1. 암호 문제
1.4 선행학생의 답안과 비선행학생의 답안 분석
4절에서는 선행학습을 한 학생의 답안과 그렇지 않은 학생의 답안을 분석함으로써 선행학습 여부가 어떤 영향을 미쳤는지를 알아보고자 한 다. 암호문제는 Ⅲ장에서 설명한 것처럼 선행학습 여부가 영향을 미치지 않도록 수정하였기 때문에, 여기에서는 실제 학생 답안에서도 선행학습 이 미친 영향이 없었는지를 확인하였다. 선행학습 집단에서 가장 높은 점수를 얻은 P02를 선정하였고, 비선행학습 집단에서는 P02와 수리논술 성적이 비슷한 학생인 N11을 선정하였다. 다음은 두 학생의 점수이다.
학생 01 02 03 04 05 06 07 08 총점
P02 3 3 3 1 3 3 0 0 16
N11 3 3 1 1 3 1 2 1 15
<표 Ⅳ-19> 암호 문제 질적 분석 대상 학생 점수
두 학생은 총점은 비슷하지만 세부 내용을 살펴보면 차이점이 있다.
P02는 [논제1]과 [논제2]에서는 거의 만점에 가까운 점수를 받았지만, [논제3]은 해결하지 못했다. N11은 [논제1]부터 [논제3]까지 골고루 점수 를 받았지만, 채점코드03, 06에서 논리적 정당화를 제대로 하지 못하여 감점이 있었다. 이제는 각 채점코드별로 두 학생의 답안에 있어서 차이 점을 분석해보겠다.
1.4.1 채점코드 01
채점코드 01에서는, 키가 2와 3일 때 제시문에 주어진 규칙에 따라
‘HUNT’를 정확히 암호로 변환할 수 있는지와 왜 2가 키로서 적당하지 않은지를 정당화해야 한다.
두 학생은 모두 각각의 키에 대하여 제시문에 주어진 규칙대로 ‘HUNT’
를 변환해내었고, 자신의 답이 맞았는지 검검하였다. 이 과정에서는 제시 문에 나온 규칙을 잘 이해하는 것과 정확히 계산해내는 능력이 필요하고 이것은 선행학습 여부와 관련된 것이 아니라고 생각할 수 있다. 다음은 두 학생의 답안이다.
P02
N11
[그림 Ⅳ-1] 암호 문제 채점코드 01 학생답안 ①
왜 2는 키로서 적당하지 않은지에 대하여 P02는 중복된 글자가 나오 기 때문에, N11은
인
의 암호는 동일하기 때문이라고 표현 하는 등 표현은 다르지만 정확하게 설명하였다. 이 부분에 선행학습 여 부는 영향을 미치지 않았다. 다음은 두 학생의 답안이다.P02
N11
[그림 Ⅳ-2] 암호 문제 채점코드 01 학생답안 ②
이와 같이 채점코드 01에 대한 두 학생의 설명은 모두 제시문에 근거 한 것으로, 선행 여부에 따른 차이점은 발견되지 않았다.
1.4.2 채점코드 02, 03
채점코드 02, 03에서는
을 29로 나눈 나머지가 1임을 제시문에 주어 진 합동식의 법칙 (ⅳ), (ⅴ)와 논제에 주어진 표를 이용하여 정당화해야 하는 문제이다. 두 채점코드에서 P02는 모두 만점을 받았다. 그러나 이미 알고 있는 선행지식에 근거하여 설명하는 것이 아니라 다음과 같이 ‘아래 의 표를 이용하여’, ‘(제시문)(나)의 법칙 중 (ⅳ)를 이용하면’, ‘(ⅴ)의 법칙 을 이용하면’ 등으로 정당화의 근거를 찾고 있으며 이는 모두 제시문에 주 어져 있는 것이다. 따라서 P02가 이 문항을 해결하는 데에 중요한 역할을 한 것은 제시문과 논제임을 알 수 있다. N11은 교과과정 내에서 학습한 형태인
(단,
는 몫,
은 나머지)를 이용하여 정당화하는 것 을 시도하였다. N11은 P02에 비하여 제시문의 성질을 명확하게 인용한다 고 적지는 않았기 때문에 채점코드 03에서 2점이 감점되었다. 둘 모두 제 시문 또는 교육과정 내의 형태를 이용하여 정당화한 것으로 이 역시 선행 학습 여부가 영향을 미치지 않았다. 다음은 두 학생의 답안이다.P02
N11
[그림 Ⅳ-3] 암호 문제 채점코드 02, 03 학생답안
1.4.3 채점코드 04
채점코드 04는 29의 배수가 아닌 자연수
에 대하여 ⋯
를 29로 나눈 나머지의 집합이
⋯
와 같음을 정당화하는 것 이다. 여기에서 두 학생은 모두 두 집합이 같을 것이라는 추측은 하였으 나, 그것을 명확히 정당화하지는 못했다. [논제1]이나 [논제2](1)처럼 숫 자로 증명을 하는 것이 아니라 문자를 이용하여 증명해야 하는 문항이라 학생들에게 어렵게 다가왔을 수 있을 것이라 예상한다. 27명의 학생 중 단 한명만이 이 부분에서 만점을 받았다는 것은 거의 모든 학생들이 이 증명을 어렵게 생각하며, 특히 그 학생이 비선행학습 집단의 학생이라는것은 선행학습이 답안 작성에 긍정적인 영향을 미치지는 않았음을 보여 준다. 다음은 두 학생의 답안이다.
P02
N11
[그림 Ⅳ-4] 암호 문제 채점코드 04 학생답안
1.4.4 채점코드 05, 06
채점코드 05, 06은 채점코드 02, 03과 평행한 것으로 두 학생은 채점 코드 02, 03에서와 같이 P02는 만점, N11은 3점, 1점을 받았다.
1.4.5 채점코드 07, 08
채점코드 07, 08은 각각 2의 배수, 7의 배수가 키로서 적당하지 않음 을 정당화하는 것으로, P02는 응답하지 못하여 0점을 받았고, N11은 2의
배수는 다음과 같이 정당화하였기 때문에 2점, 7의 배수는 제시는 하였 으나 정당화는 하지 못했기 때문에 1점을 받았다. 이것은 수학적으로 추 측하는 능력과 그것을 정당화하는 능력을 평가하는 것으로 이 부분 역시 선행 학습의 영향이 없었다. 다음은 두 학생의 답안이다.
P02 무응답
N11
[그림 Ⅳ-5] 암호 문제 채점코드 05, 06 학생답안