PPT 東京大学公共政策大学院教材

事例研究 ( ミクロ経済政策･問題分析 I) - 規制産業と料金･価格制度 -

(#402 –

離散型選択分析の基礎

(Logit/Tobit

等

)) 2017

年

12

月

戒能一成

0. 本講の目的 　　 ( 手法面）

- 応用データ解析の手法のうち、離散型選択モ

デ

　　　ル （二項選択型、 Tobit 型、 Heckman 二段推計型

　　　など ) の概要を理解する

（内容面 )

- 計量経済学･統計学を実戦で応用する際の 留意点を理解する

　　　　　　 　　　　

1.

離散型選択モデルの基礎

1-1.

離散型選択モデルの概念

　　

-

離散型選択モデルとは、被説明変数が離散的

な値をとる場合 (二項選択型 )や、非連続的な値を とる場合（

Tobit

型他 )に、当該被説明変数の値の 　　 分布が観察対象のどのような選択行動の結果と

して生じたものかを分析するモデルを指す

-

当該モデルの典型的な手法の多くは、選択の確

率

(Probability)

を用いて離散型選択を連続型確率 に変換することにより解を得ている

-

唯一の例外が

Monte-Carlo

法 (確率論的方法

)

3

1.

離散型選択モデルの基礎

1-2.

離散型選択モデルの種類

(1)

　　

(単純選択型 )

　　　← 選択の結果のみを扱う場合

-

二項選択型

Binary Outcome Model

　　　　 例 : 就職、大学進学、出産、企業増資、任意清算

-

多項･多段階選択型

Multi-nominal/-Stage M.

　　　　例: 職業選択、学校選択、旅行経路選択、企業提携選択

(不連続 (切断 )型

)

　　　← 選択の結果として選択後の生産･消費などの 　　　　　変数が切断され不連続となった場合

　　　

- Tobit

型モデル

Tobit Type Model

　　　　例 :　職業別所得、経路別旅費支出、企業提携後収益

1.

離散型選択モデルの基礎

1-3.

離散型選択モデルの種類

(2) (

続き

)

　　

(内生的選択型 )（← 不連続 (切断 )型と因果が逆 )

　　　← 観察指標に応じて選択肢の選択結果が内生 　　　　　的に決定されている場合

- Heckman

二段推計型モデル “ Heckit” Model

　　 例 : 貧困者職業訓練効果、薬物中毒更生率、倒産企業債務残高

(計数型

)

　　　← 選択肢の選択結果に加え結果指標も少数の

　　　　　離散的な計数値となる場合 (複合問題を含む

)

　　　

-

計数型モデル

Count Data Model

　　 例 : 交通事故死者数、公務員汚職件数、企業任意清算数 　　　　　　 ( ← Poisson分布を用いた回帰分析を行う (説明省略 ))

5

2.

単純選択モデル

2-1.

二項選択モデル

　

-

離散値

Di

の選択が、ある観察可能な変数

zi

で

決まる確率に従う場合、当該過程は 二項選択モデ

ル

(Binary Outcome Model)

が適用可 　　

(

離散値

Di

の選択

)

1 0

　

-

例

: zi

家計の所得

　　　　　

Di

太陽光発電の導入有無

(

導入

=1,

非導入

=0)

Pr(Di=1,zi’

･

β)

所得

zi

の世帯が太陽光発電を行う確率

(

係数

β)

　　　　　　

Di = Di = Pr(Di=1, z

_i^’

･ β)

+ε

_i

選択確率　　　　　　　　　 誤差

2.

単純選択モデル

2-2.

二項選択の確率密度関数

　

- Probit

関数･

Logit

関数など確率密度関数の選択に 　　　おいては、単純な二項選択の分析の場合であれば 　　　優劣はないため、数学的に簡単な

Logit

関数が多用 　　　される (← 　不連続 (複合 )型などでは逆 (後述

))

Pr(Di=1,zi’･ β) =∫ -∞(zⁱ-z0)’β/σ (2πσ²)^-1/2* exp(-1/2*s²/σ²)ds

Probit ; 正規分布関数 φ((zi-z0)’β/σ)の積分値 (= Φ)

　　　　　　　確率密度関数　φ((zi-z0)’β/σ) 　　　　　　　 　　　　　　　zi の限界効果　φ((zi-z0)’β/σ) ･βi

Pr(Di=1, z_i’･ β) = (1 + exp(-zi’･ β))^-1

　　　　　　　 Logit; 対数確率分布関数 Λ(zi’･β) (= ｢積分 済｣))

　　　　　　　確率密度関数　 exp(z’･β)/(1 –exp(z’･β)) zi の限界効果　Λ(z’･β)･(1 –Λ(z’･

β))･βi

7

2.

単純選択モデル

2-3. Logit

関数と

Probit

関数

　

- Probit

関数と

Logit

関数は、いずれも無限遠で

0

及び 1 となる関数であるが、曲率と分散の大きさが異なる 　　　ので推計された係数は直接比較できない

← 先行研究と係数を比較･参照する場合要注意

　　　　

Probit

関数 – 平均

0,

分散

1

の正規確率密度関数 　　　　　　　の積分値

　　　　

Logit

関数

-

平均

0,

分散 √

3/π

の対数密度関 　　　　　　　数の積分値

(=

対数分布関数

)

　　

-

どうしても必要な場合

0.625

で補正 (雨宮

(1981))

　　　

2. 単純選択モデル

2-4. 二項選択モデルの概念

　

9

選択確率関数

P ｒ (Di=1, zi’β)

= 確率密度関数の積分値

　　　 (-∞ で0, +∞ で 1) 　

説明変数 (z_i-z₀)’β/σ

0 z₀ (z_i の平均)

確率密度関数

Pr ( 正規確率密度

　　 関数の場合 )

-∞ (ｚ_{i –} z_o)’β/σ

二択変数 Di

1

0

説明変数 zi

Ｚi

選択結果 Di (1 or 0)

措置群 (Di =1)

対照群 (Di =0)

｢現　実｣

｢脳　内｣

( 例 : Di - 家計 i 太陽光発電の有無の選択 zi - 家計 i の所得 )

2.

単純選択モデル

2-5.

何故単純な線形回帰を用いないのか

　

-

単純な線形回帰で選択の確率密度関数を近似す

　　　　　　ると、確率が 1 を超えたり

0

　　　　　　より下になるという｢異常値｣

　　　　

　　　　　　が生じてしまう場合あり 　　　　　　 ← ｢折れ線｣による近似な 　　　　　　 どの回避策はあるが、

　　　　　　 確率密度関数の一般性 　　　　　　 がなくなってしまい分析 　　　　　　 手法の適用条件複雑化 　　　　　　 ･相互比較不能化

二択変数 Di

1

0

Ｚi 説明変数

選択結果 Di (1 or 0)

措置群 (Di =1)

対照群 (Di =0)

選択確率関数

P ｒ (Di=1, zi’β)

線形回帰

Logit 回帰

3.

不連続

(

切断

)

型モデル

3-1. Tobit

型モデル (ダミー変数モデル

)(Tobin(1958))

　

-

離散値

Di

の選択に応じ、

Di = 1

の場合のみ

結果指標

yi

が

zi

により決定され観察できる場 　　 合では、

Tobit

型モデルなどが適用できる

(

第 1 段階

:

離散値

Di

の選択：

ex.

太陽光発電有

無

)

1 if Di

^* ＞

0 ; 0 if Di

^* ≦ 0 ;

(第 2 段階

:

結果指標

yi

の決定

: ex.

売電所得

) yi

^*

if Di

^* ＞

0 ; yi

^*

= z

i2

’β

2

+ε

2i

- if Di

^* ≦ 0 ; ^{( ← 観察不能 )}

11

Di =

yi =

Di

^*

= z

_i1

’β

₁

+ε

_1i

( 通常 誤差 ε_1i は正規分布と

仮定し Probit 型で β₁ を推定 )

3.

不連続

(

切断

)

型モデル

3-2. Tobit

型モデルの種類 (利用頻度順

,

雨宮

(1985)

による分類

)

　

- Tobit モデル (Tobit-Type 2)

･ 選択の結果による対照群(非選択群 )の結果指標が観察できない場合

･ 第 1 段階･第 2 段階の誤差が二元正規分布に従うと仮定し、第 1 段階の 　　　　　　 Probit型推計の結果 (補正係数 λ₁,誤差ε₁) を用い、第 2 段階を推計 1 if Di^* ＞ 0

0 if Di^* ≦ 0 yi* 　　　if Di^* ＞ 0 -- (観察不能)

- Tobit

モデル

(Tobit-Type 3 “Heckit Model”)

(← 後述する Heckman二段階推計型, 先に発見したHeckmanの方が著名

Type 2 と選択と観察指標の因果関係が逆 )

Di=

yi=

3.

不連続

(

切断

)

型モデル

3-3. Tobit

型モデルの種類 (利用頻度順

,

雨宮

(1985)

による分類

)(

続き

)

　

- Tobit

モデル

(Tobit-Type 5 “Roy Model”)

･ 選択の結果による対照群(非選択群･排反 )の結果指標が観察できる場合

･ 処置効果評価での利用例多, Regression Discontinuity か Switch回帰 　　　　　　　 1 if Di^* ＞ 0

0 if Di^* ≦ 0 yi^* if Di^* ＞ 0 yi^** if Di^* ≦ 0

- Tobit

モデル

(Tobit-Type 1,4)

(二項選択モデルやType-2･ -3 に変換できるので殆ど使われていない)

(- Two Part

モデル (実例稀少

))

　　　　　　 第 1 段階を Probit型で推計し、第 2 段階で正の観察値のみ回帰推計 　　　　　　 (=第1 段階での選択有無(= 第2 段階が不存在か “ 0” が存在か )を

要識別)

13

Di=

yi=

3. 不連続 ( 切断 ) 型モデル

3-4. Tobit 型モデルの概念 (Type-2 の場合 )

　

14

ダミー変数 Di, Di*

( 観察不可 )

1

0

説明変数 zi

（観察 可 )

結果指標 yi

( 観察可 )

説明変数 zi

（観察 可 )

Zc (Di* = 0) Ｚｃ

（ ? ) 選択ダミー

Di (1 or 0)

選択ダミ－関数 Di*

= zi’β₁ + ε₁i

措置群 (Di =1)

対照群 (Di =0)

結果指標の 誤差

ε₂i

(ε₁i との 関 　 係を仮 定)

0

選択ダミー変数 の誤差

ε₁i = Di* - zi’β₁

（正規分布を仮

定) 措置群 (Di =1)

対照群 (Di =0) → yi = 0

｢現　実｣

｢脳　内｣

yi

( 例 : yi - 家計 i の売電収入 Di – 太陽光発電有無 ( 観察不可の場合有 ) zi - 家計

結果指標 yi*

= zi’β₂ + ε₂i

（or 0 )

結果指標の確率密度 の｢切断｣による歪 み) → 補正(λt)

選択結果が結 果指標を決定

3. 不連続 ( 切断 ) 型モデル

3-5. 逆ミルズ比と Tobit 型モデルの解法 (1)

　

- 逆ミルズ比 λi (Inverse Mill’s Ratio) 　　　　 λi (zi’ ･ β) ≡ φ(zi’ ･ β)/Φ(zi’ ･ β)

　　　　　　　　

φ

正規確率密度関数

, Φ 当該関数の積分値 ( 分布

関数

)

　　　　← 選択によって生じた｢切断｣が確率密 度の分

　　　　　　布に与えた歪みの影響を説明する変 数

15

3.

不連続

(

切断

)

型モデル

3-6.

逆ミルズ比と

Tobit

型モデルの解法

(2)

- 但し

Tobit

型モデルでは下記変数を用いる

　　　∵

Tobit

型で観察される

yi

は｢切断された残り｣

　　　

λti(zi’

･

β) = φ(zi’

･

β)/[1 -Φ(zi’

･

β)]

([

注意

] Heckit

では逆ミルズ比自体を用いる

) - Tobit

型モデルの分析式 (解法

)

　　　　← 下記分析式を最大尤度法

(ML)

で推計 　　　　　　但し誤差

εi

は不均一分散

　　　　 ｙ

i | yi >0 = zi’

･

β + λti

･

γ + εi

　

- STATA

では切断点

(UL;

上限

, LL;

下限 )を指定可 　　

3. 不連続 ( 切断 ) 型モデル

3-7. Tobit 型モデルにおける仮定･検定と注意点

　

- Tobit 型モデルでは、少なくとも 第 1 段階の 選択

過程の誤差が正規分布に従うと仮定

→ 誤差の正規性検定 (- linktest など ) が 必須

　　　　　　

　

17

→ 実はポアソン分 布

4.

内生的選択型モデル

4-1. Heckman

二段推計型モデル “ Heckit” M.(1974)

　

-

観察指標

yi

の値に応じて離散値

Di

の選択が

　　 決定され、

Di = 1

の場合のみ結果指標

yi

が観察 　　 できる場合では、

Heckit

型モデルが適用できる

← 選択と観察指標の因果関係が

Tobit

型

(Type -2)

の不連続 (複合 )型モデルと｢逆｣ であり、

観察指標が選択を左右している場合に有効

　　　　　　　 (例 : 経営不振企業の損益と倒産, 低所得者の職業訓練)

　　　← 現実には最初から不連続 (複合 )型か内生的 　　　　　選択型かを識別することは困難であり、一定 　　　　　の試行錯誤が必要

4. 内生的選択モデル

4-2. Heckman 二段推計型モデルの概念　

19

ダミー変数 Di, Di*

( 観察不可 )

1

0

説明変数 zi

（観察 可 )

結果指標 yi

( 観察可 )

説明変数 z i”

（観察 可 )

Zc (Di* = 0) Ｚｃ

（ ? ) 選択ダミー

Di (1 or 0)

選択関数 Di*

= φ(zi’β)

観察可能な対象 (Di =1)

結果指標の 誤差

ε₂i (選択 関 数の誤 差

ε₁iと相 関)

　

0

観察可能な対象 (Di

=1)

(対照群は存在しな い)

｢現　実｣

｢脳　内｣

yi

( 例 : yi - 倒産企業 i の債務残高 Di – 倒産の有無 zi – 倒産企業の売上高利益

率 )

結果指標 yi*

= zi“β₂ + ε₂i

（or 0 )

結果指標の確率密度 の観察可能確率 → 逆ミルズ比で説明 逆ミルズ比の推計

λi = φ(zi’β)/Φ(zi’β)

　

選択関数の誤差

= ε₁i

結果指標が 選択を決定

4.

内生的選択型モデル

4-3. Heckman

二段推計型モデルの解法

　

-

第

1

段階： 試料から

yi

が観察可能となる正規確

　　　　　　　　　率を最大尤度法

(ML)

で求め、更に逆ミ 　　　　　　　　　ルズ比

λi

を推計

　　　　

Di | Di>0 = Φ(zi’

･

β)

　　　　　^{← Probitモデル}

使用

λi (zi’

･

β) = φ(zi’

･

β) / Φ(zi’

･

β)

-

第

2

段階 :下記分析式を最小二乗法（

OLS)

推計

　　　　 ｙ

i | yi(or Di) >0 = zi“

･

β ” + λi

･

γ + εi

　　　　　　← 誤差 不均一分散

-

実際には

STATA コマンド “ heckman”

を使用

4.

内生的選択型モデル

4-4. Heckman

二段推計型モデルの問題点･注意点

-

第

1

段階の説明変数

zi’

と第 2 段階の説明変数

zi”

の大部分が重複する場合には、多重共線性

　　　

(Multicoliniarity)

により妥当な結果が得られない

　　　 (

縄田 (1997), 北村 (2005))

ex.

第二段階

　　　　 ｙ

i | yi>0 = zi “

･

β” + λi(zi’

･

β)

･

γ + εi

←

最初の選択を｢二項選択モデル｣で解いてお

　　　　　き、当該推計の結果から各段階の説明変数 　　　　　を重複しないように決める方法が有効

　　　　　　

21

5.

離散型選択モデルの実戦的活用

5-1.

米国の州別犯罪率･死刑制度と執行率

(McManus W. (1985), 1950

年米国

44

州での調 査

)

被説明変数 (･選択変数 )　

x

州別死刑執行率　　　 (分析対象

) d

州別死刑制度の有無

　　　説明変数

(

対数化処理により “ l**”

)

　　　　　ｍ　人口

10

万人当殺人犯罪認知数 　　　　　

p

殺人事件有罪率

　　　　　ｔ　　殺人容疑者平均拘置日数

　　　　　

y

平均所得

($1,000- @1950)

ｆ

平均有業率 (= 1 –[

失業率

])

5. 離散型選択モデルの実戦的活用

5-2. 米国の州別犯罪率･死刑制度と家計所得

　

　　　　　

　　　　　　注意 : 相 関≠因果

23

件数

件数 制度有

制度無

制度無 制度有

所得

所得

5.

離散型選択モデルの実戦的活用

5-3.

州別死刑制度有無の二項選択モデル分析

(1)

　 reg d lm lp lt ly lf, robust AIC=30.91

→ 線形

:

殆どの説明変数が有意 (但し あくまで参考

)

Linear regression Number of obs = 44 F(5, 38) = 6.57

Prob > F = 0.0002 R-squared = 0.4469 Root MSE = .3228 --- | Robust

d | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

---+---

lm | .4350748 .0823588 5.28 0.000 .2683481 .6018014 lp | .1307851 .1232539 1.06 0.295 -.1187294 .3802995 lt | .3788957 .1323878 2.86 0.007 .1108906 .6469008 ly | .4889962 .2129757 2.30 0.027 .0578494 .9201431 lf | -1.907909 1.064082 -1.79 0.081 -4.06203 .2462121 _cons | -2.901463 .9877775 -2.94 0.006 -4.901114 -.9018122

5.

離散型選択モデルの実戦的活用

5-4.

州別死刑制度有無の二項選択モデル分析

(2)

　 logit d lm lp lt ly lf AIC=33.30

→ Logit; m(

殺人犯罪件数

), t(

拘置日数 )が有意

25

Logistic regression Number of obs = 44 LR chi2(5) = 23.28

Prob > chi2 = 0.0003

Log likelihood = -10.650989 Pseudo R2 = 0.5222 ---

d | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

---+---

lm | 4.801747 1.768599 2.72 0.007 1.335357 8.268138 lp | .6182211 1.19164 0.52 0.604 -1.71735 2.953792 lt | 4.246125 1.898825 2.24 0.025 .5244973 7.967753 ly | 6.013893 4.193384 1.43 0.152 -2.204987 14.23277 lf | -16.76363 18.61397 -0.90 0.368 -53.24633 19.71908 _cons | -36.92763 18.89653 -1.95 0.051 -73.96414 .1088826 ---

5.

離散型選択モデルの実戦的活用

5-5.

州別死刑制度有無の二項選択モデル分析

(3)

　 probit d lm lp lt ly lf AIC=32.81

→ Probit; m(

殺人犯罪件数

), t(

拘置日数 )が有意

Probit regression Number of obs = 44 LR chi2(5) = 23.77

Prob > chi2 = 0.0002

Log likelihood = -10.40572 Pseudo R2 = 0.5332 ---

d | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

---+---

lm | 2.804682 1.011972 2.77 0.006 .8212538 4.788109 lp | .3935249 .689552 0.57 0.568 -.9579721 1.745022 lt | 2.48898 1.100532 2.26 0.024 .3319775 4.645982 ly | 3.577456 2.479807 1.44 0.149 -1.282876 8.437789 lf | -10.75029 10.40882 -1.03 0.302 -31.15121 9.650625 _cons | -22.20609 10.95852 -2.03 0.043 -43.6844 -.7277841 ---

5. 離散型選択モデルの実戦的活用

5-6. 州別死刑執行率の Tobit モデル分析

　 tobit x lm lp lt ly lf, ll(0) AIC=-54.55

27

Tobit regression Number of obs = 44 LR chi2(5) = 14.50

Prob > chi2 = 0.0127

Log likelihood = 34.274291 Pseudo R2 = -0.2682 ---

x | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

---+---

lm | .0614433 .0209258 2.94 0.006 .0191169 .1037697 lp | .0146554 .0276493 0.53 0.599 -.0412706 .0705814 lt | .073979 .031501 2.35 0.024 .0102622 .1376957 ly | .009091 .0615264 0.15 0.883 -.1153579 .1335399 lf | .4891608 .2833126 1.73 0.092 -.0838931 1.062215 _cons | -.0651 .267022 -0.24 0.809 -.605203 .4750029 ---+---

/sigma | .0711114 .0089375 .0530336 .0891893

5. 離散型選択モデルの実戦的活用

5-7. 州別死刑執行率の Heckit モデル分析 (1)

　 heckman x lm lp ly lf, select( d= lm, lt)

Heckman selection model Number of obs = 44 (regression model with sample selection) Censored obs = 9 Uncensored obs = 35

Wald chi2(4) = 1.02e+08

Log likelihood = 42.5235 Prob > chi2 = 0.0000 ---

| Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

---+--- x |

lm | -.0192589 .0170156 -1.13 0.258 -.0526088 .014091 lp | .0033842 .0231807 0.15 0.884 -.0420491 .0488176 ly | -.0609771 .0534961 -1.14 0.254 -.1658276 .0438734 lf | .8553731 .1524768 5.61 0.000 .5565241 1.154222 _cons | .6983817 .1486508 4.70 0.000 .4070315 .9897319

5.

離散型選択モデルの実戦的活用

5-8.

州別死刑執行率の

Heckit

モデル分析

(2)

　 heckman x ly lf, select( d= lm, lt) AIC=- 67.67

29

Heckman selection model Number of obs = 44 (regression model with sample selection) Censored obs = 9 Uncensored obs = 35

Wald chi2(2) = 2.64e+08

Log likelihood = 41.83379 Prob > chi2 = 0.0000 ---

| Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

---+--- x |

ly | -.0176457 .0399363 -0.44 0.659 -.0959194 .060628 lf | .8065375 .0259226 31.11 0.000 .7557302 .8573448 _cons | .610406 .0390826 15.62 0.000 .5338055 .6870066 ---+---

d |

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