)z )z ∫ ∫

注意これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。統計力学II (後期) 2008/01/15, 0915-1045@3-349

１０-A 波の状態密度

三次元の箱に閉じ込められた波を考える。境界条件は、両端節とすると振幅は、

( )

r t E k r t Er r, = r₀sin r⋅r⋅sinω

但し、 = n

(

= x,y,z; n_a =1,2,3_L

)

k πL α

α α

∴ _x^{2 2}_{y z}² n_x² n²_y n_z² c L

k k k c k

c = + + = + +

= π

ε _{h h h}

ε より小さなエネルギーの状態数は、 n_x² n²_y n_z²

c L + +

> π

ε _h を満たす

(

nx,ny,nz

)

の数 この不等式が球を表すことと、nrの成分は全て正であることから、

( ) ( )

{ ³

( )

³

8 1

6 3

4 8

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅

= π

ε π π

ε ε π

3 h 2

1hr c

L n

c

L

モード数

モード数

球

N ,

( )

ε ε

∂

= ∂N D

１０-B モード数

同じ

(

nx,ny,nz

)

に縮退している状態の数のこと。

・スピン縮退＝2S+1 (質量ゼロの粒子を除く)

・光子＝横波（水平偏波・垂直偏波）の二つ

^{【余談】日本の地上波}

TV

は水平偏波、欧州は垂直偏波が多い

・単原子物質の格子振動＝縦波１つと横波２つ（水平偏波・垂直偏波）の三つ

・化合物の格子振動＝構成元素数×3 １０-C 光子集団のエネルギー分布

箱に閉じ込められた光子(溶鉱炉など)の振動数の分布

まずモード数は、2つなので

( )

²

( )

^{3 2}

3 ε

π ε π

π π

ε h ch

V c

D L ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

( ) ∫

∫

^∞ ₋ ^{= ∞} ₋

= 0

3

0 ε ε1 ε ε 1 ε

βε

βε d

A e e d

E D

( ) ( ) ( ) ∫

∫

^∞

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∞

≡

= −

= −

0

3 0 3

3 3

, 1

8 1

8 dv

T u e

h c v V

h e d

h ch

V

h h

4 48 4

47

6 ν

ν π ν

π

ν β ν

β

プランクの熱輻射式

(

T

)

u ν, のグラフを右下図に示す

山の頂上の位置を求めるために微分すると、 ^{∝3 2}

(

⁻¹

)

^{− 3 =0}

∂

∂ ν _{β ν} ν β _{β ν}

ν

h

h he

u e

となり、

1 _{β ν} β3hν e ^h =

− ⁻ という超越方程式になる。

(指数関数や三角関数などを含んだ方程式) これでは、解の個数さえわからない。

こういう場合、グラフに書いて考える。

ν βh

x= と置いて、 x e₋^x

=

− 3

1 となるので、

グラフにすると、交点

x=0及び約2.82が解とわかる。

82L . 2

B

=

=

∴ k T

hν hν β

これが「ウィーンの偏移則」

（Wilhelm Wien, 1911ノーベル賞）

0 2 4 6 8 10

0 0.5 1 1.5

T=1

T=0.707 T=0.5

ピーク位置∝

T

面積∝T

⁴

エネルギー∝ν

光子の 数∝

u

x f (x)

3 1−x e⁻x

1

3

注意これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。統計力学II (後期) 2008/01/15, 0915-1045@3-349

１０-D なぜ、緑の星はないのか。

温度を上げると、最も多い光子の振動数は、赤、橙、黄、緑、青、藍、紫、と

増えて行くはず。しかし、現実には緑の星は無い。⇒ 高温ではいろいろな色が混って白色になる

１０-E 光子集団の全エネルギー

( )

∫

∫

∫

^∞ ₋ ^{= ∞} ₋ ^{−− = ∞ − + − + −}

= 0

2 3

0 3 3 0 3

3

3 8 1

1 8

1

8π ν ν π ν ν π ν _{β ν β ν β ν} ν

ν β

ν β ν

β h e e e d

c d V e

e h c

d V e

h c

E V _h ^{h h h}

h

h L

( )

∫

^{∞ − + − +}

= 0

2 3

3

8π ν ^β_h^{ν β}_h^ν L

e e

c h

V これを４回部分積分してζ

( )

4 =π⁴ 90を使うと、、、

∴ステファンボルツマンの法則

3 3

4 4 B 5

15 8

h c

T π k

= ：意味＝温度を上げると光子の平均エネルギーも上 がる(青色が増える)し、光子数も増えるので、結局、全エネルギーは、温度の4乗となる。

１０-F 固体の格子振動

【フォノン】振動している状態を粒子（フォノン）が居ると見 なす。そうすると統計力学で簡単に扱える。

【準粒子】フォノンのような粒子を準粒子と呼ぶ。固体の 中には他にも様様な準粒子が居る。

【光との違い】 格子振動には、最大波数（最小波長）が 存在する。これをデバイ波数と呼ぶ。

飛び飛びに存在している格子点を振動させると、細かい 振動は、振動していないのと同じ(右図)。

よって、エネルギーを求める積分を行う際に、積分範囲 が∞でなく、上限が付く。

⇔ 光子は、いくらでも細かく振動できる（＝大きな波数 を持てる）のでそういうことはない。

１０-G デバイ近似(Debye) 1) 波の速さを一定とするω _=ck

⇔ 実際は振動数によって異なる。一次元鎖ではω ∝sinka

2) 最大波数を全自由度(＝粒子数×モード数)から決定する：

∫

0 ^D

( )

=

ε D ε dε 3N

一つの粒子の自由度は、xyzの各方向に振動できるので3つである。

( )

³_{3 3}²₃

2 π

ε ε π

⎟h

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

c

D V より、 N

c

V 3 3

2 3

3 3 3D

3 =

π ε π

h 但し、ε_D ≡デバイエネルギー これから、デバイ振動数ω_D=ε_{D h}、デバイ波数k_D =ω_D cなどが求まる。

１０-H デバイ近似による固体の比熱

∫ ( )

₋

∂

= ∂

∂

= ∂ ^D

0 1

ε ν

βε ε ε

e d D T

T

C E _h ⁼ _∂^∂

∫

0^D ₋

3

1

ε ε β

ε ε e

d A T

→0

T では、 ^≈_∂^∂

∫

^{D − =} _∂^∂

∫

0^{D −} 3 4

0

3 T x Ax e xdx

d T e T A

C ^ε ε ^βε ε 但し、x_D= βε_D なので、積分範囲を∞にしてよくて、C ≈T³×const. ─Debye比熱

フェルミオン フォトン(ボソン) マグノン(ボソン)

金属の比熱＝自由電子の比熱＋格子振動の比熱 ＋ スピンの比熱 ＋･････

γT aT³

0 2 4 6 8 10

ゆっくりした振動と同じ