+5x+1 = 0 の解がα, βのとき α

(1)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？

解の公式を使うと x = ⁻^{5 +}⁻

√17

4 と計算できるの で (

−5+√ 17 4

)2

+

(−5−√ 17 4

)2

を計算すれば答えは出るが、計算がかなり面倒だ。

もっとよい方法はないものだろうか？

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(2)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ 解の公式を使うと x = ⁻^{5 +}⁻

√17

4 と計算できるの で (

−5+√ 17 4

)2

+

(−5−√ 17 4

)2

を計算すれば答えは出るが、計算がかなり面倒だ。

もっとよい方法はないものだろうか？

(3)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？解が α, ^β ^とは (x−^α)(x−^β) = 0

のことだが

(x−^α)(x−^β) = x²−(^α+^β)x+^αβ だけでは、問題文とは x² ^{の係数が合わない。}

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(4)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？解が α, ^β ^とは (x−^α)(x−^β) = 0

のことだが

(x−^α)(x−^β) = x²−(^α+^β)x+^αβ だけでは、

問題文とは x² ^{の係数が合わない。}

(5)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α +^β ^？解が α, ^β ^とは (x−^α)(x−^β) = 0

のことだが

(x−^α)(x−^β) = x²−(^α+^β)x+^αβ だけでは、問題文とは x² ^{の係数が合わない。}

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(6)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ そこで x² の係数を合わせるために

2x²+ 5x+ 1 = 0

2x²+ 5x+ 1

2 = ⁰

2 x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = 0

(7)

2x²+ 5x+ 1 = 0 2x²+ 5x+ 1

2 = ⁰

2

x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = 0

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(8)

2x²+ 5x+ 1 = 0 2x²+ 5x+ 1

2 = ⁰

2 x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = 0

(9)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ 式を比較すると

x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = (x−^α)(x−^β)

x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = x−(^α+^β)x+^αβ

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(10)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ 式を比較すると

x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = (x−^α)(x−^β) x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = x−(^α+^β)x+^αβ

(11)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α +^β ^？ 式を比較すると

x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = (x−^α)(x−^β) x²+ ⁵

2 x+ ¹

2 = x−(^α+^β)x+^αβ

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(12)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ だから

−(^α+^β) = ⁵

2 ^αβ = ¹

つまり 2

α+^β = − ⁵

2 ^αβ = ¹

となる。 2

(13)

公式（解と係数の関係）

公式にすると、次のようになる。

x²+ x+ = 0 ^の解が ^α, ^β ^のとき

●+^▲ = − ^●×^▲ =

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(14)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ 次に、公式 α²+ 2^αβ+^β² = (^α+^β)²

を変形すると

α²+^β² = (^α+^β)²−2^αβ となるので、

先ほどの α+^β = − ⁵

2 ^αβ = ¹

2 ^{を代入して} α²+^β² =

(− ⁵ 2

)2

−2× ¹ 2

(15)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α +^β ^？ 次に、公式 α²+ 2^αβ+^β² = (^α+^β)²

を変形すると

α²+^β² = (^α+^β)²−2^αβ となるので、先ほどの

α+^β = − ⁵

2 ^αβ = ¹

2 ^{を代入して} α²+^β² =

(− ⁵ 2

)2

−2× ¹ 2

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(16)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ α²+^β² =

(− ⁵ 2

)2

−2× ¹ 2

= ²⁵

4 − 1

= ²⁵

4 − ⁴

4 = ²¹ 4

(17)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ α²+^β² =

(− ⁵ 2

)2

−2× ¹ 2

= ²⁵

4 − 1

= ²⁵

4 − ⁴

4 = ²¹ 4

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(18)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α²+^β²^？ α²+^β² =

(− ⁵ 2

)2

−2× ¹ 2

= ²⁵

4 − 1

= ²⁵

4 − ⁴

4

= ²¹ 4

(19)

2x²+ 5x+ 1 = 0 ^の解がα, ^βのとき ^α +^β ^？ α²+^β² =

(− ⁵ 2

)2

−2× ¹ 2

= ²⁵

4 − 1

= ²⁵

4 − ⁴

4 = ²¹ 4

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+5x+1 = 0 の解がα, βのとき α

を計算すれば答えは 出るが、計算がかなり面倒だ。

を計算すれば答えは 出るが、計算がかなり面倒だ。

のことだが

つまり 2

を変形すると

を計算すれば答えは出るが、計算がかなり面倒だ。

を計算すれば答えは出るが、計算がかなり面倒だ。