PDF 2014年度大学入試センター試験 解説〈数学ⅱb〉

第 1 問

〔１〕 (1) 　点P (p，q) を通りlに垂直な直線をmとすると，

　　　(lの傾き)•(mの傾き) = - 1より，

　　　　　 4

3^{•(mの傾き) = - 1} 　　　　よって，(mの傾き) = - 3

4

　　　　これより，mの方程式は， (Pを通るので) 　　　　　y= - 3 x p- +q

4 ( ) _{……ア，イ}

　　　　Qはmとlの交点なので，

　　　　　 k

y= 4 x 3

　　　　　　 y= - 3 x p- +q y= - x+ p q+ 4

3 4

3

( ) 　　d 4 D

y= - 3 x p- +q y= - x+ p q+ 4

3 4

3

( ) d 4 D

　　　より，

　　　　　 4 3

3 4

3 x= - x+ 4p q+ 　　　　よって，

　　　　　16x = - 9x + 9p + 12q 　　　　　25x = 9p + 12q

　　　　ゆえに，x= 3 p+ q 25 (3 4 ) 　　　　これと，y= 4 x

3 ^より，y= 4 p+ q

25 (3 4 )となるから，

　　　　　Qd 3 p q p qD

25 3 4 4

25 3 4

( + ), ( + ) _{……ウ，エ}

　　　 　求めるCの半径rは，P (p，q) とlとの距離なので，l：4x - 3y = 0に注意して，

点と直線の距離の公式から，

　　　　　 p q

p q

r= = -

= -

4 3 25

1

5 4 3

4 3

4² 3 ²

◊ - ◊ + -

p q

( ) ^{……① ……オ，カ}

　　　(

オ，カの別解

)

　　　 　P，Qの座標から直接PQの距離を求めてもよい。

　　　　　r= dp- 3 p+ qD +dq- p+ qD

25 3 4 4

25 3 4

2 2

( ) ( )

　　　　　 = d16 - D + -d + D 25

12 25

12 25

9 25

2 2

p q p q

　　　　　 = 4 - + -

25 4 3 3

25 4 3

2

2 2 2

2 2

( p q) ( p q) 　　　　　 = d 4 + D -

25 3

25 4 3

2 2

2

2 ( p q)2

　　　　　 = 1 = 4p-3q

25 4 3 1

5

( p- q)2 　……① ……オ，カ

　(2) 　円Cがx軸に接することから，Cの半径rはPのy座標qに等しく，①から，

　　　　　q p q

= 4 -3 5

　　　(i)　4p - 3q > 0のとき，

　　　　　　q p q

= 4 -3

5 

　　　　　 つまり，5q = 4p - 3q

　　　　　 よって，4p = 8qより，p = 2q 　　　(ii)　4p - 3q < 0のとき，

　　　　　　q p q

= -(4 -3 ) 5

　　　　　 つまり， - 5q = 4p - 3q

　　　　　 よって，4p = - 2qであるが，これはp > 0，q > 0に反する。

　　　 以上から，p = 2q ……キ 　　　 このことから，Cは中心の座標が (2q，q)，半径qの円なので，Cの方程式は 　　　　　(x - 2q) ² + (y - q) ² = q²　…… (＊)

　　　 (＊) がR (2，2) を通ることから，

　　　　　(2 - 2q) ² + (2 - q) ² = q² 　　　　　4q² - 12q + 8 = 0 　　　　　(q - 1) (q - 2) = 0

　　　 これより，q = 1または2なので，(＊) より，

　　　　　q = 1のとき， (x - 2) ² + (y - 1) ² = 1　……② ……ク，ケ，コ 　　　　　q = 2のとき， (x - 4) ² + (y - 2) ² = 4　……③ ……サ，シ，ス

　　　(注) 　(2) の

キについては，p > 0，

q > 0のときはCの中心がlの

下側にあることがわかる。また，

Cがlの上側 (点線の円) にある ときは，Cの中心は図の– AOB の外角の2等分線上にあるので，

p < 0，q > 0となる。

　　　　　 　このとき，図より，p，qについ て，

　　　　　　　 4 3 p>q

　　　　　 　つまり，4p - 3q > 0とわかる。

　(3) 　②，③より，S (2，1) ，T (4，2) と 　　　 右図から，

　　　　　OS：ST = 1：1

　　 　であり，OはSTのS側の延長上に あるので，点Oは線分STを 　　　　　1：2　(……④）　……セ

　　 　 に外分する。 _x

y =

S y

O 2

2 4

1

T 1 x

2 (p，q)

B p A

C

P

O x

4 p 3

y l

〔２〕　　log2 m³ + log3 n² £ 3　……④ 　　より，

　　　　3log2 m + 2log3 n £ 3　…… (＊＊) 　　・m = 2，n = 1のとき， (＊＊) より，

　　　　3log2 2 + 2log3 1 = 3•1 + 2•0 = 3 ……ソ 　　であり，(m，n) = (2，1) は④を満たす。

　　・m = 4，n = 3のとき， (＊＊) より，

　　　　3log2 4 + 2log3 3 = 3•log2 2² + 2•1

　　　　　　 = 3•2log2 2 + 2 = 8 ……タ 　　であり， (m，n) = (4，3) は④を満たさない。

　　　④は， (＊＊) から，

　　　　log₂ 2 log₃

3 1

m+ n£ 　……⑤ ……チ，ツ，テ

　　と変形できる。

　　　nが自然数のとき，n ≥ 1なので，

　　　　log3 n ≥ log3 1 = 0

　　より，log3 nの最小値は0 ……ト 　　 　これと⑤から，log2 m £ 1であり，これが成り立つ自然数mは，

　　　　m = 1　または　m = 2 ……ナ，ニ

　　でなければならない。

　　　m = 1の場合，⑤より，log3

3

n£ 2 ……ヌ，ネ

　　となるので，2log3 n £ 3，つまり，log3 n² £ 3から，

　　　　n² £ 27 ……ノハ

　　となる。これを満たす自然数nは，5² < 27 < 6²から，

　　　　n £ 5 ……ヒ

　　なので，この場合，④を満たす自然数m，nの組の個数は5である。

　　　m = 2の場合，⑤より，

　　　　log₂2 2 log₃

3 1

+ n£

　　　つまり，1 2

3 ₃ 1

+ log n£

　　　よって，log3 n £ 0となるので，これを満たす自然数nはn = 1のみ。

　　　この場合，④を満たす自然数m，nの組の個数は1 ……フ 　　　以上のことから，④を満たす自然数m，nの組の個数は，5 + 1 = 6 ……ヘ 　　　　

第 2 問

(1 )　f (x) = x³ - pxより，

　　　　f' (x) = 3x² - p　……① ……ア，イ 　　　f (x) がx = aで極値をとるならば，①より，

　　　　3a² - p = 0 ……ウ 　　 が成り立ち，x = aの前後でf' (x) の符号は変化することから，f' (x) = 0が異なる

2つの実数解を持つ。

　　　すなわち，pは条件

　　　　p > 0　　(……①) ……エ 　　を満たし，逆にこのとき，f (x) は必ず極値をもつことがわかる。

(2) 　f (x) がx p

= 3 で極値をとるとき，p > 0であり，f p

'd 3D=0を満たすので，① 　　より，

　　　　3

3 ² 0

d pD - =p 　　　　 p

p

2

3 - =0 　　　　p (p - 3) = 0

　　　p > 0より，p = 3 ……オ

　　　このとき，f (x) = x³ - 3x　…… (＊) であり，A (1， - 2) となる。

　　　　f' (x) = 3x² - 3　…… (＊＊) 　　　　　　 = 3 (x² - 1)

　　　　　　 = 3 (x + 1) (x - 1)

　　であり，f' (x) = 0の2解は，x = ± 1である。

　　　よって，増減表は右表のようになり，

　　　　x = - 1 ……カキ 　　で極大値をとり，

　　　　x = 1 ……ク 　　で極小値をとる。

　　　　

x - 1 1

f¢ (x) + 0 - 0 +

f (x) W 2 Q - 2 W

- 1 1 x

y = f’(x) = 3 (x² - 1)

+ +

-

　　　次に，点A (1，- 2) を通る，傾きが0でないCの接線lは，接点のx座標をb とすると，(＊＊) より，

　　　　y = (3b² - 3) (x - b) + f (b) ……ケ，コ

　　　　 = (3b² - 3) x - 3b³ + 3b + b³ - 3b 　　　　 = (3b² - 3) x - 2b³　……② 　　　これが点Aを通ることから，

　　　　- 2 = 3b² - 3 - 2b³ 　　　よって，bは方程式

　　　　2b³ - 3b² + 1 = 0　……③ ……サ，シ 　　の解である。

　　　　　　　 特に，AでのCの接線も ₀ 1 - 1 - 1 2 - 3

2 - 1 0 - 1 2

2 1

00 1

1

1 2

　 　　　 Aを通るCの接線の条件を満たすので，

　　　 b = 1は③の解である．これを用いて，

　　　 右の組立除法から③が解ける。

　　　③は，

　　　　(b - 1) ² (2b + 1) = 0

　　より，これを解くと，b = 1， -1

2 ^{……ス，セソ，タ}

　　　いま，lの傾きが0でないことから，b= - 1

2 である。(b = 1のときはf' (1) = 0 　　となるのでb ? 1である。)

　　　よって，lの方程式は②でb= - 1

2 ^として，

　　　　y=3 - 1 - x- -

2 1 2 1

2

2 3

dd D D d D

　　　　y= x+ 1 4 -9

4 ^{……チツ，テ，ト，ナ}

- 2 - 1

2

1 bO

A l

x C y

　　　次に，Aを頂点に持つ放物線は 　　　　y = k (x - 1) ² - 2　

　　で表され，これが原点を通るとき，

　　　　0 = k ( - 1) ² - 2 　　より，k = 2

　　　よって，Dの方程式は 　　　　y = 2 (x - 1) ² - 2

　　　　 = 2x² - 4x ……ニ，ヌ 　　 　求める面積Sは，右図の網目部分の

面積なので，

　　　　S=

Ú

^01d- ⁹⁴ x+ ¹⁴ -⁽²x²-⁴x^)Ddx 　　　　 =

Ú

^01d-^2x2+ ^{74 x}+ ^14Ddx 　　　　 = -È + +

ÎÍ ˘

˚˙ 2

3

7 8

1 4

3 2 1

0

x x x

　　　　 = - 2 + + = 3

7 8

1 4

11

24 ^……ネノ

O x

y

A

D

l - 2

1

第 3 問

(1 )　右のように

　　　　a2，a3，a4，……

　　と決まるので，

　　　　a2 = a1 + 9

　　　　 = 6 + 9 = 15 ……アイ 　　　　a3 = a2 + (9 + 4)

　　　　 = 15 + 13 = 28 ……ウエ 　　　また，階差数列は初項9，公差4の等差数列なので，階差数列の第n項は 　　　　9 + 4 (n - 1) = 4n + 5 ……オ，カ 　　　よって，数列 aanA は

　　　　an + 1 - an = 4n + 5　…… (＊)

　　を満たすので， (＊) で，nを1～n - 1に変えて，(n ≥ 2において) 　　　　an - an - 1 = 4 (n - 1) + 5

　　　　an - 1 - an - 2 = 4 (n - 2) + 5 　　　　 …　　 　 …　　　 　 … 　　　　a3 - a2 = 4•2 + 5 　　　　a2 - a1 = 4•1 + 5 　　　辺々の和をとることで，

　　　　an - a1 = 4•a1 + 2 + …… + (n - 1) A + 5•(n - 1) 　　　　　 　　= 4•n n( -1)

2 + 5 (n - 1)　　(これはn = 1でも成立)

　　　　

　　　よって，a1 = 6より，

　　　　an = 6 + 2n (n - 1) + 5n - 5

　　　　 = 2n² + 3n + 1　……① ……キ，ク，ケ，コ

　　である。

(2)　b a

a b

n n

n n

+ = +

1 -

1 1 ^……②，b₁ 2

= 5

　　で定められる数列abnAについて，a1 = 6，a2 = 15より，

　　　　b a

a b

2 1

2 1 1

= - =

35 6

15 1 2 5

6

- ◊ = ^{……サ，シス}

　　　ここで，①より，

　　　　an = (2n + 1) (n + 1) 　　であるから，

　　　　b n n

n n b

n+ = + + n

+ + + + -

1 2

2 1 1

2 1 3 1 1 1

( )( )

( ) ( )

　　　　 = + +

+ + +

( )( )

( ) ( )

2 1 1

2 1 3 1

n n

n n bn

a A

an + 1

+

a1 a2 a3 a4 ……

9 +

(9 + 4) + +

(9 + 4 ¥ 2)

an

(階差数列の第n項)+

　　　よって，

　　　　b n

n b

n+ = + n

1 +

2 1

2 5 ^{……③ ……セ，ソ，タ}

　　　ここで，

　　　　cn = (2n + 1) bn　……④ 　　とおくと，

　　　　cn + 1 = (2n + 3) bn + 1

　　　つまり，b c

n nn

+ = +

1 +1

2 3 　　であり，これと③より，

　　　　 c n

c n

n+ n

+ = +

1

2 3 2 5

　　　よって，数列acnAについて，

　　　　(2n + 5) cn + 1 = (2n + 3) cn　…… (＊＊) ……チ，ツ 　　が成り立つ。そこで，さらに，

　　　　dn = (2n + 3) cn　……⑤ ……テ 　　とおくと，dn + 1 = (2n + 5) cn + 1となるので， (＊＊) から数列adⁿAは

　　　　dn + 1 = dn　…… (＊＊＊) 　　を満たすことがわかる。

　　　④より，c1 2 1 b1 3 2 5

6

=( + ◊ = ◊) = 5 ^{で，⑤より，}

　　　　d₁ 2 3 c₁ 5 6 5 6

=( + ) = • = ……ト

　　であるから，(＊＊＊) より，

　　　　dn = 6 　　とわかる。

　　　よって，⑤から，

　　　　(2n + 3) cn = 6 　　　つまり，c

n= n + 6 2 3 　　　これと，④より，

　　　　(2 1) 6 2 3

n b

n n

+ =

+ 　　　つまり，b

n n

n=

+ +

6

2 1 2 3

( )( ) ^{…… (☆)}

　　と変形すると，

　　　　b X Y n X Y

n n

n= - + -

+ +

( )

( )( )

2 2 3

2 1 2 3

　　　この分子と (☆) の分子のnの係数を比較して，

　　　　

f 2X - 2Y = 0 　　　　 　 3X - Y = 6 　　より，X = Y = 3 　　　よって，(☆) は 　　　　b

n n

n =

+ - + 3

2 1 3

2 3 ^{……ナ，ニ}

　　と変形できて，これを利用して，(特に2n + 3 = 2 (n + 1) + 1に注意して) 　　　　S

k k

n k

n

= + -

+ +

Â

=^{1d2 3 1 2( 31) 1D}

　　　　 =

◊ + -

◊ + +

◊ + -

◊ + +

◊ + -

d 3 D d D d ◊ +

2 1 1

3 2 2 1

3 2 2 1

3 2 3 1

3 2 3 1

3 2 4 1DD

　　　　 + +

- + -

+ +

+ -

+ + d 3 D d D

2 1 1

3 2 1

3 2 1

3

2 1 1

(n ) n n (n )

　　　　 =

+ - + 3

2 1 3 2n 3 　　　　 = -

1 3+ 2n 3 　　　　 =

+ 2 2 3

n

n ^{……ヌ，ネ，ノ}

　　　　

　　(注)　一般項bnについては，次のようにすれば簡単に求められる。

　　　　　③から，

　　　　　　(2n + 5) bn + 1 = (2n + 1) bn

　　　　であり，辺々に (2n + 3) をかけることで，

　　　　　　(2n + 3) (2n + 5) bn + 1 = (2n + 1) (2n + 3) bn

　　　　　そこで，Bn = (2n + 1) (2n + 3) bnとおくと，

　　　　　　Bn + 1 = (2n + 3) (2n + 5) bn + 1　より，Bn + 1 = Bn

　　　　　よって，

　　　　　　Bn + 1 = Bn = Bn - 1 = …… = B2 = B1 = 3•5• 2 5 ^{= 6}

　　　　　Bn = (2n + 1) (2n + 3) bn = 6　となり，b

n n

n=

+ +

6

2 1 2 3

( )( )

第 4 問

(1 ) 　各点は右図のようになり，

　　　　K (0，0，2) 　　　　L (1，0，0) 　　であるから，

　　　　LK

= (- 1，0，2)

……アイ，ウ，エ 　　 　四角形KLMNが平行四辺

形なので，

　　　　LK MN

= (……③)

……オ

　　 　ここで，M (3，3，s) ，N (t，3，3)　(s，tは実数) と表すと，

　　　　LK MN LK MN

= -( 1 0 2, , ), =(t-3 0 3, , -s), = 　　より，

　　　　

f - 1 = t - 3 　　　　 　 2 = 3 - s 　　　よって，

　　　　s = 1，t = 2 ……カ，キ 　　であるから，M (3，3，1) ，N (2，3，3)

　　　これより，NはFGを1：2に内分することがわかる。 ……ク 　　　また，LM

= (2，3，1)なので，

　　　　LK LM

◊ = (- 1，0，2) • (2，3，1)

　　　　　　　 = - 1•2 + 0•3 + 2•1

　　　　　　　 = 0 ……ケ

　　となり，LK LM

^ ^{であるから，四角形}KLMNは長方形である。

　　　　LK

= (-1)²+0²+2² = 5 ^……コ

　　　　LM

= 2²+3²+1² = 14 ……サシ

　　と合わせて，四角形KLMNの面積は

　　　　 5◊ 14 = 70 　…… (＊) ……スセ 　　　　

O 3

3

2 K N

D G

E F

C

B L M

3

1

A

y

x

z

(2) 　Pは，Oから平面aに下ろした垂線と平面aの交点である。

　　　このとき，

　　　　OP ^ LK 　　　　OP ^ LM 　　なので，

　　　　OP LK OP LM

◊ = ◊ =0 _……ソ

　　　OP LK

◊ =0 ^{より， (p，q，r) ・} ( - 1，0，2) = 0

　　　つまり， - p + 0 + 2r = 0よりp = 2r ……タ 　　　また，OP LM

◊ =0より，

　　　　(p，q，r) ・ (2，3，1) = 0 　　　つまり，2p + 3q + r = 0 　　　これと，p = 2r より，

　　　　2 • 2r + 3q + r = 0 　　　すなわち，q= -5 r

3 ^{……チツ，テ}

　　であることがわかる。

　　　よって，Pd2 5 D r,- 3 r r,

　　　さらに，OP ^ PLであることから，OP PL

◊ =0^より，

　　　　d2 5 D d D

3 1 2 5

3 0

r,- r r, ◊ - r, r,-r =

O 3

3

K 平面a

N

D G

F E

C

B L M

3 A

y

x

P (p,q,r) z

　　　　2 1 2 5

3 ^{2 2} 0

r( - r)-d rD -r = 　　　　 70

9 r²-2r=0

　　　r = 0のときp = 0となり，平面aはOを通らないので不適であるから，

　　　　 70 9 r=2 　　より，r= 9

35 ^{……ト，ナニ}

　　　　OP

=rd2 - 5 D= d - D

3 1 9

35 2 5 3 1

, , , ,

　　より，

　　　　 OP

= 9 -

35 2 5

3 1 d , ,D

= 9 + - +

35 2 5

3 1

2 2

d D 2

　　　　 = 9 35

70 9

　　　　 = 3 70

= 9 ◊ 35 35

70

3 ^{……ヌ，ネノ，ハヒ}

　　　 OP

は，三角錐OLMNにおいて，三角形LMNを底辺とみたときの高さであり，

　　　　(三角形LMNの面積) = 1

2^{•(四角形KLMN) =}

70 2 　　より，三角錐OLMNの体積は，

　　　　 3 70 35 =1 1

3 70

◊ 2 ◊ ^……フ

　　である。