()nx ny ()2 2 n n (nx , ny - Sophia

注意これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。統計力学II (後期) 2006/10/20, 0915-1050@3-371

◎状態密度D

( ) ε

≡∆n ∆

ε

(エネルギー範囲∆εに入っている状態数を∆n個とする)

４-A 一次元の細い針金に閉じ込められた粒子

〔仮定〕針金の長さL 、針金の内側ではポテンシャル=0、周期境界条件：ϕ

( )

0 =ϕ

( )

L 固有関数：

ϕ ( )

x =Ae^ikx、但しk =2

π

n L（ nは整数で正負の値を取る）

固有エネルギー：

ε

n=_h^{2k2 2m}=

(

²_h²

π

^{2 mL2}

)

⋅ⁿ² 状態密度：

( )

π ε ε

ε π

ε

ε ε

¹

2 2 2

2

1

2 2 2

h

h L m

L m n

D n =

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⋅⎛

∂ =

⋅∂

∆ ≈

= ∆

−

注）上式はあくまで近似。εが小さいところでは

右図のように相当ずれている。

４-B 三次元の金属の立方体に閉じ込められた自由電子

〔仮定〕一辺の長さL, 箱の内側でポテンシャル=0, 境界条件：

ϕ ( )0r =ϕ (L,0,0)

, etc.

固有関数：

ϕ ( )

rr =Ce^ikxxe^ikyye^{ikzz、但し}

(

nx ny nz

)

k 2L

π

, , r=

、固有エネルギ _{k m}

k ² r ² 2

h

r =

ε

まず、エネルギーε以下の状態数N

( )

ε は、

^{2 2 2 2 2}

(

^{2 2 2}

)

2

2 n^x n^y n^z

L m m

k ⎟ + +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

>

π

ε

^{h h} を満たす

(

nx, ny, nz

)

の組み合わせの数 よって半径R=

(

L 2

π )

2m

ε ε

球の体積を計算して、

( )

³

3 4

π

R

ε

=

N

( )

3 2

2 3

6 2

π

h

ε

m V⋅

=

( ) ( ) ( ) ( )

ε ε ε

ε ε

ε ε

∂

≈∂

∆

−

∆

= +

∴ N N N

D

( ) ε

π

2

3 6

2

3 2

2 3

h m

=V ε

π^{2 3}

2 3

2 h

m

= V

（スピンS =½ がある場合は二倍する）

注）あくまで近似。εが小さいところでは右図の ようにデタラメに見える。これを遠くから見ると

ε の形に見えるということだ。

４-C スピンがある場合の状態密度

S =½の場合、↑と↓は同じエネルギー(磁場がない場合)なので、状態数は二倍。

一般のSの場合、−S, −S+1, …, S−1, Sまでの状態が同じエネルギーなので状態数は2S+1倍。

※磁場がかかった場合は、↑と↓でエネルギーが異なるので別々に計算する。

４-D 三次元金属中の自由電子のフェルミエネルギーε_F=µ

(

T = ⁰

) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫

^{( )}

( )

∑

^{= =}

= ^{∞ 0}

0

0 F

F

ε

f

ε

2D

ε

d

ε

^µ 2D

ε

d

ε

f N

s s 状態

(

V ³

π

²

) ( 2m h)3µ ( )0 3 2

=

から求める。意味は絶対零度で金属中の電子が持つ最大エネルギ

スピンS=½を持つ 場合はS(S+1)倍する nの正負の分

異なる波動関数を持った状態の数

ε

∆

ε

∆n個 状態の数があまり少ないと

うまく定義できない(∆εの値によってD(ε)が変わってしまう) 現実の系(粒子数がアボガドロ数程度と非常に多い場合)では、状態が ぎっしり詰まっているので∆ε →0の極限を取れる

ε

D(

ε

) ^∆ε

ε

D(

ε

)

注意これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。統計力学II (後期) 2006/10/20, 0915-1050@3-371

※フェルミエネルギーの色々な表現 (波数k_F =³ 3

π

² N V が一番覚えやすい) eV

h T

m k

k = = = =

= ^{2 F2} _{B F F F}

F 2

ω ν

ε

^h _h ,

λ

_F=2

π

k_F, p_F=hk_F =m

υ

_F

(波数k_F, 温度T_F, 角速度

ω

_F, 振動数

ν

_F, 電子ボルト, 波長

λ

_F, 運動量p_F, 速度

υ

_F) ４-E 状態密度とは？  （別の考え方）D≡積分変数の変換の因子

三次元の場合、

( ) ∫∫∫

∑∑∑

^≈

∫∫∫

^{x y z = x y z}

nx ny nz

dk dk V dk

dn dn

dn ₃

2

π

L

( )

^2V

π

³

∫∫∫

⁴

π

^{k2dk =}

∫∫∫ ( )

⁴²

π π

^{V3 k2 ddk}

ε

^d

ε

４-F 三次元金属中の自由電子の平均のエネルギー

⇔フェルミエネルギー

ε

_FはT = 0での最高のエネルギー

( ) ∫ ( ) ( )

∑

^{= ∞}

=

ε

f

ε

0

ε

f

ε

D

ε

d

ε

E

s s s 状態

2 5 3 F 2

2 3

5 2

2

ε

π

_h m

=V _F

5 3N

ε

=

T = 0での圧力を熱力学の公式から求めると、

( )

V V N

V S P E

∂

− ∂

∂ =

−∂

= ^F

5

, 3

ε

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

= m

k V N

2 5

3 h² _F² ⎟= ≡

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

−

= V V

N

5 2 3

2 5

3

ε

F

ε

F

“フェルミ縮退圧”

（⇔古典理想気体では_P→0なので無限小の体積に縮まってしまう。）

白色矮星や中性子星は、このフェルミ縮退圧で重力に打ち勝っている。質量が増して、

重力の方が強くなるとブラックホールになる。

“フェルミ縮退”は、パウリ排他律のために、自由電子の一つ一つのエネルギーがわずかに 異なる現象で、普通の意味の縮退(異なる波動関数の固有エネルギーが一致)とは全く違う。

４-G レポート

1) 三次元の金属中の自由電子(一辺 3Å の箱あたり一つの電子が居ると)のフェルミエ ネルギーの値(式でなく値です)を４-Dで示したいろいろな単位で求めてみよう。

2) 二次元自由電子の状態密度をnx, nyが小さいとき(±5程度まで)に

ε

= 0 ~ 35まで厳密 に計算してみよう（₂^h_m²

( )

²_L^{π 2} =1とした）。どの程度一定になっているだろうか。

3) フェルミ分布関数について、全粒子数N=

∫

0^∞D

( ) ( ) ε

fF

ε

d

ε

が温度とともにどのよう に変化するかExcelで調べてみよう。化学ポテンシャルを

µ

=1と一定とすると、kBT

= 0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3の場合、_Nはどのように変化するだろうか。

但し、状態密度は三次元金属の近似式D

( ) ε

=

ε

を使う(√の前の係数を1としてよ い)。積分は ⁼

∑ ( ) ( )

i

i i f D

N

ε ε

と近似して良く、和は

ε

=0, 0.01, 0.02, 0.03…10の範 囲でとれば良い (

ε

=10までで良いのは、そのあたりで f_F

( ) ε

が十分小さいから)。 注）もちろん、現実の金属ではクーロン力のために電子数が変化できないので、化 学ポテンシャルの方が変わります。

( ) ε

D

nが大きい場合の近似 kr= ²L^π

(

nx,ny,nz

)

E_F E

kx

k_y k_z