1 次の各問いに答えなさい。

(1)

1

次の各問いに答えなさい。

数学入試問題 06 鳥取

氏名

(1) 次の計算をしなさい。

① 10−7×2

② 5 3 2 1−

③ 3(x+1)−2(x−4)

④ (−a)²×8a

(2)

2

18− 8 を計算しなさい。

(3) 二次方程式(x−2)² =−2x+7を解きなさい。

(4) A、B 2つのさいころを同時に投げ、Aのさいころの出た目の数をa、Bのさいころの出た目の数を bとする。

このとき、次の問いに答えなさい。

① a b＝12となる場合は、何通りあるか求めなさい。

② 3(a+b)が整数となる確率を求めなさい。

(2)

(6) 「xの値が1から3まで増加したときの変化の割合が−2である。」という条件にあてはまる関数の式を、次の①〜④の中からすべて選び、記号で答えなさい。

① y=−2x ② y=x−2

③ y=−2x² ④ y= x6

(7) 右の図で、∠ADB＝25°、∠BEC＝32°のとき、∠ABCの大きさを求めなさい。

(8) 右の図のように、線分ABと直線lが交わっている。直線 l上に点Pをとり、∠APB＝90°の直角三角形を定規とコンパスを用いて 1 つ作図しなさい。なお、作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。

(9) 右の図の平行四辺形ABCDにおいて、辺BC上に点 Eをとり、直線AEと辺DCの延長との交点をFとする。このとき、

△AECと△BEFの面積が等しいことを証明しなさい。

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(3)

2

^{右の図の①は関数} ^{、②は原点}^O^{を通る直線、③は関数}

のグラフである。点Aは②、③の交点であり、x座標は

−1である。点Bは①、②の交点で、OA：OB＝1：4である。このとき、次の各問いに答えなさい。

ax2

y= 2x2

y=−

(1) 点Bの座標を求めなさい。また、aの値を求めなさい。

(2) 点Aとy軸について対称な点をCとする。ABを対角線とする平行四辺形ACBDを作るとき、点Dの座標を求めなさい。

(3) y軸上に、y座標が正の数である点Pをとる。△ABPの面積が平行四辺形ACBDの面積の半分になるとき、点Pのy座標を求めなさい。

(4) (3)で求めた点Pを通る直線のうち、平行四辺形ACBDの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

(4)

3

¹^辺^1cmの正方形を縦横に並べて長方形をつくり、その長方形の中にあるいろいろな大きさの正方形の個数について考える。

例えば、縦に 2個、横に3個並べた長方形では、その中にある正方形の個数は、1辺1cmの正方形が6個、1辺2cmの正方形が図 1のように2個あり、全部で8個である。このように考えるとき、次の各問いに答えなさい。

(1) 図 2は、1辺1cmの正方形を縦に3個、横に7個並べた長方形である。

① 1辺2cmの正方形は何個あるか求めなさい。

② 正方形は全部で何個あるか求めなさい。

(2) 図 3は、1辺1cmの正方形を縦に4個、横にa個並べた長方形である。このとき、正方形は全部で 120 個であった。a の値を求めなさい。

(5)

4

^Aさんは、自転章で家を出発して、6 km離れた学校に一定の速さで向かった。お母さんは、A さんが忘れものをしていることに気がつき、18 分後に車でA さんを追いかけた。お母さんの車の速さは、常に時速48 kmとする。

右上のグラフは、Aさんとお母さんについて、

A さんが家を出発してからの時間と家からの距離の関係を表したものである。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1) Aさんの速さは、毎分何mか、グラフから読みとって答えなさい。

(2) お母さんが、Aさんに追いつくのは、家から何mの地点か求めなさい。

(3) Aさんは途中のS地点で忘れものをしたことに気がつき、すぐに家に向かって、行きの1.5倍の速さ

で引き返した。2人が出会ったのは、お母さんが家を出てから4分後であった。

このとき、Aさんの家からS地点までは何mあるか求めなさい。

(6)

5

^{図 1}^では、1^辺^6cm^{の正六角形}^ABCDEF^と正方形^PQRS^が辺^CD^と辺^QR^{で重なっている。}

正方形 PQRS を点 D(点 R)を中心として矢印の方向に回転し、図 2

のように点Sが点Eに重なるようにする。これを1回の移動とする。

次に、点E(点S)を中心として回転し、点Pが点Fに重なるようにす

る。このように移動を繰り返すとき、次の各問いに答えなさい。

(1) この移動を繰り返し、点 Sが再び図 1の位置に戻るとき、正方形PQRSは、何回移動したか求めなさい。

(2) (1)のように、点Sが再び図 1の位置に戻るまでの点Sの動いた

距離を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

(7)

6

写真①のような∠BAC＝90°、AB＝AC＝4 2cmの直角二等辺三角形の紙がある。

まず、辺BC上に点Dをとり、ADを折り目として折り返し、点Bが移動した点をFとする(写真②)。

次に、辺ACが、AFと重なるように折り返し、その折り目をAEとする(写真③)。

図は、上の写真①〜③を模式的に表したものである。

この図をもとにして、次の各問いに答えなさい。また、

点Aから辺BCにひいた垂線と辺BCとの交点をHとする。

(1) 図において、DEの長さをx cmとするとき、次の三角形の面積をxを用いて表しなさい。

① △ADE

② △DEF

(2) 図において、BD＝1cmとする。

① DEの長さを求めなさい。

② ADを折り目として、△AFDを元の△ABDの位置に戻すとき、△AFDの通過した部分の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

(8)

【解答】

1 (1)

① −4

② 10

− 1

③ x+11

④ 8a³ (2) − 2 (3) x=3,−1 (4)

① 4通り

② 12 1

(5) 3 3 (6) ①と④

(7) ∠ABC＝123度 (8)

(9) [証明]

△ABCと△ABFは、

底辺がABで共通。

AB//CFなので、高さも等しい。

よって、△ABC＝△ABF

△AEC＝△ABC−△ABE

△BEF＝△ABF−△ABE よって、△AEC＝△BEF

2

(1) B(4,8) 2

=1 a (2) D(2,8) (3) 4

(4) 4

3 2 +

−

= x

y

3 (1)

① 12個

② 38個 (2) a=13

4

(1) 毎分200m (2) 4800m (3) 3920m 5

(1) 12回

(2) 6π +3 2π cm 6

(1)

① △ADE＝2xcm²

② △DEF＝16−4xcm² (2)

① DE＝

7 25

② π 15

8 cm³