1. 論理記号の使い方・実数の性質
科目： 基礎解析学I及び演習（１‐３組）
担当： 相木
基本的な記号の定義とその用法の確認
• x∈XまたはX ∋x：xは集合Xに属する．このとき，xをXの元，あるいは要素 という．
• x̸∈XまたはX ̸∋x：xは集合Xに属さない．
• X ⊂Y またはY ⊃X：XはY の部分集合
• {x∈X | Q(x)}：命題Q(x)が真となるようなXの要素x全体の集合．（ {x | Q(x)} とも書く）
• X∩Y ={x | x∈Xかつx∈Y}：集合XとY の共通部分．
• X∪Y ={x | x∈Xまたはx∈Y}：集合XとY の和集合．
• X\Y ={x | x∈Xかつx̸∈Y} ：集合XとY の差集合．
• ∅：空集合
• N={1,2,3, . . .}：自然数全体の集合．Nとも書く．
• Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .} ：整数全体の集合．Zとも書く．
• Q={ mn | m, n∈Z, n̸= 0}：有理数全体の集合．Qとも書く．
• R：実数全体．Rとも書く．
• C={a+ib |a, b∈R}：複素数全体の集合．Cとも書く．ただし，i=√
−1は虚数 単位．
論理記号
全称記号∀と存在記号∃
X を集合とし，X の各元x ∈ Xに対してQ(x)をx に関する命題とする．つまり，
x∈Xを一つ決めるごとに命題Q(x)が真であるか偽であるかが決まるとする．ここで
「任意のx∈Xに対して命題Q(x)は真である」
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という命題は全称命題と呼ばれており，
• ∀x∈X Q(x)
• Q(x) (∀x∈X)
などと書く．このような全称命題は「任意のxに対してQ(x)が成り立つ」，と読んだり もする．また，
「命題Q(x)が真となるようなx∈Xが（少なくとも一つ）存在する」
という命題は存在命題と呼ばれており，
• ∃x∈X Q(x)
• ∃x∈X s.t. Q(x)
などと書く．これもまた「あるxが存在し，このxに対してQ(x)が成り立つ」と読んだ りもする．∀を全称記号，∃を存在記号と呼ぶ．
全称命題と存在命題の違い
全称命題
∀x∈X Q(x)
は，Xの全ての元xに対してQ(x)が成り立つときに真となるのに対し，存在命題
∃x∈X Q(x)
は，Xの元で，少なくとも一つQ(x)が成り立つ元xがあれば真となることに注意．な お，二つ以上あっても存在命題は真である．
今後は集合Xとして先に挙げたN, Q, Rや，その部分集合などを使うことになる．
例）「すべての有理数は実数である」という命題を論理記号を用いて表すと
∀x∈Q x∈R (1)
となる．なお，実際に(1)のような命題を黒板や紙に書くとき，読みやすくするために適 当な場所でカンマなどを入れることが多い．(1)は例えば
∀x∈Q, x∈R
と書くこともある．どんな場合にどこにカンマを入れるかなどは，筆者の知っている範囲 では明確なルールはなく，読み手に誤解を与えない程度に使用すればよいと思う（少なく
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ともこの授業では，そういうことにしておく）．
論理記号の表れる順番について
複数の論理記号を含むような命題においては，その表れる順番には意味がある．原則 として
先に書かれている（より左側に書かれている）ものから決まっていき，後から決まるも のは，先に決まったものに依存している．
例） 以下の命題を考えてみる．
∀x∈N, ∃y ∈R, xy = 1.
これは，「任意の自然数xに対して，ある実数yが存在し，xy = 1となる」という命題で あるが，これは真である．実際，任意の自然数xに対してy = 1x と選べばy ∈Rであり，
xy =x(x1) = 1となる．ここで重要なのは，xが先に決まっており，それに応じてyを選
んでいることである．
ここで順番を入れ替えた命題
∃y∈R, ∀x∈N, xy = 1.
は，「ある実数yが存在し，任意の自然数xに対してxy= 1となる」という意味になるが，
これは明らかに偽である．この命題では，y∈Rを先に決めることが要求されているため，
xに応じて選ぶことができず，結果として偽になってしまうのである．
このような単純な例からも，論理記号の表れる順番の重要性が伺える．論理記号が三 つ以上含まれる場合も同様である．なお，同じ論理記号が並んでいる場合は，それらを入 れ替えても命題の真偽に影響はないが，違う論理記号をまたいで入れ替えることはでき ない．
例） 例えばP(x, y, x)をx, y, zに関する命題とするとき，
∀x∈R, ∀y∈N, ∃z ∈R, P(x, y, z) を入れ替えて
∀y∈N, ∀x∈R, ∃z ∈R, P(x, y, z) としても影響はないが，
∀x∈R, ∃y∈N, ∀z ∈R, P(x, y, z) を
∀z ∈R, ∃y∈N, ∀x∈R, P(x, y, z) 3
としてはいけない．こうするとやはり命題の意味や真偽が変わってしまう．
予約制問題
(1-1) 次の命題の真偽を判定し，理由も述べよ．
(i) ∀x∈R, 0< x
(iii) ∀x∈R, ∀y∈R, x < y
(ii) ∀x∈N, 0< x
(iv) ∃x∈R, ∀y∈R, x < y
(1-2) A ={x∈R| −1<|x| ≤2} で与えられる集合の上限(supA)と最大元(maxA) をそれぞれ求めよ．
(1-3) 問題(1-2)の集合に対して下限(infA)，最小元(minA) をそれぞれ求めよ．
(1-4) 空でないB ⊂ Rに対して，Bの最小元が存在すれば infB = minBとなること を証明せよ．
早いもの勝ち制問題
(1-5) 次の命題の真偽を判定し，理由も述べよ．
(i) ∃x∈R, 0< x
(iii) ∀x∈R, ∃y∈R, x < y
(ii) ∃x∈N, 0< x
(iv) ∃x∈R, ∃y∈R , x < y
(1-6) C ={x ∈ N | |x| <4}で与えられる集合の上限 (supC)，最大元 (maxC)をそ れぞれ求めよ．
(1-7) 問題(1-6)の集合に対して下限(infC)，最小元(minC)を（存在すれば）それぞ れ求めよ．
(1-8)空でないD⊂Rに対して，Dの最大元が存在すればsupD= maxDとなることを 証明せよ．
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