( a c c b ) (A v, v) ≥ 0 ( v ∈ R が α, β ≥ 0 (iii) a, b ≥ 0, ab

2018年10月05日　演習問題

I2次の実対称行列A= a c c b

!

∈M₂(R)に対して以下の条件(i),(ii),(iii)が必要十分であることを証 明しましょう．

(i)Aが定める2次形式が非負定値である．すなわち

(A~v, ~v)≥0 (~v∈R²)

(ii)Aの固有値α, β∈Rがα, β≥0を満たす．

(iii)a, b≥0, ab−c²≥0

解答　Aを回転行列R= (~r1~r2)で

R⁻¹AR= α 0

0 β

と対角化します．このとき

A~r1=α~r1, A~r2=β~r2

が成立します．さらに回転座標変換 ξ η

!

=R⁻¹ x y

!

によって

(A x

y

, x

y

) =αξ²+βη²

となります．

(i)⇒(ii)

0≤(A~r₁, ~r₁) = (α~r₁, ~r₁) =α||~r₁||²=α

からα≥0が従います．同様にβ ≥0も導けます．

(ii)⇒(i)α, β≤0から

(A x

y

, x

y

) =αξ²+βη²≥0

が従います．

(ii)⇒(iii)

一般にp, q∈Rに対して

p, q≥0 ⇔ p+q≥0, pq≥0

が成立します．

ΦA(λ) = 0の解と係数の関係を用いて

a+b=α+β≥0, ab−c²=αβ≥0従ってab≥αβ+c²≥0 からa, b≥0が成立します．以上で(ii)⇒(iii)を証明しました．

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(iii)⇒(ii)^対称行列A∈M2(R)の固有値α, β∈Rですから

α, β≥0 ⇔α+β≥0, αβ≥0

が成立します．(iii)の仮定の下で

α+β =a+b≥0, α+β=ab−c²≥0

が成立しますからα, β≥0となります．

IIm×n行列Aがあるとします。Pがm次の正方行列、Qがn次の正則行列であるとき

dim Im(A) = dim Im(P A) (1)

dim ker(A) = dim ker(AQ) (2)

が成立することを示しましょう。

解答　(1)について

Im(A)の基底を α1, . . . , α` としましょう．このときαj = A~xj を満たす ~xj ∈ Kⁿ が存在しますから P ~α_j =P A~x_j∈Im(P A)となることが分かります．以下では

P ~α1, . . . , P ~α` はIm(P A)の基底となる ことを示します．c<sub>1</sub>P ~α<sub>1</sub>+· · ·+c<sub>`</sub>P ~α_`=~0が成立すると

c1P ~α1+· · ·+c`P ~α`=P(c1~α1+· · ·+c`~α`) =~0

からc1α~1+· · ·+c`~α`=~0が導けますからc1=· · ·=c`= 0が従います．よって P ~α<sub>1</sub>, . . . , P ~α<sub>`</sub> は線型独立である

ことが分かりました．さらに任意の~v∈Im(P A)をとるとある~x∈Kⁿに対して~v=P A~xが成立します．こ のときA~x∈Im(A)が成立しますから

A~x=c1~α1+· · ·+c`α~`

と表現されます．この両辺にP を掛けると

~

v=P A~x=P(c1~α1+· · ·+c`~α`) =c1P ~α1+· · ·+c`P ~α`

と~vがP ~α1, . . . , P ~α` の線型和で表現できます．以上で

P ~α₁, . . . , P ~α_` はIm(P A)を生成する ことが分かりました．

(2)についてker(A)の基底をα1, . . . , βtとしましょう．このときAQ·Q⁻¹βi=A~βi=~0が成立しますから，

A⁻¹β~j∈ker(P A)となることが分かります．以下では

Q⁻¹β~₁, . . . , P ~β_tはker(P A)の基底となる

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ことを示します．c1Q⁻¹β~1+· · ·+c`Q<sup>−1</sup>β~`=~0が成立すると c1Q⁻¹β~1+· · ·+c`Q⁻¹β~t=Q⁻¹

c1β~1+· · ·+ctβ~t

=~0

からc1β~1+· · ·+ctβ~t=~0導けますからc1=· · ·=ct= 0が従います．よって Q⁻¹β~1, . . . , P ~βtは線型独立である

ことが分かります．次にw~ ∈ker(AQ)を任意にとります．このときQ ~w∈ker(A)ですから Q ~w=c1β~1+· · ·+ctβ~t

と表されます．この両辺にQ⁻¹を掛けると

~

w=Q⁻¹(c1~β1+· · ·+ctβ~t) =c1Q⁻¹β~1+· · ·+ctQ⁻¹β~t

となりますから

Q⁻¹β~1, . . . , P ~βtはker(QA)を生成する ことが示されました．

IIIV ⊂Rⁿは部分空間とします。

V^⊥={w~ ∈Rⁿ; (~v, ~w) = 0 (~v∈V)}

はRⁿの部分空間です（V の直交補空間と呼びます）． (1)V₁, V₂はRⁿの部分空間とします。

V1⊂V2

が成立するならばV₁^⊥ ⊃V₂^⊥が成立することを示しましょう。

(2)V₁, V₂はRⁿの部分空間とします。

(V₁+V₂)^⊥ ⊂V_j^⊥ (j = 1,2)

を示しましょう。

(3)V1, V2はRⁿの部分空間とします。

(V1+V2)^⊥=V₁^⊥∩V₂^⊥

であることを示しましょう。

解答(1)w~ ∈V₂^⊥とします．~v₁∈V₁であると~v₁∈V₂となりますから (w, ~~ v₁) = 0

が従います．よってw~ ∈V₂^⊥であることが分かります．

(2)V1, V2⊂V1+V2が成立しますから(3)^{を用いると}

(V1+V2)^⊥⊂V₁^⊥, (V1+V2)^⊥⊂V₂^⊥

が分かります．

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(3)(2)^から

(V1+V2)^⊥ ⊂V₁^⊥∩V₂^⊥

が分かります．逆にw~ ∈V₁^⊥∩V₂^⊥とします．~v=~v₁+~v₂が~v₁∈V₁, ~v₂∈V₂に対して成立しているとする とw~ ∈V₁^⊥かつw~ ∈V₂^⊥が成立しますから

(~w, ~v) = (w, ~~ v₁) + (w, ~~ v₂) = 0

となります．これはV₁^⊥∩V₂^⊥⊂(V1+V2)^⊥ を意味します．以上で(V1+V2)^⊥=V₁^⊥∩V₂^⊥を示しました．

注意さらに(3)の両辺の直交補空間を考えると

(V1∩V2)^⊥=V₁^⊥+V₂^⊥

が導けます．

IVAをm×n行列としてAが定める線型写像を

fA: Kⁿ→K^m ~v7→A~v

と表します．

(1)V はKⁿの部分空間とします。このとき

AV :=f_A(V) ={A~v∈K^m;~v∈V}

がK^mの部分空間であることを示しましょう。

(2)W はK^mの部分空間とします。このとき

f_A⁻¹(W) ={~v∈Kⁿ;A~v∈W}

がKⁿの部分空間であることを示しましょう。

解答(1)w~₁, ~w₂∈AV とします．このとき

A~v1=w~1, A~v2=w~2

を満たす~v1, ~v2∈V が存在します．このとき

λ1w~1+λ2w~2=λ1A~v1+λ2A~v2=A(λ1~v1+λ2~v2)

からλ1w~1+λ2w~2∈AV が分かります．よってAV は部分空間です．

(2)~v1, ~v2∈f_A⁻¹(W)とします．このときA~v1, A~a2∈W となります．W は部分空間ですから A(λ1~v1+λ2~v2) =λ1A~~v1+λ2A~~v2∈W

からλ1~v1+λ2~v2∈f^−1A(W)であることが分かります．これはf_A⁻¹(W)が部分空間であることを意味します．

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