基礎物理コースI 第15回C 2007/06/05, 11:00-12:30, 9-349, 後藤貴行3-335B, 03-3238-3356, [email protected]
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1. ポテンシャルU( )x,y における二次元平面内の運動の問題 座標xr=( )x,y , 速度υr=
(
υx,υy)
四つの変数が登場する。加速度は、ar=
(
ax,ay)
= fr m=−∇U( )x,y mで座標から決められる。
【復習】重力は中心力であるため、角運動量が保存しいつでも平面内の運動に帰着。
2. 通常の方法による解法（各変数がベクトルになっているだけ）
STEP-0 xr( )0 , υr( )0
STEP-1 xr( ) ( ) ( )δt =xr 0 +υr 0δt, ( ) ( ) ( ( )) t
m x
t υ U δ
δ
υr = r 0 −∇ r 0
STEP-2 xr( ) ( ) ( )2δt =xrδt +υr δt δt, ( ) ( ) ( ( ))
m t t x t U
t υ δ δ δ
δ
υr 2 = r −∇ r
STEP-3 xr( ) ( ) ( )3δt =xr 2δt +υr 2δt δt, ( ) ( ) ( ( ))
m t t x t U
t υ δ δ δ
δ
υr 3 r 2 ∇ r 2
−
= 以下続く…
nステップ目は、
STEP-3 xr( )nδt =xr((n−1)δt)+υr((n−1)δt)δt, ( ) (( ) ) ( (( ) )) t
m t n x t U
n t
nδ υ δ δ δ
υ = −1 −∇ r −1
r r
と書ける。これをベクトル形式でなく、成分で書いて見ると、
( ) (( ) ) (( ) )
( ) (( ) ) (( ) )
⎩⎨
⎧
− +
−
=
− +
−
=
t t n t
n y t n y
t t n t
n x t n x
y x
δ δ υ
δ δ
δ δ υ
δ δ
1 1
1 1
( ) (( ) ) ( (( ) ) (( ) ))
( ) (( ) ) ( (( ) ) (( ) ))
⎩⎨
⎧
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
∂∂
∂∂
t t n y t n x U t
n t
n
t t n y t n x U t
n t
n
y m y
y
x m x
x
δ δ δ
δ υ
δ υ
δ δ δ
δ υ
δ υ
1 ,
1 1
1 ,
1 1
1 1
となる。
3. 重力ポテンシャルの場合 上式のυx,υyに ( )
r r U =−α
を代入して見ると、 ( ) 2
r r x
xU
=α
∂∂ , ( ) 2
r r y
yU
=α
∂∂ などより、
( ) (( ) ) (( ) )
( )
( ) (( ) )
( ) (( ) ) (( ) )
( )
( ) (( ) )
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
− +
−
− −
−
=
− +
−
− −
−
=
t t n y t n x
t n t y
n t
n
t t n y t n x
t n t x
n t
n
m y
y
x m x
δ δ δ
δ δ υ
δ υ
δ δ δ
δ δ υ
δ υ
α α
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
となって、意外と単純な計算であることがわかる。
また、r2 =x2+y2の値をυx,υyの二箇所で使うので、前もって計算しておいた方が簡単になる。
注）前のプリントPC2とは変 数名が異なる。慣れて来た ので、ここからは、実際の 変数名(x座標, t時刻, etc.) を使うことにする。
基礎物理コースI 第15回C 2007/06/05, 11:00-12:30, 9-349, 後藤貴行3-335B, 03-3238-3356, [email protected]
-2- 以上を踏まえてExcelのシートを見てみよう。
( )1,0
0 =
xr から、速度υr0 =(−0.3,1)、すなわち、斜め左上方向に向けて出発し、重力ポテンシャル r
U =1 を感じて、少しずつ速度を変えながら楕円運動するようすが現れている。もう少しで一周 するところであるが、実は「一万行」のデータが必要。これほど細かくしないと、きれいに回らない のだ。
4. ファインマンの方法
【考え方】
STEP-0 xr( )0 , υr(12δt)
STEP-1 xr( ) ( ) (δt =xr 0 +υr 12δt)δt, ( ) ( ) ( ( ))
( )4 34 4
4 2 1 r r
r
r t a
m t t x t U
t
δ
δ δ δ
υ δ
υ 32 = 12 −∇
STEP-2 xr( ) ( ) (2δt =xr δt +υr 32δt)δt, ( ) ( ) ( ( )) t
m t x t U
t υ δ δ δ
δ
υr 52 = r 32 −∇ r 2
STEP-3 xr( ) ( ) (3δt =xr 2δt +υr 52δt)δt, ( ) ( ) ( ( )) t
m t x t U
t υ δ δ δ
δ
υr 72 = r 52 −∇ r 3
初期条件や 定数の設定
(X,y)の軌跡を 表すグラフ
座標
通し番号n
（時刻=ndt ） 速度 加速度=−∇U( )xr mは、座標から計算。
2 2
2 x y
r = + は左隣のセルで計算しておく
2
2 y
x +
=+B9+$H$2*D9
=+C9+$H$2*E9
=+D9+$H$2*G9
=+E9+$H$2*H9
=-$H$3*C10/F10^(1.5*$H$4)
=-$H$3*B10/F10^(1.5*$H$4)
=+B10^2+C10^2
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加速度を計算するところで、前のステップではなく、今計算したところの座標を使っている。たっ たこれだけでどれほどの差が出るだろうか。
5. ファインマンの方法でのExcelシート
テイラー展開で微分を計算する時刻が、座標x,yと速度vx,vyとで違うところに注意。
通常の方法に比べて、時間ステップを４０倍以上にしても、全く、「ずれ」が発生していない。グラ フ上で、軌跡は40周以上回っている。通常の方法で、dt=0.03にしてしまうと、計算誤差で、ど こかへすっ飛んで行ってしまう。
【注意】初期速度を速くし過ぎると、運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー＝E>0 となってし まい、どこかへすっ飛んで行ってしまう。
最初は出来るだけ円に近い軌道を描くように、初期条件を選 んで、うまく回りだしたら、dtをいろいろ変えて、どこまで大きく して良いか判断しよう。
6. 重力のべきが－１からずれたらどうなるか？
自分で試そう。U =r−1.02の場合のグラフを載せておく。
僅かにずれただけで、軌道は閉じなくなる。
初期条件や 定数の設定
(X,y)の軌跡を 表すグラフ
=+C9+$H$2*E9
=+D9+$H$2*G10
=+E9+$H$2*H10
=+B9+$H$2*D9
座標
通し番号n
（時刻=ndt ） 速度 加速度=−∇U( )xr mは、座標から計算。
2 2
2 x y
r = + は左隣のセルで計算しておく
2
2 y
x +
=-$H$3*C10/F10^(1.5*$H$4)
=-$H$3*B10/F10^(1.5*$H$4)
=+B10^2+C10^2
