射影す

det F = 0 SVD補正最適補正

(a)

事後補正法

det F = 0 det F = 0

(b)

内部接近法

(c)

外部接近法

図

3

ランク拘束を考慮した基礎行列の計算法細い曲線はuのパラメータ空間での関数Jの等値面を，太い曲線はdetF= 0が定義する超曲面を表す．(a)事後補正法．Jの最小値を探索した後，その点を超曲面detF= 0に直交射影する（SVD補正），あるいはJ の値がなるべく増加しない方向に射影する（最適補正）．(b)内部接近法．超曲面detF= 0をパラメータ化して，その内部でJを最小にする点を探索する．(c)外部接近法Jの値を減少させながら次第に detF の値を0に近づける反復を行う．

(4)

ることに相当する（図

3(a)）．これは計算が簡単であ

り，古くから利用されていたが，ハートレー⁽¹¹⁾が最小二乗法にこの

SVD

補正を行うことを推奨したため，その組み合せはハートレー

(Hartley)

の

8

点アルゴリズム

(注5)

(Hartley’s 8-point algorithm)

と呼ばれている．

それに対して金谷(12)は，Jを最小にする解を

det F

= 0

の超曲面に

J

の値を

“なるべく増加させない”

方向に射影する最適補正

(optimal correction)

を提唱した

（図

3(a)）．その射影方向は J

の等値面を最小値の周り

で

2

次曲面であるとみなし，かつ超曲面

det F = 0

を局所的に平坦であるとして計算する．

5.2

内部接近法

基礎行列

F

をランク

2（すなわち det F = 0）となる

ようにパラメータ化して，そのパラメータ空間内で

J

を最小にする（図

3(b)）．ランク 2

とは

F

の

3

列（または

3

行）の内の

2

個のみが線形独立であることであるから，第

1，2

列（または行）の線形結合によってば第

3

列

（または行）が表せる．したがって，第

1，2

列（または行），及びそれらの線形結合の係数をパラメータにとることができる．その線形結合の係数は次の意味でエピ極点を指定することに相当する．第

1

画像上のエピ極点を

(e

1

, e

2

),

第

2

画像上のエピ極点を

(e

⁰₁

, e

⁰₂

)

とすると，ベクトル

e = (e

1

/f

0

, e

2

/f

0

, 1)

^>

, e

⁰

= (e

⁰₁

/f

0

, e

⁰₂

/f

0

, 1)

^>

は次式を満たす^(注⁶⁾．

F e

⁰

= 0, F

^>

e = 0 (11)

すなわち，e,

e

⁰はそれぞれ

F

^>

, F

の固有値

0

の固有ベクトルである．このことから

F

の第

1, 2, 3

列をそれぞれ

f

₁

, f

₂

, f

₃とし，F^>の第

1, 2, 3

列をそれぞれ

f

⁰₁

, f

⁰₂

, f

⁰₃とすると，式

(11)

は次のように書き直せる．

f

₃

= − e

⁰₁

f

0

f

₁

− e

⁰₂

f

0

f

₂

, f

⁰₃

= − e

₁

f

0

f

⁰₁

− e

₂

f

0

f

⁰₂

(12)

これ以外にも，ランク拘束を自動的に満たすようなパラメータ化はいろいろ考えられる．例えば，式

(8)

の特

(注5)最小二乗法は“最低”8組の対応点が与えられば解が定まることから，多数の対応点を使う場合も“8点”アルゴリズムと呼ばれる．

ハートレー⁽¹¹⁾はさらに，画像座標の原点を特徴点の分布のほぼ中心

（例えば画像面の中心）にとり，その分布の大きさに相当するスケール定数（式(1)のf0に相当）で正規化することを推奨している．

(注6)エピ極点の視線は基線に他ならない（図1）．すべての点の視線は基線と視点において交わるから，一方の画像のエピ極点と他方の画像上の任意の点とは式(1)のエピ極線方程式（＝視線が交わる必要十分条件）を満たす．ゆえに式(1)で(x⁰, y⁰) = (e⁰₁, e⁰₂)とすると式 (1)が任意の(x, y)に対して成立する．これはF e⁰=0を意味する．

同様に(x, y) = (e1, e2)とすると式(1)が任意の(x⁰, y⁰)に対して成立する．これはe^>F=0^>，すなわちF^>e=0を意味する．

異値分解の

U , V , σ

1

, σ

2をパラメータにとることもできる^(注⁷⁾ （σ3

= 0

と固定する）．

このようにして何らかの方法で

det F = 0

を満たすパラメータ化ができれば，そのパラメータ元空間でレーベンバーグ・マーカート法

(Levenburg-Marquardt method)

⁽⁹⁾などによって式

(5)

を最小化すればよい．

5.3

外部接近法

適当な初期値から出発し，式

(5)

の値を減少させながら次第に

det F

の値を

0

に近づける反復を行う（図

3(c)）．このようなアプローチを初めて提唱したのはホイ

ナツキー

(Chojnacki)

ら⁽¹⁴⁾であり，彼らは拘束

FNS

法

(constrained FNS)

と呼ぶ方法を提案した．これは

FNS

法の反復（第

1

回目の講座⁽²⁾参照）に

det F 6 = 0

に対するペナルティ項を導入するものである．しかし，後に金谷ら⁽¹⁵⁾は，これが必ずしも正しい解に収束しないことを示し，正しい解が得られる拡張

FNS

法

(extended FNS)

と呼ぶ方法を提案した（図

4, 5）．これは FNS

法の反復過程で途中解を

det F = 0

の空間に射影するものであり，その手順は次のようになる．

1.

行列

M, L

を計算する^(注⁸⁾．

M=

∑

N α=1

ξ

_α

ξ

^>_α

(u,V

₀

[ξ

_α

]u) , L =

∑

N α=1

(u, ξ

_α

)

²

V

0

[ξ

_α

] (u,V

₀

[ξ

_α

]u)

²

.

(13) 2.

次元ベクトル

u

^†と

9 × 9

行列

P

_u† を計算する^(注⁹⁾．ただし，N

[ · ]

は単位ベクトルへの正規化を表す

( N [a] ≡ a/ k a k )．

図

4

平面格子パターンを撮影した2画像各格子点のx,y座標にランダムに期待値0，標準偏差σ（画素）の正規乱数誤差を加え，

対応する格子点の位置から基礎行列Fを計算する．

(注7)正規化kFk= 1はσ₁²+σ₂²= 1に等価であり，σ1= cosθ, σ2= sinθと置くことができる⁽¹³⁾．

(注8)このMを用いれば，式(5)はJ = (u,M u)と書ける．そして∂J/∂ui= 0,i= 1, 2, 3が(M−L)u=0と書ける．

(注9)u^†はFの余因子行列F^†を式(2)の第1式のようにベクトルで表して正規化したものであり，detF = 0は(u^†,u) = 0と書き直せる．P_u† はu^†に直交する平面上への射影行列となっている．

(5)

0 20 40 60

0 1 2 3 4 5 6 7 8

J

(a)

Jの変化

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01

0 1 2 3 4 5 6 7 8

det F

(b) det

F の変化

図

5

拡張FNS法の収束 σ= 1（画素）の場合の，3通りの

初期値から出発した場合の拡張FNS法によるJの変化(a)とdetF の変化(b)の例．横軸は反復回数．水平な点線は収束すべき値．反復によって正しい値に収束していることが分かる⁽¹⁵⁾．

u

^†

= N [



 

 

u

₅

u

₉

− u

₈

u

₆

u

6

u

7

− u

9

u

4

u

₄

u

₈

− u

₇

u

₅

u

8

u

3

− u

2

u

9

u

9

u

1

− u

3

u

7

u

7

u

2

− u

1

u

8

u

2

u

6

− u

5

u

3

u

3

u

4

− u

6

u

1

u

1

u

5

− u

4

u

2



 

 

], P

_u†

= I − u

^†

u

^†>

. (14)

3.

行列

X , Y

を計算する．

X = M − L, Y = P

_u†

XP

_u†

. (15) 4.

行列

Y

の小さい二つの固有値^(注¹⁰⁾に対応する

9

次元単位固有ベクトル

v

1

, v

2を計算する．

5.

次元ベクトル

u ˆ

を計算する^(注¹¹⁾．

ˆ

u = (u, v

1

)v

1

+ (u, v

2

)v

2

(16) 6.

次元ベクトル

u

⁰を計算する．

(注10)絶対値の小さい二つの固有値としてもよいが，このほうが収束が若干速いようである．なお，Y の定義より，Y は常に固有値0 を持ち，その固有ベクトルはu^†である．

(注11)uをv1,v2の張る平面上への直交射影を意味する．

u

⁰

= N [P

_u†

u]. ˆ (17) 7. u

⁰

≈ u

であれば

u

⁰を

u

の更新値として返して終了．そうでなければ

u ← N [u + u

⁰

]

として^(注¹²⁾ ステップ

1

に戻る．

5.4

性能比較

菅谷ら(10)の比較実験によれば，FNS法と最適補正の組合せは，最小二乗法と

SVD

補正を組合せ（ハートレーの

8

点アルゴリズム）よりはるかに精度が高い．ただし，誤差が非常に大きくなると，仮定（Jの等値面を

2

次曲面，超曲面

det F = 0

を局所的に平坦と仮定している）からのずれが無視できなくなり，やや精度の低下が見られる．

一方，ランク拘束を満たすパラメータ化によるレーベンバーグ・マーカート法は，探索の初期値が解に近ければ

FNS

法と最適補正の組合せより高い精度が得られるが，初期値への依存が強く，例えば最小二乗解から出発すると，しばしば精度の低い解に収束してしまう．これはランク拘束を満たすパラメータ化によって表した式

(5)

の

J

が非常に複雑な非線形関数となり，多くの極小値を持つためと思われる．このような極小値の存在は右田ら⁽¹⁶⁾によっても指摘されている．

それに対して拡張

FNS

法はプログラムの構造が単純であるが，初期値を適切に選んだレーベンバーグ・マーカート法と同等な解が得られる．図

6

は図

4

を用いて計算した基礎行列の真値との

1000

回の試行に対する

RMS

誤差^(注¹³⁾ を横軸に誤差の標準偏差

σ（画素）をとって

プロットしたものである．点線は第

1

回⁽²⁾，第

2

回⁽¹⁾ に述べた精度の理論限界を示す

KCR

下界

(KCR lower bound)

である^(注¹⁴⁾．この結果からも，現時点では拡張

0 0.1 0.2

0 1 2 3 σ 4

1

2

3 4

図

6

精度の比較⁽¹⁰⁾ 図4を用いて計算した基礎行列の真値とのRMS誤差（1000回の試行）．横軸は加えた誤差の標準偏差σ

（画素）．1.ハートレーの8点アルゴリズム．2. FNS法と最適補正の組み合せ．3.レーベンバーグ・マーカート法. 4.拡張FNS法．点線はKCR下界．

(注12)N[u+u⁰] =N[(u+u⁰)/2]であり，uとu⁰の中点(u+u⁰)/2 を単位ベクトルに正規化することに等しい．

(注13)第1回⁽²⁾の式(21)のE[·]をサンプル平均に置き換えて計算したもの．

(注14)ただしdetF = 0のランク拘束を考慮して補正している．

(6)

FNS

法が最良の方法であると結論される．

6. むすび

今回は同一シーンを撮影した

2

画像間の対応点から基礎行列を計算する問題を取り上げ，基礎行列のランクが

2

であるという拘束条件のもとでの最適計算の代表的な手法を紹介した．よく知られているハートレー⁽¹¹⁾の

8

点アルゴリズムは比較実験から分かるように精度が低い．しかし，精度よりも計算速度が重要な応用（例えば

3.

で述べた誤対応除去の

RANSAC

などの反復処理，あるいは

FNS

法や拡張

FNS

法の反復計算の初期値）には非常に有用である．一方，高精度を要求する応用では金谷ら⁽¹⁵⁾の拡張

FNS

法が最も優れている．次回（最終回）はこれまでに述べた個々の問題を一般化し，その枠組みにおける最適化手法を解説するとともに，現在行われている最新の研究の動向を紹介する．

文献

(1) 菅谷保之,金谷健一, “画像の3次元理解のための最適化計算 [II]−だ円の当てはめ−,”信学誌, voll.92, no.4, pp.301–306, April 2009.

(2) 菅谷保之,金谷健一, “画像の3次元理解のための最適化計算 [I][I]−直線の当てはめ−,”信学誌, vol.92, no.3, pp.229–233, March 2009.

(3) R. Hartley and A. Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, Cambridge Univ. Press, Cambridge, U.K., 2000.

(4) D.G. Lowe，“Distinctive image features from scale- invariant keypoints,” Int. J. Comput. Vis., vol.60, no.2, pp. 91–110, Nov. 2004

(5) 金澤靖,金谷健一, “コンピュータビジョンのための画像の特徴点抽出,”信学誌, vol.87, no.12, pp.1043–1048, Dec. 2004.

(6) 金澤靖,金谷健一, “大域的な整合性を保証するロバストな画像の対応づけ,”情処学論: CVIM, vol.44, no.SIG 17, pp.70–77, Dec. 2003.

(7) Z. Zhang, R. Deriche, O. Faugeras, and Q.-T. Luong, “A robust technique for matching two uncalibrated images

through the recovery of the unknown epipolar geometry,”

Artif. Intell., vol.78, nos.1/2, pp.87–119, Oct. 1995.

(8) 金谷健一, “これなら分かる応用数学教—最小二乗法からウェーブレットまで—,”共立出版, 2003.

(9) 金谷健一, “これなら分かる最適化数学—基礎原理から計算手法まで—,”共立出版, 2005.

(10) 菅谷保之,金谷健一, “最高精度の基礎行列計算法, ”情処学研報, no.2007-CVIM-159-29, pp.225–232, May 2007.

(11) R.I. Hartley, “In defense of the eight-point algorithm,”

IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol.19, no.6, pp.580–593, June 1997.

(12) K. Kanatani, Statistical Optimization for Geometric Com- putation: Theory and Practice, Elsevier, Amsterdam, The Netherlans, 1996; Reprinted, Dover, New York, 2005.

(13) 菅谷保之,金谷健一, “効率的探索によるランク拘束した基礎行列の高精度計算,”情処学研報, no.2007-CVIM-158-3, pp.17–24, March 2007.

(14) W. Chojnacki, M.J. Brooks, A. van den Hengel and D.

Gawley, “A new constrained parameter estimator for computer vision applications,” Image Vis. Comput., vol.22, no.2, pp.85–91, Feb. 2004.

(15) 金谷健一,菅谷保之, “制約付きパラメータ推定のための拡張FNS 法,”情処学研報, no.CVIM-158-4, pp.25–32, March 2007.

(16) 右田剛史,尺長健, “未校正画像対中の点対応に基づくエピポールの1次元探索法,”情処学研報, CVIM-153-64, pp.413–420, March 2006.

（平成

20

年

11

月

28

日受付平成

21

年

1

月

28

日最終受付）

すがややすゆき

菅谷保之（正員）

平

8

筑波大・第三学群・情報学類卒．平

13

同大学院博士課程了．博士（工学）．岡山大・工・助手を経て，現在，豊橋技科大・

情報工学系・講師．画像処理，コンピュータビジョンの研究に従事．

かなたにけんいち

金谷健一（正員）

昭

47

東大・工・計数（数理工学）卒．昭

54

同大学院博士課程了．工博．群馬大・工・情報・教授を経て，現在，岡山大大学院自然科学研究科教授．

IEEE

フェロー．コンピュータビジョンの数理解析に従事．

講座 画像の三次元理解のための 最適化計算[III]